Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi A 1. 3. a) Osoita, että (AB) t = B t A t aina kun A, B C n n b) Osoita, että sisätulolle pätee (Ax y) = (x A y) aina kun A C n n ja x, y C n. 4. Osoita, että jos A, B, ja A + B ovat säännöllisiä, niin myös A 1 + B 1 on säännöllinen ja (A + B) 1 = A 1 A 1 (A 1 + B 1 ) 1 A 1. 5. Määritellään kuvaus A: K n K n (K = R tai C) siten, että A(x 1, x,..., x n ) = (x 1, x x 1,..., x n x n 1 ). Osoita, että kuvaus A on lineaarinen. Mikä on dim (R(A))? 6. Olkoon A: K n K n lineaarinen kuvaus. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) A on injektio; (ii) A on surjektio; (iii) A on bijektio. 7. Olkoon V = {x x on kuvaus R R} ja määritellään kuvaus P : V V siten, että P x(t) = 1 (x(t) + x( t)), kaikilla x V, t R. Osoita, että P on projektio. Mikä on suora summa N (P ) R(P )? 8. Olkoon P, Q: V V projektioita siten, että N (P ) N (Q). Osoita, että QP = Q.
Harjoitus, kevät 007 1. Olkoon z K n yhtälön Ax = c ratkaisu, missä A K n n. Osoita, että (i) jos v N (A), niin z + v on myös yhtälön Ax = c ratkaisu. (ii) jokaiselle ratkaisulle x K n kohti on olemassa v N (A) siten, että x = z + v. [ ] B1 C. Osoita, että matriisin A =, missä B 0 B 1 ja B ovat neliömatriiseja, determinantti on det A = det B 1 det B. [ ] (Vihje. I 0 Esitä A muodossa A = C 1 C, missä C 1 =.) 0 B 3. Olkoon A K m n ja B K n m. Osoita, että [ ] 0 A det = det( AB) (ts. = ( 1) m det(ab)). B I (Vihje. Käytä edellistä tehtävää.) 4. Vektoreiden x 1,..., x k C n (k n) Gram-determinantti on G(x 1,..., x k ) = det(a A), missä A = [x 1,..., x k ] ja A = (A) t. Osoita Binet-Cauchy -kaavaa käyttäen, että aina G 0. 5. Olkoon A = [a ij ] n n K n n yläkolmiomatriisi, jossa a kk 0 aina kun k = 1,,..., n. Osoita, että adj A ja A 1 ovat yläkolmiomatriiseja. 6. Todista ns. Cauchyn identiteetti [ ] a1 c det 1 +... + a n c n a 1 d 1 +... + a n d n = b 1 c 1 +... + b n c n b 1 d 1 +... + b n d n Osoita tämän avulla, että 1 i<j n a i b i a j b j c i d i c j d j. ( a 1 +... + a n )( b 1 +... + b n ) (a 1 b 1 +... + a n b n ) aina kun a i, b i C. (Vihje. Hajota identiteetin vasemman puoleinen matriisi kahden matriisin tuloksi ja käytä Binet-Cauchy -kaavaa.)
Harjoitus 3, kevät 007 1. Olkoon A K n n. Osoita, että (i) jos r(a) = n, niin r(adj A) = n; (ii) jos r(a) = n 1, niin r(adj A) = 1; Vihje. Käytä arvionnissa yhtälöä r(a adj A) r(a) + r(adj A) n. (iii) jos r(a) < n 1, niin r(adj A) = 0.. Määrää matriisille 1 4 7 A = 5 8 3 6 11 LU-hajotelma (ks. Lause.14). Mikä on det A? Vihje. Kirjoita matriisi A vaaditussa muodossa LU tuntemattomien muuttujien avulla ja ratkaise ne. 3. Olkoon A edellisen tehtävän matriisi. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälö Ax = (1, 1, 1) t. 4. Olkoon matriisin A K n n kaikki johtavat pääminorit (siis myös det A) nollasta eroavia. Osoita, että A = LDU, missä D on diagonaalimatriisi, L on sellainen alakolmio- ja U sellainen yläkolmiomatriisi, että diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä. Mitä voit sanoa hajotelman yksikäsitteisyydestä? 5. Osoita, että matriisi A C n n on hermiittinen (ts. A = A) jos ja vain jos (Ax y) = (x Ay) kaikilla x, y C n. 6. Olkoon A C n n. Osoita, että jos x Ax = 0 kaikilla x C n, niin A = 0 C n n. Vihje. Käytä vektoreita e i, e i + e j ja e i + ie j. 7. Matriisin A C n n sanotaan olevan unitaarinen jos A = A 1, ts. A A = I. Osoita tehtävää 5 käyttäen, että A on unitaarinen jos ja vain jos (Ax Ax) = (x x) kaikilla x C n.
