Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3 Jäykän kappaleen liike...................... 4 2.4 Hitaustensori........................... 5 2.5 Pääakselit............................. 6 2.6 Liike-energia ja liikemäärämomentti............... 7 2.7 Liikeyhtälöt............................ 8 2.8 Yhtälö L = 0........................... 8 2.9 Hyrräliike............................. 9 1 Johdanto Mekaniikka takastellee kappaleiden liikettä ja liikkeen syitä. Fysikaalinen maailma on kuitenkin yksityiskohtaisuudessaan valtavan haasteellinen struktuuri pukea matemaattisiksi malleiksi. Mekaniikkassakin on tyydyttävä fysikaalisen maailman tarkasteluun varsin yksinkertaistetussa muodossa. Tämä tarkoitaa, että todellisia tilenteita, joissa esiintyy liikettä mallinnetaan erilaisilla laskentamalleilla. Yksinkertaisin laskentamalli on partikkeli. Seuraavaksi haasteellisempi on partikkelisysteemi. Tästä seuraavaksi korvataan yksittäisten partikkelien systeemi jatkuvan aineen mallilla. Yksinkertaisetuin jatkuvan aineen malli on jäykkä kappale. Jos tästä vielä jatketaan päästään solideihin, milloin otetaan huomioon myös kappaleen deformoituminen liikkeen aikana. Solidin mekaniikkaa kutsutaan kontinuumimekaniikaksi. 1
2 Jäykän kappaleen mekaniikka Jäykkää kappaletta (lyhyesti kappale tästä eteenpäin) tarkastellessa keskeisenä ongelmana on sen massakeskiön liikkeen (rotaation ja translaation) määrittäminen. Olkoon massakeskiön asema vektori x(t). Luonnollisesti jäykkä kappale voi saada mielivaltaisia asentoja vektorin x(t) pysyessä vakiona. Ratkaistaan ongelma kiinnittämällä kappaleen massakeskiöön koordinaatisto {f k }, joka liikkuu kappaleen mukana. Olkoon lisäksi kiinteä ulkoinen tarkastelukoordinaatisto {e k }, mistä vektori x(t) ilmaisee kappaleen aseman. 2.1 Pyörivä koordinaatisto Oletataan, että koordinaatisto {f k } pyörii avaruudessa. Pyörivän koordinaatiston liike suhteessa kiinteään koordinaatistoon {e k } voidaan antaa roottorin R(t) avulla muodossa f k (t) = R(t)e k R (t). (1) appaleen koordinaateille voidaan johtaa Poinsotin yhtälöt 1 f k = ω f k, (2) missä ω on kappaleen kulmanopeus. un korvataan ristitulo vektorin ja bivektorin sisätulolla, saadaan Merkitään kulmanopeusbivektoria ω f k = ( Iω) f k = f k (Iω). (3) Ω = Iω. (4) un dervoidaan yhtälöä (1) ja sijoitetaan e k = R f k R, saadaan f k = Ṙe kr + Re k Ṙ = ṘR f k + f k RṘ. (5) Roottori on normeerattu, eli RR = 1. un derivoidaan tätä ajan suhteen, saadaan 0 = d dt (RR ) = ṘR + RṘ. (6) un sovelletaan tähän tulon reversiota, saadaan 1 Louis Poinsot (1777-1859) ṘR = RṘ = (ṘR ). (7) 2
