Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava, Ehdollinen todennäköisyys, Klassinen todennäköisyys, Kokonaistodennäköisyyden kaava, Kombinaatio, Kombinatoriikka, Kertolaskuperiaate, Permutaatio, Riippumattomuus, Todennäköisyyden aksioomat, Toisensa poissulkevuus, Variaatio, Yhteenlaskuperiaate 2.1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXNNN, jossa X on jokin vokaaleista a, e, i, o, u (5 kpl) ja N on jokin numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Laske erilaisten kilpien lukumäärä, kun tunnusten muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: () Ei rajoituksia. Samaa kirjainta ja numeroa ei saa käyttää useammin kuin kerran. Kilvessä on oltava täsmälleen kaksi samaa vokaalia ja numeron on oltava pariton. Sovelletaan tehtävän ratkaisussa lokeromallia. Käytössä on 6 lokeroa, joista 3 ensimmäistä on varattu vokaaleille ja 3 viimeistä numeroille. Täytetään lokerot XXX vaiheittain: 1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5 tavalla. 2. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5 tavalla. 3. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5 tavalla. Kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen nojalla: Lokerot XXX voidaan täyttää vokaaleilla 5 5 5 125 eri tavalla. Vastaavasti lokerot NNN voidaan täyttää numeroilla 10 10 10 1000 eri tavalla. Lokerot XXX ja lokerot NNN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on 125 1000 125000 kpl. Täytetään lokerot XXX vaiheittain: 1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5 tavalla. 2. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 4 tavalla, koska 1 kirjain on käytetty. 3. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 3 tavalla, koska 2 kirjainta on käytetty. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/11
Kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen nojalla: Lokerot XXX voidaan täyttää vokaaleilla 5 4 3 60 eri tavalla. Vastaavasti lokerot NNN voidaan täyttää numeroilla 10 9 8 720 eri tavalla. Lokerot XXX ja lokerot NNN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on 60 720 43200 kpl. 3 () Lokeroihin XXX voidaan asettaa mitkä tahansa kaksi samaa vokaalia eri tavalla. 2 Koska jo käytettyjä vokaaleja ei saa käyttää uudelleen, voidaan vokaalit valita lokeroihin 5 4 eri tavalla. Siten lokerot XXX voidaan täyttää vokaaleilla niin, että lokeroissa on täsmälleen kaksi samaa vokaalia, 3 5 4 60 eri tavalla. 2 Koska parittomia numeroita on 5, lokerot NNN voidaan täyttää 5 5 5 125 eri tavalla. Lokerot XXX ja lokerot NNN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on 60 125 7500 kpl. 2.2. Tietokoneen salasanat ovat muotoa XXXXX, jossa X on jokin vokaaleista a, e, i, o, u (5 kpl). Laske mahdollisten salasanojen lukumäärät, kun salasanojen muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: () (d) Kaikkien numeroiden on oltava erilaisia. Salasanassa on oltava pari eli täsmälleen kaksi samaa vokaalia (esim. eaioe). Salasanassa on oltava kolmoset eli täsmälleen kolme samaa vokaalia (esim. aaoea). Salasanassa on oltava täyskäsi eli kolmoset ja pari (esim. ioioo). Sovelletaan tehtävän ratkaisussa ns. lokeromallia. Käytössä on 5 lokeroa. Täytetään lokerot vaiheittain: Lokero i voidaan täyttää 5 i + 1 eri tavalla, i 1, 2, 3, 4, 5. Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen kokonaislukumäärä on 5 4 3 2 1 120 TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/11
