Johdatusta moniskaalamallinnukseen Mallittamisen jatkokurssi - jatkuvat mallit/t. Tiihonen, JY Johdanto Monet mallitettavat ilmiöt ovat sellaisia, että niiden täydellinen kuvaaminen edellyttää käytännössä eri mittakaavoissa esiintyvien asioiden yhtäaikaista mallintamista. Tämä on yleensä laskennallisesti erittäin kallista ja epätarkoituksenmukaista. Näin ollen tarvitaan tekniikoita, joilla eri mittakaavoissa tapahtuvat osailmiöt ja erityisesti niiden yhteisvaikutukset voidaan ottaa huomioon. Mallissa esiintyvät mittakaavat voivat olla suoraan mallin datasta johtuvia (esimerkiksi mallitettavan systeemin dimensiot voivat olla epäsuhtaisia) tai mallin kertoimissa esiintyy useita mittakaavoja (mikrorakenteet jne). Mittakaavat voivat liittyä myös eri ilmiöiden suhteelliseen merkittävyyteen, jolloin eri mittakaavat ja niiden esiintyminen ovat vaikeammin tunnistettavissa itse mallista. Yleensä mallista kuitenkin on löydettävissä pieni (tai suuri) parametri, joka käytännössä määrää mallin ilmiöiden mittakaavat. Mikäli mallin asymptoottinen analyysi (pienen parametrin suhteen) johtaa laadullisesti erilaiseen malliin, on syytä varautua useamman mittakaavan esiintymiseen. (Mallin laadullinen erilaisuus kun osaltaan kertoo juuri sen, ettei koko ilmiömaailmaa voida kuvata vain rajamallin ja sen edustaman mittakaavan avulla). Selkein esimerkki tästä on singulaarisesti häiritty tehtävä. Ts malli, jossa pieni parametri määrää mallin asteluvun ja siten mallille asetettavien reunaehtojen määrän. Esimerkkinä tästä tulemme tarkastelemaan jatkossa tehtävää u + u x ɛu xx =, u() = α, u(1) = β Jos tähän tehtävään sovelletaan suoraviivaisesti asymptoottista häiriöteoriaa ja sijoitetaan yhtälöön kehitelmä u = u + ɛu 1 +..., päädytään rajatehtäviin = u + u,x + ɛ(u 1 + u 1,x u,xx ) +... Rajatehtävä on alempaa kertalukua ja ratkaisun u yleinen muoto on u = Ce x. Tämä voi toteuttaa korkeintaan toisen reunaehdoista (ellei sattumalta β = αe 1 ). Rajatermi ei siis sellaisenaan ole järkevä häirityn tehtävän ratkaisun approksimaatioksi. Korjaustermit eivät voi parantaa tilannetta, joten kehitelmä ei anna käyttökelpoista tietoa häiritystä tehtävästä.
Useampaa mittakaavaa edellyttäviä laadullisia eroja esiintyy myös säännöllisissä häiriötehtävissä. Tarkastellaan vaimennetulle värähtelijälle kirjoitettua mallia, u + ɛu x + u xx =, u() = α, u x () = β. Tälle voidaan johtaa asymptoottisen analyysin avulla järkevä rajayhtälö, joka toteuttaa alkuehdot (vaimenematon värähtely). Korjaustermit on myös helppo kirjoittaa. Niiden ratkaisut eivät kuitenkaan pysyisi rajoitettuina koko tarkasteluvälillä vaan pyrkisivät kasvamaan rajatta. Perussyynä tähän on rajamallin ja alkuperäisen mallin laadullinen ero. Jos nimittäin tarkastelemme värähtelijän kokonaisenergiaa, E = 1 2 (u2 + u 2 x), voimme havaita, että rajamallille E x = (u + u x x)u x = mutta alkuperäiselle mallille E x = ɛu 2 x. Energia siis vähenee aina kun u x on nollasta poikkeava. Väheneminen tapahtuu aikaskaalassa 1/ɛ. Siispä pienilläkin ɛ:in arvoilla rajatehtävän ja häirityn tehtävän ratkaisujen välinen ero kasvaa suureksi riittävän kaukana lähtöpisteestä. Mittakaava voi luonnollisesti esiintyä suoraan tehtävän mittasuhteissa. Jos rajoitamme tarkastelun yksiulotteisiin esimerkkeihin, systeemin ulkoisten dimensioiden (pituus, leveys, paksuus) suhteilla ei ole merkitystä. Sen sijaan voimme tarkastella esimerkiksi laminaattirakennetta paksuussuunnassa. Oletetaan, että tarkasteltava systeemi on tasainen levy, joka koostuu useista ohuista