un sijoitetaan tämä yhtälöön (5), saadaan f k = ṘR f k f k ṘR = (2ṘR ) f k. (8) un sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja sovelletaan kaavaa (4), saadaan un operoidaan roottorilla oikealta, saadaan 2ṘR = Ω. (9) Ṙ = 1 ΩR, (10) 2 jota kutsutaan roottoriyhtälöksi. Myös puolittain reversioitu roottoriyhtälö on joskus käytännöllinen. Ṙ = 1 2 R Ω (11) ja kulmano- Voidaan ajatella, että roottorit R muodostavat Lien ryhmän 2 peusbivektorit Ω niiden Lien algebran 3. 2.2 Vakio Ω Tutkitaan vakiokulmanopeudella Ω pyörivää koordinaatisto. un integroidaan roottoriyhtälöä, saadaan R = e Ωt/2 R 0, (12) missä R 0 on alkuasema. Pyörivän koordinaatiston vektorit ovat tällöin f k (t) = e Ωt/2 R 0 e k e Ωt/2 R 0. (13) Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, missä koordinaatiosto pyörii vakiokulmanopeudella koordinaattiakselin e 3 ympäri. Tällöin f 3 = e 3. Olkoon alkuasema R 0 = 1. Olkoon Ω = we 2 e 3, missä w on kulmanopeuden skalaariarvo. Tällöin pyörivän koordinaatiston vektorit ovat ( f k (t) = exp 1 ) ( 1 ) 2 e 1e 2 wt e k exp 2 e 1e 2 wt. (14) Esimerkiksi koordinaattiakseliksi f 1 saadaan f 1 = cos(wt)e 1 + sin(wt)e 2. (15) 2 Lien ryhmä on (reaalinen tai kompleksinen) monisto joka on myös ryhmä, jonka tulo ja käänteisalkio ovat analyyttisiä kuvauksia. 3 Jokaiseen Lien ryhmään voidaan liittää Lien algebra. Sophus Lie (1842-1899). 3
2.3 Jäykän kappaleen liike Tarkastellaan kappaletta, joka on liikkeessä avaruudessa. Jotta kappaleen jokaisen pisteen paikka voidaan määrätä jokaisena ajanhetkenä tarvitaan kappaleen massakeskiön asema x 0 (t) kiinnitettyyn koordinaatistoon nähden ja partikkelin asema x j kappaleen koordinaatistoon nähden. Tällöin pisteen P j paikka vektori voidaan antaa suhteellisena liikkeenä muodossa y i (t) = x 0 (t) + x j(t). (16) oska kappaleen alueella etäisyydet eivät muutu, koskee ainoa muutos asemaa. Olkoon pisteen P j asema alkuhetkellä x j, jolloin se on ajanhetkellä t muotoa x j(t) = R(t)x i R (t). (17) Parikkelin aseman yhtälöksi saadaan y i (t) = x 0 (t) + R(t)x i R (t). (18) Yhtälöstä näkyy selvästi yleisen liikkeen jako kahteen komponenttiin, translaatioon ja rotaatioon. Pisteen nopeus saadaan derivoimalla aseman yhtälöä, eli v = ẋ 0 + Ṙ(t)x ir (t) + R(t)x i Ṙ (t) = v 0 1 2 ΩRxR + 1 2 RxR Ω = (RxR ) Ω + v 0, (19) missä v 0 on massakeskiön nopeus. ulmanopeus Ω on lausuttu siis kulmanopeus kappaleen suhteen. ulmanopeus referenssikoordinaatiston suhteen on tällöin Ω B (t) = R(t)ΩR (t). (20) Roottoriyhtälöiksi tulee tällöin Ṙ = 1 2 ΩR = 1 2 RΩ B, ja Ṙ = 1 2 Ω BR. (21) Pisteen nopeus voidaan tällöin antaa muodossa v(t) = Rx Ω B R + v 0. (22) Jotta kappaleen liikemäärä voidaan laskea, tarvitaan kappaleen massa. Olkoon kappale. ontinuumin massa saadaan määrittelemällä kappaleelle tiheys ρ = ρ(x), kun x. Tällöin massa määritellään integraalina M = ρ(x) dx. (23) 4
