Samankaltaiset tiedostot
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»


ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø


ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø


(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È


a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

139/ /11034 = 0.58

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

¾º C A {N A } K N A º A B N B

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

139/ /11034 = 0.58

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta


x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

Transkriptio:

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÏÁÄÄ Ê ¹Ä ÁÆ ÌÁÁÆ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØÖ Ð ¹ ÒØ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¼ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ÓÒ Ð ØØÙ ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð ÐÙ ÓÒ ÙÖ ÐÐ Ó Ø ÐÐÒ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÝØØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö ¹ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÌÙØ ÐÑ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ Ø ÓÔ ÐÙÑ Ø Ö ¹ Ð ÐÐ Ò Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ø Ùغ Ä ØÝÑ Ø Ô ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÓÔ Ú º Ò Ò Ù Ò Ó Ó Ø ÐÐÒ Ø ÓÖ ÓØØ ÐÙ ÐÐ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ù٠ع Ø Ñ Ø Ó ÐÑ Ø Ô ØÙÙº ÃÙÒ Ò Ø ÓÖ Ó ÙÙ Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÐØÝ Ý ¹ Ò Ó ¹ ÐÙ Ò ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÚ ÐÐÙ º Ë Ø ÓÖ Ò ØØ ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ý Ø Ý¹ ÓÒ ÖÙÒ Ø Ñ Ö º ÌÑÒ Ñ Ø Ö Ð Ò ÚÙÐÐ ÙÓÑ Ø Ò Ù Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÑÙØØ ÑÓÒ ÔÙÓÐ ¹ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÈÝØ ÓÒ ÓÒº Ò Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ð ÒØ Ø Ð ØÓØ ÒÙÑ Ö Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÙÐÙÑ Ø Ñ Ø º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ¾º½ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ È ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ì ØÓØÝÝÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ØÓ¹ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Ø ÓØ Ö ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Å ØÖ Ð ÒØ ½ º½ Ä Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ È ÖÙ Ó Ø Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ñ Ö Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÃÒØ Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð ØÓØ ØØ ½ º½ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ È Ö ÙÚ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÆÙÑ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø º½ ÆÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º¾ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ½ Ä Ø Ø

½ ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØÓ Ñ ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÙ Ó ÙÖ ÐÐ Ó ¹ Ø ÐÐÒ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÝØØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÃÙ Ò Ó ¹ ÐÙ Ø ÐÐÒ ÓÑ Ò ÐÙ ÙÒ Òº ÌÓ Ñ Ø Ö Ð ÓÚ ÐØÙÙ ÐÐ ÓØ Ø ÓÚ Ø ÒÒÓ ØÙÒ Øº ÈÝØ ÓÒ¹ Ð ÓÒ Ú Ô Ò Ð ÓÓ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð º Ò ÖØ Ò ÝÒØ ¹ Ò ÚÙÓ ÓÚ ÐØÙÙ ÐÓ Ø Ú Ø ÑÝ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÓÔ ØØ ÐÙÙÒº ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ð ØØ Ú Ó Ó ØØ Ø ÛÛÛºÔÝØ ÓÒºÓÖ º Ë ÐØ Ð ÝØÝÚØ ÑÝ ÒÒÙ Ó Øº Å Ø Ö Ð ØÖ ÑÔ Ö ØÓ ÓÚ Ø ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓº ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ÒÒÙ Ó Ø Ð Ø ØÓ Ö ØÓÒ Ð ÑÑ Ø ÝØ Ø Ð ÝØÝÝ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÒÙÑÔݺ ÔݺÓÖ º Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ Ó¹ Ø ÚÙØ Ð ÝØÝÚØ ÔÙÓÐ Ø Ò Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»Ñ ØÔÐÓØÐ º ÓÙ ÓÖ ºÒ غ Ø ØÓ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø ÐÙ ÐØ Ó ÓØ Ø º Ë Ò ÚÙÓ Ð ÙÙÒ ÓÒ ØØÙ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ô ÖÙ Ø ÓØ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ó ÐÑÓ Ñ Ø º ÌÓ Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÙ ¹ Ñ Ø ÐÔÓØØ Ó ÐÙ ÐÐ ÓÒ Ó ÖØÝÒÝØ Ó ÐÑÓ ÒØ Ó ÑÙ Ø º Å Ø Ñ Ø ¹ Ø ØÓ ÓÐ Ø Ø Ò Ø ØØÝ Ô ÖÙ Ø ØÓ º ÄÙ Ó ÙÖ Ø ÓÐ ÝÚ ÓÐÐ ÝØÝÒ Ú ØÓÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÖ Øº Ìѹ Ò ÓÐ ÚÐØØÑØ ÒØ ÐÐ Ó Ò Ò ÐÙ Ù Ð Ò Ø ÓÖ Ò ØØ ÐÝÐк ÌÓ¹ Ø ÓÖ Ý Ò ÝÚ Ò Ô ÒØ ÔÙÓÐ Ø ÓØ Ò ÝÚ ÑÔÒ ÝÑÑÖØÑ Ò ÙÓ¹ Ø ÐÐ Ò Ð ÓÔ ÐÙ º Ñ Ö Ð Ù Ø Ø Ñ Ø Ö Ð ÓÐ ØÓ Ø ØØÙ Ó ÓÐ ØÝ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÒÒ Ø º Ä ÑÓÒ Ø ØÓ ØÙ ¹ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ð Ò Ò Ð ÓØØ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ ÐÙ Ó¹ÓÔ ØÙ Òº ÌÓ Ô Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ó ÐÐ Ø ØÒº ÂÓ Ò ÔÔ Ð Ò ÐÓÔÙ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ó Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÓÔ ÑÙÙØ Ò Ù Ò Ø Ø ÑÐк ÄÓÔÙ ÓÒ Ó Ó Ó ÓÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÒ ÓÓØØÙº ÂÓ ØÙØ ÐÑ ÝØ ØÒ ÙÖ Ò ÓÔÔ ¹ Ñ Ø Ö Ð Ò ÚÓ ÓÔ ØØ ÐÙØ Ò ØØ Ö Ø ÙØ ÔÓ º Ê Ø Ù Ò Ö Ñ Ø Ö Ð ØÓ Ñ ÑÝ Ø ÓÔ ÐÙ º Ì Ò ÓÑ Ó ÙÙ ØÝ ÓÒ ØÓ Ñ Ø Ö Ð Ò Ó Ó Ñ Ò Ò ÑÙÓØÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÙÓØÓÓÒº Ã Ñ Ö Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ Ø¹ Ø ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ ÓÚ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ö Ø Ñ º ½

¾

¾ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Òº ÈÐ Ø Ò Ø ÐÙÚÙ ¹ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ã ÙÖ Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ ÓÔ Ø ½ Ú ÁÒØÓ ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÔ Ø ¾ º Æ Ø Ð ÝØÝÝ Ð Ø ØÓ ÈÝØ ÓÒ¹ Ð Ø Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ º ¾º½ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ ÓÒ ÝØ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Ó ÒÝØØ ØÐغ ÃÙÚ ½ ÈÝØ ÓÒ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Ò ÝÒØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐÐ ÝÒ ÔÝØ ÓÒº ÄÝ Ý Ø Ó ÐÑ ÚÓ Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Òº ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÙÐ Ø Ò ÒÔÔÔ ÒÝ Ø ÐÑÐÐ ÖØÐ º Ñ Ö ¾º½º ÔÖ ÒØ ³À Ñ ÐÑ ³ À Ñ ÐÑ Ì Ñ Ö ØÙÐ ÐÐ ÒÒ ØØ Ò Ý ÔÖ ÒØ Ó Ø Ö Ó ØØ ØØ ØÙÐ ØÙÐÓ Ø Ò Ñ Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÃÙÒ Ý ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ô Ò Ø Ò ÒØ Ö ÓÐÐÓ Ò ØÙÐ ØÓ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ý Ò ÑÙ Òº Ì Ø Ô Ù ØÙÐÓ Ø ÖÙÙ ÙÐÐ Ð Ù Ò À Ñ ÐÑ º ÃÝØØ ÐÔÓ Ø Ó ÐÑ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÐ ÓÓ ÐØ Ò ÝÚ Ò Ò Ô Ø º Ë Ð¹ ÐÓ Ò Ó ÐÑ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò ØÙÐ Ò Ý Ò Ð º Ð Ò Ó Ð¹ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò ÝØ ØÒ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓ º ÃÓÓ Ö Ó Ø Ø Ò

ÓÑ Ø Ø Ø Ó ØÓ Òº Æ Ò Ø Ø Ø Ó ØÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò ÝØ ØÒ ÓØ Ò Ø Ø ØÓÖ º Ì Ø Ø Ó ØÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÔØØ ÐÐ ºÔÝ Ó ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ò ÔÝØ ÓÒ¹ ÓÓ º Ç ÐÑ Ø Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐÐ ÔÝØ ÓÒ Ø Ó ØÓÒÒ Ñ ºÔݺ ÀÙÓÑ ØØ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÝÒÒ ¹ Ø Ø ÒÒ Ò Ó º ÒÒ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ø ÓÒ ÑÝ ÝÚ Ø Ø ÑÙÙØ Ñ Ó ÈÝØ ÓÒ Ò ÝÒØ Ø º ÃÓÑÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ö Ú ÓØ ÚØ Ú ÙØ Ó ÐÑ Ò ÙÓ¹ Ö ØÙ Ò Ñ Ø Ò Òº Æ Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ Ú Ò Ð ÝØØ ÓÓ º Æ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö ÐÚ ÒÒÝ ÓÐÐ ÙÐÐ ÑÙÙÐÐ Ó ÓÓ ÐÙ Ø ØØ Ò Ó Ð¹ ÑÓ Ò ÓÑ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ º ÈÝØ ÓÒ ÓÑÑ ÒØ Ø Ñ Ö ØÒ Ö Ù Ø Ñ Ö ÐÐ µº Ñ Ö ¾º¾º ÌÑ ÓÒ ÓÑÑ ÒØØ Ö Ú ÌÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ó ÐÑ ÓÓ ÌÖ ÓÒ ÑÙ Ø ØØ ÈÝØ ÓÒ ÚÐ ÐÝ ÒØ Ö Ú Ò ÐÙ ÓÒ Ñ Ö Ø Ú Ñ Ö º Ë Ó Ô Ô Ö ÐÐ ÒÒ ØÙ Ñ Ö ÓÒ Ó Ò Ö Ú ÒÒ ØØÝÒ Ô ¹ Ø ÒØ ÑÝ ÓÓ Ö Ó ØØ ÓØØ ÓÓ ØÓ Ñ º ÅÝ ÓØ Ô Ò Ø Ö Ñ Ø ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÒ Ö º ÌÑ ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø Ñ Ö ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ñ ØØ º ÇÒ ÑÝ ØÖ ÑÙ Ø ØØ ÝØ Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ô Ò Ðк Ç ÐÑÓ ÒØ Ð ÑÝ ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ ÑÙÙØØÙ º ÅÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ø ÓÒ ÐÝØÝ Ô Ó Ó Ò ÐØ Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÑÙÙØØÙÙ Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ò Ò º Ä Ù ÒÓØ Ò ÓÓ Ö Ú Ó ÑÙÙØØÙ ÐÐ ¹ Ø Ø Ò Ó Ò ÖÚÓº ØÙ Ø Ô ØÙÙ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ì Ñ Ø Ö Ð ÑÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ô Ð ÓÒ ÒÔÙع ÓÑ ÒØÓ Ó¹ Ø Ò ÓÒ ÝÚ ØÙÒØ º Ã Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÒÔÙع ÓÑ ÒÒÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ø ÝØØ Ý Øغ ÅÝ ÑÑ Ò ØÙØÙ ØÙ¹ Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ò Ø ØÓØÝÝÔÔ Òº ÁÒÔÙع ÓÑ ÒÒÒÓÒ Ý Ø Ý ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ø ÒÔÙØ ÙÓÐ Ý ØØ Ò Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Å Ö ÓÒÓ Ú ÖØ Ò Ý¹ Ø ØÒ ÓÑ ÒØÓ Ö Û ÒÔÙغ Ñ Ö ¾º º Ò Ñ Ö Û ÒÔÙØ ³ ÒÒ ØÙÒ Ñ ³µ ÌÐÐ Ö Ú ÐÐ Ó ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ØÑÒ ØÙÒ Ñ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÝØØ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ º ÐÐ Ñ Ö ÚÓ Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÓÐÐ ÑÝ ÑÑ Ò Ö ¹ Ú Ò Ñ Ö Û ÒÔÙØ ³ ÒÒ ØÓ Ò Ò Ò Ñ ³µ ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ ÐØ Ú ØÙ ÒÒ ØÙ Ø ØÙÒ Ñ Ø ØÓ Ò Ñ º

ÅÙÙØØÙ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ù Ø Ñ ÐÐ ÖØ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙ Ð Ù ¹ ÖÓØ ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ø Ò Ò Ñ Ø ÖÚÓØ Ô Ð ÙÐÐ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½º Ã Ö Ó Ø ÙÖ Ú ÓÓ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÓÒ ÓÑ ÒØÓÖ ¹ Ú Ðغ Å Ø Ó ÐÑ Ø ÐÙ Ù½ ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù¾ ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ú Ð Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ØÙÐÓ ÐÙ Ù½ ÐÙ Ù¾ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ³ ØÙÐÓ ¾º¾ È ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÚÓ ÝØØ Ð Ñ Ò Ø Ô Ò Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÙÓ¹ Ö ØØ Ñ Òº Ì Ø ÓÒ Ý ØÝ Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð Ø Ò ÝÚ Ò ÙÙÖ ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÓÖ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Òº ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ÐØÝ ÝØ ÓÐ Ú Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Øº Ì ÙÐÙ Ó ½ ÈÝØ ÓÒ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÇÔ Ö ØØÓÖ Æ Ñ Ë Ð ØÝ + ÈÐÙ Ð Ý Ø Ò ÐÙ Ù Å ÒÙ Ô Ð ÙØØ ÐÙÚÙÒ Ú Ø ÐÙÚÙÒ Ø Ú ÒØ ÐÙÚÙØ ØÓ Ø Ò ÌÙÐÓ ÖØÓÓ ÐÙ Ù ÒÒ ÈÓØ Ò Ð ÔÓØ Ò Ò / Â Ó ÐÙÚÙØ ÒÒ % Â Ó ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ó ÒÒ Ò Ñ Ö ¾º º ÐÐ ÓÒ Ð Ø ØØÙ ÑÙÙØ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ñ Ö ÓÔ ¹ Ö ØØÓÖ Ò ÝØ Ø ¹ ¾ ½

½¾ ½¼»¾ È Ð ÙØØ Ñ ÓÒ Ó ÒÒ ÙÒ Ú Ø Ò ÓÐÑ ÐÐ ººº ± ¾ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ø ÑÝ Ú ÖØ ÐÙ º Î ÖØ ÐÙØ Ô Ð ÙØØ Ú Ø ÖÚÓÒ ÌÖÙ Ø Ð Ö ÔÔÙ Ò Ø Ô Ø Ú ÖØ ÐÙ Ô Ò º ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ð Ø ØØÙ Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Øº Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÈÝØ ÓÒ Ò Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÇÔ Ö ØØÓÖ Æ Ñ Ë Ð ØÝ È Ò ÑÔ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ò ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Ò ËÙÙÖ ÑÔ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Ò <= È Ò ÑÔ Ø Ý Ø È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ Ù Ò Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ØÓ Ò Ò >= ËÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ Ù Ò ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ØÓ Ò Ò == Ø ÙÙÖ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÚ Ø Ó ÐÙ Ù Ý Ø ÙÙÖ Ø! = Ö ÙÙÖ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÚ Ø Ó ÐÙ Ù Ö ÙÙÖ Ø Ñ Ö ¾º º ÐÐ ÓÒ Ð Ø ØØÙ ÑÙÙØ Ñ Ú ÖØ ÐÙ Ñ Ö Ú ÖØ ÐÙÓÔ ¹ Ö ØØÓÖ Ò ÝØ Ø Ð ÌÖÙ Ð ÌÖÙ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø Òº à ÖØÓ¹ ÓÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÒÒ Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ Ð Ù Ð ÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÒÒ Ò Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø º ËÙÐ ÐÐ ÚÓ ÑÙÙØØ Ð Ù Ö ØÝ Ø Ò Ø ÚÓ ÝØØ ÑÝ Ð ÝØØÑÒ ÓÓ º Ð ÒÑÖ Ò Ò ÙÐ Ò ÝØØ Ù Ø Ò Ò Ø ÓÓ Ø Ò Ð Ø ÐÙ ØØ Ú º

