8 Suhteellinen liike (Relative motion)

8 Suhteellinen liike (Relative motion) 8.1 Inertiaalikoordinaatistot (Inertial reference of frames) Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoisia voimia, ei kappaleen liikemäärä muutu eikä se nopeus myöskään muutu. Milloin Newtonin liikelakeja voidaan käyttää? Tarkastellaan hiukkasta B, joka liikkuu tasaisella nopeudella suoraviivaisesti x-akselia pitkin koordinaatiston O suhteen. Siihen ei voi vaikuttaa voimaa. Liikkukoon koordinaatisto O myös x-akselia pitkin. Miten tällöin B:n liike havaitaan koordinaatistosta O. 1) Jos O on levossa O:n suhteen, ovat nopeudet molemmissa koordinaatistoissa samoja. 2) Jos O liikkuu vakionopeudella O:n suhteen, havaitaan O :ssa eri nopeus kuin O:ssa. 3) Jos O kiihtyy O:n suhteen, joten B:n liikkeessä havaitaan myös kiihtyvyyttä. Kohdissa 1) ja 2) Newtonin lait pätevät kummassakin tapauksessa. Kohdassa 3) Newtonin II laki ei enää päde! Koordinaatistossa O meillä on kiihtyvyyttä ilman voimaa. Newtonin laki ei siten päde kiihtyvässä koordinaatistossa. Inertiaalikoordinaatisto Koordinaatisto, jossa Newtonin I laki pätee, on inertiaalikoordinaatisto. Newtonin II laki pätee ainoastaan inertiaalikoordinaatistoissa Kaikki koordinaatistot, jotka liikkuvat jonkin inertiaalikoordinaatiston suhteen tasaisella nopeudella, ovat inertiaalikoordinaatistoja. Yleiset säilymisperiaatteet on sovellettavissa inertiaalikoordinaatistoissa, koska ne on johdettu Newtonin II laista! 8.2 Galilei-muunnos (The Galilean transformation) Jos yksi ja sama piste esitetään kahdessa eri koordinaatistosssa, tarvitaan muunnoslausekkeet siirryttäessä koordinaatistosta toiseen. Jos toinen koordinaatisto liikkuu tasaisella nopeudella toisen suhteen, on muunnos Galilei-muunnos. Liikkukoon koordinaatisto O nopeudella v koordinaatistoon O nähden x-akselin suuntaan. Olkoon jonkin tapahtuman koodinaatit näissä koordinaatistoissa (x,y,z,t) ja (x,y,z,t ). Olkoon koordinaatistot lisäksi yhtenevät hetkellä t = t = 0. Tällöin käänteisen Galileimuunnoksen lausekkeet paikalle ovat: 1

x = x + vt y = y z = z t = t r = r + vt Itse Galilei-muunnoksen lausekkeet ovat x = x vt y = y z = z t = t r = r vt Muunnoslausekkeet saadaan myös nopeudelle. Tällöin paikan lausekkeet derivoidaan ajan suhteen ja saadaan: u x = u x + v u y = u y u z = u z missä u x = dx ja u x = dx Näin nopeudelle saadaan käänteismuunnos u = u + v 2

