800653S Matriisiteoria. Tero Vedenjuoksu

Transkriptio

1 800653S Matriisiteoria Tero Vedenjuoksu 19 toukokuuta 2010

2 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 3 11 Merkintöjä 3 12 Perusominaisuuksia 5 13 Matriisien lohkomuodot 6 14 Vektoriavaruus ja aliavaruus 8 15 Aliavaruuksien summat Lineaarikuvaukset Projektiot 14 2 Matriisin astehajotelma ja LU-hajotelma Determinantti Binet-Cauchy -kaava Matriisin aste Matriisin astehajotelma LU-hajotelma 28 3 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Invariantit aliavaruudet Lineaaristen kuvauksien suora summa Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot Invariantit aliavaruudet ja matriisit Matriisin ominaisarvot ja karakteristinen polynomi Ominaisarvojen kertaluvut Matriisipolynomeista 41 4 Similaarisuusmuunnokset Similaarisuus Diagonalisoituvat matriisit Matriisityyppejä Unitaariset similaarisuusmuunnokset 51 5 Singulaariarvohajotelma ja Moore-Penrose -inverssi Hermiittiset ja definiitit matriisit Singulaariarvohajotelma 59 1

3 SISÄLTÖ 2 53 Polaarinen hajotelma Moore-Penrose -inverssi 62 6 Polynomimatriisit ja normaalimuodot Polynomimatriisit Minimaalipolynomi Polynomimatriisien ekvivalenssimuunnokset Invariantit polynomit Smithin kanoninen muoto Ensimmäinen luonnollinen normaalimuoto Alkeistekijät Toinen luonnollinen normaalimuoto Jordan-muoto 86 7 Matriisifunktiot Matriisifunktion määrittely Interpolaatiopolynomeista Spektraalihajotelma 92 8 Jordan-muoto ja yleistetyt ominaisvektorit 96

4 1 Lineaarialgebraa 11 Merkintöjä Kurssilla tarkasteltavat vektoriavaruudet ovat yleensä äärellisulotteisia Käytämme seuraavassa merkintää K n tarkoittamaan n-pituisten pystyvektorien x 1 x 2 x = = [ x 1 x 2 ] t x n x n = (x 1, x 2,, x n ) t (x i K) muodostamaa joukkoa Vastaavasti K (n) tarkoittaa n-pituisten vaakavektorien x = [ x 1 x 2 x n ] muodostamaa joukkoa Merkitsemme myös (x i K) K n = {(x 1, x 2,, x n ) t : x i K} K (n) = {(x 1, x 2,, x n ) : x i K} Alkiot x i ovat vektorin komponentteja Tällöin (K n, +, ) ja (K (n), +, ) ovat K- kertoimisia vektoriavaruuksia kun operaatiot määritellään normaaliin tapaan komponenteittain Avaruuden K n luonnollinen kanta koostuu vektoreista e 1 = (1, 0,, 0) t, e 2 = (0, 1,, 0) t,, e n = (0, 0,, 1) t Kun m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, kaikkien sellaisten m n-matriisien a 11 a 12 a 1n A = [ a ij ]m n = a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn joukkoa, missä alkiot a ij K kaikilla i = 1, 2,, m ja j = 1, 2,, n, merkitään K m n 3

5 11 MERKINTÖJÄ 4 Jos m = n, niin matriisi A = [ a ij ]m n on neliömatriisi Sanomme, että a ij on matriisin A = [ a ij (i, j)-alkio ]m n Kahden matriisin A K m n ja B K n k tulo AB on matriisi [ c ij ]m k K m k, missä c ij = n a il b lj l=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = (A:n i:s vaakarivi) (B:n j:s pystyrivi) Esimerkki 11 Olkoon A = [a ij ] n n ja B = [b ij ] n n n n-matriiseja Tarkastellaan vektoreita x = (x 1,, x n ) t, y = (y 1,, y n ) t ja z = (z 1,, z n ) t, missä { y k = n i=1 a kix i z k = n i=1 b kiy i (k = 1, 2,, n) Esitetään vektori z matriisien A ja B avulla Nyt siis y = Ax ja z = By, joten z = By = BAx Huomautus Matriisien tulo on määritelty tällä tavalla koska käsiteltäessä matriiseja lineaarisina kuvauksina matriisien tulo on itseasiassa lineaaristen kuvausten yhdiste Matriisin A = [ a ij ]m n K m n transpoosi on n m-matriisi a 11 a 21 a m1 A t = [ a ji ]n m = a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Matriisin A = [ a ij ]m n K m n konjugoitu transpoosi A on n m-matriisi a 11 a 21 a m1 A = [ ] t a ij = a 12 a 22 a m2 n m, a 1n a 2n a mn missä a ij on alkion a ij liittoluku Siis jos A R m n, niin A = A t Määritelmä 12 Neliömatriisi A = [ a ij ]n n K n n on yläkolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina kun i > j; alakolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina kun i < j; diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 aina kun i j Diagonaalimatriisia merkitään myös A = diag(a 11, a 22,, a nn )

6 12 PERUSOMINAISUUKSIA 5 Määritelmä 13 Matriisi I = I n = diag(1, 1,, 1) sanotaan yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi Jos B K m n, niin I m B = BI n = B Määritelmä 14 Neliömatriisi A = [ a ij ]n n K n n on säännöllinen tai kääntyvä (nonsingular, invertible) jos on olemassa sellainen matriisi B K n n, että AB = BA = I Tällöin merkitään B = A 1 Tehtävä 1 Osoita, että jo yksi ehdoista AB = I ja BA = I riittää takamaan sen, että A on säännöllinen ja B = A 1 12 Perusominaisuuksia Matriisien ja vektoreiden perusominaisuudet oletetaan tunnetuksi Ohessa on kuitenkin listattuna muutamia usein käytettyjä ominaisuuksia Seuraavassa kaikkien matriisitulojen ja -summien oletetaan olevan määriteltyjä: 1) A + B = B + A mutta yleisesti AB BA (tulot AB ja BA eivät ole välttämättä samaa kokoa) 2) Ehdosta AB = 0 ei yleisesti seuraa, että A = 0 tai B = 0 (esimerkiksi lineaarinen yhtälöryhmä AX = 0) 3) Edellisen kohdan nojalla voi olla A C vaikka AB = CB Ei siis saa supistaa (ainoastaan jos B on kääntyvä) 4) Jos A, B K n n ovat yläkolmiomatriiseja, niin myös AB ja A 1 (jos A on säännöllinen) ovat yläkolmiomatriiseja Vastaava sääntö pätee alakolmiomatriiseille ja myös diagonaalimatriiseille 5) (AB) t = B t A t ja (AB) = B A 6) (A ) = A; (A + B) = A + B ; (A ) 1 = (A 1 ) ; (za) = z A (z C) Esimerkki 15 Olkoon A C n n ja B C n n ja osoitetaan (AB) = B A Nyt matriisin AB (i, j)-alkio c ij on c ij = = = n a iv b vj v=1 n a iv b vj v=1 n a iv b vj, v=1 joka on siis matriisin A B (i, j)-alkio Siis AB = A B, joten (AB) = (AB ) t = (A B ) t = B t A t = B A Osoitetaan lisäksi, että (A ) 1 = (A 1 ) Tämä seuraa siitä, että A (A 1 ) = (A 1 A) = I = I

7 13 MATRIISIEN LOHKOMUODOT 6 13 Matriisien lohkomuodot Matriisille A K m n saadaan lohkomuotoja kun ositetaan A reunasta reunaan ulottuvilla vaaka- ja pystyviivoilla A 11 A 12 A 1q A 21 A 22 A 2q A = (11) A p1 A p2 A pq Jos lohko A ij on kokoa m i n j, niin m = m 1 + m m p ja n = n 1 + n n q Määritelmä 16 Neliömatriisi A K n n on kvasidiagonaalimatriisi, jos sillä on sellainen lohkomuoto (11), missä p = q, lohkot A 11, A 22,, A pp ovat neliömatriiseja ja A ij = 0 aina kun i j Tällöin merkitään A = diag(a 11, A 22,, A pp ) Vastaavalla tavalla määritellään kvasiyläkolmio- ja kvasialakolmiomatriisit Esimerkki 17 a) Eräs usein käytetty lohkomuoto kun A K n n on seuraava: a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n a 21 a 22 a 2,n 1 a 2n A = a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 a n 1,n a n1 a n2 a n,n 1 a nn = A n 1 missä u, v t K n 1 Tätä lohkomuotoa käytetään useassa mm todistuksessa ja sitä voidaan käyttää hyväksi myös käänteismatriisia ratkaistaessa: Oletetaan, että AB = I ja lohkotaan B, kuten A Tällöin saadaan matriisiyhtälöryhmä matriisin B lohkoille b) Yleisessä lohkomuodossa olevien matriisien tulo voidaan muodostaa vastaavasti kuten normaali matriisitulo Olkoon A 11 A 12 A 1q B 11 B 12 B 1s A 21 A 22 A 2q B 21 B 22 B 2s A = ja B = A p1 A p2 A pq B q1 B q2 B qs Tällöin tulon AB (i, j)-lohko on q A iv B vj v=1 kunhan esiintyvät lohkojen tulot ovat määritelty, ts lohkojen koot sopivat yhteen Siis tulon AB (i, j)-lohko on matriisin A i:s lohkovaakarivi kertaa matriisin B j:s lohkopystyrivi Eli lohkomuotoisten matriisien kertominen onnistuu kuten tavanomainen matriisitulo aina kun tarvittavat lohkotulot ovat määriteltyjä v u a nn,