¾º Ì ØÓØÝÝÔ Ø ÈÝØ ÓÒ Ø Ð ÝØÝÝ Ò Ð Ö Ð Ø Ø ØÓØÝÝÔÔ ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ð Ù Ù¹ ÐÙÚÙØ Ô Ø Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙغ ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò Ø Ý Ø Ý ÚÙÙØØ º Ä ÓÒ ÝÚ ØÙÒØ ÑÝ Ø ØÓØÝÝÔ Ø Ñ Ö ÓÒÓ Ð Ø º ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ Òص ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÒ Ú Ò Ñ Ø Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø ¹ Òº Æ ÓÚ Ø ÐÙ Ù ÓØ ÚØ ÐÐ Ñ Ð Ó º È Ø Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÐÓÒ µ ÓÚ Ø Ø ÝÚ Ò ÙÙÖ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ä Ù ÙÐÙÚÙØ ÐÓ Øµ ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÚ Ø ÐÙ Ù Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙØ ÙØ Ò Ñ Ð ÐÙÚÙ º Ì ØÓØÝÝÔÔ Ò Ò ÓÒ ÝÝØ ÓÐÐ Ø Ö Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ø º ¹ Ñ Ö ÙÒ Ø Ò ØÓ Ñ ØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÚÓ ØÙÐÓ Ò ÓÐÐ ÒÓ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÓ ÐØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ô Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ñ Ð ÐÙ¹ Ù ÚÓ Ò ÝØØ ÑÓ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò ÙØÓ¹ Ñ ØØ Ø ÓÔ Ú ÑÙÓ Ó º Ñ Ö ¾º º Ä Ø Ò 6 8 ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º» ¼ ÃÓ ÐÙÚÙØ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ º Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓ Ò ØÙÐ Ô Ð ÙØØ Ó ÑÖÒ Ó ÓÒ Ó Ò Ð Ø Ø Ô Ù ¹ ÒÓÐÐ Òº ÃÙÒ Ð Ø Ø Ò ÐÙÚÙØ Ñ Ð ÐÙÚÙ Ò Ó ØÙÐÓ Ó ÐÐÓ Ò ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò Ñ Ð ÐÙ Ù Ò º º¼» º¼ ¼º ÌÓ ÐØ Ö ØØ ÒØ Ú Ò ØÓ Ò Ò ÐÙ Ù Ñ Ð ÑÙÓ Ó Ó ÈÝØ ÓÒ ÑÙÙع Ø ØÙÐÓ Ò ÙØÓÑ ØØ Ø ÓÔ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒº º¼» ¼º Å Ö ÓÒÓØ ØÖµ ÓÚ Ø Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÓÒÓ Ñ Ö º Å Ö ÓÒÓ ÚÓ ¹ Ò ÝØØ Ñ Ö ÒÓ Ò Ø ÐÐ ÒØ Ñ Òº Å Ö ÓÒÓ ÚÓ Ò Ýع Ø Ñ Ö Ó Ô Ò Ö Ñ ÒÙÑ ÖÓ Ø Ò Ò Ú Ñ Ö ¹ ÓÔ Ö Ó Ñ Ö º Å Ö ÓÒÓ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ø ØØ Ò Òº Ë ¹ Ø Ø Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ó Ó Ý Ò ÖØ ³µ Ø Ò ÖØ µº Ö Ó Ñ Ö ÝØ ØØ ÓÒ ÙÓÑ ÓØ Ú ØØ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒÓ ÒØÝÝ Ø ØØ Ô ¹ Ø Ò Ø Ò Ð ØØ ÒÓÚ Ú \µº Å Ð Ñ Ö ÓÒÓÒ Ð Ñ Ø ÔØØÝÑ Ø Ñ Ö ØÒ Ý Ò ÖØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ò ÖØ Ø Ò Ø Ò Ø ÖÚ Ø Ð ØØ ÒÓÚ Ú ØÓ ÒÔ Òº

Ä Ø ÓÒ Ò Ó ØÙ ÓÒÓ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÓÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ØÓ¹ ØÝÝÔÔ Ò ÓØ Ò Ñ Ð Ø ÚÓ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ù Ò Ñ Ö ÓÒÓ¹ Òº Ä Ø ÐÙÓ Ò ÙÐ Ò Ò Ð ÓØ ÖÓØ Ø Ò ØÓ Ø Ò Ô Ð ÙÐÐ º Ë Ñ Ö ÓÒÓÒ ØØ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ò ÐÚ ÐÐ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ð Ò Ý ¹ ØØ Ò Ð Ó Ò Ô ØÒ ÙÐ ÐÐ º Ð Ó Ò Ú Ø ØØ Ô Ø ÑÙ Ø ØØ Ò Ó ÒØ Ð ÒÓÐÐ Ø º Ñ Ö ¾º º ÐÙÓ Ò ÓÐÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ø ¾º ÔÖ ÒØ ³ ³ ¾º ÐÚ Ø ØÒ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ð Ò µ ½ ³ ³ Ì Ñ Ö ÓÒ ÐÙÓØÙ Ð Ø º ÀÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ Ø ÓÒ ØØ Ð Ø Ò Ð ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ø Ø ØÓØÝÝÔÔ Ø Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ ÒÒ Ñ Ø ØÓØÝÝÔÔ º Ä ÓÒ ØØÙ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ô Ð ÙØ ØØÙ ØÓ Ò Ò Ð Óº ¾º ØÓ¹ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ø Í ÑÑ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÑÝ ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ö ÙØØ ÓÓ º ÂÓ Ò Ó ÐÑ ÒÔØ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú Ò Ó ÒÒ ØØÙ ØÓ ØÝØØÝݺ ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ ¹ Ð ¹Ö ÒÒ ØØ º Á ¹Ó Ó ÒÒ Ø Ò Ó Ò Ú ØØѺ ÂÓ Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÓÓ Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ¹Ó ÓÓÒº ÅÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ð ¹Ó ÓÓÒº Ð ¹Ó ÓØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ô Ó Ö Ó ØØ º Ë Ó ¹Ö ÒØ ÓÐ Ð ¹Ó ÓØ Ø Ø Ò Ú ØØÑÒ ØÝ ØÓØ ÙØÙÑ ØØ ÓÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ø Ø ¹Ó ÓÒ Ð Òº ÈÝØ ÓÒ ÓÒ ÝØ ÑÝ Ð ¹Ó Óº Æ Ø ÚÓ Ò Ð ØØ ¹Ó ÓÒ Ð Ò Ú Ù Ò ÑÓÒØ º Ð ¹Ó Ó ÒÒ Ø Ò ÙÙ ØÓ Ó ÑÖ ØØ Ð ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò Ó Ý Ò Ò Ó Óº Ð ¹Ó ÓÓÒ Ñ ÒÒÒ Ú Ò Ó ¹Ó ÓÒ Ø Ñ Ò Ò ÐÐ Ò Ð ¹Ó ÓÒ Ú ØØÑ ØÓØ Ù Ùº Ð ¹Ó ÓÒ Ò Ñ Ò ÚÓ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ðݹ ÒÒ ÒÓ Ø Ð º ÎÓ Ø ÐÐ ØØ Ð Ó Ó ØÙÐ Ò ÒÝØ ÙÙ ¹Ó Óº Ð ¹Ó ÓÒ Ø ÚÓ Ò Ð ¹Ó ÓØ ÓÐ Ô Ó Ð ØØ ¹Ó ÓÒ Ð Òº Ñ Ö ¾º º ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù±¾ ¼ Ð ÐÙ Ù± ¼ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò³

ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÙØØ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ ³ Ð ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ³ Ç ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ÓÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒº Á ¹Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÒÝØ Ú Ø¹ ØÑ Ó Ø Ø Ñ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ Ù Ó ÒÒ ÐÐ ØØ º Å ¹ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ø Ø ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò³º Ð ¹Ó Ó Ø Ø Ø Ò ÑÓ Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ º ÀÙÓ¹ Ñ ØØ Ð ¹Ó ÓÓÒ Ñ ÒÒ Ñ Ð ¹Ó ÓÒ Ú ØØÑ ØÓØ ÙØÙÙº ÂÓ ÙÑÔ Ò Ú ØØÑ Ø ØÓØ Ù Ù ØÙÐÓ Ø Ø Ò ÖÙÙ ÙÐÐ Ø Ø ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ³º Ð ¹Ó ÓÓÒ Ò Ñ ÒÒ Ó ÓÑÔ ÙÑÔ ÐÐ Ø Ó Ó Ø ÙÓÖ Ø Ø Òº Ç ÐÑÓ ÒØ Ð ÓÒ Ö ÒØ Ø Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ø ØØÝ Ó Ó ÐÑ ÚÓ ¹ Ò ØÓ Ø Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÑÖ ÖØÓ º ÌÓ Ø ØØ Ú Ó ÐÑ Ó ÒÓØ Ð¹ ÑÙ º ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ ØÓÖ ÒÒ ØØ Û Ð ¹ ÓÖ¹Ö ÒØ Øº Ï Ð ¹Ö ÒØ Ø ØØÝ Ó Ó ÐÑ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ ÒÒ ØØÙ ØÓ ÓÒ ÚÓ Ñ º Ï Ð ¹Ö ÒØ Ò ÚÓ Ò Ð ØØ ¹Ö ÒØ Ò Ø ÚÓ Ò Ð ¹ Ö º ÌÑ Ö ÖØÓÓ Ñ Ø Ø Ò Ó Û Ð ¹ ÐÑÙ Ú ÖØ Ò ÒÒ ØØÙ ØÓ ØÝØÝ Ò ÐÑÙ Ò Ñ ÒÒ Ð Ò Òº Ï Ð ¹Ö ÒØ Ò ÓÙ ÓÒ ØØ ØÙ Ø Ò Ø Ø Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÑÙ ØÙÐÐ Ò ÝÑÒ ÐÔ º ÚÓ ÓÐÐ Ú ÖÑÓ ÐÓÔÔÙÙ Ó ÐÑÙ Ó Ò Ð ÐÓÔÔÙÙ Ó ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÓº ÓÖ¹Ö ÒØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙ Ø Ò Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÑÙ ØÓ ¹ Ø Ø Òº Í ÑÑ Ø Ò ÓÖ¹Ö ÒÒ ØØ ÝØ ØÒ Ñ Ö Ð ØÓ Ò ÐÔ ÝÑ Òº ÅÝ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØ Ð ¹ Ö ¹ Û Ð ¹Ö ÒØ Ò Ø ÚÓ Òº ÌÓ ØÓ Ò ÑÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º Ê Ò ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ Ò ÒÖ ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Óº Ê Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ö ØØ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ò ÝØ ØØÚÒ ÐÙ Ù ÓÒÓÒ Ð Ó ¹ Ò ÑÖº ÌÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ Ð ÒÓÐÐ Ø Ø ÙÙ Ò Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø ÒÔ Ò ÙÒ ÖÚÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÂÓ ÐÙØ ÐÓ ØØ ÒÓÐÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ ÑÝ ÐÓ ØÙ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÒÒÒ ÒÒ ØÙ Ø ÐÙÚÙ Ø Ò Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø ÒÔ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÂÓ Ø ÐÙØ Ò Ñ ÒÒ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ý ÐÙ Ù ÖÖ ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ÒØ Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÒÒÒ ÒÒ ØÙ Ø ÐÓ ØÙ ÐÙÚÙ Ø ÒÒ ØØÙ Ð Ø Ò Ò ÑÓÒØ Ù Ò ÓÒ ÑÖØØÝ ÒÒ ØØÙÙÒ ÝÐÖ Ò Ø º Ñ Ö ¾º º Ö Ò µ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÒÓÐÐ Ø Ò Ð Ò ¼ ½ ¾ Ö Ò ½½µ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÓÐÑ Ø ÝÑÑ Ò Ò ½¼ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÐÑ ÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ñ ÒÙ Ú Ø

Ú Ø ÒØÓ Ø Ö Ò ¹ ½ µ ¹ ¹¾ ½ ½¼ ½ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ý Ò ÐÔ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ò ÝØØ º Ñ Ö ¾º½¼º ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÒÒ ØÙÒ ÐÙÚÙÒ ÖØÓÑ Òº Ò ØÓ ØÓÖ ÒØ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Û Ð ¹Ö ÒÒ ØØ º ÔÝÝ ØÒ ÝØØ ÐØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ø Ø Ò ÔÙÑÙÙØØÙ ÖÚÓ ½ ÔÙ ½ ÐÙ Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÖÚÓ ½ ØÙÐÓ ½ Ò Ò Ù Ò ÙÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÔÙ ÖÚÓ Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖØ Ù Ò ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù ÖÖÓØ Ò ÑÙÙØØÙ ØÙÐÓ ÔÙ ÒÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ Û Ð ÔÙ ÐÙ Ù ØÙÐÓ ØÙÐÓ ÔÙ Ú Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ÑÙÙØØÙ ÔÙ Ý ÐÐ ÔÙ ÔÙ ½ ØÙÐÓ Ø Ø Ò ØÙ ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÒ Ñ Ó ÐÑ Ö Ó Ø ØØÙÒ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÚÙÐÐ º ÔÝÝ ØÒ ÝØØ ÐØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÙÐÓ ½ ÖÖÓØ Ò ÒÒ ÔÙÑÙÙØØÙ ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ ÔÙÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÐÐ ½ ÐÙ Ù Ø ÐÐ Ò Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ ÓÖ ÔÙ Ò Ö Ò ½ ÐÙ Ù ½µ ØÙÐÓ ØÙÐÓ ÔÙ ØÙÐÓ Ø Ø Ò ØÙ ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ ½¼

À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾º Ã Ö Ó Ø ÙÖ Ú ÓÓ Ø Ø ØÓÖ Òº Å Ø Ó ÐÑ Ø Ã Ò¹ Ò Ø Ö ØÝ Ø ÙÓÑ ÓØ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÝØØ Òº ÖÖÓØØ Ú ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÚÐ ÐØ ½ ½¼ ³µ ÓÖ Ò Ö Ò ½ ½½µ ØÙÐÓ ÖÖÓØØ Ú ÔÖ ÒØ ÖÖÓØØ Ú ³ ³ ³ ³ ØÙÐÓ Ì ØÚ º Ã Ö Ó Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÓÓ Û Ð ¹Ö ÒØ Ò ÚÙÐÐ º Ì ØÚ º Ã Ö Ó Ø Ó ÐÑ Ó Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ÐÙ Ù ÖØÓÓ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ º Ì ØÚ º ÌÙÐÓ Ø Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ô Ö ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ¼º ¾º ÙÒ Ø ÓØ Ö ØÓØ Ç ÐÑÓ Ò ØÝ Ø ÐÔÓØØ ÙÙÖ Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ ØØÚÝÝ º ÍÙ¹ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø ØØ ÙÒ ÖÖ Ò Ö Ó Ø Ø Ò Ó Ò Ó ¹ ÐÑ ÒÔØ Ò Ò Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ò ÙÙ ÐÐ Ò ÙÙ ÐÐ Òº Ë Ó ÖØ ÙÒ Ý Ò Ó ÐÑ ÒÔØ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ ØÓ Ñ ÒØÓ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ÖÚ Ø Ö Ó ØØ ÓÓ ÙÙ Ø Ò Ú Ò ÚÓ ÝØØ Ó Ö Ó ØØ Ñ Ò Ó ÐÑ º ÈÝØ ÓÒ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝ ØÙÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ó ÐÑ ÓØ Ø ÚØ Ò ÓÒ Ò Òº ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÙØ Ù ÑÙ Ø Ó ÐÑ Ø ÓØ Ò Ñ ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ù Ø ÖØÓ º ÃÓÓ ÙÒ Ø Ó ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ò Ò ÐÐ º Æ Ò ÓÑ ÒØÓØÙÐ Ø Ø ØØ Ý ÓÒ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý ÖØ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò ÒØ ÙØ ÙÒ Ý Ø Ý Ö Ô Ö Ñ ØÖ º È Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ ÓØ ÝØØ ÚÓ ÙÒ Ø Ó ÙØ ÙÒ Ý Ø Ý ÑÖØ Ò Ò Ó ÐÑ Ò ØÓ Ñ Ñ Ò ÐÙ Ñ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ º ÌÓ ØÓÖ ÒØ Ò Ý Ø Ý Ø¹ Ø ÐØ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓØ º ÃÙØ ÙÒ Ý Ø Ý ÒÒ ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒ ÑÙ ÐÓ ØÙ ÐÙ Ù ÓÐÐÓ Ò Ó ÐÑ ÐÓ ØØ ÐÙ Ù ÓÒÓÒ Ø Ñ Ò ÐÙØÙ Ø Ó Ø º Ñ Ö ¾º½½º Ø Ø ÓÒ Ó ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ùµ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÓØÙÙ ÖÚÓ Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò ÖÚÓ Ð Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð ½½

ÐÙ Ù±¾ ¼ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÌÖÙ Ö ØÙÖÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ì ÓÒ Ø ØÝ ÙÒ Ø Ó Ó Ý Ò ÖØ Ø Ø Ø ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ú º ÂÓ ÖØ ÙÒ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÐÙÚÙÒ Ô Ö Ø Ø Ø Ò Ò Ò ÚÓ Ò Ýع Ø ØØ ÙÒ Ø ÓØ º ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ø Ø ØØ Ú ÐÙ Ùº ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÒÝØ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÓÒ Ò Ñ ÐØ Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÔݺ Ì Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ñ ÒØ º ÑÔÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò µ Ð Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò ½¼¾µ ÌÖÙ ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ ÐÙÚÙÒ Ô Ð ÙØØ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ Ð º ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÐÙ Ù ÓÐ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ñ ÓÒ ØÓØØ º Ë ÑÓ Ò ÙÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÓÒ ÐÙ Ù ½¼¾ Ô Ð ÙØØ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ ÌÖÙ º ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÐÙ Ù ½¼¾ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ô Ø Ô Ò º Ì ÑÝ Ò Ø Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ú ÐÐ Òº ÙÒ Ø Ó Ò Ð ÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝØØ ÈÝØ ÓÒ ØÙÓÚ Ø ÐÐ Ö ¹ ØÓغ Ã Ö ØÓØ ÓÚ Ø Ô ØØ Ó Ø Ð ÝØÝÝ Ú ÐÑ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ø ÚÓ Ý ÝÒ¹ Ø ÓÓ Ö Ó Ø ØØ º Ñ Ö Ò Ñ Ò ØØ ÓÓÒ Ñ Ø ¹ Ö ØÓ Ó Ð¹ Ø ÒÐ Ñ Ø Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÙØ Ò Ò Ð ÙÙÖ Ò ÓØØ Ñ Òº Ã Ö ØÓ ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÑÔÓÖØ Ö ØÓÒÒ Ñ º ÃÓÓ ÚÓ ØØ Ò ÙØ Ù ÒÓÖÑ Ð Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ØÓÒ ÙÒ Ø ÓØ º ÁØ Ø Ñ Ø Ö Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò Ø Ò ÈÝØ Ó¹ Ò Ò Ö ØÓ Ø ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÓÒ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÓÒº Ñ Ö ¾º½¾º Ä Ø Ò ÐÙÚÙÒ Ò Ð Ò Ð ÙÙÖ Ñ Ø ¹ Ö ØÓÒ ÚÙÐÐ º ÑÔÓÖØ Ñ Ø Ñ Ø º ÕÖØ µ ¾º¼ ½¾

