1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko on joko äärellinen tai ääretön. Kuitenkin on monesti tärkeää päästä vertaamaan erikokoisia äärettömiä, esimerkiksi miten joukon ja sen potenssijoukon alkiomäärät suhtautuvat toisiinsa. Joukkojen keskinäisiä alkiomääriä voidaan vertailla funktioiden maailmasta saatavalla työkalulla, käsitteellä joukkojen mahtavuus (set cardinality). Joukon A alkioiden lukumäärää merkitään jatkossa #A. 1.1 Mahtavuusvertailujen määrittely Ristiriitoja välttääksemme otamme jonkin perusjoukon X, jonka osajoukkoja kaikki vertailtavat perustason joukot ovat. Määritellään joukon X osajoukkojen yhtämahtavuusrelaatio asettamalla: A B A = B = tai on olemassa bijektio A B. Lause 1.1.1 Yhtämahtavuusrelaatio on ekvivalenssi joukon potenssijoukossa. Todistus. Asetelma on kelvollinen, P(X) P(X), joten todella on relaatio joukossa P(X). (E1) on refleksiivinen: A A, koska identtinen kuvaus Id : A A, Id(x) := x, on näiden välinen bijektio. (E2) on symmetrinen: Jos A B, on olemassa bijektio A B. Sen käänteiskuvaus B A on bijektio ja siten B A. (E3) on transitiivinen: Olkoot A B ja B C. Silloin on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C. Nämä voidaan yhdistää funktioksi g f : A C, joka bijektioiden yhdistettynä funktiona on bijektio. Siis A C. Määritelmä 1.1.2 Sanotaan, että (perusjoukon X osa)joukot A ja B ovat yhtä mahtavia (equal cardinality), jos A B, ts. jos molemmat ovat tyhjiä tai on olemassa bijektio A B. Joukko A on korkeintaan yhtä mahtava joukko kuin B, jos joko A = tai on olemassa injektio A B. Tätä merkitään A B. Jos A B, sanotaan myös, että joukko B on vähintään yhtä yhtä mahtava kuin A. Joukko B on aidosti mahtavampi kuin joukko A (tai: joukko A on aidosti vähemmän mahtava), jos A B mutta ei ole A B; merkitään A B tai B A.

1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 2 Lause 1.1.3 Joukko A on korkeintaan yhtä yhtä mahtava kuin B jos ja vain jos joko A = tai on olemassa surjektio B A. Todistus. Olkoot A, B X. Jos A =, on asia selvä. Olkoon siis A. Oletetaan, että A B, ts. että on olemassa injektio f : A B. Tämä voidaan tulkita bijektioksi f : A f(a), jolloin sen käänteisrelaation f 1 rajoittuma joukkoon f(a) on bijektio f(a) A. Jos joukko B \ f(a) =, on asia selvä (miksi?). Jos ei, otetaan joukosta A jokin alkio a ja kuvataan kaikki joukon B \ f(a) alkiot alkiolle a. Tarkemmin muotoiltuna: tehdään uusi funktio G : B A, jolle G(y) := f 1 (y) kaikilla y f(a) ja G(y) = a kaikilla y B \ f(a). Silloin G : B A on surjektio. Oletetaan kääntäen, että on olemassa surjektio g : B A. Nyt jokainen alkukuvajoukko g 1 (x) on epätyhjä ja funktio-ominaisuuden nojalla nämä joukot ovat erillisiä, eli g 1 (x 1 ) g 1 (x 2 ) kaikilla x 1 x 2. Täten jokaista x A kohti voidaan valita yksi alkio sen alkukuvajoukosta ja näin saadut alkukuvat ovat kaikki eri alkioita. Tällä tavoin saamme aikaan injektion A B. Esimerkki 1.1.4 Olkoon A := {1, 2, 3, 4, 5} ja B := {a, b, c, d, e, f}. a) Oletetaan aluksi, että joukon B kaikki alkiot ovat eri alkioita. Silloin A on korkeintaan yhtä mahtava, jopa aidosti vähemmän mahtava kuin B, siis A B. Äärellisten joukkojen tapauksessa mahtavuuksien vertailua voidaan yleensäkin tehdä suoraan alkiomäärien avulla; yllähän on #A = 5 < 6 = #B. b) Jos joukon B luetelluissa alkioissa on samoja, niin A onkin vähintäin yhtä mahtava kuin B. Esimerkki 1.1.5 Olkoon 2N := {2, 4, 6, 8,...}. Tällöin N 2N, sillä funktio f : N 2N, f(n) := 2n, on bijektio, ks. Kuva 1. 0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 6 f(n) 7 8 9 10 11 12 Kuva 1: Esimerkin 1.1.5 bijektio f(n) = 2n Tehtävä 1.1.6 Miten voidaan selittää, että kun Hilbertin hotelliin saapuu vielä a) yksi asiakas, tämäkin voidaan majoittaa omaan huoneeseen? b) k vierasta, nämäkin voidaan majoittaa kukin omaan huoneeseensa?

