MS-C1080 Algebran perusrakenteet (5 op) Luennot: Camilla Hollanti Harjoitukset: Ferdinand Blomqvist etunimi.sukunimi@aalto.fi Kevät 2017 NB: All the relevant info can be found in English on MyCourses, so don t worry about these slides being in Finnish! 1 / 13
Kurssin sisältö Kurssimateriaali: Metsänkylä Näätänen, Algebra. Kurssin sisältö jakautuu karkeasti ottaen kolmeen osa-alueeseen: Ryhmät ja ryhmien rakenne (III.1 IV.6, s. 47 95) Renkaat, kokonaisalueet ja ihanteet (V.1 V.6, s. 96 112) Kunnat (VI.1 VI.2, s. 113 119) Kurssin asiat ovat luonteeltaan vahvasti kumuloituvia eli aikaisemmat asiat tulisi hallita hyvin myöhempiä opetellessa. 2 / 13
Kurssin suorittaminen Kotitehtävät ja tentti, 5 op. Keskiviikon laskuharjoituksissa lasketaan tehtäviä paikan päällä. Tehtävät tulevat viimeistään samana päivänä MyCourses-portaaliin, eikä niitä siis tarvitse tehdä etukäteen, eikä niitä arvostella. Laskuharjoituksissa voit myös kysyä apua kotitehtäviin. Lisäksi kurssin aikana annetaan neljä kotitehtäväsarjaa (noin viisi tehtävää per sarja). Nämä tehtävät palautetaan kirjallisesti määräaikaan mennessä ja arvostellaan. Kurssiarvosana määräytyy osittain kotitehtävien perusteella. Ensimmäisen tehtäväsarjan määräaika on sunnuntaina 15.1. Deadlinet ilmoitetaan MyCourses-portaalissa tehtävien ilmestyessä sinne. 3 / 13
Pisteiden kertyminen Kurssin arvosana määräytyy pisteiden perusteella. Pisteitä saa tentistä, kotitehtävistä, osallistumisesta ja palautteen antamisesta: Luento-osallistuminen: 0.25p/luento (yht. max 3p) Laskuharjoitukset: 0.5p/harjoitukset (yht. max 3p) Kotitehtävät: max 40p (pisteitä saa vain määräaikaan mennessä palautetuista tehtävistä) Tentti: max 32p Palautelomakkeen täyttäminen: 1p 4 / 13
Arvostelu Läpipääsyyn vaaditaan vähintään n. 16 pistettä tentistä 10 kotitehtäväpistettä kaksi kotitehtävää palautettuna per setti Huomaathan, että läsnäolopisteet eivät auta läpipääsyyn vaan niillä voi ainoastaan korottaa arvosanaa. Pakolliset kotitehtävät auttavat tenttiin valmistautumisessa siten, ettei kaikki lukeminen ja harjoittelu jää viime tippaan. 5 / 13
Vapaaehtoinen essee ja kesätyöt Voit ansaita 2 op lisää kirjoittamalla vapaaehtoisen esseen algebraan liittyvästä aiheesta, joka täydentää kurssilla opittua. Aiheita voi pyytää luennoitsijalta tai ehdottaa itse. Essee tulee palauttaa helmikuun 2017 loppuun mennessä. Käymällä tämän kurssin (ja mahdollisesti muita diskreetin kursseja, esim. Algebraic Number Theory periodilla IV) saat hyvät esitiedot esimerkiksi kandityön tekemiseen ANTA-tutkimusryhmässä. Ohjaamme myös diplomi- ja väitöskirjatöitä algebraan, lukuteoriaan ja niiden sovelluksiin liittyen. 6 / 13
Algebran merkitys tieteessä ja teollisuudessa In its most general form, algebra is the study of mathematical symbols and the rules for manipulating these symbols; it is a unifying thread of almost all mathematics. Nykypäivänä melkein kaikki data on diskretoidussa muodossa. Tämä korostaa diskreettien tieteenalojen, ml. algebran, merkitystä. Algebra on myös tehokas työkalu muilla matematiikan osa-alueilla: algebrallinen lukuteoria/geometria/topologia/kombinatoriikka/ optimointi/systeemiteoria... Algebralla on lukuisia sovelluksia myös muilla tieteenaloilla ja käytännössä: biologia, rahoitusala, fysiikka, lääketiede, langaton viestintä (5G verkot), virheenkorjaus (DVD, QR-koodit), hajautettu tallennus (Facebook, Google), 3D mallinnus/animointi, turvallisuus, yksityisyys, systeemioptimointi,... 7 / 13