8 14 VEKTORIAVARUUS JA ALIAVARUUS 7 c) Olkoon A K m n ja B K n k Tehdään matriiseille A ja B pysty- ja vaakariviositukset Tällöin saamme A 1 A = [ ] A 2 A 1 A 2 A n = A m B 1 B 2 B n B = [ ] B 1 B 2 B k = (a 1, a 2,, a n )B = a 1 B 1 + a 2 B a n B n; b 1 b 2 A = b 1A 1 + b 2 A 2 + b n A n ; b n A 1B A 2B AB = = A [ B 1 B 2 ] B k A mb = [ AB 1 AB 2 ] AB k Jokainen A i B on siis B:n vaakarivien ja jokainen AB i on A:n pystyrivien lineaarinen yhdiste Siis matriisin AB vaakarivit ovat matriisin B vaakarivien lineaarisia yhdistelmiä ja pystyrivit ovat matriisin A pystyrivien lineaarisia yhdistelmiä 14 Vektoriavaruus ja aliavaruus Olkoon V epätyhjä joukko ja K kunta Oletetaan, että seuraavat laskutoimitukset ovat määritelty: (x, y) x + y : V V V (α, x) αx : K V V Määritelmä 18 Epätyhjä joukko V on K-kertoiminen vektoriavaruus eli lineaarinen avaruus, jos edellä määritellyt laskutoimitukset toteuttavat seuraavat ehdot: (V1) x + (y + z) = (x + y) + z; (V2) x + y = y + x;

9 14 VEKTORIAVARUUS JA ALIAVARUUS 8 (V3) on olemassa 0 V V (nollavektori), jolle x + 0 V = x; (V4) Jos x V, niin on olemassa sellainen y V, että x+y = 0 V (merkitään y = x) (V5) α(x + y) = αx + αy; (V6) (α + β)x = αx + βx; (V7) (αβ)x = α(βx); (V8) 1 K x = x, missä 1 K on kunnan K ykkösalkio kaikilla x, y, z V ja α, β K Huomautus Jatkossa oletetaan, että tarkasteltava kunta K on reaalilukujen kunta R tai kompleksilukujen kunta C ja puhumme pelkästään vektoriavaruudesta V Vektoriavaruuksien perusominaisuudet oletetaan tunnetuiksi (ks Lineaarialgebra I & II) Määritelmä 19 Olkoon V vektoriavaruus ja U V Tällöin U on avaruuden V aliavaruus, jos (VA1) x + y U kaikilla x, y U, (VA2) αx U kaikilla α K ja x U, ja (VA3) 0 U, ts U Olkoon S V epätyhjä Joukon S virittämä avaruuden V osajoukko L(S) (tai span(s)) koostuu kaikista joukon S vektoreiden lineaarisista yhdisteistä Siis L(S) = {y V : y = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, missä x i S, α i K} Määritelmä 110 Avaruuden V vektorijoukko S = {x 1, x 2,, x k } on lineaarisesti riippuva jos yhtälöllä α 1 x 1 + α 2 x α k x k = 0 on epätriviaali ratkaisu, ts α i 0 jollakin i = 1, 2,, k Vastaavasti jos yo yhtälöllä on vain triviaaliratkaisu (α 1 = α 2 = = α k = 0), niin joukko S on lineaarisesti vapaa (tai lineaarisesti riippumaton) Lause 111 Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva jos ja vain jos jokin joukon S vektoreista on muiden joukon S vektoreiden lineaariyhdiste Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Määritelmä 112 Olkoon U vektoriavaruuden V aliavaruus Tällöin vektorijoukko S = {x 1, x 2,, x k } U on aliavaruuden U kanta jos (i) U = L(S) ja (ii) S on lineaarisesti vapaa

10 15 ALIAVARUUKSIEN SUMMAT 9 Vektoriavaruuden V kanta on siis lineaarisesti vapaa vektorijoukko S, joka virittää avaruuden V Jos vektoriavaruuden V kannassa on n vektoria, sanotaan avaruuden V olevan n-ulotteinen tai n-dimensioinen, merkitään dim V = n Jos avaruudella V ei ole äärellistä virittäjäjoukkoa, niin V on ääretönulotteinen Esimerkki 113 Vektoriavaruus K n = L{e 1, e 2,, e n }, missä vektorit e i muodostavat avaruuden K n luonnollisen kannan Lause 114 Olkoon V {0} vektoriavaruus ja S = {x 1, x 2,, x n } V Joukko S on avaruuden V kanta jos ja vain jos jokainen avaruuden V vektori voidaan esittää yksikäsitteisesti joukon S vektorien lineaariyhdisteenä Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) 15 Aliavaruuksien summat Määritelmä 115 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V aliavaruuksia Tällöin merkitsemme U + Z = {x V : x = u + z, u U, z Z} ja sanomme, että U + Z on aliavaruuksien U ja Z summa Lause 116 Jos U ja Z ovat avaruuden V aliavaruuksia, niin U + Z on avaruuden V aliavaruus Määritelmä 117 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V aliavaruuksia Jos jokaisella vektorilla x U +Z on yksikäsitteinen esitys muodossa x = u+z, missä u U ja z Z, niin U + Z on aliavaruuksien U ja Z suora summa, merkitään U Z Seuraava lause on hyödyllinen tulos osoitettaessa annettua vektoriavaruutta aliavaruuksien suoraksi summaksi Lause 118 Jos U ja Z ovat avaruuden V aliavaruuksia, niin V = U Z jos ja vain jos U + Z = V ja U Z = {0} Huomautus Jos U = {0} ja Z = V, niin tällöin V = U Z Seuraavat tulokset löytyvät kurssista Lineaarialgebra II Lause 119 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V äärellisulotteisia aliavaruuksia Tällöin myös U + Z on äärellisulotteinen ja dim (U + Z) = dim U + dim Z dim (U Z) Seuraus 120 Jos vektoriavaruus V on äärellisulotteinen ja V = U + Z, niin (i) dim V dim U + dim Z ja (ii) dim V = dim U + dim Z jos ja vain jos V = U Z

11 16 LINEAARIKUVAUKSET 10 Lause 121 Jos U on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V aliavaruus, niin on olemassa sellainen avaruuden V aliavaruus Z, että V = U Z Esimerkki 122 Olkoon V = R 3 ja tarkastellaan aliavaruuksia U = {(x, y, 0) R 3 : x, y R} ja Z = {(x, 0, z) R 3 : x, z R} Tällöin V = U + Z ja U Z = {(x, 0, 0) R 3 : x R} {0}, joten summa ei ole kuitenkaan suora Lisäksi dim V < dim U + dim Z mutta dim V = dim U + dim Z dim (U Z) Etsitään lauseen 121 mukainen aliavaruus Z siten, että V = U Z Olkoon Z = {(0, 0, z) R 3 : z R}, jolloin jokainen x V = R 3 on yksikäsitteisesti muotoa Siis V = U Z x = (x, y, 0) + (0, 0, z) U + Z 16 Lineaarikuvaukset Lineaariset kuvaukset ovat tärkeitä matematiikan työkaluja Esimerkiksi analyysin perusoperaatiot (mm derivaatta ja integraali) ovat lineaarisia kuvauksia Lisäksi lineaariset yhtälöryhmät ovat tulkittavissa lineaarisia kuvauksia koskevina yhtälöinä Jatkossa avaruudet V ja W ovat K-kertoimisia äärellisulotteisia vektoriavaruuksia ellei toisin mainita Kun avaruuksien V ja W kannat ovat kiinnitetyt, voimme samaistaa lineaariset kuvaukset vastaavien kuvausten matriisien kanssa Määritelmä 123 Kuvausta A: V W sanotaan lineaariseksi mikäli (i) A(x + y) = A(x) + A(y) (ii) A(cx) = ca(x) kaikilla x, y V ja c K Lineaarista kuvausta sanotaan usein myös lineaariseksi operaattoriksi Jos W = K, niin lineaarista kuvausta sanotaan lineaariseksi funktionaaliksi Yleisesti lineaarisen kuvauksen yhteydessä vektoria A(x) merkitään usein lyhyemmin Ax Jos A: V W ja B : V W ovat lineaarisia kuvauksia, niin A = B täsmälleen silloin kun Ax = Bx kaikilla x V Jos A: V W on lineaarinen kuvaus ja U V on aliavaruus, niin merkitsemme kuvauksen A rajoittumaa aliavaruuteen U symbolilla A U Selvästi myös rajoittuma A U : U W on lineaarinen