1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 3 Seuraavassa nähdään, että on olemassa mahtavuusmielessä erikokoisia äärettömiä. Osoitetaan, että mielivaltaisen joukon X potenssijoukko, eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) := { B B X } on aina aidosti mahtavampi kuin joukko itse. Äärellisille joukoillehan tämä on aivan ymmärrettävää: jos #A = n, niin #P(A) = 2 n. Todistus onnistuu induktiolla joukon alkiomäärän suhteen. Lause 1.1.7 (Cantorin lause) Mielivaltaiselle joukolle X on X P(X). Erityisesti äärelliselle joukolle on #X < #P(X). Todistus. Jos X =, on asia selvä: { }. Olkoon siis X epätyhjä joukko. Kuvaus f : X P(X), f(x) := {x}, on selvästi injektio, joten X P(X). Aidon vähemmän mahtavuuden todistamiseksi riittää Lauseen 1.1.3 mukaan näyttää, että ei ole olemassa surjektiota X P(X). Olkoon g : X P(X) funktio ja A := { x X x / g(x) }. Silloin A P(X). Näytetään, että mikään joukon X alkio ei kuvaudu joukolle A X. Vastaoletus: On olemassa x 0 X, jolle g(x 0 ) = A. Koska x 0 A tai x 0 / A, seuraa: Jos x 0 A, joukon A määrittelyn nojalla x 0 / g(x 0 ) = A. Jos x 0 / A = g(x 0 ), joukon A määrittelyn nojalla x 0 A. Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan, joten ei ole olemassa alkiota x 0 X, joka kuvautuisi joukolle A. Koska ei ole olemassa surjektiota X P(X), on X P(X). 1.2 Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys Naiivi tapa määritellä joukon äärettömyys on sanoa joukkoa äärettömäksi, jos siinä ei ole äärellisen monta alkiota. Tässä kuitenkin piilee kehämäärittelyn maku; ääretön määritellään äärellisen avulla. Mitä on sitten olla äärellinen? Matemaattisesti voidaan menetellä toisinpäin, määritelläänkin ääretön joukko edellä johdettujen työkalujen avulla, muodollisesti täysin riippumatta tuosta hieman hämärästä äärellisyyskäsitteestä.

1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 4 Määritelmä 1.2.1 Joukko on ääretön (infinite), jos se on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Muutoin joukko on äärellinen (finite). Äärettömän lukumäärän määrittely näin voi aluksi vaikuttaa hiukan abstraktilta, mutta aikaa myöten sen käyttökelpoisuuden pitäisi tulla näkyviin. Esimerkki 1.2.2 Viisialkioinen joukko A := {1, 2, 3, 4, 5} on ymmärrettävästi äärellinen, koska sen jokaisessa aidossa osajoukossa on enintään neljä alkiota, eikä näiden välillä siten voi olla bijektiota. Esimerkki 1.2.3 Esimerkissä 1.1.5 todettiin, että N 2N = {2, 4, 6, 8,...}. Koska 2N on joukon N aito osajoukko, on N ääretön. Onkohan myös 2N ääretön? Nyt on siis voitu matemaattisesti vetää raja äärellisen ja äärettömän lukumäärän välille. Mutta onkohan olemassa erikokoisia äärettömiä? Mehän nimittäin tiedämme Lauseesta 1.1.7, että vaikkapa P(N) on aidosti mahtavampi kuin N, joka jo sekin on ääretön joukko! Luvussa 1.3 lähestymme äärellisyysasiaa toisesta perspektiivistä, nimittäin luokittelemalla joukot niiden mahtavuuksien perusteella. 1.3 Joukon kardinaliteetti Lauseessa 1.1.1 osoitettiin yhtämahtavuus ekvivalenssirelaatioksi. Relaatiosta olla korkeintaan yhtä mahtava kuin saadaan osittainen ja jopa totaali järjestys pienellä jekulla, ks. Lauseet?? ja 1.3.5. Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon absoluuttinen koko alkioiden määrän mielessä. Palautetaan mieleen ekvivalenssiluokat (ks. Luku??): Joukon A X määräämä ekvivalenssiluokka on joukko (A) = {X P(X) A X}. Määritelmä 1.3.1 Joukon A määräämää ekvivalenssiluokkaa yhtämahtavuusrelaatiossa sanotaan sen kardinaaliluvuksi eli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitään card A := (A). Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla K, siis K = {card A A P(X)}. Tietty kardinaaliluku on siis todellisuudessa joukko, jonka alkioina ovat kaikki samankokoiset joukot, siis joukot joiden välillä on bijektioita. Esimerkiksi Jukolan veljekset J on alkiona samassa kardinaaliluvussa kuin [7] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, samoin (perinteinen) Otavan tähdistö.

