Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. X f Y LM2, Kesä 2012 105/160
Isomorfismi Määritelmä Lineaarikuvausta, joka on bijektio, kutsutaan isomorfismiksi. Jos on olemassa isomorfismi L: V W, niin sanotaan, että vektoriavaruudet V ja W ovat isomorfiset. Tällöin merkitään V = W. LM2, Kesä 2012 106/160
Isomorfismi Esimerkki 40 Avaruudet R 2 ja P 1 ovat isomorfisia. Isomorfismiksi kelpaa esimerkiksi kuvaus L: R 2 P 1, L(a, b) = ax + b. Nimittäin: L on lineaarikuvaus (esimerkki 20); L on bijektio, sillä L on injektio, sillä sen ydin Ker L = { 0} (esimerkki 30); L on surjektio, sillä sen kuva Im L = P 1 (esimerkki 36). Huomataan, että avaruudet todellakin muistuttavat toisiaan. Sekä alkiossa (a, b) että alkiossa ax + b näkyvät reaaliluvut a ja b. Kaikki oleellinen tieto alkiosta sisältyy näihin reaalilukuihin. LM2, Kesä 2012 107/160
Lisäksi nämä reaaliluvut käyttäytyvät samalla tavoin yhteenlaskussa ja skalaarikertolaskussa: Vektoriavaruus summa R 2 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) P 1 (ax + b) + (cx + d) = (a + c)x + (b + d) Vektoriavaruus R 2 P 1 skalaarimonikerta r(a, b) = (ra, rb) r(ax + b) = rax + rb LM2, Kesä 2012 108/160
Isomorfisuus Lause 41 Oletetaan, että V, W ja U ovat vektoriavaruuksia. Tällöin (a) V = V (b) jos V = W, niin W = V (c) jos V = W ja W = U, niin V = U. LM2, Kesä 2012 109/160
Käänteiskuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Huom. Tässä id X tarkoittaa avaruuden X identtistä kuvausta: id X : X X, jolla id X (x) = x kaikilla x X. Vastaavasti id Y tarkoittaa avaruuden Y identtistä kuvausta, jolla y y kaikilla y Y. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. LM2, Kesä 2012 110/160
Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. LM2, Kesä 2012 111/160
Bijektiot ja käänteiskuvaukset Lause 42 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio. Todistus. : Oletetaan, että kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1 : Y X. Osoitetaan, että f on bijektio: Oletetaan, että a, b X ja f (a) = f (b). Tällöin a = id(a) = (f 1 f )(a) = f 1 (f (a)) = f 1 (f (b)) Siis f on injektio. = (f 1 f )(b) = id(b) = b. LM2, Kesä 2012 112/160
Oletetaan, että y Y. Tällöin f 1 (y) X ja Siis f on surjektio. f (f 1 (y)) = (f f 1 )(y) = id(y) = y. : Oletetaan, että f on bijektio. Määritellään kuvaus g : Y X seuraavasti: Jos y Y, niin kuvauksen f bijektiivisyyden nojalla on olemassa tasan yksi a X, jolla f (a) = y. Määritellään g(y) = a. Siis g(y) = a f (a) = y. LM2, Kesä 2012 113/160
Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus: Oletetaan, että x X. Merkitään f (x) = c. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(c) = x = id X (x). Oletetaan, että y Y. Merkitään g(y) = a. Tällöin (f g)(y) = f (g(y)) = f (a) = y = id Y (y). Siis g f = id X ja f g = id Y, joten kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. LM2, Kesä 2012 114/160
Isomorfisuus Lauseen 41 todistus. Käsitellään vain b-kohta tarkasti (esimerkin vuoksi). (a) V = V, sillä isomorfismiksi kelpaa ns. identtinen kuvaus id: V V, jolla id( v) = v kaikilla v V. (b) Oletetaan, että V = W. Tällöin on olemassa isomorfismi L: V W. Koska L on bijektio, on sillä olemassa käänteiskuvaus L 1 : W V, joka sekin on bijektio. Osoitetaan, että L 1 on lineaarinen: LM2, Kesä 2012 115/160