12 16 LINEAARIKUVAUKSET 11 Lause 124 Jos A: V W on lineaarinen kuvaus, niin A0 V = 0 W Todistus Koska Ax = 0 V jos ja vain jos x = 0 V tai a = 0 K (harjoitustehtävä), niin A0 V = A(0 K 0 V ) = 0 K A(0 V ) = 0 W Esimerkki 125 a) Olkoon I = I V : V V identtinen kuvaus, ts Ix = x kaikilla x V Tällöin identtinen kuvaus I on lineaarinen b) Olkoon N : V W ns nollakuvaus, eli Nx = 0 W kaikilla x V Tällöin kuvaus N on lineaarinen Määritelmä 126 Olkoon A: V W lineaarinen kuvaus Tällöin kuvauksen A kuva-avaruus R(A) on joukko R(A) = {y W : y = Ax jollakin x V } = A(V ) ja kuvauksen A ydin on joukko N(A) = {x V : Ax = 0} = A 1 ({0}) Lause 127 Lineaarisen kuvauksen A: V W kuva-avaruus R(A) ja ydin N(A) ovat aliavaruuksia Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) [ ] Esimerkki 128 Tarkastellaan matriisia A = K Tällöin matriisia A voidaan käsitellä lineaarisena kuvauksena A: K 3 K 2 Määrätään kuvauksen A ydin N(A) Jos x = (x 1, x 2, x 3 ) t N(A), niin { x 1 x 2 = 0, x 1 + x 2 + x 3 = 0 eli x 1 = x 2 ja x 3 = 2x 2 Siis jokainen vektori x N(A) on muotoa x = (x 2, x 2, 2x 2 ) t = x 2 (1, 1, 2) t, missä x 2 K Aliavaruus N(A) on siis origon kautta kulkeva (vektorin (1, 1, 2) t suuntainen) suora Lause 129 Lineaarinen kuvaus A: V W on injektio jos ja vain jos N(A) = {0} Todistus Olkoon N(A) = {0} Jos Ax = Ay, niin A(x y) = Ax Ay = 0 Siis x y N(A) Täten x y = 0, eli x = y ja kuvaus A on siis injektio Oletetaan, että A: V W on injektio ja x N(A) Tällöin Ax = 0 = A0, joten injektiivisyyden nojalla x = 0 Siis N(A) = {0} Esimerkki 130 Olkoon P = {x : x on R-kertoiminen polynomi} Jos x P ja u(t) = t x(t), missä t R, niin myös u P Jokaisella x P merkitään Ax = u, jolloin saamme kuvauksen A: P P Osoitetaan, että P on lineaarinen (Jatko luennolla) Lause 131 Olkoon A: V W lineaarinen kuvaus ja S V

13 16 LINEAARIKUVAUKSET 12 (i) Jos S on avaruuden V virittäjäjoukko, niin A(S) on avaruuden R(A) = A(V ) virittäjäjoukko (ii) Jos A on injektio ja S on lineaarisesti riippumaton, niin A(S) on lineaarisesti riipumaton (iii) Jos A on injektio ja S on V :n kanta, niin A(S) on kuva-avaruuden R(A) kanta Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Huomautus Jatkossa tarkastelemme äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, jolloin lineaariset kuvaukset ja matriisit voidaan samaistaa kun tarkasteltavien avaruuksien kannat ovat kiinnitetyt Olkoon siis V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia Lause 132 Olkoon {v 1, v 2,, v n } avaruuden V kanta ja {w 1, w 2,, w n } W Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarinen kuvaus A: V W siten, että Av 1 = w 1, Av 2 = w 2,, Av n = w n Todistus Osoitetaan ensin kuvauksen olemassaolo Jos x V ja x = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, niin olkoon Ax = a 1 w a n w n Tällöin A on kuvaus avaruudelta V avaruudelle W Lisäksi Av 1 = w 1, Av 2 = w 2,, Av n = w n On siis osoitettava, että kuvaus A: V W on lineaarinen Jos niin tällöin saamme x = a 1 v 1 + a 2 v a n v n ja y = b 1 v 1 + b 2 v b n v n, A(x + y) = A((a 1 + b 1 )v 1 + (a 2 + b 2 )v (a n + b n )v n ) = a 1 w 1 + a 2 w a n w n + b 1 w 1 + b 2 w b n w n = Ax + Ay Vastaavasti jos c K, niin A(cx) = A((ca 1 )v 1 + (ca 2 )v (ca n )v n ) = c(a 1 w 1 + a 2 w a n w n ) = cax, joten kuvaus A on lineaarinen Osoitetaan vielä kuvauksen yksikäsitteisyys Olkoon siis A ja B kaksi lineaarista kuvasta, jotka toteuttavat lauseen ehdon, ts

14 17 PROJEKTIOT 13 Av i = w i = Bv i kaikilla i = 1, 2,, n Jos x = a 1 v 1 + a 2 v a n v n V, niin Ax = a 1 Av a n Av n = a 1 Bv a n Bv n = Bx Siis A = B, mikä todistaa lauseen Lause 133 Jos A: V W on lineaarinen kuvaus, niin Todistus (Ks Lineaarialgebra II) dim V = dim N(A) + dim R(A) 17 Projektiot Määritelmä 134 Lineaarista kuvausta P : V V sanotaan projektioksi jos P 2 = P (P 2 = P P ), ts P on idempotentti Esimerkki 135 Nollakuvaus ja identiteettikuvaus ovat projektioita (triviaaleja tapauksia) Esimerkki 136 Olkoon P = R 3 3 Osoitetaan, että P on projektio Nyt P (x 1, x 2, x 3 ) t = (x 1, x 2, 0) t, joten P 2 (x 1, x 2, x 3 ) t = P (P (x 1, x 2, x 3 ) t ) = P (x 1, x 2, 0) t = (x 1, x 2, 0) t Siis P 2 = P eli P on projektio Lause 137 Olkoon P : V V projektio Tällöin (a) I P on projektio, (b) R(I P ) = N(P ), ja (c) N(I P ) = R(P ) Todistus (a) Nyt (I P ) 2 = (I P )(I P ) = I 2 2P +P 2 = I 2P +P = I P, joten I P on projektio (b) Jos x R(I P ), niin on olemassa y V siten, että (I P )y = x Täten P x = P ((I P )y) = P y P 2 y = P y P y = 0, joten x N(P ) Toisaalta jos x N(P ), niin tällöin P x = 0 Siis (I P )x = Ix P x = x, joten x R(I P ) Täten R(I P ) = N(P ) (c) Selvästi P on projektio jos ja vain jos I P on projektio Nyt P = I (I P ) on projektio, missä myös I P on (a)-kohdan mukaan projektio Täten (b)- kohdan nojalla N(I P ) = R(I (I P )) = R(P ) (Todistus onnistuu myös (b)-kohdan mukaisella päättelyllä)

15 17 PROJEKTIOT 14 Lause 138 Jos P : V V on projektio, niin V = N(P ) R(P ) Todistus Nyt N(P ) ja R(P ) ovat aliavaruuksia Olkoon x V, jolloin se voidaan esittää muodossa x = x 1 + x 2, missä { x 1 = (I P )x x 2 = P x Lauseen 137 avulla saadaan x 1 R(I P ) = N(P ) ja x 2 R(P ) Siis x = x 1 + x 2 N(P ) + R(P ), joten V = N(P ) + R(P ) Osoitetaan vielä, että N(P ) R(P ) = {0} Jos x N(P ) R(P ), niin x N(P ) ja x R(P ) = N(I P ) Täten (I P )x = 0 jos ja vain jos P x = x ja P x = 0, joten x = P x = 0 Siis V = N(P ) R(P ) Esimerkki 139 Olkoon vektoriavaruus V = U Z Jos x V, niin sillä on yksikäsitteinen esitys x = u+z, missä u U ja z Z Jos x V, niin merkitään u = P x, jolloin saamme kuvauksen P : V U Osoitetaan, että kuvaus P on projektio (sanotaan projektioksi aliavaruudelle U aliavaruuden Z suuntaan)