1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 5 Esimerkki 1.3.2 Esimerkissä 1.1.5 todettiin, että N ja 2N = {2, 4, 6, 8,...} ovat yhtämahtavia eli N 2N. Joukot N ja 2N kuuluvat siis samaan kardinaalilukuun κ N. Tämä on pienin ääretön kardinaaliluku ja sillä on oma merkintä ℵ 0 := κ N (ℵ luetaan alef ). Kardinaalilukujen joukkoon saadaan osittainen järjestys korkeintaan-yhtä-mahtava -relaation avulla: asetetaan kaikilla κ 1, κ 2 K κ 1 ˆ κ 2 X 1 X 2 joillakin X 1 κ 1, X 2 κ 2. X joukon X osajoukot xxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx A xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx B xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx P(X) P(X) B A C yhtämahtavien ekvivalenssiluokat relaatiossa _~ _~ (A) B A C _~ (C) kardinaaliluvut K _~ (A) = card A _ osittainen järjestys _~ (C) = card C Kuva 2: Kardinaalilukujen rakentuminen Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana joillakin voitaisiin korvata sanalla kaikilla. Apulause 1.3.3 Kardinaalilukujen joukon relaatio ˆ on refleksiivinen ja transitiivinen. Todistus. Harjoitustehtävä, vrt. Lause 1.1.1. Antisymmetrisyys perustuu seuraavaan kuuluisaan lauseeseen:

1 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA 6 Lause 1.3.4 (Cantor-Schröder-Bernstein) Jos A, B X ja on olemassa injektiot A B ja B A, niin on olemassa bijektio A B. Todistus. Todistus on aika mutkikas, mutta täysin mahdollinen ymmärtää. Siinä nimittäin käytetään vain matematiikan johdantokurssilla jo olleita asioita. Lause 1.3.5 Relaatio ˆ on totaali järjestys kardinaalilukujen joukossa. Voimme nyt lopulta sopia täsmällisesti mitä joukon alkiomäärällä #A tarkoitetaan. Idea on hyvin yksinkertainen: Annettu joukko A kuuluu johonkin kardinaalilukuun κ. Tsekataan löytyykö samasta kardinaaliluvusta myös jokin lukumääräjoukko [n], n N 0. Jos löytyy, #A = n. Samalla määrittelemme äärellisyyden ja äärettömyyden uudelleen. Tämän ja aikaisemman Määritelmän 1.2.1 äärellisyyskäsitteen yhtäpitävyys jäänee kuitenkin tarkasti perustelematta... Määritelmä 1.3.6 Joukko X on äärellinen, jos X [n] jollakin n N 0, muutoin joukko X on ääretön. Jos joukko X on äärellinen ja X [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioiden lukumäärä n = #X seuraavasti: #X = n card [n] = card X. Myös näin saatua peruslukua #X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myös äärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla #X. Olkoon reaalilukujen joukon kardinaaliluku c := #R. Voidaan osoittaa, että P(N) R, joten c = #R = #P(N). Siten ℵ 0 = #N < #R = c. Kardinaaliluvuista voidaan siis sanoa 0 < 1 < 2 < 3 <... < n <... < ℵ 0 < c < #P(R) <... Niin kutsuttu Kontinuumihypoteesi sanoo, että kardinaalilukuja ei ole lukujen ℵ 0 ja c välillä. Tämä on muusta joukko-opista riippumaton olettamus!