5 lokeroa voidaan täyttää kahden saman vokaalin muodostamilla pareilla binomikertoimen ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. 2 Pariin voidaan valita vokaali 5 eri tavalla. Koska kolmeen jäljellä olevaan lokeroon jokaiseen on valittava eri vokaali, voidaan muut vokaalit valita 4 3 2 eri tavalla. Siten vokaalit voidaan valita lokeroihin 5 4 3 2 eri tavalla. Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen kokonaislukumäärä on 2 5 4 3 2 1200 () 5 lokeroa voidaan täyttää kolmen saman vokaalin muodostamilla kolmosilla binomikertoimen ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. 3 Kolmosiin voidaan valita vokaali 5 eri tavalla. Koska kahteen jäljellä olevaan lokeroon jokaiseen on valittava eri vokaali, voidaan muut vokaalit valita 4 3 eri tavalla. Siten vokaalit voidaan valita lokeroihin 5 4 3 eri tavalla. Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen kokonaislukumäärä on 3 5 4 3 600 (d) 5 lokeroa voidaan täyttää kahden saman vokaalin muodostamilla pareilla binomikertoimen ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Sen jälkeen paikat 2 kolmosille on määrätty. Vokaalit pariin voidaan valita 5 eri tavalla ja sen jälkeen kolmosiin 4 eri tavalla. Siten vokaalit voidaan valita lokeroihin 5 4 eri tavalla. Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen lukumäärä on 2 5 4 200 TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 3/11
2.3. Tarkastellaan kirjaimien a, e, i, k, l, m, p muodostamaa joukkoa S {a, e, i, k, l, m, p} Kuinka monta erilaista jonoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa? Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajonoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa? () Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajoukkoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa? Joukossa S on n(s) 7 erilaista alkiota. Siten joukon S alkioista voidaan muodostaa 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 erilaista jonoa eli permutaatiota. Tämä nähdään käyttämällä ns. lokeromallia: Koska joukossa S on 7 erilaista alkiota, muodostetaan lokerikko, jossa on 7 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m, p muodostamien jonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa kirjaimet a, e, i, k, l, m, p voidaan asettaa lokeroihin. Alla oleva kaavio kuvaa ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä. Lokeron nro 1 2 3 4 5 6 7 n 7 6 5 4 3 2 1 1. lokero: Lokero voidaan täyttää 7:llä eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m, p 2. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 1 kirjaimista on käytetty. 3. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 2 kirjaimista on käytetty. 4. lokero: Lokero voidaan täyttää 4:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 3 kirjaimista on käytetty. 5. lokero: Lokero voidaan täyttää 3:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 4 kirjaimista on käytetty. 6. lokero: Lokero voidaan täyttää 2:lla eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 5 kirjaimista on käytetty. 7. lokero: Lokero voidaan täyttää 1:llä eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 6 kirjaimista on käytetty. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 4/11
Täyttöoperaatiot voidaan tehdä riippumatta edellisistä täytöistä, joten kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko voidaan täyttää 7 6 5 4 3 2 1 7! 5040 erilaisella tavalla. Joukon S alkioista voidaan muodostaa 7! 7! 7 6 5 210 (7 3)! 4! erilaista 3:n alkion osajonoa eli variaatiota. Tämä seuraa myös -kohdan tarkastelusta pysäyttämällä lokeroiden täyttö 3. lokeron täytön jälkeen. () Joukon S alkioista voidaan muodostaa 7 7! 7 6 5 4 3 2 1 35 3 3!4! 3 2 1 4 3 2 1 erilaista 3:n alkion osajoukkoa eli kombinaatiota. 