16 2 Matriisin astehajotelma ja LU-hajotelma 21 Determinantti Olkoon A K n n ja A 1, A 2,, A n sen vaaka- tai pystyrivit Merkitään kummassakin tapauksessa A = (A 1, A 2,, A n ) Kun poistetaan matriisista A sen i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi, saadaan (n 1) (n 1)-matriisi, jota merkitään A(i j):llä Matriisin A determinanttia merkitään det A tai joskus myös A Palautetaan mieliin lineaarialgebran kursseilla osoitetut determinantin ominaisuudet: D1 Laplace-kehitelmä vaakarivin i ja pystyrivin j mukaan: det A = det A = n ( 1) i+j a ij det A(i j) j=1 n ( 1) i+j a ij det A(i j) i=1 D2 det(a 1,, A i,, A j,, A n ) = det(a 1,, A j,, A i,, A n ) (eli kahden rivin paikanvaihto muuttaa determinantin merkin) D3 det A = 0 jos A i = A j jollakin indeksillä i j D4 Jos jokin rivi A i on muotoa aa i + ba i (a, b K), niin det A = a det A + b det A, missä A = (A 1,, A i,, A n) ja A = (A 1,, A i,, A n) D5 det(c A) = c n det A aina kun c K D6 det(a 1,, A i + ca j,, A n ) = det A aina kun i j D7 det A t = det A D8 Olkoon adj A = [ b ij ] t, missä bij = ( 1) i+j det A(i j) on ns alkion a ij kotekijä (cofactor) Tällöin A adj A = ( adj A) A = det A I, missä adj A on matriisin A ns adjungaatti eli liittomatriisi 15

17 22 BINET-CAUCHY -KAAVA 16 D9 A on säännöllinen jos ja vain jos det A 0 Siis jos A on säännöllinen, niin ominaisuuden D8 nojalla D10 Jos A, B K n n, niin A 1 = 1 adj A det A det AB = det A det B = det B det A = det BA Siis ominaisuuden D9 avulla saamme det A 1 = 1 det A 22 Binet-Cauchy -kaava Olkoon k 1 < k 2 < < k n kokonaislukuja Sekoittamalla ne eri järjestykseen saadaan n! kappaletta eri permutaatioita (j 1, j 2,, j n ) Permutaatiossa (j 1, j 2,, j n ) lukupari (j r, j s ) muodosta inversion jos r < s ja j r > j s Merkintä Jos p on permutaatio, niin τ(p) on permutaatiossa p esiintyvien inversioiden lukumäärä Huomautus Jokainen lukujen k 1 < k 2 < < k n permutaatio p = (j 1, j 2,, j n ) voidaan muuttaa peruspermutaatioksi (k 1, k 2,, k n ) suorittamalla peräkkäin τ(p) kappaletta vierekkäisten alkioiden paikanvaihtoja Ominaisuuksien D1 D10 lisäksi matriisin A K n n determinantilla det A on seuraava tärkeä ominaisuus liittyen permutaatioihin: Lause 21 Jos A K n n, niin det A = p=(j 1,j 2,,j n) ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn, missä summa otetaan lukujen 1, 2,, n kaikkien permutaatioiden yli Todistus Osoitetaan väite induktiolla matriisin koon suhteen Jos n = 1, niin det A = det[a 11 ] = a 11 Lauseen summassa on vain yksi termi ( 1) 0 a 11 = a 11, joten väite on oikea kun n = 1 Induktio-oletus: Väite on tosi (n 1) (n 1)-matriiseille Olkoon A K n n ja merkitään S(A) = ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn p=(j 1,j 2,,j n)

18 22 BINET-CAUCHY -KAAVA 17 Olkoon 1 i n mielivaltaisesti valittu ja merkitään c 1i :llä alkion a 1i kerrointa summassa S(A) Siis summassa S(A) poimitaan ne termit, jossa j i = 1 ja poistetaan kerroin a ij Tällöin saadaan c 1i = p=(j 1,j 2,,jn) j i =1 ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i Huomaa, että nyt summissa, joissa ei ole kerrointa a 1i on n 1 kpl termejä Tarkastellaan kerrointa c 1i ja merkitään q = (j 1,, j i 1, j i+1,, j n ) Permutaatio q siis on permutaatio p, josta on poistettu luku 1 Nyt q on lukujen 2, 3,, n permutaatio ja τ(q) = τ(p) (i 1) koska p:n inversiot (j 1, 1),, (j i 1, 1) (i 1 kappaletta) jäävät pois Täten c 1i = q ( 1) τ(q)+(i 1) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i 2 ( 1) Koska A(1 i) = niin saamme kertoimen c 1i muotoon a 21 a 2,i 1 a 2,i+1 a 2n, a n1 a n,i 1 a n,i+1 a nn c 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j11a j22 a jnn = S(A(1 i)) }{{} ei tekijää a 1i Induktio-oletuksen nojalla yo summasta saadaan S(A(1 i)) = det A(1 i), joten S(A) = = n a 1i c 1i i=1 n ( 1) 1+i a 1i det A(1 i) i=1 D10 = det A [ a11 a Esimerkki 22 Olkoon A = 12 a 21 a 22 ] Tällöin lukujen 1 ja 2 permutaatioita p = (j 1, j 2 ) ovat täsmälleen p 1 = (1, 2) ja p 2 = (2, 1) Nyt τ(p 1 ) = 0 ja τ(p 2 ) = 1, joten lauseen 21 mukainen summa on joka on det A a 11 a 22 a 21 a 12,

19 22 BINET-CAUCHY -KAAVA 18 Määritelmä 23 Olkoon A = [ ] a ij Km n Matriisin A kokoa p p oleva minori on a i1j ( ) 1 a i1j 2 a i1j p i1 i A 2 i p a i2j 1 a i2j 2 a i2j p = det j 1 j 2 j p, a ipj 1 a ipj 2 a ipj p missä p = 1, 2,, min{m, n} Matriisista A siis poistetaan ensin kaikki muut vaakarivit paitsi i 1, i 2,, i p (i 1 < i 2 < < i p ) Sen jälkeen poistetaan saadusta p n-matriisista kaikki muut pystyrivit paitsi rivit j 1, j 2,, j p (j 1 < j 2 < < j p ) Kokoa p p-minori on tämän saadun p p-matriisin determinantti ( ) i1 i A 2 i p j 1 j 2 j p Neliömatriisin A K n n kokoa p oleviksi pääminoreiksi (principal minors) kutsutaan minoreita ( ) i1 i A 2 i p i 1 i 2 i p Neliömatriisin A K n n kokoa 1 olevat pääminorit ovat siis diagonaalialkiot a 11, a 22,, a nn ja kokoa n oleva pääminori on det A Lause 24 (Binet-Cauchy -kaava) Jos A K m n ja B K n m, missä m n, niin ( ) ( ) 1 2 m k1 k det AB = A B 2 k m k 1 k 2 k m 1 2 m 1 k 1<k 2< <k m n Summa otetaan kaikkien niiden permutaatioiden (k 1, k 2,, k n ) (ts k ν -yhdelmien) yli, jotka toteuttavat annetun ehdon 1 k 1 < k 2 < < k m n Todistus Kirjoitetaan matriisitulo AB seuraavasti: [ ] n AB = i b n 1=1 i 11A i1 i b n 2=1 i 22A i2 i b n=1 i mma im m m missä A ik on matriisin A k:s pystyrivi kun k = 1, 2,, m (huomaa summausindeksin valinta) Jokainen pystyrivi on siis n:n matriisin A pystyrivivektorin summa, joten soveltamalla determinantin ominaisuutta D4 toistuvasti saadaan det AB = = n n i 1=1 i 2=1 n n i 1=1 i 2=1 n b i11b i22 b imm det [ ] A i1 A i2 A im i m=1 n i m=1 ( ) 1 2 m b i11b i22 b imm A i 1 i 2 i m,