(b) jatkuu... Oletetaan, että w 1, w 2 W ja c R. Koska L on bijektio, niin on olemassa tasan yhdet sellaiset v 1, v 2 V, että L( v 1 ) = w 1 ja L( v 2 ) = w 2. Huomaa, että tällöin v 1 = L 1 ( w 1 ) ja v 2 = L 1 ( w 2 ). Siten ja L 1 ( w 1 + w 2 ) = L 1 (L( v 1 ) + L( v 2 )) = L 1 (L( v 1 + v 2 )) = id( v 1 + v 2 ) = v 1 + v 2 = L 1 ( w 1 ) + L 1 ( w 2 ) L 1 (c w 1 ) = L 1 (cl( v 1 )) = L 1 (L(c v 1 )) = id(c v 1 ) = c v 1 = cl 1 ( w 1 ). LM2, Kesä 2012 116/160
(c) Oletetaan, että V = W ja W = U. Tällöin on olemassa isomorfismit L: V W ja T : W U. Lineaarikuvauksista yhdistetty kuvaus on lineaarinen (lause 25), joten kuvaus T L: V U on lineaarinen. Lisäksi T L on bijektio. Se voidaan osoittaa esimerkiksi näyttämällä, että yhdistetyn kuvauksen T L käänteiskuvaukseksi kelpaa L 1 T 1 : U V. LM2, Kesä 2012 117/160
Kertausta: vapaus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM2, Kesä 2012 118/160
Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 43 Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1,..., v k V. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM2, Kesä 2012 119/160
Kertausta: kanta Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta, jos (a) V = span( v 1, v 2,..., v k ) (b) ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä 2012 120/160
Lause 44 Kertausta: kanta ja koordinaatit Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta, jos ja vain jos jokainen avaruuden V vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Lause 44 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta. Oletetaan, että w V. Vektorin w koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla w = a 1 v 1 + + a k v k. LM2, Kesä 2012 121/160
Kertausta: kanta ja dimensio Lause 45 Vektoriavaruuden V jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. LM2, Kesä 2012 122/160
Kertausta: kanta ja dimensio Lause 45 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on äärellisen monesta vektorista koostuva kanta tai jos V = { 0}. Vektoriavaruuden V { 0} dimensio dim(v ) on kannan vektoreiden lukumäärä. Vektoriavaruuden { 0} dimensio on nolla eli dim({ 0}) = 0. Jos vektoriavaruuden dimensio on n, sanotaan, että vektoriavaruus on n-ulotteinen. Jos vektoriavaruus V ei ole äärellisulotteinen, sanotaan, että V on ääretönulotteinen ja sen dimensio on ääretön. LM2, Kesä 2012 123/160
Ytimen ja kuvan dimensiot Lause 46 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia ja L: V W on lineaarikuvaus. Oletetaan lisäksi, että lähtö V on äärellisulotteinen. Tällöin dim(v ) = dim(ker L) + dim(im L). LM2, Kesä 2012 124/160
Esimerkki 47 Ytimen ja kuvan dimensiot Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Siis dim(ker L) = 1. LM2, Kesä 2012 125/160
Lineaarikuvauksen L kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora (ks. esimerkki 35): L Im L Todellakin Siis dim(im L) = 1. dim(ker L) + dim(im L) = 1 + 1 = 2 = dim(r 2 ). LM2, Kesä 2012 126/160
Ytimen ja kuvan dimensiot Lauseen 46 todistus. Olkoon dim(v ) = n ja olkoon ( v 1,..., v k ) aliavaruuden Ker L kanta, jolloin dim(ker L) = k. Koska jono ( v 1,..., v k ) on vapaa, voidaan se täydentää vektoriavaruuden V kannaksi ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ). Osoitetaan, että (L( v k+1 ),..., L( v n )) on aliavaruuden Im L kanta, jolloin dim(im L) = n k. Tämä todistaa väitteen. LM2, Kesä 2012 127/160