Å ØÖ Ð ÒØ Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÝ Ý Ø ÐÔ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø º Ó ¹ Ø ÐÐ Ò ØÙØÙÒ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÙØØ º ÄÓÔÙ Ø ÓØ Ò Ñ Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹ Ó ÐÑÓ ÒØ ÚÓ Ò Ý ÝÒØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ º ÈÐ Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Ö Ð Ò ÙÖ Ö Ò Ö Ä Ò Ö Ð Ö Å Ø Ò ÝÐÒ ÐÙ ÒØÓ¹ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÙÖ ÐÐ º º½ Ä Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ Ì ÔÔ Ð ØÙØÙ Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÍÙØ Ò Ò ØÙÐ Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ò ÑÑ Ø Ø ØØ º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÓØÓ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m ÃÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÓÑ Ø Ò Ý ØÐ Ø ÑÙÙØØÙ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ò Ô Ð¹ ÓÒ ÝÚÒ Ò Ø ÓÐ Ô Ó ÓÐÐ Ñ ÑÖº Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ð Ö Ó ØÙØ Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ó ÓÒ Ý Ø ÑÓÒØ ÑÙÙØØÙ Ù Ò Ý ØÐ º Ä Ò Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø Ñ Ò ÓÒ Ù Ø Ø ÔÓ º Ò ÖØ Ò Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐѺ Ë Ò Ý ØÐ Ø ÖÖÓØ Ò ÓÔ Ú ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ Ú ÒÒ ØÒ ØÓ Ø Ò Ø Ò ØØ Ð ÑÑ Ý ØÐ Ú Ò Ú Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ØÓ Ð ÑÑ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ú ¹ Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ò º ÄÓÔÙÐØ ÝÐ ÑÑ Ý ØÐ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÖØÓ Ñ ÐØ Ò ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ì Ø Ò Ö Ø¹ ØÙ Ý ÑÙÙØØÙ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ù ÑÙ Ò Ý ØÐ Ò Ò ÑÝ ÑÙ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ö Ø Ùغ Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 0 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2n x n = b 2 0 x 1 + 0 x 2 + a 33 x 3 + + a 3n x n = b 3 0 x 1 + 0 x 2 + + 0 x n 1 + a nn x n = b n ½

Ë ÐÐ ØØÙ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò Ô Ò Ú Ø Ñ Ò Ò Ý ØÐ Ò ÖØÓÑ ¹ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ÓÐÐ Ý ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ò ØÓ Ò º Ê Ø Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ö Ø ÙØ Ô ÓÐ Ý ¹ ØØ Ò Òº Ë Ñ Ò Ö Ø ÙÒ ÚÓ ÑÝ ÓÐÐ Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ð ÖØÓ¹ Ñ ÐÐ Ó ÐÐ Ò ÑÙ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ø Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ö Ö ØÝ º Ñ Ö º½º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк x 1 5x 2 + 3x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 6 2x 1 + 10x 2 + 2x 3 = 24 Ä ØÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ Ð ÑÑ Ò Ý ØÐ Òº Æ Ò Ò Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ x 1 5x 2 + 3x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30. à ÖÖÓØ Ò ØØ Ò ÝÐ Ò Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ ¾ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ ¹½º ÆÝØ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÓ Ó 2x 1 10x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30 ÃÙÒ Ð ØÒ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30 Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÝÐ ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ô Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30. ÃÙÒ Ú Ð Ð ØÒ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ Ð ÑÔ Ò Ý ØÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ¹ Ñ ØÓ ÚÓØØÙÙÒ ÑÙÓØÓÓÒº 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 0 x 1 + 0 x 2 + 8x 3 = 48. ½

Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ø Ø ÑÙÙØØÙ x 3 º Ê Ø Ù Ò x 3 = 6º ÃÙÒ ØÑ Ó Ø Ø Ò ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ò ÑÙÓØÓÓÒ 9x 2 + 42 = 18º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 2 = 2 2 3 º ÅÙÙØØÙ x 1 Ò Ö Ø ØÙ ÙÒ Ó Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 2 x 3 Ö Ø ÙØ ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Òº Ë ¹ Ó ØÙ Ò Ð Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓ Ó 2x 1 + 2 2 3 + 6 = 6º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 1 = 7 1 3 º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = 7 1 3 x 2 = 1 2 3 x 3 = 6 ØÐ ÖÝ Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò º ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º à ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ¹ Ò ÙÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ð Ù Ø ÓØ Ø Ò Ô Ð Ø Ý ØÐ Ò Ö¹ ØÓ Ñ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÝØ ØØÝ Ò Ñ Ö ÒØ Ò ÑÙ Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n................ a m1 a m2 a mn Å ØÖ Ø ÖÖÓØ Ò Ð ÙÖ Ú ÔÔ Ð º ÅÝ ÑÑ Ò Ý ÑÝ ÐÑ Ñ Ø Ý ØÝ Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÒÒ ÐØ º Ñ Ö º¾º ØÐ ÖÝ ÑÒ x 1 + x 2 4x 3 = 10 2x 1 2x 2 + 3x 3 = 4 4x 1 + 3x 2 x 3 = 1 1 1 4 ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ 2 2 3 º 4 3 1 À Ö Ó ØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 2x 1 + x 2 = 5 4x 1 4x 2 = 4 Ì ØÚ º Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ì ØÚ º ÅÙÓ Ó Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Aº ½

º¾ È ÖÙ Ó Ø Ñ ØÖ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ñ ØÖ ÓÒº Ë Ò Ð Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ð ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ó Ø Ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Å ØÖ ÓÒ Ø ØÝÒÐ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó ÐÙ Ù º Å ØÖ ÓÒ Ó ¹ ÐÐ Ú Ö Ú ÐÐ n Ð ÓØ Ó ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú ÐÐ m Ð ÓØ º ÐÐ ÓÐ Ú Ñ ØÖ A ÓÒ m n¹ñ ØÖ º a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n................ a m1 a m2 a mn Ð Ó Ø a ij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ð Ó º Å ØÖ Ð ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ø Ø ¹ Ò ÐÙ Ù Ø ÓÔ Ñ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ º Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ð Ñ ØÖ Ð ÓØ Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Òº Å ØÖ Ð Ó Ø a ij Ó ÐÐ ÔØ i = j ÒÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ð Ð Ó º Å ØÖ Ò Ø ÑÓØØÙÙ Ô Ö ÑÑ Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò ÐÐ 1 n¹ñ ØÖ X = (x 1, x 2,...,x n ) ÓÒ Ø Ú ØÓÖ º Ð Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ ¹ غ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ º ÂÓ Ò Ò ÑÙ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Æ Ð Ñ ØÖ ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ ÓÐÐ ÔØ m = nº Ñ Ö º º Å ØÖ A = ( 1 5 2 6 ) ÓÒ 2 2¹Ò Ð Ñ ØÖ º Å ØÖ ÚÓ Ò Ð Ý Ø Ò Ú ÒØ ØÓ Ø Ò Ñ Ð Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÚ Ø m n¹ñ ØÖ º ÃÙÑÑ Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÓÒ ØÙÐÓ Ò Ò m n¹ Ñ ØÖ º Å ØÖ Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ô Ð¹ Ð ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ý Ø Ò Ò Ò Ò Ý ÐÐ Ô ÐÐ Ð Ó ØÙÐÓ Ñ ØÖ ¹ º Î ÒÒÒÝ Ð Ù Ø Ô ØÙÙ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ð Ñ ÐÐ Ý Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø c ij = a ij + b ij º ( ) 3 4 6 Ñ Ö º º Ä Ø Ò Ñ ØÖ Ò A = 1 0 5 ( ) 7 5 8 B = ÙÑÑ µ ÖÓØÙ ¹ µº 10 3 9 ( ) ( ) ( ) 3 4 6 7 5 8 3 + 7 4 + ( 5) 6 + 8 A + B = + = 1 0 5 10 3 9 1 + 10 0 + 3 5 + 9 ( ) 10 1 2 = 9 3 14 ½

( ) ( ) ( ) 3 4 6 7 5 8 3 7 4 ( 5) 6 8 A B = = 1 0 5 10 3 9 1 10 0 3 5 9 ( ) 4 9 14 = 11 3 4 Å ØÖ ÚÓ Ò ÑÝ ÖØÓ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ã ÖØÓÑ Ò Ò Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ ÖÖÓØ Ò Ù Ò Ð Ó ÖÖÓØØ Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ r Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ñ ØÖ º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÖÖÓØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ r Ò ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ñ ØÝÝÔÔ Ù Ò º Å ØÖ Ò Ð ÓØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÐÙÚÙÐÐ Öº Å ØÖ Ð Ó b ij = r a ij º ( ) 4 0 7 1 Ñ Ö º º Ã ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ A = ÐÙÚÙÐÐ º Ã ÖÖÓØ Ò 6 8 3 2 Ù Ò Ñ ØÖ Ò Ð Ó ÐÙÚÙÐÐ º Æ Ò Ò ( ) ( ) ( ) 4 0 7 1 5 4 5 0 5 7 5 1 20 0 35 5 5 = =. 6 8 3 2 5 6 5 8 5 3 5 2 30 40 15 10 ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n................. a m1 a m2 a mn ÃÙÒ Ú Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ú Ö Ú Ò Ñ ØÖ Ò A ØÖ Ò ¹ ÔÓÒÓ ØÙ Ñ ØÖ A T Ø ÐÝ Ý Ø ØÖ Ò ÔÓÓ a 11 a 21 a m1 A T = a 12 a 22 a m2................ a 1n a 2n a mn ( ) 12 5 12 3 4 Ñ Ö º º Å ØÖ Ò A = ØÖ Ò ÔÓÓ A T = 3 7 º 5 7 13 4 13 À Ö Ó ØÙ Ã Ø ØÚ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ñ ØÖ 1 8 2 1 4 0 A = 1 5 0 B = 6 7 12 º 3 9 2 9 8 3 Ì ØÚ º Ä Ò Ò ÙÑÑ µ ÖÓØÙ ¹ µ ÖÖÓ ÙÑÑ Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÐÙÚÙÐÐ º Ì ØÚ º ÅÙÓ Ó Ø Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ º ½

º Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Æ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Å ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ Ø µ Ø A º ÌÝÝÔÔ 2 2 ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ó¹ Ú Ø Ò Ð ØØ Ú ÙÖ Ú Ø º det ( ) a b c d = a b c d = ad bc Ð Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÌÝÝÔÔ n n ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ a 11 a 12 a 1n a 22 a 23 a 2n a 21 a 23 a 2n a 21 a 22 a 2n.............. = a 11 a 32 a 33 a 3n............... a 12 a 31 a 33 a 3n............... +... a n1 a k2 a nn a n2 a n3 a nn a n1 a n3 a nn a 22 a 23 a 2(n 1)... + ( 1) n+1 a 1n a 31 a 32 a 3(n 1)................. a n1 a n2 a n(n 1) Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ó Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÔÝ Øݹ Ö Ú ÓÐÐ Ð Ó ÓÒº ÄÓÔÙ Ú Ð ÙØ ÐÙÚÙØ Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ø Ú ÒÒ ØÒ ØÓ Ø Òº ÈÐÙ ¹ Ñ ÒÙ Ñ Ö Ø ÚÙÓÖÓØØ Ð Ú Øº ÌÑÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò Ô Ð ÙØÙÙ n ÔÔ Ð Ò n 1 n 1¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Òº Â Ø Ñ ÐÐ Ð Ñ Ø Ø ÒÔ Ò Ô ¹ ØÒ ÐÓÔÙÐØ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÓØ Ð Ø Ò ÐÐ ÓÚ ØÙÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÌÝÝÔÔ 1 1 ÓÐ Ú ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ (a) 1 1¹Ñ ØÖ º Ë ÐÐÓ Ò det(a) = aº ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÑÝ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÝÐ Ò Ð Ù ÒÒ Òº 7 15 8 Ñ Ö º º Ä Ø Ò Ñ ØÖ Ò A = 6 4 9 Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Ź 5 3 3 Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓØ Ø Ò Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ð Ó ÖÖÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ó Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÔÝ ¹ ØÝÖ Ú ÓÐÐ Ð Ó ÓÒº Æ Ò Ò 7 15 8 6 4 9 = 7 4 9 5 3 3 3 3 15 6 9 5 3 + ( 8) 6 4 5 3. ½

Ð Ó Ò Ô ÖÒ ØÙÐ ÒÝØ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð Ø Ò ÙÓÖ Ò ÐÐ ÓÚ ØÙÒ ÑÙ Ø º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ÓÒ Ò Ò ÔÙ ÓØØ Ö Ú ÔÓ Ò Ò Ù Ò ÙÒÒ Ô ÝØÒ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Òº Ä Ø Ò 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ò 7(4 3 9 3) 15(6 3 9 5) 8(6 3 4 5) = 7(12 27) 15(18 45) 8(18 20) = 7 ( 15) 15 ( 27) 8 ( 2) = 105 + 405 + 16 = 316. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ò ½ º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÔÔ Ð º½ Ø ÐÐÝØ Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ Ò Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Ë Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ø ÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n................. a m1 a m2 a mn ÁØ Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó º à ֹ ÖÓ ÒÑ ØÖ A Ø Ò ÓØØ Ñ ÐÐ Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ð Ù Ø ÖØÓ Ñ Øº Ë ÑÓ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ñ ØÖ X = (x 1, x 2,..., x n ) T Ý ØÐ Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ñ ØÖ B = (b 1, b 2,..., b m ) T º Å ØÖ ÑÙÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ AX = Bº Å ØÖ ÑÙÓ Ó ÓÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙ ÒÒº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÓÐ Ú Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ý ØØ Ø Ö Ø Ù º Ê Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù º½º Ä Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ø Òº È ÖÙ Ø ÐÙ ØÐÐ Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ò ÙÒ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ó Ø Ö Ñ Ö Ò Ò¹ ÂÓ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ö Ø¹ Ù Ø ØØ Ò Ò Ø ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ º ½

Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 1 = 2 2x 1 x 2 2x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 12 ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ º ÌÑÒ ÚÓ Ú Ø ØÓ Ø º ÌÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ý ØØ Ø Ö Ø Ù º ÁØ Ö Ø Ù ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ º Ä Ò Ö Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÝ Ò Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ º Ì ÔÓ ÓÒ ÑÓÒ º Ö Ò Ø ÓÒ Ö Ñ Ö Ò ÒØ º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ý Ø ÑÓÒØ ÑÙÙØØÙ Ý Ø ÑÓÒØ Ý ¹ ØÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ë ÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ ¹ ÑÐÐ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù ÓÒ ÙÖ Ú x j = det(a j) det(a) Ñ j = 1, 2,...,n A j ÓÒ Ñ ØÖ Ó Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ Bº Ñ Ö º º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÒÒ Ðк 3x 1 + 2x 2 x 3 = 7 x 1 x 2 + 2x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 3 3 2 1 ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÒÝØ A = 1 1 2 º Ä Ø Ò Ò ¹ 2 3 2 Ø ÖÑ Ò ÒØØ º 3 2 1 1 1 2 = 3 1 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 1 1 = 3 ( 4) 2 ( 6) 5 = 5 2 3 Å ØÖ B ÓÒ ÒÝØ Ñ ØÖ (7, 2, 3) T º Ê Ø Ø Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ x 1 º Å ØÖ A 1 ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ø A Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú Ñ ØÖ ÐÐ º Å ØÖ A 1 ¹ 7 2 1 Ò Ñ ØÖ 2 1 2 º ÃÙÒ Ð Ø Ò Ñ ØÖ Ò A 1 Ø ÖÑ Ò ÒØØ 3 3 2 ØÙÐÓ Ò ¹½ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ x 1 Ò x 1 = 17 5 = 32 5 º ¾¼

Ê Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÙÙØØÙ x 2 Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ÓÖÚ Ø Ò Ñ ØÖ ¹ Ø A ØÓ Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ B Ò Ñ ØÖ A 2 º Å ØÖ Ò A 2 ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ò ½ º ÅÙÙØØÙ Ò x 2 ÖÚÓ Ò x 2 = 13 5 = 23 5 º ÄÓÔÙ Ú Ð Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ x 3 º Å ØÖ Ò A 3 Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ½¼ Ø Ò x 3 = 10 5 = 2º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½¼º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A = Ò ÒØØ x 1 = 3 2 5 x 2 = 2 3 5 x 3 = 2 ( 1 1 3 ) 2 0 2 º Å ÓÒ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ ¹ 2 1 3 Ì ØÚ ½½º Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÒÒ Ò ÚÙÐÐ º 5x 1 x 2 = 12 x 1 2x 2 = 6 º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ý Ø ÒÐ Ù ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ø Ñ Ò ÑÓÒ ÑÙع ÑÔ ÓÔ Ö Ø Óº Ì ÔÔ Ð Ô Ö ÝÑÑ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÙÒº Ò ÒÒ Ò Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ñ ØÖ ÚÓ ÚÐØØÑØØ ÖØÓ ¹ ÒÒº Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÖØÓÓ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ ÚÓ Ò ÖØÓ ÒÒº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ó Ò Ñ Ò¹Ñ ØÖ Ó Ò Ð ¹Ñ ØÖ º Šع Ö Ø ÚÓ Ò ÖØÓ ÒÒ Ó Ú Ò Ó n = lº È ÖÙ Ø ÐÙ ØÐÐ Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ò ÙÒ ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØÙ Ò Ò Ò Ù Ò Ñ ØÖ Ó Ò ÖÖÓØ Ò ÒÒº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ ÓØ Ø Ò ÖØÓ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÖÖÓØØ Ú Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú º à ÖÖÓØ Ò Ò ÑÑ Ø Ð ÓØ ÒÒ Ð ØÒ Ò ØÓ Ø Ò Ð Ó Ò ØÙÐÓº Ì Ò Ð ØÒ ÓÐÑ Ò Ò Ð Ó Ò ØÙÐÓ Ò Ò Ø Ø Òº Ë ØÙ ÙÑÑ ÓÒ ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ó a 11 º ÌÙ¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ó a 12 Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÖÖÓØØ Ú Ò Ò ÑÑ ÐÐ Ú Ö Ú ÐÐ ÖØÓ Ò ØÓ ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú ÐÐ º Æ Ò Ø Ø Ò ÙÒÒ Ó ¹ Ò Ò ÖÖÓØØ Ú Ò Ú Ö Ú ÓÒ ÖÖÓØØÙ Ó ÐÐ ÖØÓ Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ðк ÌÙÐÓ Ò ÖØÓÐ Ù Ø Ò m s¹ñ ØÖ º ¾½

ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ñ ØÖ Ò Ò ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ØÙ Ñ ØÖ º Ë ÐÐÓ Ò Ð Ó c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÒÒ Ø Ú ÖÖ Ø Ú ØÓÖ Ò Ô Ø ØÙÐÓÓÒº Í Ò ¹ Ø ÐÐ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò Ö Ú Ø Ö Ø ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ø º ÌÙÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ c ij Ú ÖØ Ò ÓØ Ø Ò Ñ ØÖ Ø i Ú Ö Ú Ñ ØÖ Ø j Ö Ð Ø Ò Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ô Ø ØÙÐÓº ( ) 5 6 1 3 4 2 Ñ Ö º½¼º Å ØÖ 2 0 1 4 ÔÝ ØÝ 3 1 7 5 8 2 ÖØÓÑ Ò ÒÒ Ó ÓÒ ØÝÝÔÔ 2 2 ØÝÝÔÔ 3 4º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ø ÓÒ ØÖ ÙÓÑ Ø Ö º ÄÙ Ù Ò ÖØÓÐ ¹ Ù ÚÓ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ö ØÝ ÝÚÒ º Ñ Ö ÓÐ ÓÓÒ a b Ó Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù º Ë ÐÐÓ Ò a b = b aº Å ØÖ ÐÐ ØÑ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ù Ø Ò Ò Ò Ô º ÌÑ ÙÓÑ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Øº ( ) ( ) Ñ Ö º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ 1 3 8 9 Ñ ØÖ 8 6 2 3 º Ä ¹ Ø Ò Ò Ò Ñ ØÖ ( )( ) ( ) 1 3 8 9 1 8 + 3 2 1 9 + 3 3 = 8 6 2 3 8 8 + 6 2 8 9 + 6 3 ( ) ( ) 8 + 6 9 + 9 14 18 = = 64 + 12 72 + 18 76 90 Ä Ø Ò ØØ Ò Ñ ØÖ º ( )( ) ( ) 8 9 1 3 8 1 + 9 8 8 3 + 9 6 = 2 3 8 6 2 1 + 3 8 2 3 + 3 6 ( ) ( ) 8 + 72 24 + 54 80 78 = = 2 + 24 6 + 18 26 24 ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ö Ñ ØÖ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º º Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Á ÙØ ÙØ Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÓÒ ¹ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø Ý ÑÙÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ 1 0 0 0 0 1 0 0 I = 0 0 1 0.......... 0 0 0 1 ¾¾

Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ØØ ÐÐ ÖÖÓØØ Ø Ø Ö¹ ÖÓØØ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ò Ñ ØÖ Ñ Ø ÐÐ ÖÖÓØ Ò Ø Ñ ÐÐ ÖÖÓØ Òº Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÖØÓÐ Ù Ñ Ù Ò ÐÙÚÙ ÖØÓ Ý Ðк Å Ø Ñ ØØ Ø ÐÑ ØÙÒ IA = AI = A Ñ A ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ñ ØÖ I ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º 8 1 6 1 0 0 Ñ Ö º½¾º à ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ Ø 4 7 2 Á 0 1 0 2 3 5 0 0 1 ÒÒº 8 1 6 1 0 0 AI = 4 7 2 0 1 0 2 3 5 0 0 1 8 1 + 1 0 + ( 6) 0 8 0 + 1 1 + ( 6) 0 8 0 + 1 0 + ( 6) 1 = 4 1 + 7 0 + 2 0 4 0 + 7 1 + 2 0 4 0 + 7 0 + 2 1 2 1 + 3 0 + 5 0 2 0 + 3 1 + 5 0 2 0 + 3 0 + 5 1 8 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 6 8 1 6 = 4 + 0 + 0 0 + 7 + 0 0 + 0 + 2 = 4 7 2 = A 2 + 0 + 0 0 + 3 + 0 0 + 0 + 5 2 3 5 ÂÓ ÙÓÖ ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÓ ÒÔ Ò ÓÒ ÑÝ ØÙÐÓ Ò Ñ ØÖ º à ÖØÓÐ ÙÒ Ý ØÝ Ó Ø Ò Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½¾º Ä Ñ Ð Ñ ÓÐÐ Ø ÙÖ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ µº µ µ µ µ 5 6 1 2 4 A = 7 4,B = 1 2 0 8 3 3 4 3 ( ) ( ) 3 2 1 0 1 2 A =, B = 4 6 2 3 1 2 1 5 2 1 0 0 A = 4 10 8, B = 0 1 0 0 2 3 0 0 1 ( ) 4 3 A =, B = 5 4 ( 2 1 2 4 ) ¾

Ì ØÚ ½ º Ä Ñ Ð Ñ ÓÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ µº º ÃÒØ Ñ ØÖ Ì ÔÔ Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ØØ Òº Ä Ø ÓØ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓÔÙ Ú Ð ÐÝ Ý Ø ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ò Ð Ñ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º Å ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ñ ØÖ A 1 ÓÐÐ ÔØ AA 1 = A 1 A = Iº Ñ Ö º½ º Å ØÖ B = 1 5 1 5 3 5 1 5 1 0 2 A = 2 1 1 ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ 1 1 0 2 5 2 5 2 3 5 5 1 5 ÓÒ Ñ ØÖ Ò 1 0 2 1 2 5 5 2 5 AB = 2 1 1 1 2 3 5 5 5 3 1 1 0 5 1 1 5 5 1 ( ( ) 5) 1 + 0 1 5 + 2 3 5 1 2 5 + 0 2 5 + 2 ( ) 1 5 = 2 ( ( ) 5) 1 + 1 1 5 + 1 3 5 2 2 5 + 1 2 5 + 1 ( ) 1 5 1 ( ( ) 5) 1 + 1 1 5 + 0 3 5 1 2 5 + 1 2 5 + 0 ( ) 1 5 1 5 + 6 2 5 5 2 5 2 5 + 2 5 1 0 0 = 2 5 1 5 + 3 4 5 5 + 2 5 1 5 4 5 + 3 5 + 1 5 = 0 1 0 1 5 1 5 2 5 + 2 2 5 5 + 3 5 0 0 1 1 ( 2 5) + 0 2 5 + 2 1 5 2 ( 2 5) + 1 3 5 + 1 1 5 1 ( 2 5) + 1 3 5 + 0 1 5 à ÖØÓÐ Ù Ø ØÙÐ ÑÝ Ú Ø Ù ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÑÙØØ ÖØÓÐ ÙÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º à ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ö¹ ØÓÓ Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ º Ä Ù º º Å ØÖ ÐÐ A ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ Ø µ 0º Å ØÖ Ó ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ ÙØ ÙØ Ò ÒÒ ÐÐ º Ä ÓÒ ÑÝ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ó Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÃÒØ Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ÓÒ Ù Ø ÒÓ º Ì Ñ Ø Ö Ð Ø Ð¹ ÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ô Ö ØØ ÐØ Ò Ý Ò ÖØ Òº ÌÑ Ø Ô Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÓÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A Ñ ØÖ ÓÐÐ ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ô Ø Ø º Ì ØÒ ØØ Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Å Ö ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ ¾

x ij ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ A ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Òº ÃÓ ØÙÐÓ Ø ØÒ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÚÙÐÐ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÓØ x ij º Å Ø Ñ Ø¹ Ø Ò Ñ Ö ÒÒ Ò a 11 a 12 a 1n x 11 x 12 x 1n 1 0 0 0 a 21 a 22 a 2n x 21 x 22 x 2n.............................. = 0 1 0 0.......... a n1 a n2 a nn x n1 x n2 x nn 0 0 0 1 ÃÙÒ ÖØÓÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ò ÙÖ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó ÓÒ n 2 Ý ØÐ n 2 ÑÙÙØØÙ º a 11 x 11 + a 12 x 21 + a 1n x n1 = 1 a 11 x 12 + a 12 x 22 + + a 1n x n2 = 0 a n1 x 1n + a n2 x 2n + + a nn x nn = 1 ØÐ ÖÝ Ñ Ø Ò Ö Ø ØÙ ÑÙÙØØÙ Ø x ij º ( ) 1 1 Ñ Ö º½ º Ø ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ñ ØÖ ÐÐ A = º Å Ö ¹ 3 2 ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø ÑÙÙØØÙ ÐÐ x ij º Æ Ò Ò ÖØÓÐ Ùº ( ) ( ) ( ) 1 1 x 11 x 12 1 0 = 3 2 x 21 x 22 0 1 ÃÙÒ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÖØÓÐ Ù Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 11 x 21 = 1 x 12 x 22 = 0 3x 11 2x 21 = 0 3x 12 2x 22 = 1 ÃÓ Ò ÑÑ Ò Ò ÓÐÑ Ý ØÐ ÚØ Ö ÔÙ ØÓ Ø Ò Ð ÒÒ Ø ÚÓ ¹ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓØØ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º Ì ÒÝØ Ý ÐÔ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò Ö Ø Ñ Ø º ÃÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ØÙÐ x 11 = 2, x 12 = 1, x 21 = 3, x 22 = 1 ( ) Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÒØ Ñ ØÖ A 1 2 1 = 3 1 ¾

À Ö Ó ØÙ ( ) 3 1 Ì ØÚ ½ º Å ÙÖ Ú Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ò A = ÒØ Ñ ØÖ 2 4 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 µ µ 5 1 2 10 1 4 1 5 3 µ 5 1 10 3 10 10 1 5 2 1 Ì ØÚ ½ º Ø Ñ ØÖ Ò A = 4 1 ÒØ Ñ ØÖ º 1 3 ( ) 0 1 Ì ØÚ ½ º Ø Ñ ØÖ Ò A = ÒØ Ñ ØÖ º 2 1 º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò Ì ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ø¹ Ö Ð ÒÒ Ò ØÝ ÐÙÒ º Ä Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ØÙØÓÖ Ð º ÃÙØ Ò ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ò ÑÓÒ Ø Ñ ØÖ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ØÝ Ð ¹ Ø ÙÓÖ ØØ º Ñ Ö ÖØÓÐ ÙØ Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ø ¹ Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ò Ò Ú ÚØ Ô Ð ÓÒ º ÈÝØ ÓÒ¹ Ó ÐÑÓ ÒØ Ø Ö Ó ÐÔÓØÙ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ Òº ÈÝØ ÓÒ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ Ø Ð ÝØÝÝ Ú ÐÑ Ø ÓÑ ÒÒÓØ Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Òº ÈÝØ ÓÒ¹ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÑ Ø ØÓÖ ÒÒ º ÌÑ Ø ØÓÖ ¹ ÒÒ Ò ÝØØ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ÑÙ Ò ÓØ Ò Ò Ñ ØÖ ¹ Ø ÐØ ÓÒ ÓØ ØØ Ú ÝØØ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓº ÌÑ Ø Ô ØÙÙ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ º Å ØÖ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ü¹ØÝÝÔÔ Òº Å ØÖ Ù Ò Ú Ö Ú ÓÒ Ò¹ Ù Ò Ð Ø º Ê Ú Ø ÖÓØ Ø Ò ØÓ Ø Ò ÙÐ Ò Ð ÓØ Ô Ð Ù Òº Å ØÖ ¹ ÚÓ Ò Ú Ø Ø Ý ØØ Ò Ð ÓÓÒ ÙÐ Ò ÚÙÐÐ º ÂÐÐ Ò ÖÖ Ò ÓÒ Ú Ò ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ Ò Ò Ö Ú Ò Ù Ò Ö Ò Ò Ò Ó ÒØ Ð ÒÓÐÐ Ø º Ñ Ö º½ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ¾ ÔÖ ÒØ ¾ ½ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙÒ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ØÓ Ö º ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ñ ØÖ ÐÐ ÙÓÖ Ò ÙÓÖ ØØØ Ø Ú ÐÐ Ð ÙÓÔ Ö Ø Ó ¹ Ø ÙØ Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ ¹ ÖØÓÐ Ùº Å ØÖ ÚÓ Ò ÖØÓ Ò Ò Ö ¹ ¾

Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ù Ò ÒÒ Òº ÇÔ Ö Ø ÓØ Ø Ô ØÙÚ Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ ¹ º Ñ Ö º½ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü µ Ý Ø ÒÐ Ù ÔÖ ÒØ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÔÖ ÒØ ¹ Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ÔÖ ÒØ ÖØÓÐ Ù ÔÖ ÒØ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø Ð ØØÙÒ Ý Ø Ò Ú ÒÒ ØØÝÒ ØÓ ¹ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÖÖÓØØÙÒ Ú ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓÒº ÌÙÐÓ Ø Ò ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø Ñ ØÖ Øº ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 4 4 5 10 19 22,,, 10 12 4 4 15 20 43 50 ÅÝ ØÖ ÒÔÓÓ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ÓÑ ÒØÓÒ Ó ¹ Ò ÚÙÐÐ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÙÓÖ Òº ÌÖ Ò ÔÓÓ Ò ÓÑ ÒÒÓй Ð Ñ ØÖ ºÌ Ñ Ñ ØÖ ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÒÓ Ø Ú Ñ ØÖ º ÃÒØ Ñ ØÖ ÔÙÓÐ Ø Ò Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ñ ØÖ ºÁ Ñ Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ ÓÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ø ØÒº Ë ÑÓ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÙ ÙÓÖ Òº Ë Ø Ô ØÙÙ ÓÑÑ ÒÒÓÐÐ Ð Ò Ð º Ø Ñ ØÖ µº 1 4 0 Ñ Ö º½ º Ä Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A = 2 1 4 2 0 1 ØÖ Ò ÔÓÓ ÒØ Ñ ØÖ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¹ ¼ ¹¾ ½ ¾ ¼ ¹½ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÖ ÒÔÓÓ ¾

ÔÖ ÒØ ºÌ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º Ø µ 1 2 2 Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò A T = 4 1 0 Ñ ØÖ Ò 0 4 1 0.04 0.16 0.64 A 1 = 0.24 0.04 0.16 Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó ÓÒ ¹¾ º 0.08 0.32 0.28 ÇÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú ØØ ÈÝØ ÓÒ ÒØ Ñ Ö ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ¹ Ñ Ð ÐÙ ÙÑÙÓ Ó º Å Ð ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÓÒ Ó ØØ Ú Ø ÑÙÓ Ó Ø º ÃÙØ Ò ÐÐ ØÓ ØØ Ò Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÓÒ ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ó ØØ Ø Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÐ Ù ÓÒÒ ØÙ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º ÈÝØ ÓÒ Óع Ø ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÝ Ù ÑÑ Ø Ò Ø Ø Ð ÒØ Ø Ú ÓØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö¹ Ø ÑÝ Ø º ÒÓ Ñ Ø ÈÝØ ÓÒ ÙÓÑ Ó ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò ÓÐ Ñ ¹ ÓÐÓÓÒ Ð ØØÝÚ ØÓº ÂÓ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÝÖ ØØ Ø ÒØ Ñ ØÖ ÑÙÙÐÐ Ù Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ Ó ÐÑ ÝÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ò ÑÙØØ ÓÐ Ý Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ º Ì Ø Ô Ù ÓÒ Ó ÐÑÓ Ò Ø Ò ÓÐØ Ú Ø Ö Ò º ( ) 12 5 9 Ñ Ö º½ º Ä Ø Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A = 2 6 7 ( ) 11 10 B = ØÙÐÓº 8 6 ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ µ Ñ ØÖ Ü ½½ ½¼ ¹ ¹ ¹ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÒÒ ÔÖ ÒØ ÃÓ Ñ ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó ÐÑ ÒØ Ú Ö ÐÑÓ ØÙ ¹ Òº ¾

Ð Ø Ò Ð Ò ¾ Ò ÑÓ ÙРл٠ֻлÔÝØ ÓÒ¾º» Ø ¹Ô»ÒÙÑÔÝ»ÓÖ» Ñ ØÖ ÜºÔÝ Ð Ò ½ Ò ÑÙÐ Ö ØÙÖÒ Æº ÓØ Ð Ñ ØÖ Ü ÓØ Öµµ Î ÐÙ ÖÖÓÖ Ó Ø Ö ÒÓØ Ð Ò Ä Ø Ò ÙÖ Ú Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ º ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Òº Ñ ØÖ Ü ¹½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¾º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ ½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¹ º¼½ ¹½ ¹½º ¼ ½ ¹½ µ ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÐ Ù A A 1 ÒØ ØÙÐÓ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ù Ò ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Òº ºÁµ Ñ ØÖ Ü ½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¹ º¼½ ¹½ ¹½º ¼ ½ ¹½ ½º½½¼¾¾ ¼¾ ¹½ ¾º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ ¾º¾¾¼ ¼ ¹½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ µ ÆÙÑÈݹÑÓ ÙÙÐ Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ Ú ÐÑ ÓÑ ÒØÓ Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø ÙÙÒº ÃÝ Ò Ò ÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ð Ò Ð º ÓÐÚ Ñ ØÖ ½ Ñ ØÖ ¾µ Ñ Ñ ØÖ ½ ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ØÓ Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÓÒ Ó Ø ÔÙÓÐ Ø Ø Ú Ñ ØÖ º Ñ Ö º½ º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º 2x 3y = 10 5x + 6y = 20 ÇØ Ø Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ( ) 2 3 A = 5 6 Ç Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓ Ñ Ø Ò Ñ ØÖ B = (10, 20) T º Ë ØØ Ò Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒº ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¾ ¹ µ ¾