tasapaksuista kerroksista, ja että meitä kiinnostaa vain paksuussuuntainen käyttäytyminen, esimerkiksi lämmön johtuminen laminaatin läpi. Stationäärisessä tapauksessa lämpötasapainoyhtälö on (formaalisti) (k(x)t x ) x = f missä lämmönjohtavuuskerroin k vaihtelee lyhyessä (yksittäisen laminointikerroksen paksuuden määräämässä) mittakaavassa. Jos laminaatilla on säännöllinen toistuva rakenne, tämä voidaan kuvata kirjoittamalla k = k(x/ɛ), missä ɛ kuvaa laminointikerroksen paksuutta ja k on periodinen funktio. Mikäli rakenne vaihtelee paksuussuunnassa, voidaan kirjoittaa k = k(x, x/ɛ), missä nyt k on toisen argumentin suhteen periodinen kaikilla x. Kummassakin tapauksessa yhtälössä on pieni parametri, jonka suhteen voidaan hakea asymptoottista kehitelmää. Monen skaalan kehitelmät Monen skaalan menetelmässä (method of multiple scales) huomioidaan useamman tarkastelumittakaavan ongelma jo kehitelmää muodostettaessa. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että aluksi oletetaan, että systeemissä tapahtuu jotain mittakaavoissa..., x/ɛ, x, ɛx,.... Tämän jälkeen merkitään kutakin
pituusskaalaa omalla symbolillaan valitsemalla X j = xɛ j, missä j käy läpi kaikki kokonaisluvut (tässä tapauksessa - muitakin ɛ:in potensseja voidaan tarvita tapauksesta riippuen). Itse asymptoottinen kehitelmä kirjoitetaan kuten ennenkin, u = u + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 + mutta nyt kehitelmien termien oletetaan riippuvan x:n sijasta kaikista X j :stä (jotka oletetaan jatkossa riippumattomiksi muuttujiksi). Ts. u k = u k (..., X 1, X, X 1,...) Kun tämä kehitelmä sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, on alkuperäiset x- derivaatat kirjoitettava X j derivaattojen avulla. Tällöin siis u x =... ɛ 1 u, 1 + u, + ɛu,1 +... Tarkastellaan menetelmää edellä esitetylle singulaarisesti häiritylle tehtävälle u + u x ɛu xx =, u() = α, u(1) = β Merkitään z = x 'pitkää' skaalaa. Koska tarkasteluväli on rajoitettu 'ylipitkää' ɛx skaalaa ei esiinny. Sen sijaan lyhyt ξ = x/ɛ skaala tarvitaan. Kirjoitetaan u j = u j (z, ξ). Nyt Sijoitetaan kehitelmä yhtälöön. d dx = d dz + 1 d ɛ dξ d 2 = d2 dx 2 dz + 2 d 2 2 ɛ dzdξ + 1 d 2 ɛ 2 dξ 2 = 1 ɛ ( u,ξξ + u,ξ ) + ( u 1,ξξ + u 1,ξ 2u,ξz + u,z + u ) +... u on muotoa u = A + Be ξ, missä A = A(z), B = B(z). Nyt on määrättävä A ja B. Monen skaalan menetelmän yhteydessä vapaiden kertoimien määrääminen (muiden skaalojen funktiona) tehdään yleensä siten, että korkeamman asteen korjaustermeille saadaan halutut ominaisuudet. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että korjaustermien tulee pysyä rajoitettuina lyhimmissä skaaloissa (joissa tarkasteluväli on käytännössä ääretön
vaikka alkuperäinen tehtävä olisi määritelty äärellisellä välillä). Siispä kirjoitetaan tehtävä korjaustermille u 1. u 1,ξξ + u 1,ξ = 2u,ξz u,z u = (B z B)e ξ (A z + A) u 1 pysyy rajoitettuna 1/ɛ pituisella välillä (vain) jos yhtälö on homogeeninen. Joten on siis oltava A z + A =, B z B = Tästä seuraa edelleen, että A = ae z, B = be z. Näin ollen kehitelmän rajatermiksi saadaan (yleisessä muodossa) u (z, ξ) = ae z + be z+ξ = ae x + be x+x/ɛ Ehdosta u() = α, a = α b. Vastaavasti b (β αe 1 )e 1 1/ɛ Ratkaisu toteuttaa (likimain) reunaehdot ja käyttäytyy laadullisesti oikein. Ratkaisun käyttäytymisestä voidaan tehdä havainto, että lähes koko alueessa ratkaisu käyttäytyy kuin yhden skaalan rajatehtävän ratkaisu, jolle reunaehto on kiinnitetty pisteessä. Lähellä pistettä 1 tapahtuu jotain lyhyessä skaalassa. Tämä on tyyppillistä