1. Lineaarinen optimointi

0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on 27C-,ja siihen kuluu materiaalia 10C- edestä. Jokainen valmistettu sotilas aiheuttaa lisäksi muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksiakeskimäärin 14C- edestä. Junan myyntihinta on 21C -, ja siihen kuluu 9C - edestä materiaalia. Muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksia jokainen juna aiheuttaa keskimäärin 10C-. Sotilaiden ja junien valmistus tapahtuu kahdella osastolla: puutyöosastolla ja viimeistelyosastolla. Yksi sotilas vaatii 1 tunnin puutyötä ja2tuntiaviimeistelyä. Vastaavasti yksi juna vaatii 1 tunnin puutyötä ja 1 tunnin viimeistelyä. Yritys pystyy hankkimaan kaiken tarvitsemansa materiaalin, mutta puutyö- ja viimeistelyosastojen kapasiteetti on rajallinen. Käytettävissä on 80 tuntia puutyötä per viikko, ja 100 tuntia viimeistelytyötä per viikko. Lelujen kysynnästätiedetään, että junien kysyntä on käytännössä rajoittamaton, mutta sotilaita saadaan kaupaksi korkeintaan 40 per viikko. Miten yritys voi maksimoida katetuottonsa? Muodostetaan ongelmasta LP-malli. Päätösmuuttujat Valitaan päätösmuuttujiksi muuttujat, jotka vaikuttavat katetuoton muodostumiseen ja joiden arvoon yritys kykenee vaikuttamaan. Yritys voi itse määrätä miten paljon

1.1. Johdatteleva esimerkki 1 sotilaita ja junia valmistetaan. x 1 : kpl sotilaita / viikko x 2 : kpl junia / viikko Tavoitefunktio Määritetään optimointitehtävässä tarvittava maksimoitava tai minimoitava tavoitefunktio. Yritys maksimoi katetuottoaan. Viikottainen katetuotto tulee esittääpäätösmuuttujien x 1 ja x 2 funktiona. myyntituotot / viikko 27x 1 + 21x2 materiaalikust. / viikko 10x 1 9x2 palkka- ja yleiskust./viikko 14x 1 10x2 katetuotto / viikko 3x 1 + 2x2 Yritys pyrkii maksimoimaan (lineaarista) funktiota: z =3x 1 +2x 2 Tavoitefunktion kertoimet kuvaavat ko. muuttujien kontribuutiota yrityksen katetuottoon. Rajoitteet Viimeistelytöihin on käytettävissä 100 h/vko. Puutöihin on käytettävissä 80 h/vko Sotilaita saadaan kaupaksi korkeintaan 40 kpl/vko. Siis Merkkirajoite 2x 1 + 1x 2 100 1x 1 + 1x 2 80 1x 1 40 Sotilaitataijuniaeivoidavalmistaanegatiivisiamääriä, joten LP-malli x i 0, i=1, 2 max z = 3x 1 + 2x 2 ehdoin 2x 1 + x 2 100 x 1 + x 2 80 x 1 40 x 1,x 2 0

2 1. Lineaarinen optimointi Ratkaisemme mallin pian, mutta ensin toteamme joukon yleisiä asioita. 1.2 LP-mallin oletukset LP-mallia rakennettaessa tehdään seuraavat oletukset. Oletukset tehdään, jotta malli olisi yksinkertainen. Jos oletukset johtavat liian paljon todellisuudesta poikkeavaan malliin, ei ongelmaa voida lähestyä LP-mallilla. välillä eiyleensä haittaa. Pieni ero todellisuuden ja mallin 1. Suhteellisuusoletus: jokaisen muuttujan x i vaikutus tavoitefunktion arvoon ja rajoitettujen resurssien kulutukseen on suoraan verrannollinen ko. arvoon. muuttujan 2. Additiivisuusoletus: jokaisen muuttujan x i vaikutus tavoitefunktion arvoon ja rajoitettujen resurssien kulutukseen on riippumaton muiden muuttujien x j (j = i) saamista arvoista. 3. Jaollisuusoletus: Muuttujat x i voivat saada kokonaisluvuista poikkeavia arvoja. 4. Varmuusoletus: kaikki mallin parametrit tunnetaan varmuudella. Oletukset 1 ja 2 johtavat siihen, että tavoitefunktio on lineaarinen ts. f(x 1,x 2,...,x n )=c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n ja rajoitteet ovat lineaarisia yhtälöitä taiepäyhtälöitä a j1 x 1 + a j2 x 2 +...+ a jn x n b j,j =1,...,m Sanomme, että malli on Lp-malli, jos a) tavoitefunktio on lineaarinen b) rajoitteet ovat lineaarisia yhtälöitä taiepäyhtälöitä c) x i 0 (kaikki muuttujat saavat vain ei-negatiivisia arvoja)