20 22 BINET-CAUCHY -KAAVA 19 Nyt yo summan ne termit, joissa sama i ν esiintyy ainakin kahdesti ovat nollia ominaisuuden D3 nojalla Täten ne voidaan jättää pois, jolloin saadaan det AB = ( ) 1 2 m b i11b i22 b imm A, (21) i 1 i 2 i m 1 k 1< <k m n p missä jälkimmäinen summa otetaan lukujen k 1 < k 2 < < k m kaikkien permutaatioiden p = (i 1, i 2,, i m ) yli Jokainen permutaatio p = (i 1, i 2,, i m ) voidaan muuttaa takaisin peruspermutaatioksi suorittamalla τ(p) kappaletta vierekkäisten alkioiden paikanvaihtoja Jokaista paikanvaihtoa vastaa kahden pystyrivin vaihto determinantissa ( ) 1 2 m A, i 1 i 2 i m joten determinantin merkki vaihtuu τ(p) kertaa Täten ( ) ( ) 1 2 m A = ( 1) τ(p) 1 2 m A i 1 i 2 i m k 1 k 2 k m Siis kertoimen c 1i alkuperäisestä lausekkeesta (21) saadaan ( ) 1 2 m det AB = A ( 1) τ(p) b k 1 k 2 k i11b i22 b imm m = 1 k 1< <k m n 1 k 1< <k m n ( ) 1 2 m A B k 1 k 2 k m lauseen 21 nojalla Tämä oli haluttu muoto p=(i 1,i 2,,i m) ( k1 k 2 k m 1 2 m Seuraus 25 Jos A K n n ja B K n n, niin ainoa k ν -yhdelmä, joka toteuttaa annetun ehdon on yhdelmä 1, 2,, n Tällöin siis det AB = det A det B Esimerkki 26 Tarkastellaan matriiseja (vrt harjoitus 2 tehtävä 6) [ ] c a1 a A = 2 a 1 d 1 3 K b 1 b 2 b 2 3 ja B = c 2 d 2 K c 3 d 3 Tällöin tulon AB determinantti saadaan Binet-Cauchy -kaava käyttämällä muotoon ( ) ( ) 1 2 k1 k det AB = A B 2 k 1 k k 1<k 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = A B + A B + A B = a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 d 1 c 2 d 2 + a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 d 1 c 3 d 3 + a 2 a 3 b 2 b 3 c 2 d 2 c 3 d 3 )

21 23 MATRIISIN ASTE Matriisin aste Tarkastellaan ensin lineaarista kuvasta A: V W Tällöin lineaarisen kuvauksen A aste r(a) määritellään kuva-avaruuden R(A) dimensiona, ts r(a) = dim R(A) Jos A K m n, niin käytetään matriisin ytimelle ja kuva-avaruudelle samoja merkintöjä kuin lineaarisille kuvauksille Siis N(A) = {x K n : Ax = 0} ja R(A) = {y K m : Ax = y jollakin x K n } Myös merkinnät Ker (A) ja Im (A) ovat yleisesti käytettyjä Matriisin A K m n aste voidaan määritellä usealla (yhtäpitävällä) tavalla Määritelmä 27 Olkoon A K m n (i) Matriisin A vaakariviaste on A:n lineaarisesti riippumattomien vaakarivien maksimimäärä Siis A:n vaakariviaste on dim Row (A) = dim L{A (1), A (2),, A (m) }, missä A (i) on matriisin i:s vaakarivi (ii) Matriisin A pystyriviaste on A:n lineaarisesti riippumattomien pystyrivien maksimimäärä Siis A:n pystyriviaste on dim Col (A) = dim L{A 1, A 2,, A n }, missä A j on matriisin j:s pystyrivi (iii) Matriisin A determinanttiaste on suurin sellainen k, että matriisin A k k-minori on eri kuin nolla, ts jokin minori ( ) i1 i A 2 i k 0 j 1 j 2 j k Esimerkki 28 Tarkastellaan matriisia A = R Tällöin matriisi A on lineaarinen kuvaus A: R 4 R 3 Olkoon A (i) matriisin A i:s vaakarivi ja A j matriisin A j:s pystyrivi Nyt A (3) = 2A (2) 5A (1) ja vaakarivit A (1) ja A (2) ovat lineaarisesti riippumattomat Täten matriisin A vaakariviaste on 2

22 23 MATRIISIN ASTE 21 Vastaavasti A 2 = 2A 1 ja A 4 = A A 3, missä A 1 ja A 3 ovat lineaarisesti riippumattomia Siis matriisin A pystyriviaste on myös 2 Lisäksi ( ) [ ] A = det = 2 0, joten determinanttiaste on vähintään 2 Toisaalta kaikki 3 3 -minorit (4 kpl) ovat nollia, joten matriisin A determinanttiaste on 2 Edellisen esimerkissä vaakarivi-, pystyrivi ja determinanttiasteet ovat samoja Tämä ei ole sattumaa sillä lauseiden 29 ja 210 nojalla nämä asteet ovat aina samoja Lause 29 Jos A K m n, niin dim R(A) = dim Row (A) = dim Col (A), ts vaaka- ja pystyriviasteet ovat samat Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Osoitetaan vielä, että matriisin A K m n determinanttiaste on sama kuin matriisin A vaaka- ja pystyriviaste Lause 210 Jos matriisin A K m n determinanttiaste on k ja ( ) i1 i A 2 i k 0, j 1 j 2 j k niin matriisin A pystyrivit j 1, j 2,, j k ovat lineaarisesti riippumattomat ja jokainen pystyrivi on niiden lineaarinen yhdiste Täten matriisin A determinanttiaste on sama kuin matriisin A pystyriviaste Todistus Koska vaaka- ja pystyrivien järjestyksen vaihtaminen matriisissa A ei vaikuta determinanttiasteeseen eikä pystyriviasteeseen, riittää tarkastella minoria ( ) 1 2 k A k Nyt saadaan siis A a 11 a 1k a 1s ( ) 1 2 k t = det 1 2 k s a k1 a kk a ks } a t1 a tk {{ a ts } merk B aina kun t = 1, 2,, m ja s = 1, 2,, n Jos t k tai s k, niin yo det B = 0 sillä tällöin matriisissa B on kaksi samaa vaaka- tai pystyriviä Jos t > k ja s > k, niin determinanttiasteen määritelmän nojalla det B = 0 Olkoon c 1, c 2,, c k ja c s viimeisen vaakarivin alkioiden kotekijät, ts c j = ( 1) t+j det B(t j) Tällöin ( ) 1 2 k c s = A 0 (22) 1 2 k

23 23 MATRIISIN ASTE 22 ja det B = A kaikilla t = 1, 2,, m Täten ( ) 1 2 k t = a 1 2 k s t1 c a tk c k + a ts c s = 0 c 1 A 1 + c 2 A c + c k A k + c s A s = 0, missä A i on matriisin A i:s pystyrivi Koska (22) mukaan c s 0, niin saamme ( A s = c ) ( 1 A 1 + c ) ( 2 A c ) k A k c s c s c s aina kun s = 1, 2,, n Täten lauseen jälkimmäinen väite on todistettu Osoitetaan vielä pystyrivien A 1, A 2,, A k lineaarinen riippumattomuus Oletetaan, että α 1 A 1 + α 2 A α k A k = 0, missä α i K Tällöin eli α 1 a 11 a 12 a 21 + α a α a 2k k = 0, a k1 a k2 a kk a 1k a 11 a 12 a 1k α 1 a 21 a 22 a 2k α 2 = 0 a k1 a k2 a kk α k }{{}}{{} merk C merk x ( ) 1 2 k Koska det C = A 0, niin matriisi C on kääntyvä Siis on 1 2 k oltava x = 0, eli α 1 = α 0 = = α k = 0 Matriisin A K m n aste voidaan siis määritellä vaakarivi-, pystyrivi- tai determinanttiasteen avulla, merkitään r(a) Lisäksi saamme seuraavan tuloksen käyttämällä hyväksi lineaarialgebrasta tuttua tulosta: jos A: V W ( dim V < ) on lineaarinen kuvaus, niin dim V = dim R(A) + dim N(A) Lause 211 Jos A K m n, niin r(a) = dim R(A) = n dim N(A) Seuraus 212 Olkoon A K n n Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on säännöllinen; (b) Käänteismatriisi A 1 on olemassa; (c) det A 0;

