Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden laitos VEHMAS, MARKO: Ryhmien perusominaisuuksista Pro gradu -ty, 22 s. Matematiikka Huhtikuu 2002 TIIVISTELM T m n ty n luvussa 2 perehdyt n abstraktin algebran keskeiseen k sitteeseen ryhm n ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. Ryhm on ep tyhj n joukon sek laskutoimituksen muodostama tietyt ehdot toteuttava algebrallinen struktuuri. Ryhm n lis ksi m ritell n puoliryhm, monoidi ja Abelin ryhm eli kommutatiivinen ryhm. Ryhm n ja puoliryhm n k sitteiden m rittelyn j lkeen esitet n kolme lausetta, joiden avulla voidaan todeta, onko puoliryhm ryhm. Ty n loppupuolella m ritell n ryhm n kertaluku, alkion potenssi ja alkion kertaluku. Lopuksi esitet n alkion kertalukuun liittyv lause. Lukijalta edellytet n k sitteen suurin yhteinen tekij sek jakoalgoritmin tuntemisen lis ksi perustietoja joukoista, relaatioista, kuvauksista ja laskutoimituksista (engl. binary operations). T m n ty n luvussa 1 on esitetty luettelonomaisesti ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. Tarvittaessa lukija voi perehty edell lueteltuihin esitietoina edellytettyihin asioihin luvussa 1 esitetty paremmin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] sivuilta 1 54. T ss ty ss seurataan p osin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] esityst. Kirjan esityksest on poikettu niiss kohdin, miss sen on katsottu olevan tarkoituksenmukaista.
TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -ty Marko Vehmas Ryhmien perusominaisuuksista Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Huhtikuu 2002
Sis lt Johdanto 1 1 Relaatio, kuvaus, laskutoimitus 2 1.1 Bin rirelaation m ritelm................... 2 1.2 Ekvivalenssirelaatio ja kongruenssi............... 3 1.3 Ekvivalenssiluokka........................ 4 1.4 Ekvivalenssirelaation ja joukon osituksen yhteys........ 4 1.5 Kuvaus ja laskutoimitus..................... 6 2 Ryhmien perusominaisuuksia 8 2.1 Ryhm n m ritelm....................... 8 2.2 Joitakin perusominaisuuksia................... 12 2.3 Puoliryhm vai ryhm?...................... 14 2.4 Potenssi.............................. 18 2.5 Ryhm n kertaluku ja alkion kertaluku............. 19 Viitteet 22
Johdanto T m n ty n luvussa 2 perehdyt n abstraktin algebran keskeiseen k sitteeseen ryhm n ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. Ryhm on ep tyhj n joukon sek laskutoimituksen muodostama tietyt ehdot toteuttava algebrallinen struktuuri. Ryhm n lis ksi m ritell n puoliryhm, monoidi ja Abelin ryhm eli kommutatiivinen ryhm. Ryhm n ja puoliryhm n k sitteiden m rittelyn j lkeen esitet n kolme lausetta, joiden avulla voidaan todeta, onko puoliryhm ryhm. Ty n loppupuolella m ritell n ryhm n kertaluku, alkion potenssi ja alkion kertaluku. Lopuksi esitet n alkion kertalukuun liittyv lause. Lukijalta edellytet n k sitteen suurin yhteinen tekij sek jakoalgoritmin tuntemisen lis ksi perustietoja joukoista, relaatioista, kuvauksista ja laskutoimituksista (engl. binary operations). T m n ty n luvussa 1 on esitetty luettelonomaisesti ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. Tarvittaessa lukija voi perehty edell lueteltuihin esitietoina edellytettyihin asioihin luvussa 1 esitetty paremmin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] sivuilta 1 54. Ennen nykyisen m ritelm n esitt mist ryhm n k sitteen kehittymiseen ovat vaikuttaneet lukuisat merkitt v t matemaatikot, kuten Joseph Louis Lagrange (1736 1813), saksalainen Carl Friedrich Gauss (1777 1855), ranskalainen A. Cauchy (1789 1857), ranskalainen Evariste Galois (1811 1832), Arthur Cayley (1821 1895), Felix Klein (1849 1925) ja Sophus Lie. Nykyisen m ritelm n esittiv t vuonna 1882 Heinrich Weber (1842 1913) ja Felix Kleinin kanssa ty skennellyt Walter von Dyck (1856 1934). Ryhm teoriaa k ytet n esimerkiksi fysiikassa ja kemiassa (kristallograa, spektroskopia, yleinen suhteellisuusteoria, molekyyliv r htelyt, molekyyliorbitaalit, kiinte n aineen fysiikka, alkeishiukkasteoria). (Ks. [1, s. 13 15], [2, s. 53], [5, s. 56 58] ja [7, s. 153 155]) T ss ty ss seurataan p osin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra 1