2 Luonnolliset luvut ja numeroituvuus On muistettava: Luku on abstrakti käsite. Luvun merkitseminen numerosymbolien avulla ja lukujen nimittäminen ovat sopimuksia. 2.1 Luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z ja rationaaliluvut Q Luonnolliset luvut voidaan määritellä mm. joukkojen yhtämahtavuuden avulla (Georg Cantor 1845-1918) tai Peanon aksioomien avulla (Giuseppe Peano 1858-1932). Peanon aksioomat Määritelmä 2.1.1 Joukkoa L sanotaan luonnollisten lukujen joukoksi (natural number set), jos se toteuttaa seuraavat viisi ehtoa: P1) Joukossa L on ainakin yksi alkio Υ L ( ypsilon, yksikkö). P2) Jokaisella alkiolla a L on olemassa täsmälleen yksi (välitön) seuraaja (successor) a L. P3) Jos a L, niin a Υ. P4) Jos a L ja b L ja jos a = b, niin a = b. P5) Jos A on joukon L sellainen osajoukko, että 1) Υ A, 2) jos a A, myös a A, niin silloin A = L. Meidän jo lapsesta tuntemamme lukumääriä kuvaavat numerot 1, 2, 3,... toteuttavat nuo aksioomat. Ei yhtään ei ole numero, nollahan on melko uusi keksintö. Luonnollisten lukujen joukoksi sovitaan siis N := {1, 2, 3,...}.

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 8 Kokonaisluvut Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Pidetään luonnollisten lukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään kokonaisluvut niiden avulla. Formaalisti tämä tapahtuu yhteenlaskun avulla, vaikka käytännössä tämä osoittautuukin tapahtuvan vähennyslaskun kautta: kokonaisluvut saadaan luonnollisten lukujen erotusten ekvivalenssiluokkina: Tarkastellaan lukupareja (a, b) N N. Määritellään joukossa N N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) a + d = b + c. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja se jakaa joukon N N alkiot ekvivalenssiluokkiin (ks. Luku??). Määritelmä 2.1.2 Lukuparien (a, b) N N määräämiä ekvivalenssiluokkia yllä määritellyssä relaatiossa R kutsutaan kokonaisluvuiksi (integers). Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b] ja määritellään: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] := [a + c, b + d]. [a, b] [c, d] := [ac + bd, ad + bc]. Järjestys: [a, b] [c, d] a + d b + c. Esimerkki 2.1.3 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan. Yhteenlasku: [1, 5] [2, 4] = [1 + 2, 5 + 4] = [3, 9]. Kertolasku: [1, 5] [2, 4] = [1 2 + 5 4, 1 4 + 5 2] = [22, 14]. Kun merkitään erotusta tuttuun tapaan a b := [a, b], niin Esimerkin 2.1.3 laskut voidaan esittää myös 4 + ( 2) = 6 ( 4) ( 2) = +8. Jatkossa kokonaislukujen joukkoa merkitään tutusti Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Rationaaliluvut Q = { m n m Z, n N} Pidetään nyt kokonaislukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään rationaaliluvut kokonaislukujen avulla. Taas työkaluna on ekvivalenssi, mutta käytetään kertolaskua. Tuloksena ovat osamäärien muodostamat ekvivalenssiluokat.

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 9 Tarkastellaan lukupareja (a, b) Z N. Määritellään joukossa Z N relaatio R seuraavasti: (a, b)r(c, d) ad = bc. Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja siten se jakaa joukon Z N alkiot ekvivalenssiluokkiin. Määritelmä 2.1.4 Lukuparien (a, b) Z N määräämiä ekvivalenssiluokkia kutsutaan rationaaliluvuiksi (rational numbers). Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b], ja määritellään: Yhteenlasku: Kertolasku: [a, b] [c, d] = [ad + bc, bd]. [a, b] [c, d] = [ac, bd]. Järjestys: [a, b] [c, d] ad bc. Esimerkki 2.1.5 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan. Yhteenlasku: [1, 5] [2, 7] = [1 7 + 5 2, 5 7] = [17, 35]. Kertolasku: [1, 5] [2, 7] = [1 2, 5 7] = [2, 35]. Järjestys: [1, 5] [2, 7], sillä 1 7 5 2. Kun merkitään jakolaskua tuttuun tapaan a := [a, b], niin Esimerkin 2.1.5 laskut b voidaan esittää myös 2.2 Numeroituvuus 1 5 + 2 7 1 5 2 7 = 1 7 + 5 2 5 7 = 1 2 5 7 = 2 35, 1 5 < 2, sillä 1 7 < 5 2. 7 = 17 35, Joukoissa N, Z, Q ja R on kaikissa ääretön määrä alkioita. Kuitenkin R selvästi poikkeaa joukoista N, Z ja Q. Ero voidaan esittää Luvussa 1 määritellyillä mahtavuus-käsitteillä: joukon mahtavuutta joukkoon N verrattuna mitataan käsitteellä numeroituvuus. Määritelmä 2.2.1 Joukko A on numeroituva (countable, denumerable), jos on olemassa bijektio N A. Joukko on korkeintaan numeroituva (at most countable), jos se on äärellinen tai numeroituva.