Ñ ØÖ Ü ½¼ ¾¼ µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ Ê Ø Ù ØÙÐ x = 4, 44... y = 0, 3700370...º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÈÝØ ÓÒ ÒØ Ö Ø ÙØ Ñ Ð ÑÙÓ Ó º Å ¹ Ð Ó Ø Ò ÝÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ Ô Ø Ó Ø Ø ÑÙÙØØ º Ì ¹ Ò Ø Ô Ù Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ÓÐÐ Ñ Ð ÐÙ Ù ÓØ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ º ÅÙÙÒØÓ ÑÙÖØÓÐÙ ÙÑÙÓØÓÓÒ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø Ø Ø Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó Ý ØÐ ÖÝ Ñº À Ö Ó ØÙ 1 1 2 ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A = 3 1 0 1 2 2 Ñ ØÖ B = 2 2 1 0 1 1 2 0 2 Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø Ð ÓÒ a 12 Ñ ØÖ Ø B Ð ÓÒ b 32 Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò Ùѹ Ñ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÑÑ Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ º Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÒÒ ÙÑÑ Ò Ö ØÝ µ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ø Òº Ì ØÚ ¾¼º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ Òº Ì ØÚ ¾½º Ê Ø ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ Ñ 5x 1 + 3x 2 = 9 4x 1 + 2x 2 = 8 Ì ØÚ ¾¾º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ö Ø ÙÖ Ú Ò ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö¹ Ó ØÙ Ø Ô Ö Ò ÓÐ Ú Ò Ø ØÚÒº Ê Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 3x 2y = 1 4x + 5y = 2 È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼½µ ¼

Ì Ð ØÓØ ØØ Ì ÐÙÚÙ ÖÖ Ø Ò Ñ Ò Ö Ð Ø Ð ØÓÐÐ ÙÚ Ó Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ¹ Ø Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÄÓÔÙ Ø ÓØ Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÙ Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º ÈÐ Ø Ò ÐÙÚÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ È ¹ Ö Ò Ö Ì Ð ØÓØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ä ÙØ ØÓ¹ Ö Ò Ö Ä ÙØ ØÓ º º½ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ø Ì ÔÔ Ð Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÈÝÐÚ Ö ÑÑ ÓÒ ÙÚ Ó Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ó Ú ¹ Ð ÐÐ ÓÒ ÔÝ ØÝÔÝÐÚ Øº Ð Ò ÔÝÐÚØ Ô ÖÖ ØÒ Ý Ø Ð Ú ÓÐÐÓ Ò ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù ÙÚ ÙÒ Ò ÖÚÓÒ Ö Ú Ò º 7 6 5 4 3 2 1 0 0.75 1.75 2.75 ÃÙÚ ¾ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ ÈÝÐÚØ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ö Ò Ø Ý Ø Òº ÈÝÐÚØ ÓÒ Ø Ô Ò Ô ÖØ Ý ¹ Ø Ò Ó ÙÚ ÓÐÐ ÙÚ Ø Ò ÐÙÓ Ø ÐØÙ Ò ØÓ ÑÙÙØ Ò ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Ò Ø ¹ ØÒ Ô Ò Ö Óº ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÔÝÐÚØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ý Ø Ò ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ò ØÓ Ö ÑÑ º ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø º Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ Ñ Ö¹ ØÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓØ Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓÐÐ Ý Ø Ð Ú ÔÝÐÚ º ÈÝй Ú Ò ÚÐ Ò Ø ØÒ Ô Ò Ö Óº ÂÓ Ö ÑÑ Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙØÙÔ Ô Ö ÐÐ ÖÙÙ¹ ØÙ ÓÒ ÝÚ ÝØØ ÔÙÒ º ÈÝ ØÝ Ð ÐÐ Ú Ð Ø Ò ÓÔ Ú Ø ÚÐ Ò Ò Ø Ó ÙÚ Ñ Ò Ö Ú Ò º Ò ÓÐ Ý Ð ØØ Ø Ñ Ø ÓÚÐ ÓÒ ÓÔ ¹ Ú Ò ÑÝ Ù ÑÔ Ø ÓÚÐ ÚÓ ÓÔ Ý Ò ÙÚ Òº Ë ØØ Ò ÙÒ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ Ó ÐÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ ÓÒ ÓÖ Ù ÑÖÝØÝÝ Ú ÒÒÓÒ Ö Ú Ò Ò ÑÙ Òº ÄÓÔÙ Ú Ð Ò Ñ ØÒ Ð Ø Ð ØÒ ÙÚ ÓÓÒ ÓØ Ó ½

Ñ Ö º½º È ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÙÚ ÖÒ ÐÙ ÓÒ Ô Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ Ó Ò ÖÚÓ ÒÓ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ º À ¹ Ú ÒÒÓØ Ò Ò Ö Ú Ò Ø ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó º ÖÚÓ Ò ÇÔÔ Ð ÑÖ Ä Å Á ¾ ¾ ½ Å Ö ØÒ Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ ÖÚÓ Ò Ø Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò ÖÚÓ Ò ÐÐ Ò ÖÙÙ ÙÒ Ð ÚÝ Ò Ò ÔÝÐÚ º ÂØ ØÒ Ý ÖÙÙØÙ ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Òº I A B C M E L Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò Ø Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ º Ì Ø Ô Ù ÓÒ ÓÔ Ú ÒØ Ýع Ø Ø Ó Ó Ý ÖÙÙØÙ Ú Ø Ý Ø ÓÔÔ Ð Ø º Ë Ò Ð Ò Ô ÖÖ ØÒ Ù¹ Ø Ò Ö Ú Ò Ú Ø Ú Ø ÔÝÐÚغ ÖÚÓ Ò Ò ÑÔÖÓ ØÙÖ Ý ÓÔÔ Ð Ó¹ Ø Ò ÔÝÐÚ ØÙÐ ÓÖ Ù ÐÐ ½ ÖÚÓ Ò Ò ÔÔÖÓ ØÙÖ ÓÔÔ Ð Ø ÓØ Ò ÔÝÐÚ ØÙÐ ÓÖ Ù ÐÐ ¾ Ò º 8 7 6 5 4 3 2 1 I A B C M E L ÄÓÔÙ Ú Ð Ò Ñ ØÒ Ð Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Óº Æ Ò Ò ÙÖ Ú ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º ¾

Ð ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ Ø Ò ÖÚÓ Ò Ø À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÒÒ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ÓØ ÝÝ ÙÙÒ ÐÑÔ Ø Ð Ø À Ð Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¹¾¼¼ º È ÖÖ ÒÒ ØÙ Ø Ò ØÓ Ø ÔÝÐÚ Ö Ñ¹ Ñ º ÎÙÓ ÄÑÔ Ø Ð ¾¼¼ ½¾ ¾¼¼ ½ ½ ¾¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ½½ º¾ È Ö ÙÚ ÓØ Ì ÔÔ Ð Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ô Ö ÙÚ Ó Ò Ô ÖØÑ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º È Ö ÙÚ Ó Ð ÝÑÔÝÖ ÙÚ Ó ÓÒ ÝÑÔÝÖÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ù¹ Ú Óº ÑÔÝÖ ÓÒ ØØÙ ØÓÖ Ò ÙÒ Ò ØÓÖ Ò Ù ÙÐÑ Ú Ø ¹ Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ Ó ÙÙØØ º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖ Ú Ø Ú ÒØÓ º ÃÙÚ È Ö ÙÚ Ó È Ö ÙÚ ÓØ ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ó Ô Ø ÙÚ Ø Ó ÙÙ Ò ÙÙ¹ ÖÙÙØØ º

ÅÝ Ô Ö ÙÚ ÓÒ Ô ÖØÑ Ò Ò ÓÒ Ý ÖØ Ø º Ò Ò Ð Ø Ò Ú ÒØÓ¹ Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ö Ú Ò Ø Ó Ò Ø ÓÐ Ó Ú ÐÑ ÒÒ ØØÙº Ë ØØ Ò Ð Ø Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ú ÒØÓ Ú Ø ÝÑÔÝÖ º Ë Ò Ð Ò Ô Ö¹ Ö ØÒ ÝÑÔÝÖ Ò ÙØ Ò Ù ÙÐÑ Ú Ø Ú ØÓÖ º ÄÓÔÙ Ú Ð Ö Ó Ø Ø Ò ÙÚ ÓÓÒ Ñ Ø Ú ÒØÓ Ù Ò ØÓÖ Ú Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Óº ÎÖ ÝØØÑÐ ÙÚ Ó Ø Ú ÒÒÓÐÐ ÑÑ Òº Ñ Ö º¾º È ÖÖ ØÒ Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ ÚÐÐ ¾¼¼ ÝÐ ÓÔÔ ¹ Ð Ö Ó ØØ Ò Ò Ó ØØÙÑ Ø Ø Ó¹ÓÔ ÒØÓ Òº Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó º Ë Ó ØØÙÑ Ó ØÓ Ò Ø Ò ÑÑ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ ÑÑ ØØ ÓÖ ÓÙÐÙ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ø ÒÙØ ÓÔ ÐÙ Ý ÝÐÐ ¾¼¼ Ç ÙÙ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ±µ ¾ ½ ¾¼ Ì ÓØ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó Ú ÐÑ ÔÖÓ ÒØØ Ó ÙÙ Ò ÓØ Ò Ò Ø Ø ÖÚ Ø Ð ¹ º Ä Ø Ò Ò Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ó ÙÙ Ú Ø º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ ¼ ÓØ Ò ÙÒ Ò Ù ÙÐÑ Ò Ø ÐÙ Ù Ò Ð ¹ Ñ ÐÐ Ó ÙÙ ÐÙÚÙ Ø ¼º Ñ Ö ØÓ Ò Ø Ò ÑÑ Ø ÐÐ Ò ÓÙÐÙØÙ Ò Ñ Ò ÐÐ ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ð Ø Ò 0, 042 360 15 º Î Ø Ú Ø ÑÙ ÐÐ ¹ Ò ÙÖ Ú Ø Ù ÙÐÑ Øº ÑÑ ØØ ÓÖ ÓÙÐÙÙÒ Ñ Ò Ú Ò Ó ÙÙØØ Ú Ø Ø Ò ÙÐÑ ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒ Ñ Ò Ú Ò Ó ÙÙØØ Ø Ò ÙÐÑ ÓÔ ÐÙ Ø Ø ÙÓÒ Ô ØÚ Ò Ó ÙÙØØ ¾¼ Ø Ò ÙÐÑ º Ë ØØ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÝÑÔÝÖ Ñ Ø Ø Ò Ø Ù ÙÐÑ Ú Ø Ú Ø ØÓÖ Øº 15 ÃÙÒ Ú Ð Ö Ó Ø Ø Ò ÙÚ ÓÓÒ Ñ Ø Ú ÒØÓ Ù Ò ØÓÖ Ú Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò ÙÖ Ú Ô Ö ÙÚ Óº

Ylioppilaiden sijoittuminen jatko-opintoihin Yliopisto Ammattikorkeakoulu Ammatillinen Ei jatkanut opiskelua À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÓÒ ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÙÐÙ ÙÙ Ø ÚÙÓ Ò ¾¼¼ Ñ ÖÖ ÙÙ ÙÒ Ø Ô ØÙÒ Ø Ð ÒÒ ÙÓÐ Ñ Ø ÓØ ÐØÙÒ ÚÙÓ Ò Ó ØØ Ò º È Ö¹ Ö Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ Ð ÒÒ ÙÓÐ Ñ ÚÙÓ Ò Ò ÑÙ Òº ÎÙÓ Ò ÃÙÓÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÚ ÚØ Ý Ý ½ ¾ ½¾¾ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÂÓ Ù ØÙÐ Ø Ð ÒØ Ø ÓÐÐÓ Ò Ú ÒØÓ Ò Ô Ø ÓÚ ØØ ÙÚ º ÃÙÒ Ú Ò¹ ÒÓØ Ñ Ö ØÒ ÓÔ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ù Ò Ò ØØÙÚ Ø ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÓÚ ØØ ÙÚ º Å Ò Ø ÐÑ ÙÚ Ò ÓÚ ØØ Ñ ÓÒ ÑÓÒ º Ò Ø ÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ó ÓÒ Ø ÒÝØ Ô ¹ Ö ÝØÒº ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø ØÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÙÓÖ Ò ÓÚ ØÙ Ø Ò ØÓÓÒ ÑÙØØ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÚÓ Ò Ð Ý¹ Ø ÑÝ ÑÙ Ø ÙÚ º ÃÙÒ Ý ÓÒ ÙÓÖ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ùع

ÙØ Ò ÑÝ Ð Ò Ö Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º Ñ Ö º º ÐÐ ÓÒ Ø ØÝ Ñ ØØ Ù Ó ÙÓÒ ÒÐÑÔ Ø Ö ÙØ ÔÔ Ð ØØ ÐÑÑ Ø ØØÒ ÝÑÑ ÒØ Ñ ÒÙÙØØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ñ Ø ØØ Ò Ñ ÒÙÙØ Ò Ú¹ Ð Òº ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØØÙ ¹ÐÑÔ Ø Ð ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ ÓÚ Ø ØØÙ ÙÓÖ Ò ØÓÓÒº 30 28 26 24 22 20 0 5 10 15 20 ÃÙÚ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ø Ò ØÓÓÒ ÓÒ Ù Ø Ý ØÝ º Ö ØÖ ÑÑ Ø ÓÒ ØØ ÙÚ Ø ÓÒ ÔÙ Ð ØØ ÒÒÙ Ø ØØ º ÐÐ Ñ Ö ¹ ÙÚ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ø Ò ÒÒÙ Ø Ö ÙØ ÔÔ Ð Ò ÐÑÔ Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÐÑÑ Ø ØØÝ ÓÐÑ ÝÑÑ ÒØ Ñ ÒÙÙØØ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ñ Ò ÑÓ Ò ¹ Ú ÒØÓÔ Ø Ò ÙÓÖ Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ñ Ø ØØÙ Ò Ø ÝÝ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ º ÃÝ Ò Ò ÙÑÑ Ð Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ S(a, b) = n (y i (bx i + a)) 2. i=1 Å Ò Ñ Ý ÐÐ ÙÑÑ ÐÐ Ð Ý ØÒ ÙÒ Ö ÚÓ Ò Ð Ù ÑÙÙØØÙ Ò a ØØ ÑÙÙØØÙ Ò b Ù Ø Ò Ø ÓØ Ò Ñ ÐÐÓ Ò ÙÑÔ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÐÐ ÓÐÐ Ò Ý ØÐ Ô Ö i=1 na + b n x i = i=1 n i=1 y i n n n a x i + b x 2 i = x i y i i=1 Ñ n Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ØÐ Ô Ö Ø Ò Ö Ø ØÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓ¹ Ñ Ø a b ÓØ ÓÚ Ø ÓÔ Ú ÑÑ Ò ÙÓÖ Ò y = bx + a ÖØÓ Ñ Øº i=1

Ñ Ö º º Ç Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ñ¹Ð ØØÝÑ Ò ÑÖ ËÙÓ¹ Ñ ÚÙÓ Ò 1995 2007 º ËÓÚ Ø Ø Ò ÙÓÖ Ø Ò Ò ØÓÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ½½¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¾ ¾ ÎÙÓ ½ ¾¼¼¼ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ¾¼¼ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ¼ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½¾ ÎÙÓ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ¼ ¼ ¾ ¼½¼ ¼ Å Ö ØÒ Ò Ò Ô Ø Ø ÚÙÓ ¹ÐÙ ÙÑÖ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ 7000000 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 Ë ØØ Ò Ø ØÒ ÓÔ Ú Ò ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк À ¹ Ú ÒØÓ ÓÒ ÒÝØ 14 ÓØ Ò n = 14º Ä ÒØ Ú ÖØ Ò Ñ Ö ØÒ ÚÙÓ ÒÙÑ ÖÓ Ð¹ Ð Ø Ò ØØ ÚÙÓ 1994 Ú Ø ÐÙ Ù 1 ÚÙÓ 1995 ÐÙ Ù 2 Ò º ËÙÑÑ Ð Ù n i=1 x i = 1 + 2 + 3 + + 14 ÖÚÓÒ 105º Î Ø Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù n i=1 y i = 110155 + 380703 + + 6069463 ÖÚÓÒ 47 623 636º ØÐ ÖÝ ¹ Ñ Ø ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ ÑÙÓ ÓÒ 14a + 105b = 47 623 636º Ð ÑÑ Ý ØÐ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù Ø n i=1 x2 i = 12 + 2 2 + + 14 2 ÖÚÓÒ 1015 Ð Ù n i=1 x iy i = 1 110155 + 2 380703 + + 14 6069463 ÖÚÓÒ 465 728 731º Æ Ò Ò Ð ÑÔ Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ 105a + 1015b = 465 728 731º

ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÒÝØ ÑÙÓØÓ 14a + 105b = 47 623 636 105a + 1015b = 465 728 731 ÃÙÒ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø Ù a 176931 b 477149º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ y = 477149x 176931º È ÖÖ ØÒ Ñ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ô Ø Ò Ò º 7000000 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 Ì Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÔÓ ÐØ ÒÒÙ Ø Ù Ò ÑÓÒØ Ñ¹Ð ØØÝÑ ÙÓ¹ Ñ ÓÒ ÚÙÓÒÒ 2009º ÆÝØ x = 16 ÓØ Ò y = 477149 16 176931 = 7 457 453º ÌÑÒ ÑÙ Ò ËÙÓÑ ÓÐ ÚÙÓÒÒ 2009 ѹРØØÝÑ 7 457 453 ÔÔ Ð ØØ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÑÖ Ò Ò Ò Ð ÒØ ÚÙÓ Ö ¹ ÙÒÒÓ ÚÙÓ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø ÙÓÖ Ò ØÓÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Å Ò Ò Ø ØÓ Ò ÑÙ Ò ÓÐ ÑÖ Ò Ò Ò Ð ÚÙÓ Ö ÚÙÓÒÒ ¾¼½¼ ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ Æ Ð ÒØ»m 2 µ ¾ ¼ ¾ ¾¼¼¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ¼¼ ¼½ ¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ Ð ÒØ»m 2 µ ¾½ ¼ ¼ ½

º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÙÚ Ó Ø Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ ÚÙÐÐ º Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò ÙÚ Ô Öغ Ë ØØ Ò Ø ÓØ Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ ¹ Ö ÑÑ Ô Ö ÙÚ Ó Ø ÓÚ Ø Ø Ò ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Òº ÈÐ Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ ØÙØÓÖ Ð ½¼ º ÃÙÚ Ò Ô ÖØÑ Ò ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ º Ë ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ º Ì Ó ØÓÒ ÐÓÔÔÙÙÒ Ö Ó Ø Ø Ò Ò ÑÝ ÓÑ ÒØÓ ÓÛ µ ÓÐÐÓ Ò Ó ÐÑ ÑÝ ÒÝØØ ÙÚ Òº ËÙÓÖ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ Ø Ô ØÙÙ ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓغ ÃÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ø ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò Ø ÖÚ Ø Ö ÙÑ ÒØØ º ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ø ÓØ Ü¹ ݹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÙØØ ÙÓÖ ÙÐ º Ì Ú ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ó Ô Ø ØØ Ö ØØ ÑÖ ØØÑÒ ÙÓÖ Ò Ý ØØ ¹ Ø º È Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ Ø Ò Ò Ò ØØ Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÑ Ò º Ò ÑÑ Ò Ô Ø Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ò Ñ¹ Ñ Ò Ü¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð Ø Ò ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ñ¹ Ñ Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð Ø º Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò ¾ ½µ ¾µ ÙØØ º ÐÙÓ Ò Ð Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ü ¾ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ý ½ ¾ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÔÐÓØ Ü Ýµ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò

2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 ÈÝØ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ ØÙ Ò Ò Ò Ú Ú Òº ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓØ ÚÓ ÒØ Ö Ù¹ Ñ ÒØØ Ò ÑÝ ÚÖ º ÃÙÐÐ Ò ÚÖ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ö Ø Ú Ö Òº ÐÐ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó ØÙ ÝÐ ÑÔ Ò ÚÖ Ò Ö ÒØÙÒÒ٠غ Ì ÙÐÙ Ó ÎÖ Ò Ö ÒØÙÒÒÙ Ø ÈÝØ ÓÒ ÎÖ Ò Ò Ò Ú Ö ÔÙÒ Ò Ò ÐØ Ò Ò ÑÙ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ã Ö ÒØÙÒÒÙ Ö Ý Û Ì Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ÝØ ØØÝ Ô ÒÓØ Ò Ø Ý Ø ÖÑ ÚÝ º À Ö¹ Ñ ÚÝ Ò Ó ÐÐ ÚÖ Ñ Ö Ø Ú Ö Ò ÓÖÚ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ ÚÐ ÐØ ¼ ½ º ÄÙ¹ Ù Ó Ó ØØ ÚÝ Ø Ò ØØ ¼ ÓÒ ÑÙ Ø ½ Ú Ð Ó Ò Òº ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓØ ÒÒ ØØÙ Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÙØÓÑ ØØ Ø Ú ¹ Ú º ÎÖ Ò Ô ÖÒ ÚÓ ÑÝ Ð ØØ ÑÖ Ò Ó ÐÙ Ô ÖØ ÒÒ ØÙØ Ô Ø Ø ÓÐÐ Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÙÓÖ Ò Ó Ò º ÐÐ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó ØÙ ÑÙÙØ Ñ Ø ÔÓ º ¼

Ì ÙÐÙ Ó Ö Ð Ô ÖØÓØ ÔÓ ÈÝØ ÓÒ È ÖØÓØ Ô Ã Ö ÒØÙÒÒÙ ÝÑÔÝÖØ Ó Ò Ð Ø ÓÐÑ ÓØ ÅÝ Ð Ø ÚÓ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ñ ÐÙ ÑÑ º ÌÑ Ø Ô ØÙÙ Óѹ Ñ ÒÒÓÐÐ Ü º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒÒ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ò Ð Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ ØØ٠ܹ Ð Ò Ð Ù¹ ÔØ Ô Ø Ø Ý¹ Ð Ò Ð Ù¹ ÔØ Ô Ø Øº Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÓÖ Ò Ø ÒÝØ ÑÙ Ø Ø Ò Ð Ø Ð Ø Ø Ò Ü¹ Ð ÙÐ Ñ Ò ÒÓÐÐ Ø Ú Ø Ò Ý¹ Ð ÒÓÐÐ Ø ÓÐÑ Òº ÐÙÓ Ò Ð Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ü ¾ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ý ½ ¾ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÑÖ ³ ³ Ô ÖØ ÑÙ Ø Ø Ò Ð Ø ÔÐÓØ Ü Ý ³ ³µ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ð Ò ÑÖÑ Ø Ú ÖØ Ò Ð Ø ¼ ¼ Ü Ð Øµ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º ½

Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÙÚ Ö ÑÓÓع ØÓÖ ÓÒ ÙÚÓ Ò Ð ËÙÓÑ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ º Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó º ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó Ô ÖØ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Òº ÓÒ ÙÚÓÐ À Ò Ð ÙØÓ È ØØ ÙØÓ ÃÙÓÖÑ ¹ ÙØÓ Ä Ò ¹ ÙØÓ ÅÓÓØØÓÖ ÔÝ Ö ÅÓÔÓ ÌÖ ØÓÖ ÅÖ ¾ ¼ ¾ ½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ÓÓ ÝØ ØÒ ÔÙÒ ÒÙÑ ÖÖ Ý¹Ø ØÓÖ ÒÒ ØØ ÓØ Ò ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ ÐÝ ÒÒÝ ¹ Ñ Ö ÒØ Ò ÑÔÓÖØ ÒÙÑÔݺÒÙÑ ÖÖ Ý Ò ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ò Ñ ØÒ ÔÝÐÚØ Ð Ð À Ò Ð È ØØ ÃÙÓÖÑ Ä Ò ÅÓÓØØÓÖ ÔÝ Ö ÅÓÔÓ ÌÖ ØÓÖ ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù Ø Ð Ö Ú Ø Ø ¾ ¼ ¾ ½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ÐÙÓ Ò ÒÙÑ ÖÖ Ý¹ØÝÝÔÔ Ò Ò Ð Ø Ó ÐØ Ø ÓØ ÔÝÐÚ Ò ÒÒ Ø ÜÐÓ Ø ÓÒ Ò º ÖÖ Ý Ö Ò Ð Ò Ø µµµ ¼º ÑÖ Ø ØÒ ÔÝÐÚÒ Ð Ú Ý Û Ø ¼º Ö¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ ÔÝÐÚØ ÓÐÓÖ ÑÖ ØØ ÔÝÐÚÒ ÚÖ Ò Ö ÜÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÓÖ ³¼º ³ Û Ø Û Ø µ ÐÙÓ Ò Ý¹ Ð Ø Ó Ò Ò ÝØ Ö Ò ¼ ¾ ¼¼¼¼½ ½¼¼¼¼¼µµ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Û Ø»¾ Ð Ð µ ÜÐ Ñ ¼ ÜÐÓ Ø ÓÒ ¹½ Û Ø ¾µ ¾

ÙÚ Ò ÓØ Ó Ø ØÐ ËÙÓÑ Ò ÓÒ ÙÚÓ ÒØ µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò ÐÐ µº Ø Ü Ü µºø ÓØØÓÑ µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ µº Ø Ý Ü µºø Ð Ø µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ Ô ÖØ ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ô Ö ÙÚ Ó Ø Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ ½ ÚÙÓØØ ØÝØØÒ Ò ÙÓÑ Ð Ø Ò ÙÓÖ ØØ Ñ ØÙØ ÒØÓ º Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó º

ÌÙØ ÒØÓ Ç ÙÙ Ú Ø Ø ±µ ØÙØ ÒØÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ð Ò Ã Ø Ð Ò ÓÖ ¹ Ø ½½ Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ¾ Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ÌÙØ ÓÙÐÙØÙ ¼ ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó Ô ÖØ Ô Ö ÙÚ ÓÒº ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ó ÙÙ Ø Ð Ø Ò Ö º º ½½º º¾ º ¼º Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø Ð Ð ØÙØ ÒØÓ Ã Ø Ð Ò ÓÖ ¹ Ø Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ÌÙØ ÓÙÐÙØÙ ÒÒ Ø Ò ÙÐÐ Ò ØÓÖ ÐÐ ÚÖ ÓÐÓÖ ³¼º¾³ ³¼º ³ ³¼³ ³¼º¾ ³ ³¼º ³ ³½³µ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ù ØÚÖ ÙÚ Ò Ó Óº Ì Ø Ô Ù ÒÒ ØØ ÓÐÐ Ò Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ð Ô ØÙÙ Ð Ú Ý Ý Ø ÙÙÖ Øº ÙÖ Þ µ ÓÐÓÖ ³Û³µ Ô ¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ Ø ÙÚ ÓÒ Ô Ö ÓÐÓÖ ÓÐÓÖ Ð Ð Ð Ð µ ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÐÐ ÓØ Ó Ø ØÐ ËÙÓÑ Ð Ø Ò ØÙØ ÒÒÓØ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò

Suomalaisten tutkinnot Ei tutkintoa Tutkijakoulutus Keskiaste Ylempi korkea-aste Alempi korkeakouluaste Alin korkea-aste Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÓÒ Ø ÐØÝ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ñ Ö º º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ð ÙØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ËÙÓÑ ÚÙÓ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÙÓÖ Ý Ò Ò ØÓÓÒº ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¼¼ ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ¾¼¼¼ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ¾ ¾ ½ ½¾ ¾¼¾½½½ ¾¼ ¾ ¼ ¾½ ¾ ¾¼¼¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ÙØÓ Ò ÑÖ ¾½ ¼ ¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼

ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ ÓÓ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ô ÖÖ ØØݺ ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ô Ø Ò Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ü ½º¼ ¾º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ ½¼º¼ ½½º¼ ½¾º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ¾¼º¼ ¾½º¼ ¾¾º¼ ¾ º¼ ÒÒ Ø Ò Ô Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ý ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¼¼ ½ ¾ ¾ ½ ½¾ ¾¼¾½½½ ¾¼ ¾ ¼ ¾½ ¾ ¾½ ¼ ¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÓÚ ØÙ º È Ö Ñ ØÖ ½ ÖØÓÓ ÓÚ Ø ØØ Ú Ò ÙÚ Ò Ø Òº Ì Ø Ô Ù ÓÚ ØÙ Ò ÓÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÓÒ ½º Ñ ÔÓÐÝ Ø Ü Ý ½µ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ÜÐÓ Ø ÓÒ ÖÖ Ý Ö Ò ¼ Ð Ò Üµ µµ Ð Ð ½ ½ ½ ¾¼¼ ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Ð Ð µ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÔÐÓØ Ü Ý ³ Ó³ Ü Ñ ÓÖ Ò Ü ³¹ ³ Ð Ò Û Ø ¾µ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº

2600000 2400000 2200000 2000000 1800000 1600000 1400000 1988 1993 1998 2003 À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ ÝÒØÝÒ Ò Ð Ø Ò ÑÖ ÓØ ÐØÙÒ Ò Ò ÑÙ Ò º È ÖÖ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º Ò ËÝÒØÝÒ Ò ÑÖ ¾¼¹¾ ¾ ¹¾ ¼¹ ¹ ¼¹ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¼ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÓÒ Ø ÐØÝ Ö Ò Ö Ð Ø Ò ÝØØ ËÙÓÑ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ ½½ º È ÖÖ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ö ÙÚ Óº Ò Ö Ð Ç ÙÙ ±µ Ð Ý Å Ù À Ð ÒÚÓ Ñ Ë Ò Ò ØØÓØÙÓÒØ ÌÙÖÚ Î ¹ ØÙÙÐ ÚÓ Ñ ÈÙÙÔ Ö Ø ÔÓÐØØÓ Ò Ø ÅÙÙ ¾ ½¼ ½¾ ½ ½ ¾ ¾¼ ¾ ½

Ì ØÚ ¾ º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ØÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ËÙÓÑ ÚÙÓ¹ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø Ò ØÓÓÒ ÙÓÖ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ½ ¾½ ½ ½ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾¼ ÎÙÓ ½ ½ ¾¼¼¼ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ¾½ ¾ ¼ ¾½ ¾¾¾ ¾¾ ½ ¾¾ ¾ ¼ ÎÙÓ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ¾¾ ¼ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾½½ ¾ ½

ÆÙÑ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò Ý ØÝ Ñ Ø Ñ Ø ØÙÐ Ô Ö Ø Ò ÐÐ ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÔ ÓÙÐÙÑ Ø Ñ Ø Ø ØÙØØÙ Æ Û¹ ØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Òº Ñ Ö Ö¹ Ó ØÙ Ø ØÚ ÝØ ØÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ Ó Æ ÛØÓÒ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ú Ñ ÚÙÓ Ò ÙÓ ØØÙ Ý ÝÑÝ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ º ȹ Ð Ø Ò ÐÙÚÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ö ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ ½¾ º º½ ÆÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ º Î Ø Ñ Ø Ö Ð ØÙÐ Ú Ø Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ ÓÐÐÓ Ò Ø Ö ¹ ÙÙ ÐÐ ÓÐ Ò Ò ÙÙÖØ Ñ Ö ØÝ Ø ÓÒ ÝÚ Ø Ø ØØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ð ØØÙ Ú Ø Ù ÖÚÓ Ò ÓÒ Ø Ö º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ð ÒØ ÝØØ Ô Ö Ð ÐÙ Ù Ó Ø Ø ØÓ ÓÒ ¹ Ø ÐÐÒ Ñ Ð ØÝ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ý Ø Ý Ñ Ð ØÝ Ø Ý¹ Ø ØÒ Ò Ñ ØÝ Ø Ð Ù ÙÐÙ Ù ØÝ º Ä Ù ÙÐÙ Ù ØÝ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÒØ Ò¹ Ó Ó Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ò ÑÙ Ø Ø ÓØ Ò ØÝ Ò Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÈÝØ Ó¹ Ò ØÑ Ø Ð ÓÒ ¾ ØØ º ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØÓ Ó Ò ÚÙÐÐ Ø Ö ÙÙØØ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ ½ º Ã Ö ØÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÚÙØØ ÓÔ Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ò Ø Ö Ó ÖÚÓ º Ã Ö ØÓÒ ÝØØ Ð ØÓ Ð ÒØ ¹ ÓØ Ò ÓÒ ÔÓ ¹ ØØ Ú Ù Ò Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ø Ö ÒØ Ñ Ò Ò ÓÒº à ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÐÐ ØÐÐ Ö ØÓ ÓÐ Ø Ú ÐÐ ÓØ Ò ÓÒ ÝÚ ÙÓÑ Ó Ø Ö ÙÙ ÒÙÑ Ö Ø Ð ÒØ ÙÓÖ Ø ØØ º Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ò ÖØ ÐÐ Ñ Ö ÐÐ ÚÓ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÝ Ø Ö ¹ ÙÙ Ò Ö ÐÐ ÙÙØØ º Ñ Ö º½º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÐÐ ÐØ Ø ÖÚ Ø Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ö Ò ØÓ Ñ ÙØ Ò Ö Ò ÑÙØØ ØÙÐÓ Ø ÖÚÓØ Ø ÙÐÙ Ó ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ Ô Ó Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ð Ù ÙÐÙ Ù Ô ½º¾

ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ó Ó Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÐÚ Ø Ò ÖÚÓÒ ÒÓÐРܵ Ý ÔÓÛ ÔÓÛ Ü Ôµ ½º»Ôµ ¹ Ü Ö ØÙÖÒ Ý Ò ÖÓ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ø ÙÐÙ Ó ÑÙÙØØÙ Ò Ø ÖÚÓ Ø ÓØ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ò ¼ ¾ ¼º¼ µ Ô Ö ØÒ ÙÚ ÔÐÓØ Ø Øµµ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº 2.5 1e 16 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ÅÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒØØ Ø ÒÓÐÐ ÓØ Ò ÙÚ Ò Ô Ø ÓÐÐ Ú Ò ÙÓ¹ Ö Ú Ú º ÃÙØ Ò Ò Ò ÓÐ ÙÓÖ Ú Ú Ú Ò ÙÐ ÚÙÓÖÓ Ò ÒÓÐÐ Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÚÙÓÖÓ Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÑ Ó ØÙÙ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø ÔÓÒ ÒØ Ò Ô ÖÚÓ ÔÝ ØÝØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÑÖ ØØÑÒº Í Ø ÒÙÑ Ö Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø ÖÓ ÒØ Ò Ð ÐÐ Ø Ø Ö Ø Ó¹ Ð Ø ØÙ ØÙÐÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ð Òº Æ Ò ÑÝ Ð ÒÒ Ø Ó ØÙÚ Ú Ö Ú Ñ Ø Ô ÑÑÐÐ Ð ÒÒ ØÒº ¼