[5] esityst. Kirjan esityksest on poikettu niiss kohdin, miss sen on katsottu olevan tarkoituksenmukaista. 1 Relaatio, kuvaus, laskutoimitus T ss luvussa on esitetty luettelonomaisesti luvussa 2 tapahtuvan ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. 1.1 Bin rirelaation m ritelm M ritelm 1.1.1 (ks. [5, s. 21]) Bin rirelaatio R joukosta A joukkoon B on tulojoukon A B osajoukko. Bin rirelaatiota R voidaan kutsua lyhyemmin relaatioksi R. Olkoon R relaatio joukosta A joukkoon B. Olkoon x joukon A alkio ja y joukon B alkio. Jos (x y) 2 R, niinvoimme merkit joko xry tai R(x) =y. T ll in sanomme relaation R liitt v n alkion x alkioon y. Voimme my s sanoa alkioiden x ja y olevan kesken n relaatiossa R. Jos on ilmeist, mist relaatiosta kulloinkin on kysymys, voidaan relaation nimi, esimerkiksi R, j tt lausumatta. Jos A = B, niin sanomme relaation R olevan joukossa A m ritelty relaatio. (Ks. [5, s. 21]) M ritelm 1.1.2 (ks. [5, s. 21]) Olkoon R relaatio joukosta A joukkoon B. T ll in relaation R m rittelyjoukko on f x j x 2 A ja on olemassa sellainen y 2 B, ett (x y) 2 R g. Sit merkit n symbolilla D(R). Relaation R arvojoukko on f y j y 2 B ja on olemassa sellainen x 2 A, ett (x y) 2 R g ja sit merkit n symbolilla I(R). Kyseist arvojoukkoa voidaan kutsua my s relaation R kuvaksi. 2
1.2 Ekvivalenssirelaatio ja kongruenssi M ritelm 1.2.1 (ks. [5, s. 22]) Olkoon R relaatio joukossa A. Relaatio R on (i) reeksiivinen, jos xrx aina, kun x 2 A, (ii) symmetrinen, jos ominaisuudesta xry seuraa ominaisuus yrx aina, kun x y 2 A, (iii) transitiivinen, jos ominaisuuksista xry ja yrz seuraa ominaisuus xrz aina, kun x y z 2 A. M ritelm 1.2.2 (ks. [5, s. 22]) Relaatiota E joukossa A sanotaan ekvivalenssirelaatioksi joukossa A, jos E on reeksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki 1.2.3 (ks. [5, s. 2223]) Olkoon n jokin positiivinen kokonaisluku. M ritell n joukossa Z relaatio n seuraavasti: jokaiselle x y 2 Z on voimassa x n y, jos ja vain jos nj(x ; y). Merkint nj(x ; y) tarkoittaa, ett on olemassa sellainen kokonaisluku k, ett x ; y = nk. Osoitetaan, ett n on ekvivalenssirelaatio joukossa Z. (i) Jokaiselle kokonaisluvulle x on voimassa x ; x = 0=0n. Siis x n x aina, kun x 2 Z. T ten n on reeksiivinen. (ii) Valitaan mielivaltaiset kokonaisluvut x ja y. Oletetaan, ett x n y. On siis olemassa sellainen kokonaisluku q, ett qn = x ; y. T ll in (;q)n = y ; x eli nj(y ; x). Siis y n x. N in ollen n on symmetrinen. (iii) Valitaan mielivaltaiset kokonaisluvut x y ja z. Oletetaan, ett x n y ja y n z. T ll in on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, ett qn = x ; y ja rn = y ; z. Siis (q + r)n = x ; z, miss q + r 2 Z. T m merkitsee, ett x n z. Siis n on transitiivinen. M ritelm n 1.2.2 perusteella n on ekvivalenssirelaatio joukossa Z. M ritelty relaatiota n sanotaan relaatioksi kongruenssi modulo n. 3
1.3 Ekvivalenssiluokka M ritelm 1.3.1 (vrt. [5, s. 23]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A ja olkoon x joukon A alkio. K ytet n merkint [x] joukolle [x] =fy 2 A j yex g. Joukko [x] on ekvivalenssiluokka, jonka m r v t relaatio E ja alkio x 2 A. Seuraava lause esittelee joitakin ekvivalenssiluokkien perusominaisuuksia. Lause 1.3.2 (ks. [5, s. 23]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A. Silloin (i) [x] 6= aina, kun x 2 A, (ii) jos y 2 [x], niin [x] =[y], miss x y 2 A, (iii) [x] =[y] tai [x] \ [y] = aina, kun x y 2 A, (iv) A = [ x2a [x] eli kaikkien ekvivalenssiluokkien unioni on joukko A. Todistus (ks. [5, s. 23]) 1.4 Ekvivalenssirelaation ja joukon osituksen yhteys M ritelm 1.4.1 (ks. [5, s. 23]) Olkoon A joukko ja olkoon P joukko, jonka alkioina ovat joukon A ep tyhj t osajoukot. Joukkoa P sanotaan joukon A ositukseksi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (i) B = C tai B \ C = aina, kun B C 2 P, (ii) A = [ B2PB. Toisin sanoen, jos P on joukon A ositus, niin seuraavat kolme ehtoa ovat voimassa: (i) B A aina, kun B 2 P, eli kaikki joukon P alkiot ovat joukon A osajoukkoja, (ii) tarkasteltaessa kahta joukon P alkiota ne ovat kesken n joko samat tai erilliset, (iii) unioni joukon P alkioista on joukko A. (Ks. [5, s. 24]) 4