Osoitetaan ensin, että span(l( v k+1 ),..., L( v n )) = Im L. Oletetaan, että w Im L. Tällöin on olemassa v V, jolla L( v) = w. Lisäksi ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ) on vektoriavaruuden V kanta, joten v = a 1 v 1 + + a k v k + a k+1 v k+1 + + a n v n joillakin a 1,..., a n R. Käyttämällä kuvauksen L lineaarisuutta sekä tietoa, että v 1,..., v k Ker L, saadaan w = L( v) = L(a 1 v 1 + + a k v k + a k+1 v k+1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a k L( v k ) + a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ) = 0 + + 0 + a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ) = a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ). LM2, Kesä 2012 128/160
Osoitetaan sitten, että jono (L( v k+1 ),..., L( v n )) on vapaa. Oletetaan, että c k+1 L( v k+1 ) + + c n L( v n ) = 0 joillakin c k+1,..., c n R. Kuvauksen L lineaarisuuden vuoksi L(c k+1 v k+1 + + c n v n ) = 0, joten c k+1 v k+1 + + c n v n Ker L. LM2, Kesä 2012 129/160
Koska c k+1 v k+1 + + c n v n Ker L, niin on olemassa luvut b 1,..., b k R, joille pätee Tästä saadaan yhtälö c k+1 v k+1 + + c n v n = b 1 v 1 + + b k v k. b 1 v 1 b k v k + c k+1 v k+1 + + c n v n = 0. Jono ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ) on vektoriavaruuden V kanta ja siten vapaa. Edellisestä yhtälöstä seuraa siis, että b 1 = 0,..., b k = 0, c k+1 = 0,..., c n = 0 ; erityisesti c k+1 = 0,..., c n = 0. LM2, Kesä 2012 130/160
Lineaarikuvauksen injektiivisyys ja surjektiivisuus Lause 48 Oletetaan, että V ja W ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, joilla dim(v ) = dim(w ). Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tälllöin L on injektio, jos ja vain jos L on surjektio. Huom. Lauseen oletuksissa vaaditaan, että lähdön ja maalin dimensio on sama! LM2, Kesä 2012 131/160
Lauseen 48 todistuksen idea. Todistuksen perustana on lauseen 46 tulos dim(v ) = dim(ker L) + dim(im L). : Oletetaan, että L on injektio. Tällöin Ker L = { 0}, joten dim(ker L) = 0. Siten dim(im L) = dim(v ) = dim(w ). Tiedetään lisäksi, että Im L on vektoriavaruuden W aliavaruus. Tästä seuraa, että Im L = W. Siis L on surjektio. : Oletetaan, että L on surjektio. Tällöin Im L = W, joten dim(im L) = dim(w ) = dim(v ). Tästä seuraa, että dim(ker L) = 0. Siten Ker L = { 0}. Siis L on injektio. LM2, Kesä 2012 132/160
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 49 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi sellainen lineaarikuvaus L: V W, että L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n. LM2, Kesä 2012 133/160
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lauseen 49 todistus. Jos v V, niin on olemassa yksikäsitteiset a 1,..., a n R, joilla v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n. Määritellään kuvaus L: V W asettamalla L( v) = a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a n w n. Osoitetaan, että L täyttää lauseessa asetetut vaatimukset. Esimerkiksi v 2 = 0 v 1 + 1 v 2 + 0 v 3 + + 0 v n, joten L( v 2 ) = 0 w 1 + 1 w 2 + 0 w 3 + 0 w n = w 2. Näin voidaan osoittaa, että L( v i ) = w i kaikilla i {1,..., n}. LM2, Kesä 2012 134/160