24 23 MATRIISIN ASTE 23 (d) r(a) = n; (e) Matriisin A vaakarivit ovat lineaarisesti riippumattomat; (f) Matriisin A pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomat; (g) dim R(A) = n; (h) dim N(A) = 0; (i) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu aina kun b K n ; (j) Yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 Lause 213 (i) r(a + B) r(a) + r(b) aina kun A + B on määritelty; (ii) r(ab) min{r(a), r(b)} aina kun AB on määritelty; (iii) r(ab) = r(a) ja r(ba) = r(a) aina kun B on säännöllinen ja matriisien tulo on määritelty, ts säännöllisellä matriisilla kertominen ei vaikuta matriisin asteeseen; (iv) N(A) = N(A A) ja r(a) = r(a A) Todistus (i) Olkoon A = [ A 1 A 2 A n ] Km n ja B = [ B 1 B 2 B n ] K m n pystyriviosituksia Tällöin joten A + B = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A k + B k ], r(a + B) = dim R(A + B) = dim L{A 1 + B 1, A 2 + B 2,, A k + B k } dim L{A 1, A 2,, A k, B 1, B 2,, B k } dim L{A 1, A 2,, A k } + dim L{B 1, B 2,, B k } = dim R(A) + dim R(B) = r(a) + r(b) (ii) Tarkastellaan matriiseja A K m p ja B K p n ja merkitään matriisien A ja B vaaka- ja pystyriviositukset seuraavasti: A 1 A 2 A = [ ] A 1 A 2 A p = A m B 1 B 2 B = [ ] B 1 B 2 B n = B p

25 24 MATRIISIN ASTEHAJOTELMA 24 Nyt matriisin AB i:s pystyrivi on b 1i AB i = [ ] b 2i A 1 A 2 A p = b 1iA 1 + b 2i A b pi A p, b pi joten pystyrivit AB i L{A 1, A 2,, A p } (i = 1, 2,, n) Siis nähdään pystyriviasteen avulla, että r(ab) r(a) Toisaalta matriisin AB j:s vaakarivi on B 1 B 2 A jb = [ ] a j1 a j2 a jp = a j1b 1 + a j2 B a jp B p B p Siis matriisiin AB vaakarivit A j B L{B 1, B 2,, B p} (j = 1, 2,, m), joten r(ab) r(b) vaakariviasteena Täten saadaan (iii) Edellisen kohdan nojalla r(ab) min{r(a), r(b)} r(a) = r(abb 1 ) r(ab) r(a), joten r(a) = r(ab) aina kun B on säännöllinen ja tulo AB on määritelty Vastaava päättely osoittaa, että r(a) = r(ba) kun tulo on määritelty ja B on säännöllinen (iv) Olkoon x K n ja A K m n Jos x N(A), niin Ax = 0, joten A Ax = 0 Täten x N(A A) Toisaalta jos x N(A A), niin A Ax = 0 Siis x A Ax = 0, joten (Ax) Ax = (Ax Ax) = 0 Täten Ax = 0, joten x N(A) ja N(A) = N(A A) Osoitetaan vielä, että r(a) = r(a A) Nyt A A K n n ja A K m n, joten r(a) = dim R(A) = n dim N(A) = n dim N(A A) = dim R(A A) = r(a A) 24 Matriisin astehajotelma Seuraava lause osoittaa, että jokainen matriisi A K m n voidaan esittää täyttä astetta olevien matriisien tulona

26 25 LU-HAJOTELMA 25 Lause 214 (Astehajotelma) Olkoon matriisin A K m n aste r(a) = r Tällöin matriisi A voidaan esittää muodossa A = P Q, missä P K m r, Q K r n ja r(p ) = r(q) = r Lisäksi on olemassa sellaiset säännölliset matriisit B K m m ja C K n n, että [ ] Ir 0 A = B C 0 0 Todistus Olkoon A K m n ja r(a) = r Tällöin r n ja r m Tehdään matriisille A pystyriviositus A = [ ] A 1 A 2 A n Koska r = r(a), niin pystyriviasteen määritelmän mukaan on olemassa sellaiset lineaarisesti riippumattomat pystyrivit A k1, A k2,, A kr, että A i = α 1i A k1 + α 2i A k2 + + α ri A kr = [ ] α 2i A k1 A k2 A kr α ri α 1i aina kun i = 1, 2,, n Täten A = [ ] A 1 A 2 A n α 11 α 12 α 1n = [ ] α 21 α 22 α 2n A k1 A k2 A kr }{{} merk P α r1 } α r2 {{ α rn } merk Q (A) Nyt siis P K m r ja Q K r n Jos r(q) < r, niin r = r(a) = r(p Q) min{r(p ), r(q)} < r, mikä on ristiriita Siis pystyriviasteen mukaan r(p ) = r ja r(q) = r Täydennetään matriisi P m m-matriisiksi B lisäämällä lineaarisesti riippumattomia pystyrivejä m p kappaletta Tällöin r(b) = m pystyriviasteen määritelmän nojalla Samoin voidaan täydentää matriisi Q sellaiseksi n n-matriisiksi C, että r(c) = n vaakariviasteen määritelmän nojalla Täten B ja C ovat säännöllisiä, missä B = [ P R ] [ ] Q ja C = S Lisäksi B [ ] Ir 0 C = [ P R ] [ [ ] I r 0 Q = P Q = A ] S 25 LU-hajotelma Jos matriisi A K n n voidaan hajottaa ala- ja yläkolmiomatriisin tuloksi A = LU, niin esimerkiksi determinantin ja yhtälöryhmän Ax = b ratkaiseminen

27 25 LU-HAJOTELMA 26 helpottuu huomattavasti Yhtälöryhmä Ax = b voidaan ratkaista ratkaisemalla ensin yhtälö Ly = b, jonka jälkeen yhtälö Ux = y Määritelmä 215 Matriisin A K n n johtavat pääminorit ovat ( ) ( ) ( ) n A, A,, A n Lause 216 (LU-hajotelma) Olkoon A K n n ja ( ) 1 2 k A 0 (k = 1, 2,, n 1) 1 2 k Tällöin matriisilla A on tulohajotelma A = LU, missä U on yläkolmiomatriisi ja L on sellainen alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä Lisäksi matriisit L ja U ovat yksikäsitteisiä Todistus Olkoon A i matriisin A vasen i i-yläkulma, ts a 11 a 1i A i = a i1 a ii Tällöin A = A n ja kunkin yläkulman A i johtavat pääminorit ovat myös matriisin A johtavia pääminoreja Lisäksi oletuksen mukaan ne ovat nollasta eroavia kokoon n 1 saakka Osoitetaan induktiolla, että lauseen väite pitää paikkansa jokaiselle A i, jolloin väite saadaan kun i = n Jos i = 1, niin väite on selvä sillä A 1 = [a 11 ] = [1][a ii ] on vaadittua muotoa oleva esitys Oletetaan, että lause on tosi matriisille A k 1 (k 1 < n), ts A k 1 = L k 1 U k 1, missä matriisit L k 1 U k 1 ovat yksikäsitteiset vaadittua muotoa olevat matriisit Koska lauseen oletusten mukaan 0 det A k 1 = det L k 1 det U k 1 = 1 k 1 det U k 1, niin myös det U k 1 0, ts matriisit U k 1 ja L k 1 ovat säännöllisiä Tarkastellaan lauseen väitettä yläkulmalle A k Lohkotaan matriisit A k, L k ja U k seuraavasti: A k = A k 1 v u a kk k k L k = L k 1 0 x 1 k k U k = U k 1 0 α Osoitetaan, että yhtäsuuruus A k = L k U k pätee sopivilla vektoreiden x K 1 (k 1) ja y K (k 1) 1 sekä vakio α K valinnoilla Nyt A k = L k U k jos ja vain jos A k 1 = L k 1 U k 1, xu k 1 = v, L k 1 y = u ja xy + α = a kk Siis A k 1 = L k 1 U k 1 (tosi induktio-oletuksen nojalla) x = vu 1 k 1 (tosi koska U k 1 on säännöllinen) y = L 1 k 1 u (tosi koska L k 1 on säännöllinen) α = a kk xy (tosi koska tulo xy on määritelty) y k k