singulaarisille häiriötehtäville, rajatehtävä toimii hyvin lähes koko alueessa lukuunottamatta ohutta ns. rajakerrosta, jossa tarvitaan skaalattu tehtävä selittämään nopeat muutokset, joita 'ylimääräinen' reunaehto pakottaa ratkaisuun. Sovitetut kehitelmät Edellä käytettiin useampaa pituusskaalaa, jotta ratkaisun erilainen käyttäytyminen tarkasteluvälin eri osissa saatiin huomioitua. Käytännössä kussakin osa-alueessa vain yksi skaala kerrallaan on relevantti. Näin ollen on luonnollista kysyä, voidaanko tarkastelua yksinkertaistaa rajoittamalla tarkastelu vuoronperään eri alueisiin ja yhdistämällä näin saadut tulokset. Tämä kysymys johtaa ns. sovitettujen kehitelmien (matched asymptotics) tekniikkaan. Menetelmä on varsin tehokas ja suosittu. Sen periaate on varsin yksinkertainen. Valitaan käytettävät pituusskaalat, kehitetään yhtälö kussakin skaalassa erikseen, identioidaan ne osa-alueet, missä mikin skaala on voimassa ja sovitetaan kehitelmät yhteen. Käytännössä kaksi vaihetta voi vaatia kokeilua: oikeiden skaalojen löytäminen ja oikeiden osa-alueiden erottaminen. Oikeat vastaukset voi löytää arvaamalla tai kokeilemalla systemaattisesti kaikkia vaihtoehtoja, esimerkiksi parametrisoimalla skaalat. Väärät vaihtoehdot johtavat ristiriitoihin sovitettaessa kehitelmiä yhteen.
Palataan edellä esitettyyn esimerkkiin, jossa edellisen nojalla tiedämme esiintyvän kaksi skaalaa, x ja x/ɛ, niin että lyhyt skaala esiintyy pisteen 1 ympäristössä. Tarkastelemme aluksi pidempää skaalaa z = x. Jos kehitämme ratkaisun muodossa u = u (z) + ɛu 1 (z) +..., saamme helposti, että u toteuttaa u,z + u = ja lisäksi tulisi toteuttaa reunaehdot. Koska yleinen ratkaisu voi toteuttaa vain yhden reunaehdon, meidän on valittava kummanko päätepisteen ulkopuolella haluamme kehitelmämme olevan voimassa. Näin saamme kaksi mahdollista kandidaattia pitkän skaalan kehitelmiksi: u o = αe z tai u o = βe 1 z. Kutsumme näitä ulommiksi kehitelmiksi (outer expansion, mistä yläindeksi o), koska niiden on tarkoitus olla voimassa rajakerroksen ulkopuolella. Missä on rajakerros, ja mitä siellä tapahtuu. Valitsemme (edellisen analyysin tai fysikaalisen intuition tms pohjalta), että rajakerrosta etsitään pisteen 1 ympäristöstä. Tällöin ulkokehitelmäksi valitaan siis u o = αe z. Lyhyt skaala on vielä määräämättä. Periaatteessa voisimme valita yleisen lyhyen skaalan muotoa ξ = 1 x, missä ν on toistaiseksi vapaa parametri. Lopullinen arvo ν:lle kiinnitettäisiin niin, että saatu kehitelmä on yhteensopiva ɛ ν ulkokehitelmän kanssa. Oikaisemme kuitenkin nyt ja valitsemme ν = 1, eli ξ = (1 x)/ɛ. Sijoittamalla tämä alkuperäiseen yhtälöön yhdessä ratkaisulle tehtävän kehitelmän kanssa, saamme lyhyen skaalan rajatehtävälle muodon u i,ξξ u i,ξ = Tässä u i in ns. sisäkehitelmä (inner expansion). Sen tulee toteuttaa reunaehto pisteessä x = 1 (eli ξ = ), mikä rajaa yleistä ratkaisua muotoon u i = β b(1 e ξ ). Tässä b on toistaiseksi vapaa parametri. Nyt meillä on siis (yhtä vapaata parametria vaille) kaksi kehitelmää eri alueissa, jotka yhdessä toteuttavat yhtälön ja reunaehdot. Kuvaavatko nämä yhdessä ratkaisua ja miten vapaa parametri pitäisi valita. Tässä vaiheessa alkaa kehitelmien yhteensovittaminen (mathcing), josta menetelmä on saanut nimensä. Ns. sovitusperiaate (matching principle) sanoo, että kaksi kehitelmää sopii yhteen jos (u i ) o = (u o ) i Ts. jos sisempi kehitelmä kirjoitettuna ulomman skaalan funktiona ja ulompi kehitelmä sisemmän skaalan funktiona yhtyvät kun pieni parametri viedään rajalle.