Harjoitus 4, kevät 007 1. Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus. Osoita, että jos jollakin vektorilla x 0 V (x 0 0) pätee Ax 0 = λx 0, jollakin λ K, niin aliavaruus S = L{x 0 } on A-invariantti.. Määrää matriisin 8 A = 3 3 1 4 8 6 karakteristinen polynomi (i) laskemalla det(λi A) ja (ii) laskemalla matriisin A pääminorit (Lause 3.14). Määrää matriisin A spektri σ(a) ja ominaisvektorit. 3. Olkoon matriisi A C n n. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) A on unitaarinen; (b) (Ax Ay) = (x y) kaikilla x, y C n ; (c) matriisin A pystyrivit ovat ortonormaaleja; (d) matriisin A vaakarivit ovat ortonormaaleja. (Vihje. Laske kohdissa (c) ja (d) matriisien A A ja AA (i, j)-alkiot ja tulkitse sisätulon avulla.) 4. Olkoon matriisi A C n n unitaarinen. Osoita, että λ = 1 matriisin A jokaiselle ominaisarvolle λ C. Osoita lisäksi, että det A = 1. 5. Osoita, että jos A K n n on hermiittinen (ts. A = A) ja positiivisesti deniitti (ts. x Ax > 0 kaikilla x K n \ {0}), niin det A > 0. (Vihje. Tarkastele ominaisvektoreita.) 6. Osoita, että hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektori ovat keskenään ortogonaaliset. (Vihje. Osoita aluksi, että λ = λ kaikilla ominaisarvoilla λ.) 7. Olkoon T : V V lineaarinen kuvaus, missä dim V = n. Oletetaan, että S V on sellainen T -invariantti aliavaruus, että dim S = r. Osoita, että tällöin lineaarisen kuvauksen T matriisi A voidaan esittää muodossa [ ] A1 B A =, 0 A missä matriisit A 1 K r r ja A K (n r) (n r). (Vihje. Esitä V muodossa S S. Huomaa, että S ei ole välttämättä T - invariantti.) Huom. Yllä V on äärellisulotteinen K-kertoiminen vektoriavaruus.
Harjoitus 5, kevät 007 1. Osoita, että matriisin A K n n erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.. Laske matriisin A k + 3A + I (k = 1,,...) ominaisarvot kun 8 A = 3 3 1 4 8 6 (Vihje. Määrää matriisin A ominaisarvot (ks. harjoitus 4 teht..) 3. Milloin -matriisi on diagonalisoituva? 4. Olkoon matriisit A K n n ja B K n n similaarisia. Osoita, että (a) det A = det B ja r(a) = r(b); (b) c A (λ) = c B (λ) ja tr A = tr B; (c) A t ja B t ovat similaariset; (d) p(a) ja p(b) ovat similaariset aina kun p(λ) on K-kertoiminen polynomi. [ ] [ ] 1 1 1 0 Osoita lisäksi, että matriisit A = ja A = eivät ole similaariset vaikka niiden asteet, determinantit, karakteristiset polynomit ja jäljet ovat 0 1 0 1 samat. 5. Olkoon A ja B diagonalisoituvia. Osoita, että A ja B ovat similaariset jos ja vain jos c A (λ) = c B (λ). (Vrt. edellinen tehtävä) 6. Osoita, että matriisin A K n n vasempia ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot ovat samat kuin oikeita ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot. (Ei siis tarvitse puhua vasemmista ja oikeista ominaisarvoista.) [ ] 1 1 7. Osoita, että matriisi A = on diagonalisoituva ja määrää spektraaliesityslauseessa (ks. luennot) esiintyvät projektiot G j. Laske tämän avulla A 0 0. 8. Osoita, että matriiseilla AB ja BA on sama karakteristinen polynomi aina kun A, B C n n. (Vihje. Käytä hyväksi yhtälöä [ AB ] [ 0 I ] A B }{{ 0 } 0 I E ja totea, että E ja F ovat similaariset.) = [ I ] [ A 0 0 ] 0 I B BA }{{} F