Jos paikka derivoidaan toistamiseen ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys. Tälle pätee a x = a x, a y = a y, a z = a z. Siten kiihtyvyys on invariantti ja a = a Näin siis, jos Newtonin lait pätevät koordinaatistossa O, ne pätevät myös koordinaatistossa O ja edelleen kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Kaikki toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Newtonin liikelaeilla on sama muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa 8.3 Massakeskipistekoordinaatisto (The center of mass frame) Törmäyksien lasku CM koordinaatistossa on (ehkä) helpompaa, sillä systeemin kokonaisliikemäärä on nolla. Koska CM koordinaatiston nopeus on V cm, on sekin inertiaalikoordinaatisto. Jos tuo nopeus on x-suuntaan, saadaan u x = u x + V cm Systeemin kokonais kineettinen energia on pienimmillään, jos se lasketaan CM-koordinaatistossa. Yhden hiukkasen systeemissä hiukkasen nopeus CM-koordinaatistossa on aina nolla. Tällöin koordinaatistoa sanotaan lepokoordinaatistoksi. Törmäyksiä laboratorio- ja massakeskipistekoordinaatistossa on käyty jo kappaleessa 6.6. Lue kappaleen 8.3 asiat itse läpi! 8.4 Ei-inertiaalikoordinaatisto Newtonin lait pätevät inertiaalikoordinaatistoissa. Jos koordinaatisto on kiihtyvässä liikkeessä, eivät Newtonin lait enää päde. On helppo tarkastella inertiaalikoordinaatistosta myös kiihtyviä liikkeitä ja niihin liittyviä seikkoja. On sen sijaan vaikea hahmottaa tilannetta, jos me itse olemme mukana kiihtyvässä koordinaatistossa. Olkoon meillä paikallaan oleva koordinaatisto O ja siinä akselit (x,y). Etäisyydellä R oleva piste kiertäköön O:ta tasaisella kulmanopeudella ω. Olkoon havaitsija O kiertämässä pisteen mukana kasvot O:sta ulospäin. Tällöin havaitsijan koordinaatiston akselit ovat (x,y ), joista x oikealle ja y katseen suuntaan. Hetkellä t havaitsija O irrottaa kappaleen P kädestään. 3

Ulkopuolisen havaitsijan kannalta P lähtee radan tangentin suuntaan nopeudella v, joka sillä oli irrotessaan. Koska P:hen ei vaikuta voimia, se liikkuu tasaisella nopeudella Newtonin lain mukaan. Kiertävän havaitsijan mukaan P lähtee levosta. Se kuitenkin alkaa liikkua y -suuntaan. Tämä tapahtuu ilman ulkoisten voimien apua. Pian liike alkaa myös kaartua ja se menee monimutkaiseksi. Tapahtuma on siten Newtonin lain vastainen! O on kiihtyvä koordinaatisto O:hon nähden. Sitä sanotaan ei-inertiaaliseksi koordinaatistoksi. Voima, joka liikuttaa kappaletta ympyrän keskipisteestä ulospäin, ei ole todellinen voima. Se on fiktiivinen voima, jota sanotaan myös sentrifukaalivoimaksi. Jos laitamme voiman mω 2 R vaikuttamaan kappaleeseen P, silloin Newtonin lait olisivat taas voimassa tässä pyörivässä systeemissä. 8.5 Maapallo pyörivänä koordinaatistona Asumme pallon pinnalla. Koska pallo pyörii (tasaisella kulmanopeudella), on koordinaatistomme tarkasti ottaen ei-inertiaalinen. Se aiheuttaa joitain seikkoja, jotka tulee ottaa huomioon. Tarkastelemme näitä tarkemmin. Olkoon pallomme säde R. Jos asumme leveysasteella λ on pyörimissäteemme r r = Rcosλ Pallon pinnalla olevat kappaleet pyrkivät jatkamaan suoraviivaista liikettään, joten ne tuntevat näennäisen sentrifugaalivoiman F sf, jolle missä maapallolle ω = 7, 2921 10 5 rad/s. F sf = mω 2 r = mω 2 Rcosλ Voima vaihtelee leveysasteen mukaan ja se on navalla 0 ja Päiväntasaajalla mω 2 R. Olemme käyttäneet vapaan kappaleen putoamiskiihtyvyydelle symbolia g. Tämä gravitaation aiheuttama kiihtyvyys ei ole vakio. Se johtuu maapallon ei-pallomaisesta muodosta sekä sen pyörimisestä. Vektori g osoittaa aina pallon massakeskipisteeseen, maapallon tapauksessa maapallon keskipisteeseen! Olkoon maapallo kuitenkin riittävästi pallon muotoinen. Olkoon pyörimisen seurauksena todellinen kiihtyvyys g, jolle g = g ω 2 Rcosλn missä n on kohtisuoraan pyörimisakselia kohti. 4