Lause 1.4.2 (vrt. [5, s. 24]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A. T ll in P = f [x] j x 2 A g on joukon A ositus. Todistus. Lause on suora seuraus lauseesta 1.3.2 ja m ritelm st 1.4.1. Esimerkki 1.4.3 (vrt. [5, s. 24]) Tarkastellaan esimerkiss 1.2.3 m ritelty ekvivalenssirelaatiota n. Olkoon Z n = f [x] j x 2 Z g. Lauseen 1.4.2 perusteella Z n on joukon Z ositus. Olkoon n =6. Osoitetaan, ett Z 6 = f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g ja [i] =f0 +i 6 +i 12 + i :::g = f 6q + i j q 2 Z g aina, kun i 2 Z. Olkoon 0 a < b < 6. Tehd n oletus, ett [a] = [b]. Nyt a 2 [b] eli a 6 b ja siten 6j(a ; b). Mutta t m on ristiriita, koska 0 <a; b<6. Siis ekvivalenssiluokat [0] [1] [2] [3] [4] [5] ovat erilliset. Osoitetaan, ettei ole olemassa muita ekvivalenssiluokkia. Valitaan mielivaltainen kokonaisluku k. Jakoalgoritmin perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja 0 r<6, ett k =6q + r (ks. tarvittaessa [5, s. 10]). Siis k ;r =6q ja siten 6j(k ;r).nytk 6 r, joten [k] =[r]. Koska 0 r<6, niin [r] 2 f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g. N in ollen [k] 2 f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g, joten Z 6 = f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g. Valitaan mielivaltainen kokonaisluku i. Nytx 2 [i], jos ja vain jos 6j(x;i). Siis x 2 [i], jos ja vain jos on olemassa sellainen kokonaisluku q, ett 6q = x ; i, joten x 2 [i], jos ja vain jos on olemassa sellainen kokonaisluku q, ett x =6q + i. N in ollen [i] =f0 +i 6 +i 12 + i : : : g = f 6q + i j q 2 Z g 5
aina, kun i 2 Z. T ten [i] =[6q + i], miss i =0 1 ::: 5 ja q 2 Z. Siis a) kun i =0, niin [0] = [6] = [12] = =[;6] = [;12] = ::: b) kun i =1, niin [1] = [7] = [13] = =[;5] = [;11] = ::: c) kun i =2, niin [2] = [8] = [14] = =[;4] = [;10] = ::: d) kun i =3, niin [3] = [9] = [15] = =[;3] = [;9] = ::: e) kun i =4, niin [4] = [10] = [16] = =[;2]=[;8] = ::: f) kun i =5, niin [5] = [11] = [17] = =[;1]=[;7] = ::: 1.5 Kuvaus ja laskutoimitus M ritelm 1.5.1 (ks. [5, s. 40]) Olkoot A ja B ep tyhji joukkoja. Relaatiota f joukosta A joukkoon B sanotaan kuvaukseksi (tai funktioksi) joukolta A joukkoon B, jos (i) D(f )=A ja (ii) ominaisuudesta x = x 0 seuraa ominaisuus y = y 0 aina, kun (x y) (x 0 y 0 ) 2 f. Kuvaukselle f joukolta A joukkoon B k ytet n merkint f : A! B. Merkinn n (x y) 2 f sijaan k ytet n usein merkint f (x) = y. Alkiota y sanotaan alkion x kuvaksi ja alkiota x alkion y alkukuvaksi (ks. [6, s. 91]). Kohta (ii) tarkoittaa, ett jokaisen alkion x 2 A kuva y 2 B on yksik sitteinen (ks. [7, s. 20]). (Vrt. [5, s.40]) M ritelm 1.5.2 (vrt. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon S ep tyhj joukko. Kuvausta tulojoukolta S S joukkoon S sanotaan laskutoimitukseksi (tai bin rioperaatioksi) joukossa S ja sit merkit n symbolilla. Laskutoimitus joukossa S liitt joukon S alkioista x ja y muodostetun j rjestetyn parin (x y) t sm lleen yhteen joukon S alkioon. T lle alkiolle k ytet n merkint xy (kuvauksen merkint j k ytt en olisi (x y)). (Vrt. [5, s. 52]) 6
M ritelm 1.5.3 (vrt. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon S ep tyhj joukko ja olkoon laskutoimitus joukossa S. T ll in j rjestetty paria (S ) sanotaan (yhden laskutoimituksen) algebralliseksi struktuuriksi. M ritelm 1.5.4 (ks. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon (S ) algebrallinen struktuuri. Laskutoimituksen sanotaan olevan (i) liit nn inen (eli assosiatiivinen), jos x (y z) =(x y) z aina, kun x y z 2 S, (ii) vaihdannainen (eli kommutatiivinen), jos x y = y x aina, kun x y 2 S. M ritelm 1.5.5 (ks. [5, s. 53] ja [3]) Alkio e 2 S on algebrallisen struktuurin (S ) neutraalialkio, jos e x = x = x e aina, kun x 2 S. Esimerkki 1.5.6 (ks. [5, s. 53]) Olkoon S = fe a bg. M ritell n laskutoimitus joukossa S kertotaulun avulla. Nyt e a = a = a e, e a b e e a b a a b e b b e a e b = b = b e ja e e = e = e e, joten e on algebrallisen struktuurin (S ) neutraalialkio. 7