Mitä tämä tarkoittaa käytännössä. Kirjoitamme aluksi ulkokehitelmän sisäskaalan funktiona u o = αe z = αe 1+ɛξ Vastaavasti sisäkehitelmä on u i = β b(1 e ξ ) = β b(1 e (1 x)/ɛ ) Molemmilla termeillä on raja, kun ɛ lähestyy nollaa. Rajat yhtyvät, jos b = β αe 1. Koska b voitiin valita vapaasti, kehitelmät voidaan liimata yhteen. Mikäli skaalat tai rajakerrosten paikat olisi valittu toisin tämä ei olisi onnistunut vaan käytännössä jompi kumpi em. kehitelmistä olisi räjähtänyt toisessa skaalassa tai tarvittavaa vapaata parametria ei olisi löytynyt. Nyt meillä on täysin kiinnitetty kaksi kehitelmää, joista toinen on voimassa lähes koko alueessa, toinen päätepisteen ympäristössä. Yleensä haluaisimme ratkaisulle esityksen, joka on voimassa koko alueessa ilman valistunutta arvausta oikeasta määrittelyalueesta. Tämä onnistuu määrittelemällä ns. yhdistetty kehitelmä u c = u o + u i (u o ) i Kokoamalla tulokset saamme u c = αe x + β (β αe 1 )(1 e (x 1)/ɛ ) αe 1 = αe x + (β αe 1 )e (x 1)/ɛ mikä on hyvä approksimaatio ratkaisulle koko alueessa. Esimerkki - vaimeneva värähtely Tarkastellaan yksinkertaista vaimennettua värähtelijää mu tt + µu t + ku = missä m on massa, µ vaimennuskerroin ja k jousivakio. Merkitään (vaimentamattoman tapauksen ominaistaajuutta) ω = k/m sekä skaalataan aika ω:lla ja merkitään ɛ = µ/(2 km). Tällöin yhtälö sievenee muotoon u tt + 2ɛu t + u = Vaimeneminen on siis pientä, jos µ on pieni massaan ja jousivakioon nähden. Tehtävä normeerattiin niin, että värähtelyn aikaskaala on O(1). Koska vaimennustermin kerroin on ɛ, vaimeneminen voi tapahtua vasta skaalassa O(1/ɛ). Tarvitsemme siis ainakin kaksi aikaskaalaa. Asetetaan z = t, z 1 = ɛt, z 2 = ɛ 2 t
Merkitään derivaattaa z i :n suhteen (),i :llä. Tällöin aikaderivaatat voidaan kirjoittaa muodossa u t = u, + ɛu,1 + ɛ 2 u,2 +... u tt = u, + 2ɛu,1 + ɛ 2 (2u,2 + u,11 ) +... Etsitään kehitelmää u = u + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 +.... Sijoittamalla derivaattojen lausekkeet yhtälöön ja merkitsemällä kunkin ɛ:n potenssin kertoimet nolliksi saamme u, + u = u 1, + u 1 = 2u,1 2u, u 2, + u 2 = 2u,2 u,11 2u 1,1 2u 1, 2u,1 Yleinen ratkaisu u :lle on muotoa u = Ae iz + Āe iz missä kerroin A = A(z 1, z 2 ) kompleksinen. A on valittava siten, että korjaustermi u 1 pysyy rajoitettuna. Nyt u 1 toteuttaa yhtälön u 1, + u 1 = 2i(A,1 + A)e iz + (...) Ratkaisu kasvaa rajatta ellei päde A,1 + A =, josta saamme kiinnitettyä A:n osittain: A = B(z 2 )e z1. Tällöin voidaan valita u 1 = (homogeenisen