Pallomaisen Maan tapauksessa g ei olisi enää kohtisuorassa maan pintaa vastaan. Reaalitilanteessa g on luotisuoran suuntainen ja kohtisuorassa vapaasti olevaa nestepintaa vastaan. Koska Maa on oikeasti varsin hyvä ellipsoidi, on g joka paikassa kohtisuorassa maan pintaa vastaan, ellei gravitaatiopoikkeamia oteta huomioon. Olkoon luotiviivan poikkeama eli vektorien g ja g välinen kulma ɛ. Tällöin sinilauseella saadaan sinɛ ω 2 Rcosλ = sinλ g josta ɛ:lle saadaan arvo ɛ = ω2 Rsinλcosλ g Oletuksena on, että ɛ on pieni, jolloin sinɛ ɛ Missä tilanteessa kulmalla ɛ on maksimi? sinλ g = ω2 R 2g sin2λ Elliptisyydestä johtuen maapallon napasäde R p on pienempi kuin ekvaattorisäde R e, joten myös painovoiman aiheuttamat kiihtyvyydet ovat suunnilleen g p GM E R 2 p ja g e GM E R 2 e 8.6 Coriolisvoima (The Coriolis force) Tarkastellaan tilanteita pyörivän maapallon pinnalla. Olkoon origo O maapallon keskipisteessä ja x-akseli pohjoisnapaa kohti. Silloin y- ja z- akselit ovat päiväntasajan tasossa. Pyöriköön maapallo kulmanopeudella ω siten että pyörimisakseli yhtyy x-akseliin. Olkoon pisteen P koordinaatit paikallaan olevassa koordinaatistossa (x,y,z) ja pyörivässä O koordinaatistossa (x,y,z ). Olkoon myös r = r Olkoon pieni siirymä pisteestä P pisteeseen Q r paikallaan pysyvässä koordinaatistossa ja vastaavasti r pyörivässä koordinaatistossa. Siirtyköön piste P ajassa t pisteeseen P. P:n tangentiaalinen nopeus v = ω r joten siirtymä PP = v t = ( ω r) t Tällöin r = r + ( ω r) t Jaetaan lauseke t:llä ja tehdään rajankäynti nollaan dr = dr + ( ω r) 5

jolloin saadaan v = v + ( ω r) (Oikeastaan meidän tulisi käyttää siirtymiä r ja r sekä aikaderivaattoja d kahdessa eri koordinaatistossa. ) ja d Derivoidaan v:n lauseke ajan suhteen ja saadaan ja edelleen dv = d v + ( ω v) dv = d [v + ( ω r)] + ω [v + ( ω r)] =... = d v + d ω r + ω d r + ω v + ω ( ω r) Jos kulmanopeus on vakio, on d ω kiihtyvyys ja saamme = 0. Lisäksi nopeuden derivaatta ajan suhteen on a = a + ( ω v ) + ( ω v ) + ω ( ω r) = a + 2( ω v ) + ω ( ω r) Kerrotaan lauseke massalla m F = F + 2m( ω v ) + m ω ( ω r) Pyörivässä pilkullisessa koordinaatistossa kappaleeseen vaikuttava voima on siten F = F 2m( ω v ) m ω ( ω r) Tässä ensimmäinen termi on kiihtyvyyden a aiheuttama voima kolmas termi edustaa pyörivässä koordinaatistossa vaikuttavaa keskipakoisvoimaa. Toinen termi on puolestaan Coriolisvoima F Cor = 2m( ω v ) ja Corioliskiihtyvyys on 6