2.4. Erässä TV-vastaanottimia on 25 vastaanotinta, joista 5 on viallista. Kuinka monella eri tavalla vastaanotinten joukosta voidaan poimia 5 vastaanotinta niin, että mukaan tulee täsmälleen 1 viallinen vastaanotin, jos poiminta tehdään palauttamatta? Mikä on todennäköisyys, että poimittaessa vastaanotinten joukosta umpimähkään 5 vastaanotinta mukaan tulee täsmälleen 1 viallinen vastaanotin, jos poiminta tehdään palauttamatta? Tehtävänä on valita 4 vastaanotinta 20:n ehjän vastaanottimen joukosta ja 1 vastaanotin 5:n viallisen vastaanottimen joukosta ja laskea niiden tapojen lukumäärä, jolla tämä voidaan tehdä. 4 vastaanotinta voidaan valita 20:n ehjän joukosta binomikertoimen 20 4 ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 5/11
1 vastaanotinta voidaan valita 5:n viallisen joukosta binomikertoimen 1 ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Nämä valinnat voidaan tehdä toisistaan riippumatta, joten kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan valintojen kokonaislukumääräksi saadaan 20 20! 5! 20191817 5 24225 4 1 4!16! 1!4! 4 3 2 1 Käytetään klassisen todennäköisyyden määritelmää: Tapahtuman A klassinen todennäköisyys on jossa Pr( A) k/ n k tapahtumalle A suotuisien tulosvaihtoehtojen lukumäärä n kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen lukumäärä ja kaikki tulosvaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Kaikkien tulosvaihtoehtojen lukumäärä: 5 vastaanotinta voidaan poimia 20 vastaanottimen joukosta binomikertoimen 25 25! 2524232221 53130 5 5!20! 5 4 3 2 ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Tapahtumalle A suotuisien tulosvaihtoehtojen lukumäärä: -kohdan mukaan 4 vastaanotinta voidaan valita 20:n ehjän vastaanottimen joukosta ja 1 vastaanotin 5:n viallisen vastaanottimen joukosta tulon 20 24225 4 1 ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Siten todennäköisyys valita 5 vastaanotinta satunnaisesti 25:n vastaanottimen joukosta ja saada 4 vastaanotinta 20:n ehjän vastaanottimen joukosta ja 1 vastaanotin 5:n viallisen vastaanottimen joukosta on 20 20! 5! 4 1 4!16! 1!4! 20 19 18 17 0.455957 25 25! 24 23 22 21 5 5!20! TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 6/11
2.5. Todista: Pr( A B ) Pr( A\ B) Pr( A) Pr( A B) Oletetaan, että tapahtumat A ja B riippumattomia; merkintä A B. Todista käyttäen hyväksi -kohdan tulosta: Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. () Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. (d) Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Todetaan ensin, että A B A\ B Aina pätee (ks. viereistä Venn-diagrammia): A ( A B ) ( A B) ja ( A B ) ( A B) Siten toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan Pr( A) Pr( A B ) + Pr( A B) josta todistettava yhtälö seuraa. Todistus: Pr( A B ) Pr( A\ B) Pr( A) Pr( A B) Pr( A) Pr( A)Pr( B) Koska A B Pr( A)(1 Pr( B)) Pr( A) Pr( B ) Komplementtitodennäköisyyden laskusäännön nojalla Siten A B. () Todistus: ()-kohta todistetaan vastaavalla tavalla kuin -kohta. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 7/11
(d) Todistus: Pr( A B ) Pr( B \ A) Pr( B ) Pr( A B ) Pr( B ) Pr( A) Pr( B ) Koska A B -kohdan mukaan (1 Pr( A)) Pr( B ) Pr( A )Pr( B ) Komplementtitodennäköisyyden laskusäännön nojalla Siten A B. 2.6. Todista, että kaikille tapahtumille A ja B pätee Pr( A) 1 Pr( A B ) Pr( A B) Pr( A) + Pr( B) Ohje: Käytä hyväksesi De Morganin lakia A B ( A B ) Määritellään ehdolliset todennäköisyydet kaavalla Pr( A B) Pr( A B) Pr( B) jossa Pr(B) 0. Todista yleinen yhteenlaskusääntö ehdollisille todennäköisyyksille: Pr( A B C) Pr( A C) + Pr( B C) Pr( A B C) jossa Pr(C) 0. Koska niin A A B Pr( A) Pr( A B) De Morganin lain mukaan A B ( A B ) Pr( A) 1 Pr( A B ) Pr( A B) Komplementtitodennäköisyyden laskusäännön nojalla Siten Pr(( A B ) ) 1 Pr( A B ) TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 8/11