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 10 Joukko on ylinumeroituva (uncountable), jos se on ääretön, mutta ei numeroituva. Numeroituvat joukot ovat siis yhtä mahtavia joukon N kanssa. Esimerkki 2.2.2 Esimerkin 1.1.5 joukko A := {2, 4, 6, 8,...} on numeroituva. Esimerkki 2.2.3 Kokonaislukujen joukko Z on numeroituva, sillä funktio f : N Z, joka määritellään f(1) = 0, f(2k) = k, k = 1, 2, 3,... f(2k+1) = k, k = 1, 2, 3,... on bijektio. Funktio f antaa tavan esittää Z luettelona Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}. Numeroituva joukko on siis ääretön, mutta sen alkiot voidaan asettaa jonoksi ja esittää luettelona {a 1, a 2, a 3,...}. Tällä luettelolla ei ole välttämättä mitään tekemistä alkioiden suuruusjärjestyksen kanssa. Huomautus 2.2.4 Joskus puhutaan myös numeroituvasti äärettömistä joukoista, erityisesti silloin kun numeroituvuus määritellään enintään yhtämahtavuutena joukon N kanssa. Silloin numeroituva tarkoittaakin äärellistä tai numeroituvasti ääretöntä. Esimerkki 2.2.5 Näytetään Cantorin ensimmäisellä diagonaalimenetelmällä, että tulojoukko N N on numeroituva: 1 2 3 4 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4). Koska joukon N N alkiot voidaan esittää luettelona, niin myös joukon Q + := { m n m, n N } alkiot voidaan esittää luettelona. Q + on siis numeroituva: Q + = { 1 1, 1 2, 2 1, 3 1, 1 3, 1 4, 2 3,... } = {1, 1 2, 2, 3, 1 3, 1 4, 2 3,... }.

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 11 Tästä saadaan eräs tapa esittää koko rationaalilukujen joukko luettelona: On siis osoitettu: Q = {0, 1, 1, 1 2, 1 2, 2, 2, 3, 3, 1 3, 1 3, 1 4, 1 4, 2 3,... }. Lause 2.2.6 Rationaalilukujen joukko Q on numeroituva. Lause 2.2.7 Reaalilukuväli [0, 1] on ylinumeroituva. Todistus. Jokainen joukon [0, 1] nollasta poikkeava alkio voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla päättymättömänä desimaalilukuna, jossa on ääretön määrä nollasta poikkeavia desimaaleja (ks. Huomautus??). Lienee selvää (miksi?), että väli [0, 1] ei ole äärellinen, joten jos se ei ole ylinumeroituva, sen on oltava numeroituva. Antiteesi: Väli I := [0, 1] on numeroituva joukko. Silloin välin I luvut voidaan esittää jonona x 1, x 2, x 3,.... Niiden päättymättömät desimaaliesitykset olkoot x 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14... x 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24... x 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34... x 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44.... Nk. Cantorin toisella diagonaalimenetelmällä nähdään, että yllä oleva luettelo ei voi sisältää kaikkia välin ]0, 1] reaalilukuja: Muodostetaan luku y := 0, b 1 b 2 b 3 b 4..., missä 0 < b i 9, i = 1, 2, 3,... ja b i a ii. Tällöin 0 < y 1. Toisaalta esitysten yksikäsitteisyyden perusteella y x i millä tahansa i = 1, 2, 3,..., sillä lukujen i:nnet desimaalit ovat erilaisia. Siis y ei ole luettelossa x 1, x 2, x 3,.... Näin ollen kaikki välin ]0, 1] luvut sisältävää luetteloa ei ole olemassa. Suoraan edellisestä lauseesta seuraa: Lause 2.2.8 Reaalilukujoukko R on ylinumeroituva. Esimerkki 2.2.9 Väli [2, 4] on ylinumeroituva, sillä välit [0, 1] ja [2, 4] ovat yhtä mahtavia. Funktio f : [0, 1] [2, 4], f(x) := 2x + 2 on nimittäin bijektio.