2 Ryhmien perusominaisuuksia T ss luvussa perehdyt n ryhm n k sitteeseen ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. 2.1 Ryhm n m ritelm Olkoon S = ff j f : A! Ag. T ll in (i) kuvausten f g 2 S yhdist minen,, yhdistetyksi kuvaukseksi f g on laskutoimitus joukossa S (ks. [3]), (ii) f (g h) =(f g) h aina, kun f g h 2 S, (iii) on olemassa sellainen i 2 S, ett f i = f = i f aina, kun f 2 S, (iv) jokaista alkiota f 2 S kohti on olemassa sellainen alkio f ;1 f f ;1 = i = f ;1 f. 2 S, ett N m ominaisuudet johtavat seuraavassa esitett v n ryhm n k sitteen m ritelm n. (ks. [5, s. 58]) M ritelm 2.1.1 (ks. [5, s. 58]) Olkoon G ep tyhj joukko ja olkoon laskutoimitus kyseisess joukossa. J rjestetty paria (G ) nimitet n ryhm ksi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (G1) a (b c) =(a b) c aina, kun a b c 2 G (liit nt laki), (G2) on olemassa sellainen e 2 G, ett a e = a = e a aina, kun a 2 G (neutraalialkion olemassaolo), (G3) jokaista alkiota a 2 G kohti on olemassa sellainen b 2 G, ett a b = e = b a (k nteisalkion olemassaolo). Ryhm on aksioomat G1 G3 toteuttava algebrallinen struktuuri. Seuraava lause ilmaisee kaksi ryhm koskevaa t rke ominaisuutta. (Ks. [5, s. 58]) 8
Lause 2.1.2 (ks. [5, s. 58]) Olkoon (G ) ryhm. Silloin (i) on olemassa sellainen yksik sitteinen alkio e 2 G, ett e a = a = a e aina, kun a 2 G, (ii) jokaista alkiota a 2 G kohti on olemassa sellainen yksik sitteinen b 2 G, ett a b = e = b a. Todistus (vrt. [5, s. 58, 54, osin virheellinen]) (i) Aksiooman G2 perusteella on olemassa sellainen e 2 G, ett e a = a = a e aina, kun a 2 G. Osoitetaan t m n alkion olevan yksik sitteinen. Oletetaan, ett on olemassa my s toinen alkio f 2 G, jolla on ominaisuus f a = a = a f aina, kun a 2 G. Koska e a = a aina, kun a 2 G, niin my s alkiolle f 2 G on e f = f. (1) Koska a f = a aina, kun a 2 G, niin my s alkiolle e 2 G on e f = e. (2) Yht l iden 1 ja 2 perusteella e = f, joten e on yksik sitteinen. (ii) Olkoon a joukon G alkio. Aksiooman G3 perusteella on olemassa sellainen b 2 G, ett a b = e = b a. Osoitetaan t m n alkion olevan yksik sitteinen. Oletetaan, ett on olemassa sellainen c 2 G, ett a c = e = c a. Nyt Siis b on yksik sitteinen. b = b e = b (a c) (e = a c) = (b a) c ( liit nn inen) = e c (b a = e) = c. Aksiooman G2 mukaista yksik sitteist alkiota e sanotaan ryhm n (G ) neutraalialkioksi. Olkoon a 2 G. Aksiooman G3 mukaista yksik sitteist alkiota b sanotaan alkion a k nteisalkioksi ja sit merkit n symbolilla a ;1. (Ks. [5, s. 59]) 9
M ritelm 2.1.3 (vrt. [5, s. 59]) Jos ryhm n (G ) laskutoimitus on vaihdannainen eli kommutatiivinen, niin ryhm sanotaan Abelin ryhm ksi tai kommutatiiviseksi ryhm ksi. Norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel (1802 1829) on saanut nimens kuvaamaan kommutatiivista ryhm (ks. [2, s. 54]). Jos (G ) ei ole kommutatiivinen, sit sanotaan ei-kommutatiiviseksi ryhm ksi (ks. [5, s. 59]). Esimerkki 2.1.4 (vrt. [5, s. 59]) Tarkastellaan muodostaako kokonaislukujen joukko Z yhdess tavanomaisen yhteenlaskun + kanssa ryhm n (Z +). Tiedet n, ett + on liit nn inen eli G1 toteutuu. Nyt 0 on kokonaisluku ja a +0 = 0 = 0+a aina, kun a 2 Z, joten 0 on algebrallisen strukruurin (Z +) neutraalialkio. Siis G2 toteutuu. Jokaista alkiota a 2 Z kohti on olemassa alkio ;a 2 Z niin, ett a +(;a) =0=(;a) +a, joten ;a on alkion a k nteisalkio. My s G3 toteutuu, joten (Z +) on ryhm. Koska lis ksi a + b = b + a aina, kun a b 2 Z, niin+ on vaihdannainen ja (Z +) on Abelin ryhm. Samaan tapaan voidaan osoittaa, ett Abelin ryhmi ovat (Q +), (R +), (C +), (Q nf0g ), (Rnf0g ) ja (C nf0g ), miss + on tavallinen yhteenlasku ja tavallinen kertolasku. Ryhmien (Q nf0g ) (R nf0g ) ja (Q nf0g ) neutraalialkio on 1. Esimerkki 2.1.5 (ks. [5, s. 59]) Olkoon a jokin kokonaisluku. Olkoon G = fna j n 2 Zg ja olkoon + tavallinen yhteenlasku. Silloin (G +) on Abelin ryhm. Carl Friedrich Gaussin ty tuotti monia uusia suuntia Abelin ryhmien tutkimuksessa. Seuraava esimerkki on Gaussin ty n seurausta. (Ks. [5, s. 59]) 10
Esimerkki 2.1.6 (vrt. [5, s. 59 60]) Tarkastellaan esimerkeiss 1.2.3 ja 1.4.3 m ritelty joukkoa Z n. M ritell n laskutoimitus + n joukossa Z n s nn ll [a] + n [b] =[a + b] aina, kun [a] [b] 2 Z n. Osoitetaan, ett (Z n + n ) on Abelin ryhm. Osoitetaan aluksi, ett + n on laskutoimitus. Olkoot [a] [b] [c] [d] 2 Z n. On osoitettava, ett jos ([a] [b]) = ([c] [d]), niin[a + b] =[c + d]. On siis osoitettava, ett jos [a] =[c] ja [b] =[d], niin [a + b] = [c + d]. Oletetaan, ett [a] = [c] ja [b] = [d]. Koska [a] = [c], niin a n c eli nj(a ; c), ja koska [b] =[d], niin b n d eli nj(b ; d). Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut s ja t, ett ns = a ; c ja nt = b ; d. Nyt n(s + t) =((a + b) ; (c + d)), joten nj((a + b) ; (c + d)). Siisa + b n c + d ja siten [a + b] =[c + d]. N in ollen kuva [a + b] on yksik sitteinen, joten + n on laskutoimitus joukossa Z n. Osoitetaan, ett (Z n + n ) on ryhm. Nyt ([a] + n [b]) + n [c] = [a + b] + n [c] = [(a + b) +c] = [a +(b + c)] = [a] + n [b + c] = [a] + n ([b] + n [c]) aina, kun [a] [b] [c] 2 Z n. Siis + n on liit nn inen. Selv sti [0] 2 Z n ja [a]+ n [0] = [a +0] = [a] =[0+a] = [0] + n [a] aina, kun [a] 2 Z n, joten [0] on neutraalialkio. Osoitetaan k nteisalkion olemassaolo. Nyt [;a] 2 Z n ja [a] + n [;a] = [a +(;a)] = [0] = [;a + a] = [;a] + n [a] aina, kun [a] 2 Z n. Siis [;a] on alkion [a] k nteisalkio. Aksioomat G1 G3 toteutuvat, joten (Z n + n ) on ryhm. Koska [a] + n [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + n [a] aina, kun [a] [b] 2 Z n, niin + n on vaihdannainen. T ten (Z n + n ) on Abelin ryhm. 11
Esimerkki 2.1.7 (ks. [5, s. 61]) Olkoon p p Q [ 2] = fa + b 2 j a b 2 Qg. p p T ll in (Q [ 2] +) ja (Q [ 2] nf0g ), miss + on tavallinen yhteenlasku ja p tavallinen kertolasku, ovat Abelin ryhmi. Ryhm n (Q [ 2] +) neutraalialkio on 0+0 2 eli 0 ja alkion p p p a + b 2 k nteisalkio on ;a +(;b) 2. p p Ryhm n (Q [ 2]nf0g ) neutraalialkio on 1+0 2 eli 1 ja alkion p a + b 2 6= 0 k nteisalkio on a a 2 ; 2b ; b p 2. 2 a 2 ; 2b 2 2.2 Joitakin perusominaisuuksia Seuraavissa lauseissa esitet n joitakin ryhm n perusominaisuuksia. Lause 2.2.1 (vrt. [5, s. 62]) Olkoon (G ) ryhm. T ll in (i) (a ;1 ) ;1 = a aina, kun a 2 G, (ii)(a b) ;1 = b ;1 a ;1 aina, kun a b 2 G, (iii) (Supistuss nt (vrt. [7, s. 53])) jos a c = b c tai c a = c b, niin a = b aina, kun a b c 2 G. Todistus (vrt. [5, s. 63]) (i) Olkoon a joukon G alkio. Nyt a ;1 a = e = a a ;1, joten a on alkion a ;1 k nteisalkio. Koska ryhm n k nteisalkio on yksik sitteinen (lause 2.1.2) ja alkion a ;1 k nteisalkiota merkit n symbolilla (a ;1 ) ;1, niin (a ;1 ) ;1 = a. (ii) Olkoot a ja b joukon G alkioita. T ll in (a b) (b ;1 a ;1 ) = ((a b) b ;1 ) a ;1 = (a (b b ;1 )) a ;1 = (a e) a ;1 = a a ;1 = e. Vastaavasti voidaan todeta, ett (b ;1 a ;1 ) (a b) = e. T ten b ;1 a ;1 on alkion a b k nteisalkio. Koska ryhm n k nteisalkio on yksik sitteinen, niin (a b) ;1 = b ;1 a ;1. 12
(iii) Olkoot a,b ja c joukon G alkioita. Oletetaan, ett a c = b c. Koska laskutoimitus liitt joukon G kaksi alkiota yksik sitteisesti kolmanteen joukon G alkioon (tarvittaessa ks. m r. 1.5.3 ja m r. 1.5.1), niin yht l n molemmille puolille voidaan suorittaa oikealta puolelta laskutoimitus alkiolla c ;1. T ll in saadaan (a c) c ;1 = (b c) c ;1. Nyt (a c) c ;1 = a (c c ;1 )=ae = a ja (b c) c ;1 = b (c c ;1 )=be = b, joten a = b. Vastaavasti voidaan osoittaa ominaisuudesta c a = c b seuraavan ominaisuuden a = b. Seuraus 2.2.2 (ks. [5, s. 63]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Jos a a = a, niin a = e. Todistus (vrt. [5, s.63])olkoon aa = a. Koska a = ae, niinaa = ae. Supistuss nn n perusteella saadaan a = e. Lause 2.2.3 (vrt. [5, s. 62] ja [8, s.75]) Olkoon (G ) ryhm. T ll in yht l ill a x = b ja y a = b on yksik sitteiset ratkaisut x y 2 G aina, kun a b 2 G. N m ratkaisut ovat x = a ;1 b ja y = b a ;1. Todistus (vrt. [1, s. 21]) Oletetaan, ett a x = b. Koska laskutoimitus on yksik sitteinen, yht l n molemmille puolille voidaan vasemmalta suorittaa laskutoimitus alkiolla a ;1, joka on alkion a yksik sitteinen k nteisalkio. T ll in saadaan oletuksen kanssa yht pit v yht l a ;1 (ax) =a ;1 b. Koska a ;1 (ax) =(a ;1 a)x = ex = x, niin x = a ;1 b. Samaan tapaan osoitetaan yht l n y a = b yksik sitteisen ratkaisun olevan y = b a ;1. Seuraus 2.2.4 (ks. [5, s. 63]) Ryhm n (G ) alkioille muodostetussa laskutoimitustaulussa (tarvittaessa ks. esim. 1.5.6) kukin alkio esiintyy jokaisella rivill ja jokaisessa sarakkeessa t sm lleen kerran. 13