Epäyhtälö Pr( A B) Pr( A) + Pr( B) seuraa suoraan yleisestä yhteenlaskusäännöstä: Pr( A B) Pr( A) + Pr( B) Pr( A B) Yleinen yhteenlaskusääntö pätee ehdollisille todennäköisyyksille, koska Pr(( A B) C) Pr( A B C) Pr( C) Pr(( A C) ( B C)) Pr( C) Pr( A C) Pr( B C) Pr(( A C) ( B C)) + Pr( C) Pr( C) Pr( C) Pr( A C) Pr( B C) Pr(( A B) C) + Pr( C) Pr( C) Pr( C) Pr( AC ) + Pr( BC ) Pr( A BC ) Yhtälöketjussa on käytetty hyväksi seuraavia joukko-opin kaavoja: (A B) C (A C) (B C) (A C) (B C) A C B C (distributiivisuus) A B C C (kommutaatiivisuus) A B C (idempotenttisuus) (A B) C sekä yleistä yhteenlaskusääntöä sovellettuna joukkoihin A B ja B C: Pr(( A C) ( B C)) Pr( A C) + Pr( B C) Pr(( A C) ( B C)) TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 9/11
2.7. Huumeiden käytön paljastamiseen tarkoitetun pikatestin luotettavuudesta on käytössä seuraavat tiedot: Henkilö, joka käyttää huumeita tulee oikein luokitelluksi huumeiden käyttäjäksi todennäköisyydellä 0.98. Toisaalta henkilö, joka ei käytä huumeita tulee virheellisesti luokitelluksi huumeiden käyttäjäksi todennäköisyydellä 0.05. Oletetaan, että testiä käytetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % käyttää huumeita. Mikä on todennäköisyys, että huumeiden käyttäjäksi luokiteltu henkilö ei käytä huumeita? Tehtävässä sovelletaan Bayesin kaavaa. Merkitään tapahtumavaihtoehtoja seuraavalla tavalla: H Testi luokittelee henkilön huumeiden käyttäjäksi K Henkilö käyttää huumeita E Henkilö ei käytä huumeita Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisyydet tunnetaan: Pr(H K) 0.98 Pr(H E) 0.05 Pr(K) 0.01 Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan Pr(E) 1 Pr(E) 0.99 Tehtävässä kysytään todennäköisyyttä on Pr(E H). Bayesin kaavan mukaan: Pr( E) Pr( H E) Pr( EH) Pr( E) Pr( H E) + Pr( K)Pr( H K) 0.99 0.05 0.834739 0.99 0.05 + 0.01 0.98 Huomaa, että todennäköisyys sille, että testin huumeiden käyttäjäksi luokittelema henkilö ei todellisuudessa käytä huumeita, on varsin suuri! Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan suuresta joukosta ihmisiä, joista vain 1 % käyttää huumeita yli 80 % tulee pikatestissä leimatuksi virheellisesti huumeiden käyttäjiksi! TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 10/11
2.8. Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja 0 ja 1. Siirrettävistä binääriluvuista on nollia 60 % ja ykkösiä 40 %. Järjestelmässä esiintyy kuitenkin satunnaisia häiriöitä, jotka muuttavat siirron aikana osan nollista ykkösiksi ja osan ykkösistä nolliksi. Nolla tulee perille oikeassa muodossa todennäköisyydellä 0.95 ja ykkönen todennäköisyydellä 0.9. Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille: On lähetetty 0, kun on vastaanotettu 0 On lähetetty 1, kun on vastaanotettu 1 Tehtävässä sovelletaan Bayesin kaavaa. Seuraavat todennäköisyydet saadaan suoraan tehtävän asettelusta: A On lähetetty 0 Pr(A) 0.6. A On lähetetty 1 Pr(A ) 0.4 B On vastaanotettu 0 Pr(B A) 0.95 B On vastaanotettu 1 Pr(B A ) 0.9 Kysytty todennäköisyys on Pr(A B). Bayesin kaavan mukaan: Pr( BA) Pr( A) Pr( AB) Pr( B A) Pr( A) + Pr( B A ) Pr( A ) 0.95 0.6 0.95 0.6 + 0.1 0.4 0.934426 Kysytty todennäköisyys on Pr(A B ). Bayesin kaavan mukaan: Pr( B A ) Pr( A ) Pr( A B ) Pr( B A ) Pr( A ) + Pr( B A) Pr( A) 0.9 0.4 0.9 0.4 + 0.05 0.6 0.923077 TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 11/11