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 12 Huomioita Rationaalilukujoukko Q on numeroituva ja reaalilukujoukko R ylinumeroituva. R on aidosti mahtavampi kuin Q. Jos A = {a 1, a 2,... } on joukko, niin A ei edusta mielivaltaista joukkoa, vaan mielivaltaista numeroituvaa joukkoa. Ei siis voida merkitä esimerkiksi R = {x 1, x 2, x 3,... }. Reaalilukuja havainnollistetaan lukusuoran avulla. Rationaaliluvut ovat tiheässä lukusuoralla, ts. kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Edelleen kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä irrationaalilukuja (Analyysit) ja kahden irrationaaliluvun välissä äärettömästi rationaalilukuja... Hassua, eikö? Esiintyvätkö rationaali- ja irrationaaliluvut siis lukusuoralla vuoron perään? Irrationaalilukujen joukko R \ Q on ylinumeroituva. Perustelu. Antiteesi: R \ Q on numeroituva. Tällöin R = Q (R \ Q) olisi numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva. Vieläkin mahtavampia joukkoja kuin R on olemassa, esimerkiksi sen potenssijoukko (vrt. Luku 1). Tehtävä 2.2.10 Tutkittava millaisissa operaatioissa (kuten yhdiste, leikkaus, tulo yms. ) säilyy numeroituvuus, kun operoivat joukot ovat äärellisiä tai numeroituvia. a) Numeroituvien äärelliset yhdisteet ja leikkaukset. b) Numeroituvien numeroituvat yhdisteet. c) Onko äärellisen monen numeroituvan joukon tulojoukko numeroituva? d) Onko numeroituvan monen numeroituvan joukon päättymätön tulojoukko numeroituva? Esimerkiksi: onko kaikkien luonnollisista luvuista muodostettujen lukujonojen joukko numeroituva? Pohdittavaksi: Miten näitä asioita voi havainnollistaa esimerkiksi Hilbertin hotellin avulla?

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 13 Ratkaisuja a) Esimerkin 2.2.3 ideaa käyttäen: kahden numeroituvan joukon yhdiste on numeroituva: Jos A := {a 1, a 2, a 3,... } ja B := {b 1, b 2, b 3,... }, niin A B = {a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,... } on selvästikin numeroituva. Huomaa, että joukon luetteloesityksessä voi esiintyä samoja lukuja, mutta siinä on kuitenkin ääretön määrä eri lukuja. b) Sovella Cantorin 1. diagonaalimenetelmää. c) Sovella Cantorin 1. diagonaalimenetelmää kahdelle joukolle. Yleistys? d) Päättymätön tulojoukko tarkoittaa vektorien joukon yleistystä jonoiksi seuraavasti: X 1 X 2 X 3 = {(x 1, x 2, x 3,...) x i X i kaikilla i N}. Kukin päättymättömän tulojoukon alkio on siis päättymätön alkiojono. Ei ole numeroituva vaan ylinumeroituva. Todistus saadaan samaan tapaan kuin osoitettaessa reaalilukujen joukko ylinumeroituvaksi (ks. monisteen Luku 11.7.). Oletetaan, että joukot A 1, A 2, A 3,... ovat numeroituvia ja tarkastellaan niiden päättymätöntä tulojoukkoa A := A 1 A 2 A 3. Antiteesi. A on numeroituva. Silloin joukon A alkiot voidaan esittää luettelona, ts. on olemassa bijektio N A: Esitetään nämä alkiot, siis päättymättömät jonot, alekkain (jätetään yksinkertaisuuden vuoksi pois sulut ja pilkut väleistä): A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 1 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 2 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 3 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 4 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 5 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55.......... Muodostetaan nyt yksi uusi jono, joka on joukon A alkio mutta ei ole yksikään taulukon jonoista. Koska kukin joukko A j on numeroituva, ovat sarakkeen A j alkiot a 1j, a 2j, a 3j,... eri alkioita. Silloin diagonaalialkioista muodostuva jono J = (a 11, a 22, a 33, a 44, a 55,...) on päättymättömän tulojoukon alkio, mutta se ei ole yksikään vaakariveillä olevista jonoista. Nimittäin:

2 LUONNOLLISET LUVUT JA NUMEROITUVUUS 14 J ei ole ensimmäinen jonoista, koska toinen jäsen a 22 a 12. J ei ole toinen jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 21. J ei ole kolmas jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 31. J ei ole neljäs jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a 41. yleisesti jatkossa: J ei ole k:s jonoista, koska ensimmäinen jäsen a 11 a k1. Tämä on ristiriitaista, koska kaikki jonot piti jo olla luettelossa riveinä.