1.3. LP-mallin graafinen ratkaiseminen 3 Muuttujien arvot muodostavat vektorin (x 1,x 2,...,x n ) IR n. Usein (varsinkin kun n = 2) vektoria sanotaan pisteeksi. Vektori on ratkaisu (solution), jos se toteuttaa rajoitteet. Ratkaisu on käypä (kelpaava,feasible),josselisäksi toteuttaa ehdon x i 0 kaikilla i. Maksimointitehtävän (minimointitehtävän) optimiratkaisu on se käypä ratkaisu, jolla tavoitefunktio saa suurimman (pienimmän) arvonsa. Esimerkiksi lelumallissa piste (x 1,x 2 )=(40, 20) on käypä ratkaisu koska se toteuttaa kaikki rajoitteet. 2x 1 + x 2 100 sillä2 40 + 20 = 100 100 x 1 + x 2 80 sillä40+20=60 80 x 1 40 x i 0 Piste (40, 20) ei kuitenkaan ole optimiratkaisu. 1.3 LP-mallin graafinen ratkaiseminen Kun muuttujia on kaksi, saadaan ongelmasta havainnollinen esitys piirtämällä. 1. Piirretään koordinaatisto. Vaaka-akseli on x 1 -akseli ja pystyakseli on x 2 -akseli (katso kuvaa). 2. Piirretään rajoitteiden yhtälöitä vastaavat suorat koordinaatistoon. 3. Määritetään käypien ratkaisujen alue (feasible region). 4. Etsitään optimiratkaisu tutkimalla tavoitefunktion tasa-arvosuoria käypien ratkaisujen alueella. Esimerkki 1.3.1 Tutkimme seuraavaksi puuleluesimerkkiä 2.1.1 graafisesti. Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa puusotilaita (x 1 kpl/viikko) ja puujunia (x 2 kpl/viikko). Katteen optimointi rajoitteet huomioiden johtaa seuraavaan LP-malliin: max z = 3x 1 + 2x 2 ehdoin 2x 1 + x 2 100 x 1 + x 2 80 x 1 40 x 1,x 2 0

4 1. Lineaarinen optimointi Ennen koordinaatiston piirtämistä laskemme, missä rajoitteita vastaavat suorat leikkaavat koordinaattiakselit. Tämä auttaa meitä valitsemaan akselien mittakaavat järkevästi. 1. rajoite: 2x 1 + x 2 100 käypä alue suoran alapuolella suoran yhtälö: 2x 1 + x 2 = 100 x 2 = 2x 1 + 100 (jyrkästi) laskeva suora jos x 2 = 0 (piste A) 2x 1 +0 = 100 x 1 = 50 A =(50, 0) jos x 1 = 0 (piste B) 0 + x 2 = 100 x 2 = 100 B =(0, 100) 2. rajoite: x 1 + x 2 80 käypä alue suoran alapuolella suoran yhtälö: x 1 + x 2 = 80 x 2 = x 1 + 80 (loivasti) laskeva suora jos x 2 = 0 (piste C) x 1 +0 = 80 x 1 = 80 C =(80, 0) jos x 1 = 0 (piste D) 0 + x 2 = 80 x 2 = 80 D =(0, 80) 3. rajoite: x 1 40 käypä alue vasemmalla puolella suoran yhtälö: x 1 = 40 pystysuora! E =(40, 0) Seuraavaksi piirretään koordinaatisto ja rajoitesuorat. Tavoitefunktio: 3x 1 +2x 2 = z 2x 2 = 3x 1 + z x 2 = 1.5x 1 +0.5z laskeva suora Siis ne ratkaisut joilla tavoitefunktio saa saman arvon (z) muodostavat laskevan suoran, jonka kulmakerroin on 3/2. Mitä suurempi on z, sitä ylempänä suora on.