Todistus (vrt. [5, s. 64]) Olkoon b joukon G sellainen alkio, joka esiintyy kahdesti alkiolla a merkityll rivill. T ll in on olemassa sellaiset joukon G ei-samat alkiot u ja v, ett au = b ja av = b.yht l ll ax = b on siis kaksi eri ratkaisua u ja v. T m on ristiriidassa lauseen 2.2.3 kanssa, joten sama alkio voi esiinty samalla rivill korkeintaan kerran. Koska lis ksi rivej ja alkioita on yht monta, t ytyy kunkin alkion esiinty kullakin rivill v hint n kerran. Siis jokainen joukon G alkio esiintyy jokaisella rivill t sm lleen kerran. Sarakkeiden kohdalla todistaminen suoritetaan samalla tavalla. 2.3 Puoliryhm vai ryhm? Jotta on voitu osoittaa tietyn joukon ja tietyn laskutoimituksen muodostavan yhdess ryhm n, on t ytynyt osoittaa m ritelm n 2.1.1 aksioomien G1 G3olevan voimassa t lle algebralliselle struktuurille. Olisi kuitenkin eduksi, jos k ytett viss olisi yksinkertaisempia menetelmi todeta, onko tietty algebrallinen struktuuri ryhm vai ei. Osittain t st syyst otetaan k ytt n k sitteet puoliryhm ja monoidi. (Ks. [5, s. 65]) M ritelm 2.3.1 (ks. [5, s. 65]) Olkoon S ep tyhj joukko ja olkoon liit nn inen laskutoimitus joukossa S. T ll in j rjestetty paria (S ) sanotaan puoliryhm ksi. M ritelm 2.3.2 (ks. [3]) Puoliryhm (S ), jolla on neutraalialkio, sanotaan monoidiksi. Selv sti jokainen ryhm on sek puoliryhm ett monoidi. Puoliryhm ja monoidia sanotaan kommutatiiviseksi, jos on vaihdannainen eli a b = b a aina, kun a ja b ovat joukon S alkioita. Jos puoliryhm tai monoidi ei ole kommutatiivinen, sit sanotaan ei-kommutatiiviseksi. (Ks. [5, s.65]) Esimerkki 2.3.3 (vrt. [5, s. 65]) Tarkastellaan positiivisten kokonaislukujen joukkoa N. Positiivisten kokonaislukujen yhteenlasku tuottaa yksik sitteisen 14
positiivisen kokonaisluvun, joten + on laskutoimitus joukossa N. Koska + on my s liit nn inen ja vaihdannainen, niin (N +) on kommutatiivinen puoliryhm. Esimerkki 2.3.4 (ks. [5, s.66])olkoon joukossa X v hint n kaksi alkiota ja olkoon S 0 joukko, jonka alkioina ovat kaikki ei-injektiiviset kuvaukset f : X! X. T ll in (S 0 ) on ei-kommutatiivinen puoliryhm. Esimerkki 2.3.5 (ks. [5, s. 66]) Olkoon X joukko ja olkoon P(X) joukon X potenssijoukko (tarvittaessa ks. [5, s. 8]). T ll in (P [) ja (P \) ovat kommutatiivisia monoideja. Monoidin (P [) neutraalialkio on tyhj joukko ja monoidin (P \) neutraalialkio on joukko X. Seuraavat kolme lausetta ilmaisevat v ltt m tt m t ja riitt v t ehdot sille, ett puoliryhm on ryhm. Lause 2.3.6 (ks. [5, s. 66]) Puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos (i) on olemassa sellainen e 2 S, ett e a = a aina, kun a 2 S, (ii) jokaista alkiota a 2 S kohti on olemassa sellainen b 2 S, ett b a = e. Todistus (vrt. [5, s. 66]) Oletetaan, ett (S ) on sellainen puoliryhm, joka toteuttaa ehdot i ja ii. Olkoon a jokin joukon S alkio. Ehdon ii perusteella on olemassa sellainen alkio b 2 S, ett b a = e. Samoin ehdon ii perusteella on olemassa sellainen alkio c 2 S, ett c b = e. Nyt Edelleen a = e a (ehdon i mukaan) = (c b) a (c b = e) = c (b a) ( liit nn inen) = c e (b a = e). a b = (c e) b (a = c e) = c (e b) ( liit nn inen) = c b (ehdon i perusteella) = e. 15
Koska lis ksi ehdon ii perusteella b a = e, niin a b = e = b a. Siis m ritelm n 2.1.1 aksiooma G3 toteutuu. Osoitetaan seuraavaksi, ett aksiooma G2 toteutuu. Nyt a e = a (b a) (b a = e) = (a b) a ( liit nn inen) = e a (a b = e) = a (ehdon i mukaan). Koska lis ksi ehdon i mukaan e a = a, niin a e = a = e a, joten G2 toteutuu. Koska puoliryhm n laskutoimitus on liit nn inen, niin aksiooma G1 toteutuu. Siis (S ) on ryhm. Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. T ll in aksioomasta G2 seuraa ehto i ja aksioomasta G3 seuraa ehto ii. Lause 2.3.7 (ks. [5, s. 66]) Puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut x y 2 S aina, kun a b 2 S. Todistus (vrt. [5, s. 66]) Oletetaan, ett yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut x ja y joukossa S. Olkoon a joukosta S mielivaltaisesti valittu alkio. Tarkastellaan yht l y a = a. Oletuksen perusteella yht l ll y a = a on ratkaisu joukossa S. Merkit n t t ratkaisua kirjaimella u. T ll in u a = a. Olkoon b joukosta S mielivaltaisesti valittu alkio. Tarkastellaan yht l a x = b. Oletuksen perusteella yht l ll a x = b on ratkaisu joukossa S. Merkit n ratkaisua kirjaimella c. Siis a c = b. Nyt u b = u (a c) (b = a c) = (u a) c ( liit nn inen) = a c (u a = a) = b. Koska b valittiin mielivaltaisesti joukon S alkioiden joukosta, niin u b = b aina, kun b on joukon S alkio. T ten (S ) toteuttaa lauseen 2.3.6 ehdon i. Tarkastellaan yht l y a = u, miss a ja u ovat kuten edell. Olkoon d yht l n ratkaisu, jolloin d a = u. Siis (S ) toteuttaa lauseen 2.3.6 ehdon ii. Lauseen 2.3.6 perusteella (S ) on ryhm. 16
Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. Lauseen 2.2.3 perusteella yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut. M ritelm 2.3.8 (vrt. [5, s. 68]). Ryhm, monoidia tai puoliryhm (S ) sanotaan relliseksi, jos joukko S on rellinen. Muutoin (S ) on ret n. Lause 2.3.9 (vrt. [5, s. 67]) rellinen puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos (S ) toteuttaa supistuss nn n (eli jos a c = b c tai c a = c b, niin a = b aina, kun a b c 2 S). Todistus (vrt. [5, s. 67] Olkoon (S ) rellinen puoliryhm, joka toteuttaa supistuss nn n. Olkoot a ja b joukon S alkioita. Osoitetaan, ett yht l ll a x = b on ratkaisu joukossa S. Olkoon S = fa 1 a 2 ::: a n g, miss mik n alkio ei esiinny kahdesti. Koska on laskutoimitus, niin a a i 2 S aina, kun i = 1 2 ::: n. T ten fa a 1 a a 2 ::: a a n g S. Oletetaan, ett a a i = a a j, miss i 6= j. Supistuss nn n perusteella a i = a j, mik on ristiriita, koska a i 6= a j. T ten joukon faa 1 aa 2 ::: aa n g alkioissa ei ole samoja alkiota. Joukoissa S ja fa a 1 a a 2 a a n g kummassakin on n alkiota, joten S = fa a 1 aa 2 ::: aa n g. Nyt b 2 S, joten edell esitetyn perusteella on olemassa sellainen a k 2 S, ett aa k = b.siisyht l ll ax = b on ratkaisu joukossa S. Vastaavasti osoitetaan, ett yht l ll y a = b on ratkaisu joukossa S. Lauseen 2.3.7 perusteella (S ) on ryhm. Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. Lauseen 2.2.1 kohdan iii perusteella supistuss nt toteutuu. 17
2.4 Potenssi Olkoon (G ) ryhm ja olkoot a b ja c joukon G alkioita. T ll in liit nt lain perusteella a(bc) =(ab)c, joten voidaan m ritell abc = a(bc) = (ab)c. Seuraavassa lauseessa t m laajennetaan koskemaan mink tahansa kokoista rellist lauseketta a 1 a 2 a n. (Ks. [5, s. 64]) Lause 2.4.1 (Yleistetty liit nt laki) (vrt. [1, s. 19]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoot a 1 a 2 ::: a n joukon G alkioita. Lausekkeen a 1 a 2 a n arvo ei riipu siit, miss j rjestyksess laskutoimitukset suoritetaan. Todistus (vrt. [5, s. 64]) Osoitetaan lause todeksi induktion avulla. Liit nt lain perusteella v ite on tosi, kun n = 3. Oletetaan nyt, ett v ite on tosi kokonaisluvulla m, kun 3 m < n. Olkoot a 1 a 2 ::: a n joukon G alkioita. Olkoon (a 1 a t ) (a t+1 a n ) alkioista a 1 a 2 ::: a n (t ss j rjestyksess ) muodostettu lauseke. Nyt t < n. Kun t = n ; 1, niin (a 1 a 2 a t )a t+1 = a 1 a 2 a t a t+1,koska sulut eiv t muuta laskuj rjestyst. Merkit n ominaisuutta symbolilla?. Oletetaan, ett t<n; 1. T ll in (a 1 a t ) (a t+1 a n ) = (a 1 a t ) ((a t+1 a n;1 ) a n ) = ((a 1 a t ) (a t+1 a n;1 )) a n = (a 1 a 2 a n;1 ) a n = a 1 a 2 a n : Yht suuruusketjussa ensimm inen ja viimeinen yht suuruus perustuu ominaisuuteen?, toinen laskutoimituksen liit nn isyyteen ja kolmas induktiooletukseen. On osoitettu, ett v ite on tosi kokonaisluvulle n. Induktioperiaatteen mukaan lause on tosi. 18
M ritelm 2.4.2 (vrt. [5, s. 67]) Olkoon (G ) ryhm. Olkoon a joukon G alkio ja olkoon n kokonaisluku. Alkion a potenssi a n lasketaan a n = 8 < : e, jos n =0, a a n;1, jos n>0, (a ;1 ) ;n, jos n<0. Negatiivinen potenssi voidaan laskea my s a n = (a ;n ) ;1, miss n < 0 (ks. [5, s. 67]). Kun laskutoimitus on yhteenlaskun kaltainen, k ytet n potenssin sijaan nimityst alkion a monikerta (ks. [3]). (Vrt. [5, s. 67]) M ritelm 2.4.3 (vrt. [5, s. 67]) Olkoon (G +) ryhm, jossa + on yhteenlaskun kaltainen. Olkoon a joukon G alkio ja olkoon n kokonaisluku. Alkion a monikerta na lasketaan na = 8 < : 0, jos n =0, neutraalialkiota merkit n symbolilla 0, a +(n ; 1)a, jos n>0, (;n)(;a), jos n<0. Ryhm ss (Z 6 + 6 ) monikerta 2[3] lasketaan 2[3] = [3] + 6 [3] = [6] = [0]. Merkint na ei tarkoita, ett alkioille n ja a suoritetaan kertolasku, koska ryhm ss (Z 6 + 6 ) ei ole kertolaskua edes m ritelty. (Ks. [5, s. 67]) 2.5 Ryhm n kertaluku ja alkion kertaluku M ritelm 2.5.1 (vrt. [5, s. 68] ja [4, s. 14]) rellisen ryhm n (G ) kertaluku on joukon G alkioiden lukum r ja sit merkit n symbolilla jgj. rett m n ryhm n kertaluku on ret n. Esimerkin 2.1.6 perusteella jokaista positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa rellinen Abelin ryhm, jonka kertaluku on n. rett mi ryhmi alettiin tarkastella paljolti sen johdosta, ett Felix Klein ja Sophus Lie k yttiv t ryhm n k sitett geometrian parissa. Esimerkkien 2.1.4, 2.1.5 ja 2.1.7 ryhm t ovat rett mi, joten niiden kertaluvut ovat rett mi. (Ks. [5, s. 68]) 19