appaleen liikemäärä on tällöin p = Mv 0. (24) 2.4 Hitaustensori Tarkastellaan kappaleen liikemäärämomenttia. Liikemäärämomentti (tarkastelemalla dierentiaalisen pientä elementtiä) on integraali L = ρ(x)(y 0 x) v dx = ρ(x)(rxr ) (Rx Ω B R + v 0 ) dx ( ) = R ρ(x)x (x Ω B ) dx R. (25) Määritellään hitaustensori integraalina I(B) = ρ(x)x (x B) dx. (26) Hitaustensori on lineaarinen funktio, joka kuvaa bivektoreja bivektoreiksi. Lineaarisuus seuraa suoraan integraalin ja sisä- sekä ulkotulon lineaarisuudesta, eli I(λA + µb) = ρ(x)x (x (λa + µb)) dx = ρ(x)(λx (x A) + µx (x B)) dx = λi(a) + µi(b). (27) Edellä hitaustensori on siis laskettu kappaleen massakeskiön suhteen. Hitaustensori pisteen a suhteen on I a (B) = ρ(x)(x a) (x a) B) dx. (28) Tällöin I a (B) = = ρ(x)(x a) (x a) B) dx ρ(x) ( x (x B) a (x B) + a (a B) ) dx = I(B) + Ma (a B). (29) Pisteen a suhteen hitaustensori on siis hitaustensori massakeskiön suhteen plus ns. Steinerin termi. 5
2.5 Pääakselit Tähän asti on tarkastelu ainoastaan hitaustensoria yleisesti. uitenkin käytännön laskuissa on usein tarpeen liittää kappaleeseen koordinaatisto, missä tarkastelu suoritetaan. iinnitetään kappaleeseen koordinaatisto {e k } ja määritellään koordinaatistoon liittyvä hitausmatriisi I ij asettamalla I ij = (Ie i ) I(Ie j ). (30) Matriisi I ij on symmetrinen. Tämän todistamiseen tarvitaan tulosta skalaari {}}{ A (x (x B) ) = A x (x B) }{{} 0 bivektori un sovelletaan tätä, saadaan = Ax(x B) 0 = (A x)xb 0 = B (x (x A)). (31) I ij = (Ie i ) I(Ie j ) = ρ(x) (Ie i ) (x (x (Ie j ))) dx }{{} (31) = ρ(x)(ie j ) (x (x (Ie i ))) dx = (Ie j ) I(Ie i ) = I ji, (32) eli matriisi I ij on symmetrinen. Tästä seuraa, että matriisi I ij on diagonaalinen, jos koordinaattivektorit {e k } ovat matriisin ominaisvektorien suuntaiset. Toisaalta a i a j I ij = ρ(x)(ia) (x (x (Ia))) dx = ρ(x)(x (Ia)) 2 dx 0, (33) eli matriisi I ij on myös positiivisemideniitti. Näistä ominaisuuksista seuraa, että hitausmatriisin ominaisarvot ovat positiivisia. Ominaisarvoja kutsutaan hitausmomenteiksi ja merkitään {i 1, i 2, i 3 }. Hitausmomentit riippuvat kappaleen ominaisuuksista. 6
2.6 Liike-energia ja liikemäärämomentti Tarkastelemalla jälleen dierentiaalista elementtiä 4, saadaan liike-energialle lauseke T = 1 ρ(x)v 2 dx 2 = 1 ρ(x)(rx Ω B R + v 0 ) 2 dx 2 = 1 ρ(x) ( (x Ω B ) 2 + 2v 0 (Rx Ω B R ) + v 2 0) 2 dx = 1 ρ(x)(x Ω B ) 2 dx + 1 2 2 Mv2 0. (34) Liike-energian lausekkeessa ensimmäinen termi tarkoitaa rotaatioliikkeen liikeenergiaa ja toinen translaation liike-energiaa. Pyritään lausumaan liike-energia hitaustensorin avulla. Tähän tarvitaan matemaattista identiteettiä (x Ω B ) 2 = x Ω B xω B 0 Ω B (x (x Ω B )). (35) un sovelleteaan identiteettiä liike-energian rotaatiotermiin, saadaan 1 ρ(x)(x Ω B ) 2 dx = 1 2 2 Ω B ρ(x)x (x Ω B ) dx okonaisliike-energiaksi saadaan tällöin = 1 2 Ω B I(Ω B ). (36) T = 1 2 Ω B I(Ω B) + 1 2 Mv2 0. (37) Liikemäärämomentti voidaan antaa hitaustensorin avulla muodossa L = RI(Ω B )R. (38) un sijoitetaan liikemäärämomentin lauseke liike-energian lausekkeeseen ja sovelletaan kulmanopeuden kaavaa Ω B = R ΩR, saadaan 4 dt = 1 2 dmv2 = 1 2 ρ(x)v2 dx T = 1 2 Mv2 0 + 1 2 Ω L. (39) 7