1.3. LP-mallin graafinen ratkaiseminen 5 Figure 1.1: Leluesimerkin graafinen ratkaisu. Kuvaan on piirretty z:n arvoja 60, 100 ja 180 vastaavat tasa-arvosuorat. Kuvasta näkee helposti, että ylin käypää aluetta koskettava tasa-arvosuora pisteessä G. Optimi (G): 1. ja 2. rajoitesuoran leikkauspiste 2x1+x2 = 100 x1+x2 = 80 x1 = 20 x2 = 60 z = 180 1.3.1 Optimiratkaisun olemassaolo, esimerkkejä Tarkastellaan puuleluesimerkin käyvän alueen sisäpistettä (x 1 =20,x 2 =20). Mikään rajallisista resursseista (1. rajoite: viimeistelytyöhön käytetty aika, 2. rajoite: puutöihin käytetty aika ja 3. rajoite: markkinoiden ostovoima ) ei ole loppuunkäytetty. Kumpaakin muuttujaa (x 1 ja x 2 ) voidaan siis kasvattaa tai pienentää. Tavoitefunktion muodosta z =3x 1 +2x 2 näemme, että kasvattamalla hiukan muuttujan x 1 ja/tai muuttujan x 2 arvoa tavoitefunktio saa suuremman arvon. Piste (20, 20) ei siis ole optimiratkaisu. Sama päättely

6 1. Lineaarinen optimointi Jos optimiratkaisu on olemassa, niin se on käyvän alueen reunapiste. voidaan toistaa mille tahansa käyvän alueen sisäpisteelle. Voimme siis päätellä seuraavasti. Edellisen puuleluesimerkkiin löytyi yksikäsitteinen optimiratkaisu käyvän alueen nurkkapisteestä. Tämä on hyvin yleinen, mutta ei ainoa mahdollinen, lopputulos. Seuraavissa kolmessa esimerkissä käydään läpi muut mahdolliset tulokset. Esimerkeissä eiolemitään taustakertomusta, vaan lähdemme suoraan valmiina annetuista lp-malleista. Esimerkki 1.3.2 Etsi graafisesti optimiratkaisu LP-mallille min z = 6x 1 2x 2 subject to 2x 1 + 4x 2 9 3x 1 + x 2 6 x 1,x 2 0 Ratkaisu: Huomaa, että kyseessä on minimointitehtävä. (Vertaa laskuja kuvaan.) 1. rajoite: 2x 1 +4x 2 9käypä alue suoran alapuolella suoran yhtälö: 2x 1 +4x 2 = 9 4x 2 = 2x 1 +9 x 2 = 0.5x 1 +2.5 (loivasti) laskeva suora jos x 2 = 0 (piste A) 2x 1 +0 = 9 x 1 = 4.5 A =(4.5, 0) jos x 1 = 0 (piste B) 0 + 4x 2 = 9 x 2 = 2.25 B =(0, 2.25) 2. rajoite: 3x 1 + x 2 6käypä alue suoran alapuolella

1.3. LP-mallin graafinen ratkaiseminen 7 Figure 1.2: Esimerkin 2.3.2 graafinen ratkaisu. suoran yhtälö: 3x 1 + x 2 = 6 x 2 = 3x 1 + 6 (jyrkästi) laskeva suora jos x 2 = 0 (piste C) 3x 1 +0 = 6 x 1 = 2 C =(2, 0) jos x 1 = 0 (piste D) 0 + x 2 = 6 x 2 = 6 D =(0, 6) Tavoitefunktio: z = 6x 1 2x 2 2x 2 = 6x 1 z x 2 = 3x 1 0.5z laskeva suora z pienenee, eli tavoitefunktion arvo paranee, kun x 1 tai x 2 kasvavat. z siis pienenee, kun tasa-arvosuora siirtyy oikealle ja ylöspäin. Koska tasa-arvosuora ja 2. rajoitesuora ovat yhdensuuntaiset (samat kulmakertoimet), ovat kaikki janan CE pisteet optimiratkaisuja (katso kuva ). Tavoitefunktion optimiarvo on kaikissa näissä pisteissä sama z(c) = 6x 1 (C) 2x 2 (C) = 6 2 2 0= 12 Pisteen E koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälöpari 3x1 + x 2 = 6 2x 1 + 4x 2 = 9 x1 = 1.5 x 2 = 1.5