Harjoitus 6, kevät 007 1. Onko matriisi 0 4 A = 0 6 0 4 0 diagonalisoituva? Onko A unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa? Onko A normaali?. Olkoon matriisin A ominaisarvot λ 1 = 1, λ = 1 ja λ 3 = 0 sekä niitä vastaavat ominaisvektorit x 1 = ( 1, 1, 1) t, x = ( 1, 4, 1) t ja x 3 = (1,, 1) t. Määrää matriisi A. 3. Olkoon matriisi A K n n idempotentti (eli projektio), ts. A = A. (a) Osoita, että jos λ on matriisin A ominaisarvo, niin λ = 0 tai λ = 1. (b) Jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin määrää A 00 x. 4. Olkoon A C n n ja λ 1, λ,..., λ n sen ominaisarvot. Osoita, että (a) A A on hermiittinen; (b) tr (A A) = i,j a ij ; (c) λ 1 +... + λ n i,j a ij = tr (A A). (Vihje. Käytä Schurin normaalimuotoa ja muista, että similaarisilla matriiseilla on sama jälki.) Huom. Merkintä i,j a ij tarkoittaa summaa n i=1 n j=1 a ij. 5. Olkoon A = I αxx, missä x C n \ {0} ja α = / x (muistutus: x = (x x) = x x). Osoita, että matriisi A on hermiittinen ja unitaarinen. Osoita lisäksi, että λ = 1 on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. 6. Tarkastellaan tehtävän matriisia A C n n. Määrää matriisi B siten, että B = A. Voiko tuloksen yleistää koskemaan jokaista diagonalisoituvaa matriisia A C n n (ts. voiko aina löytää sellaisen matriisi B, että B = A)? (Vihje. Käytä luentojen seurausta 4.5 matriisin B määrittelyssä.) 7. Olkoon A R n n symmetrinen sekä r sen pienin ja R sen suurin ominaisarvo. Osoita, että r x t Ax R aina kun x R n ja x = 1. Muotoile vastaava tulos hermiittisille matriisille A C n n. (Vihje. Käytä luentojen lausetta 4.14.)
Harjoitus 7, kevät 007 1. Määrää matriisin 1 0 A = 0 1 1 0 singulaariarvohajotelma sekä Moore-Penrose -inverssi.. Määrää matriisin 1 1 A = 0 1 3 Moore-Penrose -inverssi ja sen avulla yhtälön Ax = (1, 0, ) t paras likimääräisratkaisu. 3. Osoita, että N (A) ja R(A) ovat ortogonaaliset kun A C n n on hermiittinen. 4. Osoita, että matriisin A C n n polaarinen hajotelma on yksikäsitteinen jos matriisi A on säännöllinen. 5. Osoita, että Moore-Penrose -inverssi toteuttaa matriisiyhtälöryhmän AXA = A XAX = X (AX) = AX (XA) = XA 6. Olkoon A C m n. Osoita, että jos U ja V ovat unitaarisia, niin (UAV ) + = V A + U. Osoita tätä käyttäen, että jos matriisi A on normaali, niin (A k ) + = (A + ) k jokaiselle kokonaissluvulle k > 0.
Harjoitus 8, kevät 007 1. Olkoon A(λ) ja B(λ) kokoa n n olevia λ-matriiseja ja olkoon A(λ) = A k λ k +... + A 1 λ + A 0 B(λ) = B q λ q +... + B 1 λ + B 0, missä A k 0 ja B q 0. Osoita, että deg A(λ)B(λ) deg A(λ) + deg B(λ), missä yhtäsuuruus on voimassa jos A k tai B q on säännöllinen.. Osoita, että λ-matriisi λ λ 0 A(λ) = λ λ 5 0 0 0 λ on ekvivalentti λ-matriisin B(λ) = diag(λ, λ, λ 4 (λ 1)). 3. Määrää λ-matriisin λ λ 0 A(λ) = λ λ 5 0 0 0 λ invariantit polynomit määritelmään nojautuen. Vertaa tehtävän. λ-matriisia B(λ) ja sen invariantteja polynomeja. 4. Määrää matriisin 1 5 A = 1 3 0 0 4 minimaalipolynomi käyttämällä (a) Frobeniuksen lausetta (Lause 6.11: c A (λ) = d(λ)m A (λ)) (b) Frobeniuksen lauseen seurausta (Lause 6.1: Jokainen karakteristisen polynomin c A (λ) nollakohta on minimaalipolynomin m A (λ) nollakohta ja kääntäen.) 5. Määrää matriisin λi A minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit kun 3 1 1 A = 0 3 1 0 0 1. 0 0 0 6. Olkoon matriisi A sama kuin tehtävässä 4. Määrää λ-matriisille λi A jokin ekvivalenttimatriisi B(λ), joka on kanonisessa muodossa. (Vihje. Smithin kanoninen muoto.)