oska kulmanopeudet Ω ja Ω B eroavat toisistaan ainoastaan havainnointipaikasta (ts. koordinaatistosta ja sen liikkeestä) voidaan ne antaa kulmanopeuskomponenttien {ω i } avulla muodossa Ω = 3 ω k If k ja Ω B = k=1 3 ω k Ie k. (40) k=1 un sovelletaan kulmanopeuskomponentteja ja hitausmomentteja, saadaan liike-enegian lauseke tuttuun muotoon 2.7 Liikeyhtälöt T = 1 2 Mv2 0 + 3 i k ωk. 2 (41) Yleinenliikeyhtälö on L = N, missä N on ulkoisten voimien aiheuttama momentti. un derivoidaan edellisessä kappaleessa johdettua liikemäärämomentti ajan suhteen, saadaan k=1 L = R ( I( Ω B ) 1 2 Ω BI(Ω B ) + 1 2 Ω BI(Ω B )Ω B ) R = N. (42) Tästä voidaan johtaa 5 perinteiset jäykänkappaleen liikeyhtälöt (Eulerin yhtälöt) i 1 ω 1 ω 2 ω 3 (i 2 i 3 ) = N 1, i 1 ω 2 ω 3 ω 1 (i 3 i 1 ) = N 2, (43) i 1 ω 3 ω 1 ω 2 (i 1 i 2 ) = N 3. Näiden yhtälöiden ratkaisemisesta on kirjoitettu useita hyllymetrejä kirjallisuutta 6. 2.8 Yhtälö L = 0 Eli kappaleeseen ei kohdistu ulkopuolista momenttia. ommutaattoritulo määritellään kaavalla A B = 1 (AB BA). (44) 2 un N = 0 liikeyhtälö tulee muotoon 5 kirja s.78 6 esim. ibble und Berkshire: Classical Mechanics I( Ω B ) Ω B I(Ω B ) = 0. (45) 8
Liikeyhtälö on ensimmäisen kertaluvun vakiokertoiminen dierentiaaliyhtälö. oska L = 0, ovat sekä liike-energia että liikemäärämomentti vakioita. Tällöin 3 L k = i k ω k ja L = L k If k. (46) Vaikka L on vakio, voivat sen komponentit L k silti olla aikariippuvaisia. Liikemäärämomentin suuruus on ja liike-energia k=1 L 2 = LL = L 2 1 + L 2 2 + L 2 3 (47) T = L2 1 2i 1 + L2 2 2i 2 + L2 3 2i 3. (48) Näin on sidottu kaksi liikemäärän kolmesta komponettista. Tämä kuitenkin mahdollistaa yhtälöiden analyyttisen ratkaisun 7. 2.9 Hyrräliike Hyrräliike on väännöttömän liikkeen erityistapaus. Hyrrässä i 1 = i 2. Tavoitteenamme on ratkaista hyrräliikkeen liikeyhtälöt. Tuntemattomana on kulmanopeus Ω. Hitaustensori on tällöin mikä voidaan kirjoitaa lyhemmin I(Ω B ) = i 1 ω 1 e 2 e 3 + i 1 ω 2 e 3 e 1 + i 3 ω 3 e 1 e 2 = i 1 Ω B + (i 3 i 1 )ω 3 Ie 3, (49) I(Ω B ) = i 1 Ω B + (i 3 i 1 )(Ω B e 3 )e 3. (50) un sijoitetaan hitaustensori edellisen kappaleen liikeyhtälöön, saadaan I( Ω B ) = (i 3 i 1 )Ω B ((Ω B e 3 )e 3 ). (51) oska Ω B e 3 on trivektori voidaan viimeiseen muotoon soveltaa duaalia, jolloin saadaan I( Ω B ) = (i 3 i 1 )e 3 ((Ω B e 3 )Ω B ), (52) mistä seuraa, että e 3 I( Ω B ) = 0 = i 3 ω 3 I. (53) 7 Homma tosi ei ole aivan triviaalia ja tarvitaan mm. elliptisiä funktioita. atso esim. Arnold, Vladimir Igorevich: Mathematical methods of classical mechanics 9
ulmanopeus ω 3 on siis vakio. Tällöin Eulerin yhtälöistä seuraa, että iω B = I( Ω B ) + (i 1 i 3 )ω 3 Ie 3. (54) un sijoitetaan tämä kulmanopeuksien relaatioaan, saadaan Tällöin roottoriyhtälöksi saadaan un merkitään Ω = Rω B R = L i 1 + i 1 i 3 i 1 ω 3 RIe 3 R. (55) Ṙ = 1 2 ΩR = 1 2i 1 (LR + R(i 1 i 3 )ω 3 Ie 3 ). (56) Ω l = L i 1 ja Ω r = ω 3 i 1 i 3 i 1 Ie 3, (57) saadaan roottoriyhtälö muotoon un merkitään un integroidaan, saadaan Ṙ = 1 2 Ω lr 1 2 RΩ r. (58) R(t) = exp( 1 2 Ω lt)r 0 exp( 1 2 Ω rt). (59) 10