28 25 LU-HAJOTELMA 27 Lisäksi yo ehdot toteutuvat yksikäsitteisesti, joten matriisi A k on yksikäsitteisesti haluttua muotoa A k = L k U k aina kun k n Siis väite on tosi myös matriisille A = A n Huomautus Lauseen 216 avulla voidaan osoittaa, että jos ( ) 1 2 k A 0 aina kun k = 1, 2,, r(a), 1 2 k niin A = LU, missä L on ala- ja U yläkolmiomatriisi Lisäksi toinen niistä voidaan valita säännölliseksi, jolloin tämän aste on sama kuin r(a) Matriisin LU-hajotelmalle on olemassa myös toisenlainen versio kun matriisi A K n n on hermiittinen (ts A = A) ja positiivisesti definiitti (ts x Ax > 0 aina kun x K n \ {0}) Tällöin matriisille A saadaan ns Choleskyn hajotelma A = LL, missä L on alakolmiomatriisi Todistus on vastaava kuin lauseen 216 todistus Huomautus Jos A = [ a ij ] Kn n on positiivisesti definiitti, niin a ii > 0 kaikilla i = 1, 2,, n koska a ii = e i Ae i > 0 missä e i K n on luonnollisen kannan vektori Lemma 217 Jos A K n n on hermiittinen ja positiivisesti definiitti, niin jokainen lohkomatriisi a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A p = (p n) a p1 a p2 a pp on myös hermiittinen ja positiivisesti definiitti p p Todistus Hermiittisyys on selvä Olkoon x p K p ja täydennetään vektori x p avaruuden K n vektoriksi x lisäämällä koordinaatteihin p + 1, p + 2,, n nollia Tällöin x pa p x p = x Ax > 0 oletuksen nojalla Lemma 218 Jos A K n n on hermiittinen ja positiivisesti definiitti, niin det A > 0 Todistus (Katso kappale 35 matriisin ominaisarvoista ja ominaisvektoreista) Hermiittisen matriisin A K n n ominaisarvot ovat reaaliset (harjoitustehtävä) Koska A on positiivisesti definiitti, niin 0 < x Ax = x (λx) = λ x x = λ(x x) aina kun λ on matriisin A ominaisarvo ja x on sitä vastaava ominaisvektori Täten positiivisesti definiitin matriisin ominaisarvot λ ovat myös aidosti positiivisia Koska det A on ominaisarvojen tulo (katso huomautus sivulla 39), niin det A > 0

29 25 LU-HAJOTELMA 28 Seuraus 219 (Choleskyn hajotelma) Olkoon A K n n hermiittinen sekä positiivisesti definiitti Tällöin A = LL, missä L on alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat aidosti positiivisia Lisäksi hajotelma on yksikäsitteinen Todistus Osoitetaan lause induktiolla matriisin A K n n koon suhteen Jos A on 1 1-matriisi (A = [ a 11 ] R1 1 ), niin väite on selvä Merkitään matriisin A K n n i i-yläkulmaa a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii Oletetaan, että väite on tosi matriisille A k 1 (k 1 < n), joka on hermiittinen ja positiivisesti definiitti Siis A k 1 = L k 1 L k 1 Tarkastellaan matriisia A k ja esitetään se lohkomuodossa A k = A k 1 b b a kk k k = L k 1 0 c α L = k 1 L k 1 c L k 1 L k 1 c 0 α L k 1 c c c + α α Nyt yo lohkomuotoinen tulo on voimassa jos voimme valita vektorin c K k 1 ja vakion α K siten, että L k 1 c = b ja a kk = c c + α 2 Koska det L k 1 > 0, niin L k 1 on kääntyvä Täten voimme valita vektorin c = L 1 k 1 b yksikäsitteisesti Osoitetaan vielä, että vakio α K voidaan valita siten, että α 2 = a kk c c Riittää osoittaa, että a kk c c > 0, jolloin voimme valita α = a kk c c Nyt

30 25 LU-HAJOTELMA 29 lemman 218 nojalla 0 < det A k = det = det = det = det = det A k 1 b A k 1 a kk b = det A k 1 b b A 1 b 0 a kk b (L k 1 L k 1 ) 1 b A k 1 0 a kk b (L 1 k 1 ) L 1 A k 1 b k 1 b k 1 A k 1 b 0 a kk (L 1 k 1 }{{} b ) L 1 k 1 }{{} b =c =c A k 1 b 0 a kk c c = det A k 1 (a kk c c) b a kk b A 1 k 1 b Lemman 218 nojalla myös det A k 1 > 0, joten a kk c c = det A k det A k 1 > 0 Täten myös α K (itseasiassa α R) voidaan valita siten, että A k = L k L k on haluttua muotoa Väite seuraa induktioperiaatteen nojalla koska A n = A

31 3 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 31 Invariantit aliavaruudet Oletetaan, että V on äärellisulotteinen K-kertoiminen vektoriavaruus kuten aikaisemminkin Määritelmä 31 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja S V sen aliavaruus Aliavaruus S on invariantti kuvauksen A suhteen (A-invariantti) jos Ax S kaikilla vektoreilla x S Esimerkki 32 Triviaalit tapaukset {0} ja V ovat avaruuden V invariantteja aliavaruuksia minkä tahansa lineaarisen kuvauksen suhteen Lause 33 Jos A: V V on lineaarinen kuvaus, niin aliavaruudet N(A) ja R(A) ovat A-invariantteja Lisäksi jokainen avaruuden R(A) aliavaruus on A-invariantti Todistus Olkoon x N(A), jolloin Ax = 0 Koska myös 0 N(A), niin N(A) on A-invariantti Olkoon y R(A), jolloin on olemassa x V siten, että Ax = y Koska Ay = A(Ax) R(A), niin Ay R(A) Siis R(A) on A-invariantti Tehtävä 2 Olkoon A, B : V V lineaarisia kuvauksia Osoita, että jos AB = BA (kuvausten yhdistäminen), niin N(B) ja R(B) ovat A-invariantteja Tehtävä 3 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Osoita, että A-invarianttien aliavaruuksien summat ja leikkaukset pysyvät A-invariantteina Lause 34 Olkoon {x 1, x 2,, x k } avaruuden V aliavaruuden S kanta ja olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Tällöin aliavaruus S on A-invariantti jos ja vain jos Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k Todistus Jos S on A-invariantti aliavaruus, niin Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k Oletetaan siis, että Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k, missä {x 1, x 2,, x k } on aliavaruuden S kanta Jos x S, niin x = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, missä α i K kaikilla i = 1, 2,, k Täten Ax = α 1 Ax 1 + α 2 Ax α k Ax k Koska Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k ja S on aliavaruus, niin myös niiden lineaariset yhdisteet kuuluvat avaruuteen S Siis Ax S, joten S on A-invariantti 30

32 32 LINEAARISTEN KUVAUKSIEN SUORA SUMMA 31 Huomautus Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja S V A-invariantti aliavaruus Tällöin lauseen 121 mukaan on olemassa aliavaruus S V siten, että V = S S Aliavaruus S ei kuitenkaan yleensä ole A-invariantti (ks seuraava esimerkki) Esimerkki 35 Olkoon lineaarinen kuvaus A: K 2 K 2 määritelty seuraavasti: [ ] [ ] x1 x1 + x A = 2 x 2 x 2 [ ] 1 1 Siis kuvauksen A matriisi luonnollisen kannan suhteen on  = Selvästi 0 1 aliavaruus S = L{(1, 0) t } on A-invariantti aliavaruus sillä A(α, 0) t = (α, 0) t kaikilla α K Nyt S = L{(0, 1) t } on sellainen aliavaruus, että S S = K 2 Kuitenkin A(0, α) t = (α, α) t S kun α 0 Siis S ei ole A-invariantti aliavaruus Huomautus Vastaavat määritelmät ja tulokset ovat voimassa matriiseille A K n n kunhan kannat, joiden suhteen tarkastelu tehdään, on valittu 32 Lineaaristen kuvauksien suora summa Oletetaan, että avaruus V voidaan esittää suorana summana V = S 1 S 2 S k k = S i i=1 Oletetaan lisäksi, että A: V V on lineaarinen kuvaus ja että aliavaruudet S 1, S 2,, S k ovat A-invariantteja Koska nyt jokainen x V on yksikäsitteisesti muotoa x = x 1 + x x k, missä x i S i (i=1,2,, k), niin saamme Ax = Ax 1 + Ax 2 + Ax k = A S1 x 1 + A S2 x A Sk x k k = A i x i, i=1 missä A i on kuvauksen A rajoittuma aliavaruuteen S i, ts A i = A Si Nyt jokainen A i on myös lineaarinen kuvaus, joten voimme määritellä seuraavasti:

33 33 LINEAARISEN KUVAUKSEN OMINAISARVOT 32 Määritelmä 36 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja V = k i=1 S i Merkitään lisäksi A Si = A i Tällöin lineaarinen kuvaus A: V V on lineaaristen kuvausten A i suora summa Merkitään A = k A i = A 1 A 2 A k i=1 Huomautus Suoran summan määrittelyn ajatuksena on hajottaa lineaarisen kuvauksen A tarkastelu osiin A i, eli rajoittaa tarkastelu sen invariantteihin aliavaruuksiin Huomautus Vastaavat määritelmät ja tulokset ovat voimassa matriiseille A K n n kunhan kannat, joiden suhteen tarkastelu tehdään, on valittu 33 Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja tarkastellaan avaruuden V 1-ulotteisia A-invariantteja aliavaruuksia Lause 37 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja olkoon {0} S V A-invariantti aliavaruus, jolle dim S = 1 Tällöin on olemassa yksikäsitteinen λ K siten, että Ax = λx kaikilla x S \ {0} Todistus Koska dim S = 1, niin S = {αx 0 : x 0 S \ {0} ja α K} Nyt Ax S kaikilla x S koska S on A-invariantti Jos x S, niin x = α 0 x 0 (α 0 K) Tällöin Ax = A(α 0 x 0 ) = βx 0 S Jos valitaan λ = β/α 0, niin Ax = λx kuten haluttiin Osoitetaan yksikäsitteisyys: Olkoon x, y S \ {0} sellaisia vektoreita, että x = α 0 x 0, y = β 0 x 0 = β 1 x ja Ax = λx Tällöin Ay = A(β 1 x) = β 1 Ax = β 1 λx = λy Tehtävä 4 Osoita, että jos jollakin nollavektorista eroavalla vektorilla x 0 V pätee Ax 0 = λx 0, (1) jollakin λ K, niin aliavaruus S = L{x 0 } on A-invariantti Nollavektorista eroavien vektoreiden, jotka toteuttavat ehdon (1), löytäminen on siis olennaista mikäli halutaan löytää yksiulotteisia invariantteja aliavaruuksia Määritelmä 38 (a) Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Jos x V \{0} toteuttaa yhtälön Ax = λx, jollakin λ K, niin λ K on kuvauksen A ominaisarvo ja vektori x ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori

34 34 INVARIANTIT ALIAVARUUDET JA MATRIISIT 33 (b) Lineaarisen kuvauksen spektri σ(a) on kaikkien kuvauksen A ominaisarvojen muodostama joukko Yhtälö (1) voidaan esittää myös ekvivalentissa muodossa (λi A)x 0 = 0, (x 0 0) (2) missä I on identiteetti kuvaus Lineaariselle kuvakselle A: V V voidaan siis määritellä ns ominaisavaruus N(λI A), jonka nollavektorista eroavat alkiot ovat ominaisarvoa λ vastaavia ominaisvektoreita 34 Invariantit aliavaruudet ja matriisit Tarkastellaan lineaarista kuvausta T : K n K n Mitä lineaaristen kuvausten suorat summat tarkoittavat matriiseita tarkasteltaessa? Oletetaan, että S 1 ja S 2 ovat avaruuden K n T -invariantteja aliavaruuksia, joille K n = S 1 S 2 Tarkastellaan avaruutta K n luonnollisen kannan suhteen Olkoon avaruuden S 1 kantavektorit {z 1, z 2,, z k } ja avaruuden S 2 kantavektorit {z k+1, z k+2,, z n }, jolloin vektorit {z 1, z 2,, z n } muodostavat siis avaruuden K n jonkin kannan Koska oletuksen mukaan S 1 ja S 2 ovat T -invariantteja, niin T z j S 1 aina kun j = 1, 2,, k ja T z j S 2 aina kun j = k + 1, k + 2,, n Täten saamme seuraavat yhtälöt: T z j = T z j = k a ij z i (j = 1, 2,, k) i=1 n i=k+1 a ij z i (j = k + 1, k + 2,, n) Lineaarisen kuvauksen T matriisiksi saadaan siis matriisi A = [a ij ] n n, missä alkiot a ij määräytyvät yhtälöstä T z j = n i=1 a ijz i (j = 1, 2,, n) Täten matriisi A on muotoa [ ] A1 0, 0 A 2 missä A 1 K k k ja A 2 K (n k) (n k) Huomautus Tarkastelu toimii myös yleisemmässä muodossa, eli yleistä lineaarista kuvausta T : V V tarkasteltaessa Huomautus Jos lineaarinen kuvaus T : K n K n voidaan esittää suorana summana T = T 1 T 2, missä siis T 1 : S 1 S 1 ja T 2 : S 2 S 2, niin kuvausta T esittävä matriisin on kvasidiagonaalimatriisi A K n n Lisäksi matriisin A diagonaalilohkot ovat kuvausten T 1 ja T 2 matriisit

35 35 MATRIISIN OMINAISARVOT JA KARAKTERISTINEN POLYNOMI Matriisin ominaisarvot ja karakteristinen polynomi Olkoon K algebrallisesti suljettu kunta, ts jokainen K-kertoiminen polynomi p(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n voidaan esittää astetta 1 olevien tekijöiden tulona a 0 λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = a 0 (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ), missä a 0 0 ja λ 1, λ 2,, λ n K Tarkastellaan matriisia A K n n, eli lineaarista kuvausta A: K n K n Täten voimme määritellä ominasarvot ja ominaisvektori kuten yleisesti lineaarisille kuvauksille Määritelmä 39 (i) Olkoon A K n n Tällöin λ K on matriisin A ominaisarvo jos on olemassa x K n \ {0}, jolle Ax = λx Vektori x K n on puolestaan matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori (ii) Matriisin A spektri σ(a) on matriisin A kaikkien ominaisarvojen muodostama joukko Matriisin ominaisvektorit saadaan siis yhtälöstä Ax = λx, joka voidaan esittää muodossa (λi A)x = 0 Aikasemmasta tiedetään, että yhtälöllä on ei-triviaali (ts nollavektorista eroava ratkaisu) jos ja vain jos det(λi A) = 0 Saadaan siis seuraava tulos: Lause 310 Olkoon A K n n Tällöin λ K on matriisin A ominaisarvo jos ja vain jos det(λi A) = 0 Määritelmä 311 Matriisin A K n n karakteristinen polynomi on c A (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n Edellisen lauseen mukaan matriisin A K n n ominaisarvot ovat polynomin c A (λ) nollakohdat, ts yhtälön c A (λ) = 0 ratkaisut Koska K oletettiin algebrallisesti suljetuksi, niin { c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) ja λ 1, λ 2,, λ n ovat matriisin A ominaisarvot Suorittamalla kaavassa c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) kertominen saadaan seuraava tulos: Lause 312 Jos A K n n, niin c A (λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k q 1<q 2< <q k λ q1 λ q2 λ qk

36 35 MATRIISIN OMINAISARVOT JA KARAKTERISTINEN POLYNOMI 35 Edellisen lauseen nojalla saadaan { a 1 = (λ 1 + λ λ n ) ja a n = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n Lemma 313 Jos A K n n ja sen pystyrivit q 1, q 2,, q k (q 1 < q 2 < < q k ) ovat e q1, e q2,, e qk, niin det A = se A:n pääminori kun poistetaan vaaka- ja pystyrivit q 1, q 2,, q k Todistus Kehitetään determinantti det A pystyrivin q 1 suhteen, saatu determinantti riviä q 2 vastaavan pystyrivin suhteen ja niin edelleen Näin saadaan haluttu pääminori Lause 314 Jos A K n n, niin c A (λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k (A:n kaikkien k k-pääminoreiden summa) Todistus Olkoon A = [ A 1 A 2 A n ] matriisin A pystyriviositus Koska λi = [ λe 1 λe 2 λe n ], niin c A (λ) = det(λi A) = det [ λe 1 A λe 2 A λe n A ] = summa, jossa on 2 n kpl determinantteja, joissa i:s pystyrivi on λe i tai A i (i = 1, 2,, n) = λ n + muut 2 n 1 kpl termejä, missä λ n = det [ λe 1 λe 2 λe n ] Mitä ovat muut termit? Olkoon 1 k n kiinnitetty ja poimitaan yo summasta ne determinantit, joissa muotoa λe i olevia rivejä on tarkalleen n k kappaletta Näin saadaan tarkalleen ne determinantit, jotka syntyvät jos matriisissa A korvataan n k kappaletta pystyrivejä A j pystyriveillä λe j Lemman 313 mukaan näiden determinanttien summa on λ n k ( A:n k k-pääminoreiden summa) = ( 1) k c k λ n k missä c k on matriisin A k k-pääminoreiden summa Kun k = 1, 2,, n, niin saadaan c A (λ) = λ n c 1 λ n ( 1) n 1 c n 1 λ + ( 1) n c n = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k c k kun k = 1, 2,, n Huomautus Lauseiden 312 ja 314 nojalla { a 1 = (a 11 + a a nn ) = (λ 1 + λ λ n ) a n = ( 1) n det A = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n