Harjoitus 9, kevät 007 1. Osoita, että polynomin p(λ) toverimatriisin L(p) karakteristinen polynomi on p(λ).. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 3 1 1 A = 0 3 1 0 0 1. 0 0 0 3. Olkoon A C 1 1 sellainen matriisi, että λ-matriisin λi A invariantit polynomit ovat i k (λ) = 1 (k = 1,,..., 9), i 10 (λ) = λ + 1, i 11 (λ) = λ 4 + 5λ + 4 ja i 1 (λ) = λ 6 + 6λ 4 + 9λ + 4. Määrää matriisin A Jordan-muoto. 4. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 6 A = 0. 0 0 5. Määrää idempotentin matriisin A Jordan-muoto (A = A). (Vihje. Mikä on minimaalipolynomi?) 6. Olkoon A(λ) kokoa 5 5 oleva λ-matriisi, jonka aste r(a(λ)) = 5 ja alkeistekijät ovat λ, λ, λ 3, λ, (λ ) ja λ+5.määrää polynomimatriisin A(λ) invariantit polynomit. 7. Määrää matriisin 3 0 0 A = a b 0. b c Jordan-muoto vakioiden a, b, c eri arvoilla.
Harjoitus 10, kevät 007 1. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 0 0 A = 0 1 1. 0 0 1 Onko matriisi A diagonalisoituva?. Määrää matriisin 4 A = 0 1 3 3 3. 6 3 7 alkeistekijät ja Jordan-muoto. 3. (a) Osoita, että matriisi A C n n on similaarinen sen transpoosin A t kanssa. (b) Olkoon A involutorinen, ts. A = I. Osoita, että A on diagonalisoituva. 4. Olkoon A C 3 3, jonka karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) (λ ) ja joka ei ole diagonalisoituva. Määrää matriisin A minimaalipolynomi ja f(a) kun funktio f on määritelty matriisin A spektrissä. 5. Laske A 000 kun 4 5 3 A = 3 4. 0 0 0 (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 6. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0. π 0 0 7. Osoita, että matriisi A C n n ja sen karakteristisen polynomin toverimatriisi L(c A (λ)) ovat similaariset jos ja vain jos m A (λ) = c A (λ).
Harjoitus 11, kevät 007 1. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 4 1 3 A = 5 3. 0 0 3. Määrää tehtävän 1 matriisille säännöllinen matriisin C C 3 3, jolle matriisin A Jordan-muoto J = CAC 1. (Vihje. Muodosta yleistetyt ominaisvektorit.) 3. Luettele (ilman perusteluja) mahdollisimman monta yhtäpitävää ehtoa sille, että matriisi A C n n on (a) similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (b) unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (c) similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa; (d) unitaarisesti similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa. 4. Määrää matriisin a 1 1 A = 1 a 1 (a R). 1 1 a karakteristinen polynomi, minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit. Millä vakion a arvolla matriisi A on positiivisesti deniitti? Montako ortonormaalia vektoria matriisilla A on? (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 5. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0 π 0 0 käyttämällä spektraalihajotelmaa. 6. Neliömatriisin A karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) 7 (λ+) 4, minimaalipolynomi on m A (λ) = (λ 1) 4 (λ + ) ja eräs matriisin λi A alkeistekijöistä on (λ 1). Määrää matriisin λi A invariantit polynomit ja alkeistekijät sekä matriisin A mahdolliset Jordan-muodot. 7. Olkoon A = CBC 1, missä A, B, C C n n. Osoita, että m A (λ) = m B (λ). Osoita tämän avulla, että jos funktio f on määritelty matriisin A spektrissä, niin se on määritelty myös matriisin B spektrissä ja f(a) = Cf(B)C 1. 8. Määrää matriisille 0 0 0 1 A = 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ensimmäinen ja toinen luonnollinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto. Onko matriisi diagonalisoituva?
9. Olkoon f(λ) funktio, joka on määritelty matriisin 3 1 1 A = 7 5 1 6 6 spektrissä. Määrää matriisin A spektraalihajotelma, ts. määrää lauseke matriisille f(a). 10. Olkoon f matriisin 1 3 4 16 1 1 1 0 A = 0 5 5 5 6 5 4 0 0 1 0 0 4 1 5 0 0 1 0 0 4 spektrissä määritelty funktio. Määrää lauseke matriisille f(a). 5 8 5 5