yhtälön ratkaisuna). Vastaavasti u 2 on rajoitettu kaikilla z jos 2iB,2 e z 1 Be z 1 = Tämä toteutuu, jos B = Ce iz 2/2. Yhdistämällä edelliset lausekkeet saadaan u = Ce z 1+i(z z 2 /2) + (...) Tai, palaamalla alkuperäiseen muuttujaan ja kirjoittamalla konjugoidut eksponenttifunktiot trigonometrisina funktioina u = ae ɛt cos(b + t tɛ 2 /2) Tässä a on alkuperäinen amplitudi ja b vastaavasti alkuperäinen vaihesiirto. Helposti havaitaan, ettei saatua approksimaatiota voi järkevästi kirjoittaa yksinkertaisen rajayhtälön (jossa ɛ = ) ratkaisun ja korjaustermien avulla. Useamman skaalan kehitelmällä saadaan tässä tapauksessa ei triviaali approksimaatio.
Homogenisaatio Homogenisaatiolla tarkoitetaan tekniikoita, joilla pienen mittakaavan ilmiöitä keskiarvoistetaan pidemmän mittakaavan efektiivisiksi malleiksi. Mikrorakenteiden asymptoottinen analyysi on tässä hyvä keino päästä alkuun. Tarkastellaan alussa kuvattua lämmönjohtumista laminaattikerroksen läpi. Kirjoitetaan yksiulotteinen lämmönjohtumisyhtälö (täydellisyyden vuoksi ajasta riippuvassa muodossa) cu t (ku x ) x = f missä c on lämpökapasiteetti, k lämmönjohtumiskerroin ja f mahdollinen lämmönlähde. Lämpötilaa merkitään u:lla. Kertoimet oletetaan periodisiksi lyhyessä mittakaavassa, mutta sallitaan niiden vaihtelu pidemmässä, makroskooppisessa mittakaavassa. Ts. esimerkiksi k = k(x, x/ɛ), missä k(x, y) on y:n suhteen 1-periodinen funktio kaikille x. Periodisen rakenteen voi olettaa aiheuttavan lämpötilaan uktuaatioita mikroskaalassa. Tämän takia lämpötilalle etsitään kehitelmää muodossa u = u (x, x ɛ ) + ɛu1 (x, x ɛ ), +ɛ2 u 2 (x, x ɛ ) +... Merkitään jatkossa lyhyttä skaalaa y:llä, y = x. Tällöin derivaatta muuttujan x suhteen kirjoitetaan u x = u x + 1u ɛ y. Aikaderivaattaan useamman ɛ paikkaskaalan käytöllä ei ole vaikutusta. (Toinen kysymys on, vaikuttaako mikrorakenne myös aikariippuvuuteen - tässä vaiheessa oletamme yksinkertaisuuden vuoksi, että näin ei tapahdu. Ts. emme esittele useampaa aikaskaalaa.) Otettaessa kaksi skaalaa ja asymptoottinen kehitelmä käyttöön lämmönjohtavuustermi saa muodon (k(x, y)u x ) x = 1 ɛ 2 (k(x, y)u y) y 1 ɛ (k(x, y)u y) x (k(x, y)u x) y (k(x, y)u 1 y) y (k(x, y)u x) x (k(x, y)u 1 y) x (k(x, y)u 1 x) y (k(x, y)u 2 y) y Tarkastellaan aluksi termiä 1. Kaikkilla x u :n tulee olla y:n suhteen ɛ 2 periodinen ja toisen y-derivaatan tulee hävitä. Näin ollen u on vakio y:n suhteen (eli pelkästään x:n funktio). Seuraavaksi termistä 1 jää jäljelle ehto ɛ (k(x, y)u 1 y) y = k(x, y) y u x.