Historian havinaa Algebran juuret ulottuvat aina Babyloniaan asti, 2000-1600 eaa. Paljon tätä myöhemmin, ryhmäteorian synty tapahtui pääosin kolmen matematiikan alan kautta. Lukuteoria. Sveitsiläinen Leonhard Euler (1707-1783) tutki lukupotenssien jakojäännöksiä ja tuli näin samalla johtaneeksi kommutatiivisiä ryhmiä koskevia tuloksia. Saksalainen Carl Friedrich Gauss (1777-1855) jatkoi Eulerin työtä ja julkaisi tuloksista kirjan Disquisitiones Arithmeticae vuonna 1800. Geometria. Saksalainen August Möbius (1790-1868) tutki millaiset geometriset muunnokset ovat invariantteja (ts. ominaisuudet säilyttäviä) ja todisti, että invariantit muunnokset muodostavat ryhmän. Saksalainen Felix Klein (1849-1925) puolestaan perusti vuonna 1872 Erlangenin ohjelman, jonka tehtävänä oli geometrian luokittelu ryhmäteoreettisin käsittein. 8 / 13
Historian havinaa Polynomien juurten permutaatiot. Italialainen Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) tutki, miksi 3. ja 4. asteen yhtälöille on löydettävissä yleiset ratkaisukaavat. Hänen työtään jatkoi erityisesti ranskalainen Évariste Galois (1811-1832), joka ratkaisi polynomien ratkaisukaavojen ongelman täydellisesti. Itsenäisenä alanaan ryhmät tulivat virallisesti tunnetuksi vuonna 1897, kun englantilainen William Burnside (1852-1927) julkaisi kirjansa Theory of Groups of Finite Order. Nimitys ryhmä on peräisin Galois lta. 9 / 13
Niels Henrik Abel (1802-1829) Norjalainen Abel tutki kommutatiivisia ryhmiä, jotka myöhemmin nimettiinkin Abelin ryhmiksi hänen mukaansa. Abelin merkittävimmät tulokset liittyivät elliptisiin funktioihin ja matemaattiseen analyysiin. Myös ensimmäinen tunnettu todistus sille, ettei 5. tai korkeamman asteen yhtälöillä ole yleistä ratkaisukaavaa on peräisin Abelilta. Tulos julkaistiin 1826 Crelen perustaman aikakauslehden ensimmäisessä numerossa, joka sisälsi yhteensä 22 Abelin artikkelia. 10 / 13
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Saksalainen Gauss vaikutti suuresti moniin tieteenaloihin, kuten lukuteoriaan, tilastotieteeseen, analyysiin, differentiaaligeometriaan, geofysiikkaan, sähköstatistiikkaan sekä astronomiaan. Gaussin elämää varjosti hänen vaimonsa aikainen kuolema, minkä jälkeen piakkoin myös yksi hänen lapsistaan kuoli. Gauss ei koskaan kunnolla toipunut näiden tragedioiden aiheuttamasta masennuksesta. Hän meni kuitenkin uudelleen naimisiin kuolleen vaimonsa parhaan ystävän kanssa, joka sairastui ja kuoli myös ennenaikaisesti. 11 / 13
Évariste Galois (1811-1832) Ranskalainen matemaatikko Galois oli erittäin lahjakas jo hyvin nuorena. Hänen julkaisuyrityksensä kuitenkin epäonnistuivat kerta toisensa jälkeen. Käsikirjoitukset joko hävisivät tai niitä ei ymmärretty. Vasta Galois n kuoleman jälkeen 1846 Liouville viimein julkaisi hänen tuloksiaan. Galois kohtasi muutenkin paljon epäonnea. Lahjakkuudestaan huolimatta hän ei päässyt arvostettuun École Polytechnique yliopistoon. Hän istui myös kahteen otteeseen vankilassa vuoden 1830 vallankumoukseen liittyvistä poliittisista syistä ja kuoli kaksintaistelussa ollessaan vasta 21-vuotias. 12 / 13
Emmy Noether (1882-1935) Yksi kaikkien aikojen vaikuttavimmista algebrikoista ja etenkin naismatemaatikoista oli saksalainen Emmy Noether, joka kehitti erityisesti renkaiden teoriaa. Hänen mukaansa on nimetty Noetherin renkaat. Sukupuolisen syrjinnän vuoksi hänen oli kuitenkin vaikea saada tuloksiaan julkisuuteen. Niitä teki tunnetuksi alankomaalainen Bartel Laandert van der Waerden liittämällä monia niistä vuonna 1930 julkaistuun kirjaansa Moderne Algebra. Noether sai professuurin vasta vähän ennen kuolemaansa vuonna 1933 USAn yksinomaa naisille tarkoitetusta Bryn Mawrin yliopistosta. 13 / 13