Osoitetaan, että L on lineaarikuvaus. Oletetaan, että x, ȳ V ja t R. Tällöin x = b 1 v 1 + + b n v n ja ȳ = c 1 v 1 + + c n v n joillakin b 1,..., b n, c 1,..., c n R. Tällöin L( x + ȳ) = L ( (b 1 v 1 + + b n v n ) + (c 1 v 1 + + c n v n ) ) = L ( (b 1 + c 1 ) v 1 + + (b n + c n ) v n ) = (b 1 + c 1 ) w 1 + + (b n + c n ) w n = (b 1 w 1 + + b n w n ) + (c 1 w 1 + + c n w n ) = L(b 1 v 1 + + b n v n ) + L(c 1 v 1 + + c n v n ) = L( x) + L(ȳ) LM2, Kesä 2012 135/160
ja L(t x) = L ( t(b 1 v 1 + + b n v n ) ) = L(tb 1 v 1 + + tb n v n ) = tb 1 w 1 + + tb n w n = t(b 1 w 1 + + b n w n ) = tl(b 1 v 1 + + b n v n ) = tl( x). Siis L on yksi lauseen vaatimukset täyttävä lineaarikuvaus. Onko olemassa muita lineaarikuvauksia, jotka myös täyttävät lauseen ehdot? LM2, Kesä 2012 136/160
Osoitetaan, että lauseen 49 vaatimukset täyttäviä lineaarikuvauksia on enintään yksi (edellä määritelty L). Oletetaan, että L, T : V W ovat lineaarikuvauksia, joilla L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n ja T ( v 1 ) = w 1, T ( v 2 ) = w 2,..., T ( v n ) = w n. Oletetaan, että v V. Tällöin v = a 1 v 1 + + a n v n joillakin a 1,..., a n R, sillä ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta. Kuvausten L ja T lineaarisuutta käyttäen saadaan L( v) = L(a 1 v 1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a n L( v n ) = a 1 w 1 + + a n w n = a 1 T ( v 1 ) + + a n T ( v n ) = T (a 1 v 1 + + a n v n ) = T ( v). Kuvauksilla L: V W ja T : V W on samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus. LM2, Kesä 2012 137/160
Isomorfisuus Lause 50 Oletetaan, että V ja W ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksia. Vektoriavaruudet V ja W ovat isomorfiset, jos ja vain jos dim(v ) = dim(w ). LM2, Kesä 2012 138/160
Isomorfisuus Lauseen 50 todistus. : Oletetaan, että V = W. Tällöin on olemassa isomorfismi L: V W. Koska L on injektio, niin Ker L = { 0} ja siten dim(im L) = dim(v ) dim(ker L) = dim(v ) 0 = dim(v ). Koska L on surjektio, niin Im L = W. Siten dim(v ) = dim(im L) = dim(w ). LM2, Kesä 2012 139/160
: Oletetaan, että dim(v ) = dim(w ) = n. Olkoon ( v 1,..., v n ) vektoriavaruuden V kanta ja olkoon ( w 1,..., w n ) vektoriavaruuden W kanta. Olkoon L: V W se lineaarikuvaus, jolla L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n. Lauseen 49 mukaan tällaisia lineaarikuvauksia on tasan yksi. Osoitetaan, että L on injektio. LM2, Kesä 2012 140/160
Oletetaan, että v Ker L. Tällöin L( v) = 0. Kirjoitetaan v kantavektorien lineaarikombinaationa v = a 1 v 1 + + a n v n, jolloin saadaan 0 = L( v) = L(a 1 v 1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a n L( v n ) = a 1 w 1 + + a n w n. Jono ( w 1,..., w n ) on kanta ja siten vapaa, joten tästä yhtälöstä seuraa, että a 1 = 0, a 2 = 0,..., a n = 0. Siis v = a 1 v 1 + + a n v n = 0 v 1 + + 0 v n = 0. Tämä osoittaa, että Ker L = { 0}. Siis L on injektio. LM2, Kesä 2012 141/160
Oletuksen mukaan dim(v ) = dim(w ). Lisäksi lineaarikuvaus L: V W on injektio, joten L on lauseen 48 mukaan surjektio. Siis L on lineaarikuvaus ja bijektio, eli isomorfismi. Näin ollen V = W. LM2, Kesä 2012 142/160