Ensimmäiseksi tulee tarkistaa, onko ehto toteutettavissa. Toisin sanoen, onko tehtävällä olemassa aina periodinen ratkaisu. Yleisesti pätee, että periodinen ratkaisu u 1 on olemassa jos ja vain jos yhtälön oikea puoli on nollakeskiarvoinen, eli k(x, y) y =. Näin on, koska k oli periodinen y:n suhteen. Ratkaisu on vain vakiota vaille yksikäsitteinen. Merkitään jatkossa v 1 tehtävän (k(x, y)v 1 y) y = k(x, y) y ratkaisua annetulle x ehdolla v1 (x, y) =. Tällöin u 1 on muotoa u 1 (x, y) = v 1 (x, y)u x(x) + ũ 1 (x). Tämän jälkeen voidaan tarkastella termiä ɛ. Eli (k(x, y)u 2 y) y = cu t + f + (k(x, y)u x) x + (k(x, y)u 1 y) x + (k(x, y)u 1 x) y. Tällä on periodinen ratkaisu, jos oikea puoli on nollakeskiarvoinen. Nyt periodisuuden nojalla ja (k(x, y)u 1 y) x = (k(x, y)u 1 x) y = Periodinen ratkaisu u 2 :lle on siis olemassa, jos (k(x, y)v 1 yu x) x. cu t ((k(x, y) + k(x, y)v 1 y)u x) x = Toisin sanoen, jos u ratkaisee yhtälön missä c = c, f = f ja k = c u t (k u x) x = f k(x, y) + k(x, y)v 1 y. Huomataan, että asymptoottisen rajatehtävän kertoimet (ns efektiiviset tai homogenisoidut kertoimet) riippuvat lyhyen mittakaavan vaihtelusta eri f
tavoin eri termeille. Sekä aikaderivaatan että oikean puolen termi saadaan suoraviivaisella keskiarvoistamisella, toisen kertaluvun termi sen sijaan on monimutkaisempi ja kuvastaa sitä, että mikrorakenne vaikuttaa ei-triviaalilla tavalla makroskooppiseen ilmiöön. Edellä oleva tekniikka yleistyy useampiulotteisiinkin tapauksiin. Rajoitutaan kuitenkin edelleen yksiulotteiseen tapaukseen ja analysoidaan homogenisoitua kerrointa tarkemmin. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että k = k(y). Tällöin yhtälö v 1 :lle on (k(y)v 1 y) y = k(y) y. Integroimalla saamme k(y)vy 1 = k(y) + C, missä C on integrointivakio. Oletetaan, että k(y) on aidosti positiivinen kaikilla y, jolloin voimme jakaa ja saamme vy 1 = 1 C/k(y). Sijoitetaan tämä k :n lausekkeeseen k = k(y) + k(y)v 1 y = k(y) k(y) C = C. Toisaalta v 1 oletettiin periodiseksi, eli v1 y = 1 C 1/k(y) =. Siispä, k = C = 1/ 1/k(y). Tässä tapauksessa efektiivinen lämmönjohtavuus oli siis periodisen lämmönjohtavuuden harmoninen keskiarvo. Esimerkki - Diuusioapproksimaatio Tarkastellaan lopuksi vähän vaativampaa esimerkkiä, jossa asymptoottinen rajatehtävä on aivan eri tyyppinen kuin alkuperäinen malli. Säteilyn siirtoa puoliläpäisevässä väliaineessa (esimerkiksi neutronien tai fotonien vuo) mallitetaan ns. siirtoyhtälöillä. Tarkastellaan nyt yksikertaisinta mahdollista ei triviaalia tapausta, eli säteilyn siirtoa yksiulotteisessa tapauksessa ilman sirontaa. Ts. käytännössä sitä, miten säteily etenee homogeenisen levyn läpi. Tällöin paikka voidaan kuvata yhdellä koordinaatilla ja säteilyn suunnasta tarvitsee tietää vain sen poikkeama suhteessa levyn normaaliin (mikä voidaan esittää yhdellä parametrilla). Merkitään u = u(x, µ) säteilyn intensiteetti pisteessä x suuntaan µ [ 1, 1]. Intensiteetille (suuntaan µ) voidaan kirjoittaa dierentiaaliyhtälö µu x + κu = κh x, µ Tässä κ on emissio/absorptiokerroin, h materiaalin itsesäteily (esim. σt 4, Stefan-Boltzmann lämpösäteily). Yhtälö sanoo siis, että säteilyn intensiteetti