Olkoon (G ) rellinen ryhm ja olkoon a joukon G alkio. T ll in a 2 = a a on joukon G alkio. Induktioperiaatteen avulla voidaan osoittaa, ett a m 2 G aina, kun m 1. N in ollen fa a 2 ::: a m :::g G. Koska G on rellinen, joukon fa a 2 ::: a m :::g alkioista joidenkin t ytyy olla samoja. Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja l, ett a k = a l ja k>l. T ll in on oltava a k;l = e. Merkit n n = k;l. T ten on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku n, ett a n = e. My s rett m n ryhm n alkiolle a voi olla olemassa sellainen kokonaisluku n, ett a n = e. (Ks. [5, s. 68]) M ritelm 2.5.2 (vrt. [5, s. 68] ja [4, s. 14]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Alkion a kertaluku on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku n, ett a n = e. Jos sellaista kokonaislukua ei ole, alkion a kertaluku on ret n. Alkion a kertalukua merkit n symbolilla (a). Alkion kertaluku on hyvin t rke ryhm teoriassa. Alkion kertalukuun liittyv tieto kertoo siit, millaisesta ryhm st kulloinkin on kyse. (Ks. [5, s. 68]) Esimerkki 2.5.3 (vrt. [5, s. 68]) Tarkastellaan ryhm (Z 6 + 6 ). Ryhm n kertaluku jz 6 j =6. Alkioiden [0] [1] [2] [3] [4] [5] kertaluvut ovat 1 6 3 2 3 6. Esimerkiksi 3[2] = [2] + 6 [2] + 6 [2] = [6] = [0]. Alkion [2] kertaluku on 3, koska se on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku n, jolla n[3] = [0]. Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Jos (a) on ret n, niin alkion kertaluvun m ritelm n perusteella my s (a k ) on ret n aina, kun k 1. Toisin sanoen jos (a) on ret n, niin alkion a positiivisen potenssin kertaluku on ret n. Jos (a) on rellinen, niin alkion a potenssin a k kertaluku voidaan laskea seuraavan lauseen mukaisesti. Lauseessa k ytet n symbolia syt(t n) (engl. gcd(t n)), jolla merkit n kokonaislukujen t ja n suurinta yhteist tekij (tarvittaessa ks. [5, s. 11]). (Vrt. [5, s. 68]) 20
Lause 2.5.4 (ks. [5, s. 68 69]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G sellainen alkio, ett (a) =n. T ll in: (i) jos on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku m, ett a m = e, niin n on luvun m tekij, (ii) (a t n )= aina, kun t on positiivinen kokonaisluku. syt(t n) Todistus (Vrt. [5, s. 69]) (i) Jakoalgoritmin perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, ett m = nq + r, miss 0 r < n. T ll in a r = a m;nq = a m a ;nq = a m (a n ) ;q = e (e) ;q = e. Koska lis ksi n on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, ett a n = e, ja r<n, niin r =0. T ten m = nq eli n on luvun m tekij. (ii) Olkoon (a t ) = k. T ll in a kt = e. Kohdan i perusteella n on luvun kt tekij. N in ollen on olemassa sellainen kokonaisluku r, ett kt = nr. Olkoon syt(t n) =d. T ll in on olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja v, ett t = du ja n = dv sek syt(u v) =1. T ten yht l kt = nr saadaan muotoon kdu = dvr ja edelleen muotoon ku = rv. N in ollen v on luvun ku tekij. Koska syt(u v) =1,niinv on luvun k tekij. N in ollen n d Nyt (a t ) n d = a ndu d = a nu =(a n ) u = e u = e. on luvun k tekij. Koska (a t ) = k, niin k on luvun n tekij. Nyt n d d luvun n tekij, joten d k = n. N in ollen d on luvun k tekij ja k on (a t )=k = n d = n syt(t n). 21
Viitteet [1] David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, Prentice- Hall International, New Jersey, 1991. [2] John B. Fraleigh, A rst course in abstract algebra, 6th ed., Addison-Wesley, 1999. [3] Pentti Haukkanen, Algebraa, luentomonisteen luonnos, 1997. [4] Mika Kurki, Ryhmist, Pro gradu -tutkielma, Tampereen yliopisto, Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos, 1999. [5] D. S. Malik, John N. Mordeson, M. K. Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, WCB/McGraw-Hill, 1997. [6] Jorma Merikoski, Ari Virtanen, Pertti Koivisto, Diskreetti matematiikka I, Tampereen yliopisto, Matemaattisten tieteiden laitos, B42, Tampere, 1994. [7] Tauno Mets nkyl, Marjatta N t nen, Algebra, Jyv skyl n yliopisto, Matematiikan laitos, Luentomoniste 44, Jyv skyl, 1999. [8] Thomas A. Whitelaw, Introduction to Abstract Algebra, 3th ed., Chapman & Hall/CRC, 1998. 22