a Cor = 2( ω v ) missä v on pyörivässä pilkullisessa koordinaatistossa oleva nopeusvektori. Huomaa, että voima, kiihtyvyys, kulmanopeus ja nopeus ovat vektoreita. Ristitulon avulla saadaan voimalle ja kiihtyvyydelle oikea suunta!! Huomaa myös, että Coriolisvoima on fiktiivinen voima, jota inertiaalikoordinaatistossa oleva havaitsija ei tarvitse. Coriolisvoima on maapallon tapauksessa pieni voima, mutta se tulee ottaa huomioon tarkoissa laskuissa. Se havaitaan mm. pilvien liikkeissä matalapaineen ympäri, putoamisliikkeissä poikkeamisena luotiviivan suunnasta sekä suurissa nopeuksissa, esim. luodin poikkeamisena. Opettele huolellisesti erilaiset kiihtyvyydet ja voimat pyörivässä koordinaatistossa! Kysymys: Mihin päin poikkeaa maan pinnan suuntaisesti liikuva hiukkanen pohjoisella pallonpuoliskolla? 8.7 Foucault n heiluri (The Foucault pendulum) Asetamme nyt matemaattisen heilurin pyörivään koordinaatistoon. Oletetaan poikkeama tasapainoasemasta niin pieneksi, että heilurin päässä olevan kappaleen liikettä liikettä voidaan approksimoida vaakasuoralla janalla. Tällainen heiluri kokee myös Coriolisvoiman, joka aiheuttaa Corioliskiihtyvyyttä. Voiman suunta on kohtisuoraan heilahdustasoa vastaan ja se johtaa heilahdustason kiertymiseen. Heilahdustasossa olemme saaneet aikaisemmin ( ) x a x = gsinθ gθ = g l missä x on siirtymä tasapainoasemasta ja θ on vastaava kulmasiirtymä ja l on heilurin langan pituus. Korvaamme siirtymän x vektorilla r ja saamme ( ) r a r = g l Koska tämä on kiihtyvyys pyörivässä maapallon koordinaatistossa, saamme a = a 2( ω v ) ω ( ω r) 7

( ) ( ) r = g 2 ω d r ω ( ω r) l Tarkastellaan Coriolistermiä (i, j, k)-koordinaatistossa, jossa (i, j) -taso on paikkakunnan horisonttitaso, jossa i osoittaa pohjoiseen, j länteen ja k pystysuoraan ylöspäin. Tässä koordinaatistossa ω voidaan jakaa kahteen komponenttiin joilloin ω = ωcosλi + ωsinλk ja Coriolistermi hajoaa kahteen komponenttiin: [ ( )] [ ( )] 2( ω v ) = 2 ωsinλ k d r 2 ωcosλ i d r Jälkimmäinen termi on k suuntaan ja paljon pienempi kuin g, joten se voidaan tulkita nollaksi. Tällöin ( ) ( ) r a = g 2 ωsinλk d r ω ( ω r) l Jos tätä verrataan aikaisemmin olleeseen kiihtyvyyden lausekkeeseen a näemme, että a = a 2( ω d r ) ω ( ω r) ( ) r a = g = g l l r ja ω = ωsinλk Heilurin heilahtelu on edelleen harmonista liikettä Heiluri kiertyy k-akselin ympäri nopeudella ωsinλ, joten prekession jaksonpituus on Keskipakoistermi T = 2π ωsinλ ω ( ω r) on suuntautunut pyörimisakselista poispäin. Sen vaikutus heilurin on hyvin pieni. Maan pyörimisen osoitti ranskalainen fyysikko Jean Bernard Léon Foucault heilurikokeellaan vuonna 1851 Pariisissa Invalidikirkossa. Heilurin langan pituus oli 11 m ja heilahtelevan kappaleen massa 5 kg. Hänen toisen heilurinsa langan pituus oli 67 m, käytetyn pianolangan paksuus 1,4 mm ja heilahtelevan kappaleen massa 28 kg. Heilurin jaksonaika oli 16,5 sekuntia ja 6 metrin amplitudin avulla heilahtelu jatkui 6 tuntia. Tänä aikana heiluri kiertyi 70 astetta. 8

8.8 Inertiaalikoordinaatistoista Täydellistä inertiaalikoordinaatistoa ei taida löytyä maailmankaikkeudesta. Kaikki tuntuvat kiertävän jotain pistettä. Tällöin kaikilla koordinaatistoilla on kiihtyvyyttä. Koordinaatisto on riittävän hyvä approksimaatio inertiaalikoordinaatistosta, jos poikkeamat Newtonin I laista ovat niin pieniä, ettei niitä voi havaita tai mitata. Vapaasti putoavassa hississä tai maapalloa kirtävällä avaruusasemalla löytyy paikallisesti tai hetkelliseti koordinaatistoja, joissa Newtonin I laki on voimassa. Lukekaa kappale 8.8 läpi. 9