vähenee absorption ja lisääntyy itsesäteilyn verran kulkiessaan pisteen x ohi. Mikäli materiaalissa esiintyisi sirontaa, intensiteetti voisi muuttua myös sen vaikutuksesta, kun säteiden suunta vaihtuisi. Kappaleen reunalla pätee tyypillisesti (x = ) u µ> = q + R(u µ< ) Ts. kappaleeseen kohdistuu ulkoinen säteily + lähtevän säteilyn takaisin heijastuma. Ns. optisesti tiheälle aineelle κ = 1/ɛ, jolloin yhtälö saadaan muotoon µu x + u/ɛ = h/ɛ Havaitaan, että pieni parametri liittyy korkeimpaan derivaattaan, joten kyseessä on epäsäännöllinen häiriötehtävä. Haetaan tälle 'ulkoratkaisua' muodossa u = u + ɛu 1 +.... Sijoittamalla yhtälöön saamme ensimmäisille termeille u = h u 1 = µu,x Yleensä mallituksen kannalta kiinnostava suure on nettosäteily (säteilyn ja absorption erotus) (esimerkiksi, jos olemme kiinnostuneet mallin energiatasapainosta) κ(h u) = µu x Kehitelmälle µ µ µ µu,x = µh x = µ µu 1,x = µ 2 u,xx Sillä itsesäteily h oletetaan isotrooppiseksi (ts. intensiteetti on sama kaikkiin suuntiin). Sijoittamalla vielä u = h voimme todeta, että nettosäteilyn intensiteetti on muotoa cɛh xx. Analyysi voidaan yleistää 3D tapaukseen. Tämän tyyppinen ns. diuusio tai Rosseland approksimaatio on hyvin suosittu työkalu, kun mallitetaan lämmönsiirtoa esimerkiksi kuumassa lasissa. Approksimaatio johtaa (lämpötasapainon osalta) lämpöyhtälön tyyppiseen malliin sen sijaan, että tarvitsisi ratkaista tarkkaan säteilyn siirto siirtoyhtälön avulla kaikkiin suuntiin. Alkuperäisellä tehtävällä olisi korkeampi dimensio - 3D:ssä kolme avaruuskoordinaattia ja kaksi kulmamuuttujaa - säteilykenttä kuvataan siis funktiona viisiulotteisessa avaruudessa. µ µ
Koska edellä johdimme vain ulkotehtävän, ongelmaksi jäävät reunaehdot. Reunojen vaikutus rajoittuu pituusskaalaan O(ɛ). Rajakerrosyhtälöiden avulla voidaan johtaa reunaehdot diuusioyhtälölle (h:n suhteen), mutta tämä ei enää ole peruskurssin asiaa. Avainsanoja ja lisätietoja Edellä esitettyjä periaatteita ja ajatuksia sovelletaan runsaasti ja niistä on löydettävissä paitsi oppikirjoja, jopa omia tieteellisiä julkaisusarjojaan. Erilaisista tietokannoista voi etsiä mm. avainsanoilla perturbation theory, singular perturbation, asymptotic analysis. Asymptoottista analyysiä käytetään myös toisin päin. Eli alkuperäinen rajatehtävä muutetaankin pienen parametrin avulla häirityksi tehtäväksi, jolla on jossain mielessä paremmat ominaisuudet. Tällöin puhutaan usein regularisoinnista eli säännöllistämisestä. Eri sovellusaloilla asymptoottisella analyysillä ja sen avulla johdetuilla raja tehtävillä on omia nimityksiään. Esimerkiksi, jos pieni parametri on systeemin mikrorakenteen pituusskaala (esim. monesta kerroksesta muodostetun laminaatin mallittamisessa) puhutaan homogenisoinnista. Pienen parametrin ollessa yksi systeemin dimensioista (esim. paksuus), puhutaan kalvotai lmiteorioista (membrane, thin layer) tai kiinteille aineille laatoista, palkeista jne. Oma lukunsa ovat sitten rajakerrosteoriat, joita liitetään varsinkin virtausdynamiikkaan kun viskositeetti on pieni suhteessa liikemäärään.