º¾ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ö Ø Ø Ò ÝÐ Ò Ý ØÐ Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ò ÐÝÝØØ Ø Ö Ø Ù º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ f : [a, b] R Ø ÙÚ Ö ÚÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÚÓØ ÚÐ Ò Ô¹ Ø Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ñ Ö Øº ÃÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ú ØÙÙ ÑÖ ØØ ÐÝÚÐ ÐÐ Ø ØÒ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò Ò Ý ÒÓÐÐ Ó Ø Ý ÐÐ ÚÐ Ðк ÆÓÐÐ Ó ¹ ÐÐ ÚÓ Ò Ð ÝØ Ð ÖÚÓ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Æ ÛØÓÒ Ò Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ø Ò ØØ Ú Ð Ø Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø x 0 (a, b) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö ÙÖ Ú Ø x n+1 = x n f(x n) f, n = 0, 1, 2,... (x n ) ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ñ Ð Ó x n (a, b) f (x) 0º X 2 X 1 X 0 ÃÙÚ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÑ ØÖ Ø Ø ØØÝÒ ÂÓÒÓÒ (x n ) Ø ÖÚ Ø ÙÔ Ø Ó Ø Ñ ØÒ Ö ¹ ÖÚÓ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ø Ô Ù ¹ Æ ÛØÓÒ Ò Ø Ö Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò Ø Ó ÙÔÔ Ò Ù ÑÑ Ø Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö ÙÙØ Ò Ó ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ð ÐÐ º ÂÓÒÓÒ (x n ) ÐÙÓÒÒ ÙÔÔ Ò Ó Ú Ö ÔÔÙÙ ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒÒ Ø º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ð ÓÒÓ Ó ÑÙÙØ Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ò ÐÚ Ø ÙÔÔ Ò Ó Ø Ø ØØÝ ÖÚÓ ÒÒ ØØ Ø Ö Ø ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒØ º ÓÐ ÑÝ Ò ÐÚ Ø Ô ØÙÙ Ó ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ó Ø Ø ØØÝ ÙÙÖØ Ú Ó Ø ÓØ Ò ÑÙÙØ ÙÙÖØ º ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒØ Ò ÓÐ Ñ ØÒ Ý ØØ Ø ÒÓ Ú Ò ÓÒ Ú Ò Ø ØÚ ÝÚ ÖÚ Ù º ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒÒ ÚÓ Ò ÝØØ ÔÙÒ Ñ Ö¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ º ½

Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ú Ò ÖÚ Ó ÒÓÐÐ Ó ÐÐ Ø Ö Ú ¹ Ø Ù Ø º Ë ÙÒ ØÙÐÓ Ò Ø Ö ÙÙ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ò ÓÒ Ù Ø ÒÓ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ò Ø Ý º ÃÙØ Ò ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ñ Ö Øº Æ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÐÚ Ø Ò Ø Ú Ò Òº ÁØ ÖÓ Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÒÔ Ò ÚÓ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÙÒ ÒÓÐÐ Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º Å Ð ØÙÐÓ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó Ö ØÚÒ Ð ÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø º ÑÔÖ Ø Ò Ú Ð ÒØ Ö ÔÔÙÙ ÐÙØÙ Ø Ø Ö ÙÙ Ø º Å Ø Ø Ö ÑÔ Ú Ø Ù ÐÙØ Ò Ø Ô Ò ÑÔ ÝÑÔÖ Ø ÓÒ Ú Ð ØØ Ú º ÂÓ ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ñ Ö¹ Ú Ñ Ð Ð 1, 0 10 5 Ú Ð Ø Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú ÚÐ [x n h, x n +h] Ñ x n ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó h = 0, 5 10 5 º Î ÓÐÐ h Ñ Ö ØÒ ÝÐ Ò Ø ¹ ÖÚÓÐØ Ò Ô ÒØ ÐÙ Ù º Ì Ö ÑÑ Ò Ø Ø Ú Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÙÖ Ú Ô¹ Ô Ð º Ñ Ö º¾º Ø ØÒ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ f(x) = x sin x Ð Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ x sin x = 0 ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ¹ ÙÙ ÐÐ º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ ¹½ ½ º ÌÑ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ý Ô Ø º ÃÓ x = 1 ÙÒ Ø Ó ÖÚÓÒ f( 1) = 1 sin( 1) 0, 159 Ú Ø Ú Ø Ó x = 1 ÖÚÓÒ ¼ ½ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ Ñ Ö Ú ØÙÙ ÓØ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ó Ø º ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÖÓ Ñ Ò Ò Ó Ø x = 1 = x 0 º ÁØ Ö Ø Ó Ú Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ º ÌÐÐ ÖØ ÓÒ f (x) = 1 cos xº ÆÝØ Ò Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò ÖÚ Ó ÒÓÐÐ Ó ÐÐ º Ë ÓÒ x 1 = x 0 f(x0) f (x = 1 f(1) 0) f (1) 0, 655145º ÖÚ Ó Ò ØØ Ò ÙÒ ÖÚ ÓÒ Ø Ö ÙÙ º ÃÓ ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÓÐ ÒÝØ ÓÐÑ Ñ Ð Ú Ð Ø Ò h = 0, 5 10 3 º Ä Ø Ò f(0, 655145 0, 5 10 3 ) f(0, 655145+0, 5 10 3 )º ÌÙÐÓ ÒÝØ ÖÚÓÒ ¼ ¼¼¾½¼ Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº  ع Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ º ÆÝØ x 2 = x 1 f(x1) f (x 1) 0, 433590º ÖÚ Ó Ø Ø Ö ÙÙØØ Ò f(0, 433590 0, 5 10 3 ) f(0, 433590 + 0, 5 10 3 ) = 0, 000181 ¼º Â Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ º ¾

ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ð ØØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ø Ö Ø ÓØ Ø ÒÔ Òº Ò x n f(x n h) f(x n + h) ¼ ¾ ½ 1.58 10 5 ¼ ½ ½ ¾ 1, 38 10 6 ¼ ½¾ ½¼ 1, 21 10 7 ¼ ¼ ½ 1, 06 10 8 ¼ ¼ ¾ 9, 30 10 10 ¼ ¼ 8, 17 10 11 ¼ ¼¾ ¾ 7, 16 10 12 ½¼ ¼ ¼½ ¾ 6, 28 10 13 ½½ ¼ ¼½½¾½ 5, 50 10 14 ½¾ ¼ ¼¼ 4, 79 10 15 ½ ¼ ¼¼ 4, 13 10 16 ½ ¼ ¼¼ ¾ ¼ 3, 49 10 17 ½ ¼ ¼¼¾¾½ 2, 81 10 18 ½ ¼ ¼¼½ 2, 00 10 19 ½ ¼ ¼¼¼ 1, 03 10 20 ½ ¼ ¼¼¼ 1, 64 10 22 ½ ¼ ¼¼¼ 5, 56 10 24 ÃÙØ Ò ÙÓÑ Ø Ò Ý ÒÒ ÐÐØÓ Ø Ø Ö Ø Ó ÖÖ ÐÐ ÚÙØ Ø Ò ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÑÑ Ø ÖØ Ò Ø Ú Ò Òº ÃÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ x = 0, 000º Å Ð ÐÙØØ Ò Ú Ð Ø Ö ÑÔ Ú Ø Ù Ø ØØ Ò Ø ÖÓ ÒØ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x + e x ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ Ä ØØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò ÝØØ Ò ÒÙ¹ Ñ Ö Ò Ò Ö Ú ØØ º Ì ÔÔ Ð Ý Ò Ò ÐÝ Ý Ø ÐÔ ÒÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐѺ Ö Ú ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØ Ò ÖÓ¹ ØÙ Ó ÑÖÒ Ö ¹ ÖÚÓÒ º

ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÖ Ø ÐØÝ Ô Ø Ò x ÝÑÔÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Å Ð Ö Ú Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ö ØÝ ÑÙÓØÓ ÚÓ Ò ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ÖÚ Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÅÙÙØØÙ Ò x Ô ÐÐ Ó Ø Ø Ò Ô Ø Ó Ö Ú ØØ Ø ØÒº ÃÓ Ú Ó h Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø Ò Ò ÖÚÓ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ ÒÓÐÐ Ó Ò ÐÙ Ùº Ñ Ö º º Ä Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cos 2x + e x Ó x = 1 й ÐÓ Ò ÙÒ h = 10 5 º Ë Ó Ø Ø Ò ÒÝØ Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙÙØØÙ Ò x Ô ÐÐ ÐÙ Ù ½ Ú ÓÒ h Ô ÐÐ ÐÙ Ù 10 5 º f (1) f(1 + 10 5 ) f(1) 10 5 = (cos 2 (1, 0001) + e1,0001 ) (cos 2 1 e 1 ) 10 5 0, 89971 ÂÓ Ö ÚÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ø Ø Ò Ö Ú ØØ ÙÒ Ø ÓÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ Ò Ò ØÙÐÓ Ò 0, 89969º Ö ÚÓ ÒÒ Ò Ý ØÝ Ó Ø Ò Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÂÓ Ø Ô Ù ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÒÙÑ Ö ÐÐ ¹ Ö ÚÓ ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÝÚ ÖÚ Ó Ö Ú Ø Ò ÖÚÓÐÐ º ÆÙÑ Ö Ò Ö Ú Ø Ò Ú Ö Ö ÔÔÙÙ Ú ÓÒ h Ú Ð ÒÒ Ø º Ë ÙÖ Ú Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ú ÓÒ h ÖÚÓÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò x Ö Ú ØØ Ô Ø x = 1 2 º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ð ÒÙÑ Ö Ø Ö Ú Ø ÐÐ ÖÚ ÓÒ Ö Ú ÓÒ h Ö¹ ÚÓ ÐÐ Ú Ö Ò ÙÐÐ Ò ÖÚ ÓÐÐ º Ä Ó ÐÑ Ô ÖØ Ú Ö Ò Ú ÓÒ h ÖÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒº Ó Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ô Ø Ó Ö Ú ØØ Ð Ø Ò ¼º ÐÙÓ Ò ØÝ Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ò ÔÓØ Ò Ø Ü ÐÙÓ Ò ØÝ Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ú Ö ÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓÐÐ Þ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÐÔ ÖÚÓØ Ý Ø Ò Ð ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ö Ò ½ ½ µ

Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ü ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ø ÐÙÚÙØ Ü Ü ¹ Ð Ø Ø Ò Ò Ú Ø ÐÙ Ù Ò ÝÑÑ ÒÔÓØ Ò ½¼ ¹ µ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Þ Ú Ö ÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓÐÐ Þ Þ Ó µ¹ Ò µ¹ Ò µµ» µµ Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÔÙÓÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ñ ÐÓ Ý¹ Ý ØÓ Ñ ÙØ Ò ÔÐÓع Ý Ñ ÐÓ Ý Ü Þµ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÑÙÙØ Ø Ò Ð Ò Ø ÓØ ÓÔ Ú Ü ¹½ ¼ ½¼ ¹½¾µ ½¼ ¼ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº 10 0 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 14 12 10 8 6 4 2 0 ÃÙÚ ÆÙÑ Ö Ò Ö ÚÓ ÒÒ Ò Ú Ö ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ÙÓÑ Ø Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ò Ñ ÐÐÒ ÙÒ Ú ÓÒ h ÝÑÑ Ò Ò ÔÓØ Ò Ú Ð Ø Ò ÐÙ Ù 8º ÃÝØ ØÒ Ø Ó Ú ÓÒ h ÖÚÓÒ h = 10 8 º

º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ Ó ÐÑ Ó Ö Ø Ý ØÐ Ø ÝØØ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ Ñ Ö º º Ø ØÒ ÖÚ Ó Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = sin 2x + x 2 ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÈÝØ ÓÒ Ý ÝÒØ Òº ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó ÓÒ Ý ÝÒÒ ØØÝ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÓØ Ø Ò Ñ Ø ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ Ñ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó Üµ Ö ØÙÖÒ Ñ Ø º Ò ¾ ܵ Ü»¾ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ô Ø Ü Ö Ú ØØ Ü ½º¼ ¹ µ Ö ØÙÖÒ Ü µ¹ ܵµ» Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÛØÓÒ Ü¼ Ø Ö ÙÙ Æ ½¼¼µ ÐÙ Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ý ½ Û Ð Æ Ð Ø Ò Ø Ö ÑÔ Ü Ü Ü¼¹ ܼµ» Ö Ú ØØ Ü¼ ½º¼ ¹ µµ Ø Ø Ø Ò Ú Ø Ù Ò Ø Ö Ù٠ܹ Ø Ö ÙÙ»¾µµ Ü Ø Ö ÙÙ»¾µµ ¼ Ö ØÙÖÒ Ü Ó Ú Ø Ù ÓÒ Ö ØØÚÒ Ø Ö ÐÓÔ Ø Ø Ò Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÑÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ ½ ܼ Ü Ñ Ð Ö ØØÚÒ Ø Ö Ú Ø Ù Ø Ø Ö Ø Ó ÝØØ ÔÝÝ ØÒ Ø Ö Ø Ñ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ÔÖ ÒØ Ì Ö Ø Ð Ù ÖÚÓØ µ Ý ÝØÒ ÝØØ ÐØ Ð Ù ÖÚÓØ Ð ÙÜ ÒÔÙØ ÒÒ ÐÓ ØÙ Ô Ø µ

Ñ Ð Ø ÒÔÙØ ÒÒ Ø Ö ÙÙ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò ÛØÓÒ Ð ÙÜ Ñ Ð Øµ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ 1 2, 1 2 ÐÐ f( 1 2 ) 1, 091 f( 1 2 ) = 1, 091º ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÖÓ Ñ Ò Ò Ô Ø Ø x = 1 2 º ÖÚ ÓØ ÔÝÝ Ø Ò Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÓØ Ò Ø Ö ÙÙ ÒÒ Ø Ò ¼ ¼¼¼¼½º ÃÙÒ Ò¹ Ñ ÖÚÓØ Ý Ø ØÒ Ó ÐÑ Ò Ó ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙÒ 4, 89855422751 10 7 º Î Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ö Ø Ù Ò 0.0000º Ì Ø Ô Ù ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÙ Ö ¹ Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Øº ÂÓ ÝÖ ØØ ÐÓ ØØ Ø Ö Ø ÓØ Ñ Ö Ó Ø x = 1 Ó ÐÑ ÒØ ÒÓÐÐ Ó Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó x 1º ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ù ÔÔÙ Ó Ø Ó x = 1 Ö Ú ØØ Ò ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ ÓØ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ØÓ Ñ º ÀÙÓÑ ØØ Ú ÓÒ ØØ Ú ÈÝØ ÓÒ Ð Ø Ö Ø ÓØ ÓÒ ÝØØ Ò Ø Ó Ø¹ Ø Ú Ø ÓÔ Ú Ð Ù ÖÚÓº Ç ÐÑ ØÓ ÓÒ Ó Ø Ò Ú Ö Ø Ð ÒØ Ø ÙÓÑ Ó ¹ ØÙº Ñ Ö Ø Ð ÒÒ Ó ÙÒ Ø Ó ÙÔÔ Ò ÓÒ ÙÓÑ Ó ØÙ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖº Ç ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ú ØØ Ó Ó ÐÑ ÓÒ ÐÙØØÙ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙØÓÑ ØØ ÝØØ ÐÐ º ÌÓ Ö Ú Ø Ò ÚÓ Ý Ø¹ Ø ÑÓ Ò Ù Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÃÝØØ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÐÓ Ò Ø Ö ÚÓ Ø Ú ÙÒ Ø Óº Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÙÓ ØØÙ Ý ÝÑÝ ÑÝ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ ¹ º Ì ÓÒ Ñ Ö Ò Ö Ø ØÙ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º Ñ Ö º º ÅÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x sin x Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÖÚÓ¹ Ó Ø Ú Ø Ú Ö ÖÚÓ Ö Ø Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÐÑÐк ÒÒ Ú Ø Ù Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º È Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò ÝÓ¹ Ó ÚØ ¾¼¼ µ ÃÓ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ô Ø Ö Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ¹ Ú ØØ ÙÒ Ø Ó gº ÃÙÒ ÙÒ Ø Ó f Ö ÚÓ Ò Ò g(x) = sin x + x cos xº È ÖÖ ØÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g ÙÚ º

2 1 0 4 3 2 1 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ ÚРй Ð 1 1 2, 21 2 º ÌÑ ÚÓ Ò ÑÝ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ý Ô ¹ Ø ØÓ Ø ØØ Ñ Ö Ú ØÙÙº Î Ð Ø Ò ÒÝØ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÓ ØÙ Ó 2 1 2 º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÓ Ó Ð ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÓØ Ø Ò Ñ Ø ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ Ñ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó Üµ Ö ØÙÖÒ Ñ Ø º Ò Üµ Ü Ñ Ø ºÓ ܵ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ô Ø Ü Ö Ú ØØ Ü ½º¼ ¹ µ Ö ØÙÖÒ Ü µ¹ ܵµ» Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÛØÓÒ Ü¼ Ø Ö ÙÙ Æ ½¼¼µ ÐÙ Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ý ½ Û Ð Æ Ð Ø Ò Ø Ö ÑÔ Ü Ü Ü¼¹ ܼµ» Ö Ú ØØ Ü¼ ½º¼ ¹ µµ Ø Ø Ø Ò Ú Ø Ù Ò Ø Ö Ù٠ܹ Ø Ö ÙÙ»¾µµ Ü Ø Ö ÙÙ»¾µµ ¼ Ö ØÙÖÒ Ü Ó Ú Ø Ù ÓÒ Ö ØØÚÒ Ø Ö ÐÓÔ Ø Ø Ò Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÑÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ

½ ܼ Ü Ñ Ð Ö ØØÚÒ Ø Ö Ú Ø Ù Ø Ø Ö Ø Ó ÝØØ ÔÝÝ ØÒ Ø Ö Ø Ñ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ÔÖ ÒØ Ì Ö Ø Ð Ù ÖÚÓØ µ Ý ÝØÒ ÝØØ ÐØ Ð Ù ÖÚÓØ Ð ÙÜ ÒÔÙØ ÒÒ ÐÓ ØÙ Ô Ø µ Ñ Ð Ø ÒÔÙØ ÒÒ Ø Ö ÙÙ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò ÛØÓÒ Ð ÙÜ Ñ Ð Øµ ÃÙÒ Ó ÐÑ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø ¾ Ø Ö ÙÙ ¼ ¼¼¼¼½ ØÙÐÓ ¹ Ø ÐÙÚÙÒ ¾º¼¾ ½ º Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÓÒ Ü ¾ ¼¾ º ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ fº ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ø Ó ÓÒ f(2, 02876) 1, 81971º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¼º Ê Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ý ØÐ Ò e x + sin x = 0 ÙÙÖ Ò ÙÙÖ Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼¾µ Ì ØÚ ½º Ê Ø Ý ØÐ x cos x = 0 ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö Ù ÐÐ È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼ µ

¼

À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ Ì ØÚ ½ Ç ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÄÙÚÙØ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ Ù½ ÐÙ Ù¾º Ë Ò Ð Ò Ó ÐÑ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ò Ø ÐÐ Ò¹ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ º Ë Ò Ð Ò Ó ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ ÐÐ Ò Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Òº Ì ØÚ ¾ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÝØØ Ò ÒØ Ñ Ò ÐÙÚÙÒ ÖØÓØ ÙÐÙÒº Ç ÐÑ Ø Ò Ø Ò ØØ ÒØ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÖÚÓÒ ½ ØØ Ò Ð ÒÒ ØÙÒ ÐÙÚÙÒ Ò ØÙÐÓÒ ØÙÐÓ Ø Òº Ë ØØ Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÖÚÓ ¾ ØÓ Ø Ø Ò Ñ º ÌØ Ø Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÓÒ ½¼ º Ì ØÚ ÖÖÓØØ Ú ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÚÐ ÐØ ½ ½¼ ³µ ½ Û Ð ½¼ ØÙÐÓ ÖÖÓØØ Ú ÔÖ ÒØ ÖÖÓØØ Ú ³ ³ ³ ³ ØÙÐÓ ½ Ì ØÚ ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù± ¼ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ³ Ð ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ³ Ì ØÚ ÔÖ ÒØ Ö Ò ½ ½ ¾µ Ì ØÚ ÐÓ Ø Ø Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ 2º ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÙÒØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ 4x 1 2x 2 = 10 4x 1 4x 2 = 4 Ä ØÒ ØØ Ò ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ Ð ÑÔ Ò ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 4x 1 2x 2 = 10 0 x 1 6x 2 = 6 Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø Ò ÒÝØ ÑÙÙØØÙ Ò x 2 Ö Ø Ù x 2 = 1º ÃÙÒ Ó ¹ Ø Ø Ò ØÑ Ð ÙÔ Ö Ò ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ x 1 Ý ØÐ ½

2x 1 + 1 = 5º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 1 = 2º ÃÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ { x 1 = 2 x 2 = 1 ( ) 2 1 Ì ØÚ ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ A = 4 4 Ì ØÚ Å ØÖ Ò ÙÑÑ 1 8 2 1 4 0 A + B = 1 5 0 + 6 7 12 3 9 2 9 8 3 1 + 1 8 4 2 + 0 2 4 2 = 1 + 6 5 + 7 0 + 12 = 7 12 12 3 9 9 + 8 2 3 6 17 1 Å ØÖ Ò ÖÓØÙ 1 8 2 1 4 0 A B = 1 5 0 6 7 12 3 9 2 9 8 3 1 1 8 + 4 2 0 0 12 2 = 1 6 5 7 0 12 = 5 2 12 3 + 9 9 8 2 + 3 12 1 5 Å ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÓÐÑ 1 8 2 3 1 3 8 3 ( 2) 3A = 3 1 5 0 = 3 1 3 5 3 0 3 9 2 3 3 3 9 3 2 3 24 6 = 3 15 0 9 27 6 1 4 0 3 1 3 ( 4) 3 0 3B = 3 6 7 12 = 3 6 3 7 3 12 9 8 3 3 9 3 8 3 ( 3) 3 12 0 = 18 21 36 27 24 9 1 1 3 Ì ØÚ A T = 8 5 9 2 0 2 ¾

Ì ØÚ ½¼ 1 1 3 2 0 2 = 1 0 2 2 1 3 1 3 ( 1) 2 2 2 3 + 3 2 0 2 1 = 1(0 ( 3) 2 1) + 1(2 ( 3) 2 ( 2)) + 3(2 1 0 ( 2)) = 2 2 + 6 = 2 ( ) 5 1 Ì ØÚ ½½ ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÒÝØ Ñ ØÖ A = 1 2 Ó Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓ Ñ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ñ ØÖ B = (12, 6) T º Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ 5 1 = 5 ( 2) ( 1) 1 = 9º 1 2 Ê Ø Ø Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ x 1 º Å ØÖ A 1 Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ñ Ø¹ Ö Ø ( A Ò ÑÑ Ò Ò ) ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ Bº Å ØÖ A 1 ÓÒ Ñ ØÖ 12 1 12 1 A 1 = º Ë Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ = 12 ( 2) 6 ( 1) = 18º 6 2 6 2 ÆÝØ Ò Ö Ø ØÙ ÑÙÙØØÙ x 1 Ó ÓÒ x 1 = 18 9 = 2º Ë ÑÓ Ò Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ x 2 º Å ØÖ Ò A 2 Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò 18 ÓØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 2 Ö Ø Ù Ò x 2 = 18 9 = 2º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = 2 x 2 = 2ºº Ì ØÚ ½¾ µ Å ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó Ñ ØÖ A ÓÒ 3 2¹Ñ ØÖ Ñ ØÖ ( B) ( ÓÒ 3 3 Ñ ØÖ ) 3 2 1 0 1 2 µ 4 6 2 3 1 2 ( ) 3 1 + 2 ( 2) 3 0 + 2 3 3 ( 1) + 2 1 3 2 + 2 2 = 4 1 + 6 ( 2) 4 0 + 6 3 4 ( 1) + 6 1 4 2 + 6 2 ( ) ( ) 3 4 0 + 6 3 + 2 6 + 4 1 6 1 10 = = 4 12 0 + 18 4 + 6 8 + 12 8 18 2 20 µ ÎÓ Ò ÙÓÖ Ò ØÓ Ø ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ñ ØÖ A Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º µ ( )( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 4 2 3 2 4 1 3 ( 4) 2 16 = = 5 4 2 4 5 2 + 4 2 5 1 + 4 ( 4) 18 11 µ Ì ØÚ ½ 1 2 4 5 6 1 5 + 2 7 4 8 1 6 + 2 4 4 3 1 2 0 7 4 = 1 5 + 2 7 + 0 8 1 6 + 2 4 + 0 3 3 4 3 8 3 3 5 4 7 + 3 8 3 6 4 4 + 3 3

5 + 14 32 6 + 8 12 = 5 + 14 + 0 6 + 8 + 0 15 28 + 24 18 16 + 9 = 13 2 19 14 11 11 µ Å ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ 2 4¹Ñ ØÖ Ñ ØÖ A ÓÒ 2 2 Ñ ØÖ º µ ÎÓ Ò ÙÓÖ Ò ØÓ Ø ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ñ ØÖ A Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º µ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 3 2 4 + 1 5 2 ( 3) + 1 4 13 2 = = 2 4 5 4 2 4 4 5 2 ( 3) 4 4 12 22 Ì ØÚ ½ Å ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ú ØÓ ÓÒ µ Ñ ØÖ ÐÐ ( )( ) ( 3 1 2 5 1 10 3 ( ( ) 2 2 4 1 5 3 = 5) + 1 1 5 3 ( ( )) 10) 1 + 1 3 10 10 2 ( ( ) 5) 2 4 1 5 2 ( ) ( ) 1 10 4 3 10 ( ) ( ) 6 = 5 1 3 5 10 3 10 1 0 4 5 + 4 5 2 10 + 12 = 10 0 1 ÃÓ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÚÐØØÑØØ Ø ÖÚ Ø Ó ÐÐ ÑÙ Ø Ñ ØÖ º Ì ØÚ ½ Å ØÖ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ Ó ÓÐ Ò Ð Ñ ØÖ º Ì ØÚ ½ ÃÒØ Ñ ØÖ Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ ( ) ( ) ( ) 0 1 x 11 x 12 1 0 =. 2 1 x 21 x 22 0 1 ÃÙÒ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓÐ Ù Ô ÝØÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ x 21 = 1 x 22 = 0 2x 11 + x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 1 ÃÙÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ù x 11 = 1 2 ), x 12 = 1 2, ( 1 x 21 = 1, x 22 = 0º ÃÒØ Ñ ØÖ ÓÒ A 1 = 2 1 0 Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ 1 2 º

ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ½¾ ÔÖ ÒØ ¼ ½ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ¾ ÔÖ ÒØ ¾ ½ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙØ ½ ¼º Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÖÓØÙ ÔÖ ÒØ ¹ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÔÖ ÒØ 3 1 3 1 3 1 4 4 8 Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø 3 0 1 3 2 1 12 4 0 3 2 0 1 2 4 4 8 8 8 8 4 0 4 4 º 8 0 8 Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ

ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º Ø µ 2 3 6 7 2 2 Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø 6 5 2 2 1 2 ÐÙÚÙÒ ¹¾ 2 0 3 4 2 8 Ó ÓÒ Ñ ØÖ Ò B Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Ì ØÚ ¾¼ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ ÔÖ ÒØ ºÌ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ 1 1 3 1 1 2 2 Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø 1 1 2 1 3 1 º 2 0 2 1 2 1 Ì ØÚ ¾½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¾ µ Ñ ØÖ Ü µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ Ç ÐÑ ÒØ Ö Ø Ù x 1 = 3, x 2 = 2 Ì ØÚ ¾¾ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¹¾ µ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ

Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ö Ø Ù x 0, 391 y 0, 087º Å Ð Ú Ø Ù Ò ÐÙ ÑÙÖØÓÐÙ ÙÑÙÓ Ó ÙØ Ò ÝÓ¹ Ó Ú Ø Ò Ô Ø Ó Ø Ø ÑÙÙØØ º Ì ØÚ ¾ Å Ö ØÒ Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ ÚÙÓ Ø Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò ÚÙÓ ÐÐ Ò ÖÙÙ ÙÒ Ð ÚÝ Ò Ò ÔÝÐÚ º ÂØ ØØÒ ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Ò Ý ÖÙÙØÙº Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò Ø Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ º Î Ð Ø Ò Ø Ó ÒÝØ Ø Ò ØØ Ð ½¼ Ø Ø ÔØØÝÝ ½ Ø Ò Ý ÖÙÙØÙ Ú Ø ÔÙÓÐØ Ø ØØ º 15 14 13 12 11 04 05 06 07 È ÖÖ ØÒ ØØ Ò ÙÒ Ò ÚÙÓ Ò Ó ÐÐ ÔÝÐÚ Ó ÓÖ Ù Ú Ø Ðѹ Ô Ø Ð º 15 14 13 12 11 04 05 06 07 ÃÙÒ Ú Ð ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò Ñ ØÒ Ð Ø Ò ÙÖ Ú ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º

ËÝÝ ÙÙÒ ÐÑÔ Ø Ð Ø À Ð Ò Ì ØÚ ¾ ÆÝØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÐÙ Ù Ò ÓØ Ò Ò Ô Ø Ð Ù Ò ÙÙÖØ ÔÖÓ ÒØØ Ó ÙÙØØ ÙÓÐÐ Ø ÙÒ Ò ÚÙÓ Ò Ò ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ú Øº Ø Ò ÙÓÐÐ Ø ÓÒ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø ÐÚ ÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ ÓÒ 81 384 0, 211 = 21, 1%º Î Ø Ú Ø ÚÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò ¾ ¼ ± ÐÐ ÙÓй Ð Ò ½ ± Ý ÝÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ ¾ ½ ±º Ë ÙÖ Ú Ð Ø Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ó ÙÙ Ø Ú Ø º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ ¼ ÓØ Ò Ø ÐÚ ÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ù ÙÐÑ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ 0, 211 360 = 76 º Î Ø Ú Ø ÚÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ø Ò Ù ÙÐÑ ÐÐ ÙÓÐÐ Ø ½½ Ø Ò ÙÐÑ Ý ÝÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ø Ò ÙÐÑ º Ë ØØ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÝÑÔÝÖ Ò ÙÒ Ò Ø ÐÙÚÙÒ ÙÙÖÙ Ò Ò ØÓÖ º ÃÙÒ Ú Ð Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò ÙÖ Ú Ô Ö ÙÚ Óº

Ì ØÚ ¾ À Ú ÒØÓ ÓÒ ÒÝØ ½ ÓØ Ò n = 14º Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ý Ø Ñ Ö¹ ØÒ ÚÙÓ Ò Ò ØØ ÚÙÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ ÚÙÓ ÑÙÙع ØÙ Ò ÖÚÓ ¾ Ò º ÆÝØ ÙÑÑ Ð Ù n i=1 x i = 1 + 2 + 3 + + 14 ÖÚÓÒ ½¼ º Î Ø Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù n i=1 y i = 5, 86+5, 97+ +8, 93 Ö¹ ÚÓÒ ½¼ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ Ò Ò Ö Ø Ø Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ý ØÐ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ 14a + 105b = 103, 88º ËÙÑÑ Ð Ù n i=1 x2 i = 12 +2 2 + +14 2 ÖÚÓÒ ½¼½ ÙÑÑ Ð Ù n i=1 x iy i = 1 5, 86 + 2 5, 97 + + 14 8, 93 ÖÚÓÒ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ Ò Ò Ö Ø Ø Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ý ØÐ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ 105a + 1015b = 839, 47º Ê Ø Ø Ú Ò ÓÒ ÒÝØ Ý ØÐ Ô Ö 14a + 105b = 103, 88 105a + 1015b = 839, 47 ÃÙÒ ØÑ Ý ØÐ Ô Ö Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ù a = 5, 43 b = 0, 265º ËÙÓÖ Ò Ý ØÐ ÓÒ y = 0, 265x + 5, 43º È ÖÖ ØØÝÒ ÙÓÖ ÒÝØØ ØÐغ

9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 1997 2002 ÎÙÓ ¾¼½¼ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ð ÒØ ÚÙÓÒÒ ¾¼½¼ ÓÒ y = 0, 265 18 + 5, 43 = 10, 2º Ì ØÚ ¾ ÓÓ ÝØ ØÒ ÔÙÒ ÒÙÑ ÖÖ Ý¹Ø ØÓÖ ÒÒ ØØ ÓØ Ò ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ ÒÙÑÔݺÒÙÑ ÖÖ Ý Ò ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ò Ñ ØÒ ÔÝÐÚØ Ð Ð ¾¼¹¾ ¾ ¹¾ ¼¹ ¹ ¼¹ ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù Ø Ð Ö Ú Ø Ø ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¼ ÐÙÓ Ò ÒÙÑ ÖÖ Ý¹ØÝÝÔÔ Ò Ò Ð Ø Ó ÐØ Ø ÓØ ÔÝÐÚ Ò ÒÒ Ø ÜÐÓ Ø ÓÒ Ò º ÖÖ Ý Ö Ò Ð Ò Ø µµµ ¼º ÑÖ Ø ØÒ ÔÝÐÚÒ Ð Ú Ý Û Ø ¼º Ö¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ ÔÝÐÚØ ÓÐÓÖ ÑÖ ØØ ÔÝÐÚÒ ÚÖ Ò Ö ÜÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÓÖ ³¼º ³ Û Ø Û Ø µ ÐÙÓ Ò Ý¹ Ð Ø Ó Ò Ò ÝØ Ö Ò ¼ ¾¼¼¼½ ¾¼¼¼µµ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ¼

ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Û Ø»¾ Ð Ð µ ÜÐ Ñ ¼ ÜÐÓ Ø ÓÒ ¹½ Û Ø ¾µ ÙÚ Ò ÓØ Ó Ø ØÐ ËÝÒÒÝØØÒ Ø Ò Ø µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ µº Ø Ü Ü µºø ÓØØÓÑ µ µº Ø Ý Ü µºø Ð Ø µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò Ì ØÚ ¾ ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ó ÙÙ Ø Ð Ø Ò Ö ¾ º ½¼º ½¾º ½ º º½ º¾ º ¾¼º¾ ½º Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø Ð Ð Ð Ý Å Ù À Ð ÒÚÓ Ñ Ë Ò Ò ØØÓØÙÓÒØ ÌÙÖÚ Î ¹ ØÙÙÐ ÚÓ Ñ ÈÙÙÔ Ö Ø ÔÓÐØØÓ Ò Ø ÅÙÙ ÒÒ Ø Ò ÙÐÐ Ò ØÓÖ ÐÐ ÚÖ ÓÐÓÖ ³¼º¾³ ³¼º ³ ³¼º ³ ³¼º½³ ³¼³ ³¼º ³ ³½³ ³¼º ³ ³¼º ³ µ ½

2025 © DocPlayer.fi Yksityisyyskäytäntö | Palveluehdot | Palaute