766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä pisteet eivät nosta läpipääsy- tai arvosanarajoja.) Tähän tehtävään toivotaan vastaukseksi etenkin symmetrian yhteyttä säilymislakeihin. Symmetrialla tarkoitetaan tässä matemaattista käsitettä. Asiasta voi löytyä tietoa esimerkiksi hakusanoilla Noether s theorem. Myös kurssikirjassa Understanding Physics on tästä asiasta jonkin verran. Pisteitä saa myös, jos kertoo mekaniikan säilymislaeista. 1. Sauva, jonka pituus on L, on pystysuorassa asennossa vaakasuoralla alustalla. Sauvan annetaan kaatua. Mikä on sauvan kulmanopeus, kun se on saavuttamassa vaakasuoran asennon? Älä välitä ilmanvastuksesta. 2. Alla olevassa kuvassa on puoliympyrän muotoinen kuoppa, jonka kaarevuussäde on r. Pieni umpinainen pallo asetetaan vierimään alas kuoppaan kohdasta A. Pienen pallon säde on R ja massa M. Laske pallon kulmanopeus, kun se on kohdassa C. Oleta, että vierimiskitkaa ei esiinny.
3. Alla olevassa kuvassa on kaksi vaakasuoriin akseleihin kiinnitettyä yhdensuuntaista vauhtipyörää, jotka ovat tasapaksun ympyrälevyn muotoisia. Alemman vauhtipyörän säde on R 1 ja massa M 1. Ylemmän vauhtipyörän säde on R 2 ja massa M 2. Aluksi vauhtipyörien välillä ei ole hihnaa. Alempi pyörä pyörii vapaasti (ilman ulkoisia voiman momentteja) kulmanopeudella ω ja ylempi on levossa. Vauhtipyörät yhdistetään yhtäkkiä massattomalla hihnalla. Laske molempien pyörien kulmanopeus hihnan asettamisen jälkeen.
4. Sauva, jonka pituus on L ja massa m, voi pyöriä vapaasti pisteen A kautta kulkevan vaakasuoran akselin ympäri. (Katso alla olevaa kuvaa!) Sauvaa pidetään aluksi vaakasuorassa asennossa ja sitten vapautetaan. Tarkastele tilannetta, kun sauvan ja pystysuoran suunnan välinen kulma on α. Mikä on silloin a) sauvan kulmakiihtyvyys, b) sauvan kulmanopeus ja c) akselin tukivoiman komponentit sauvan suunnassa ja sauvaa vastaan kohtisuorassa suunnassa?
5. Lentokoneella, jolla voi lentää nopeudella 200 km/h tyynellä säällä, on lennettävä kohteeseen, joka on 600 kilometrin päässä koillisessa. Lännestä puhaltaa tuuli nopeudella 50 km/h. a) Mihin suuntaan lentokonetta täytyy ohjata? b) Kuinka kauan matka kestää? Vihje: Sinilauseesta voi olla hyötyä.
6. Luotilanka riippuu liikkuvan junan katosta. Jos langan päässä olevan luodin massa on m, mikä on langan jännitys junan nopeuden kasvaessa kiihtyvyydellä g/10? Laske myös luotilangan poikkeama pystysuorasta suunnasta.
7. Oulun leveysaste on noin 65 o. Minkä keskipakoisvoiman kokee Oulussa kappale, jonka massa on 2,50 kg? Ilmoita voimalle maan pinnan suuntainen ja maan pintaa vastaan kohtisuora komponentti sekä kokonaisvoima.
8. Oulun leveysaste on edelleen noin 65 0. Laske maan pyörimisestä johtuva Coriolis-kiihtyvyys (suuruus ja suunta) Oulussa seuraaville kappaleille: a) Kappale putoaa (jostain syystä) tasaisella nopeudella 10 m/s alaspäin. b) Kappale nousee tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan ylöspäin. c) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan pohjoiseen. d) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan etelään. e) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan itään. f) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan länteen.
9. Kappale putoaa 120 metrin korkeudelta leveysasteella 35 o N. Kuinka paljon ja mihin suuntaan se poikkeaa pystysuoraan suuntaan verrattuna? Ota huomioon sekä keskipakois- että Corioliskiihtyvyys. Opastus: Huomaa keskipakoisvoiman vaikutus putoamiskiihtyvyyteen.
10. Alliparvi lentää pitkin Pohjanlahtea matalalla merenpinnan yläpuolella suoraan kohti pohjoista. Alliparven nopeus on 60 km/h. a) Kuinka suuri ja minkä suuntainen Coriolis-kiihtyvyys vaikuttaa alliparveen Oulun seudulla, jossa leveysaste on 65 o? b) Kuinka paljon tämä Coriolis-kiihtyvyys poikkeuttaa alliparvea minuutissa?