8 1. Lineaarinen optimointi Optimiratkaisu saadaansiis,kun1.5 x 1 2jax 2 =6 3x 1. Optimiratkaisuja on siis useita, mutta tavoitefunktion optimiarvo on yksikäsitteinen, z min = 12. Esimerkki 1.3.3 Etsi graafisesti optimiratkaisu LP-mallille max z = x 1 + x 2 subject to x 1 x 2 1 x 2 2 x 1,x 2 0 Ratkaisu: Huomaa, että kyseessä on maksimointitehtävä. (Vertaa laskuja kuvaan.) 1. rajoite: x 1 x 2 1käypä alue on suoran alapuolella suoran yhtälö: x 1 x 2 = 1 x 2 = x 1 +1 x 2 = x 1 1 nouseva suora jos x 2 = 0 (piste A) x 1 +0 = 1 x 1 = 1 A =(1, 0) jos x 1 = 0 (piste B) 0 x 2 = 1 x 2 = -1 B =(0, 1) B ei siis ole käypä!! 2. rajoite: x 2 2käypä alue vaakasuoran alapuolella suoran yhtälö: x 2 = 2 vaakasuora jos x 1 = 0 (piste C) 0 + x 2 = 2 x 2 = 2 C =(0, 2) Tavoitefunktio: z = x 1 + x 2 x 2 = x 1 + z laskeva suora Optimiratkaisu: Tavoitefunktion arvo paranee (z kasvaa), kun x 1 tai x 2 kasvavat, eli tasa-arvosuora siirtyy oikealle ja ylöspäin. Koska muuttujaa x 1 voidaan kasvattaa rajatta, voidaan myös tavoitefunktion arvoa kasvattaa rajatta, eikä optimiratkaisua siis ole olemassa. Se, että mikään rajallinen resurssi ei rajoita muuttujan x1 arvoa, on poikkeuksellista. Mahdollisesti lp-malli on väärin muodostettu.

1.3. LP-mallin graafinen ratkaiseminen 9 Figure 1.3: Esimerkin graafinen ratkaisu. Esimerkki 1.3.4 Etsi graafisesti optimiratkaisu LP-mallille Ratkaisu: (Vertaa laskuja kuvaan.) min z = 2x 1 + 3x 2 subject to x 1 + x 2 10 3x 1 + 5x 2 15 x 1,x 2 0 1. rajoite: x 1 + x 2 10 käypä alue on suoran yläpuolella suoran yhtälö: x 1 + x 2 = 10 x 2 = x 1 +10 laskevasuora jos x 2 = 0 (piste A) x 1 +0 = 10 x 1 = 10 A =(10, 0) jos x 1 = 0 (piste B) 0 + x 2 = 10 x 2 = 10 B =(0, 10) 2. rajoite: 3x 1 +5x 2 15 käypä alue suoran alapuolella

10 1. Lineaarinen optimointi Figure 1.4: Esimerkin graafinen ratkaisu. suoran yhtälö: 3x 1 +5x 2 = 15 5x 2 = 3x 1 +15 x 2 = 0.6x 1 +3 laskeva suora jos x 2 = 0 (piste C) 3x 1 +0 = 15 x 1 = 5 C =(5, 0) jos x 1 = 0 (piste D) 0 + 5x 2 = 15 x 2 = 3 D =(0, 3) Kun rajoitesuorat piirretään koordinaatistoon nähdään, että käypä alue on tyhjä. Rajoitteet ovat ristiriitaiset, eikä ongelmalle ole olemassa ratkaisua. Edellisten esimerkkien perusteella voimme yleistää, että on neljä perustapausta: 1. LP-mallilla on yksikäsitteinen optimiratkaisu. Optimiratkaisu on käyvän alueen nurkkapiste. 2. LP-mallilla on useita optimiratkaisuja. Optimiratkaisu on käyvän alueen reunan osa. Tavoitefunktio saa kaikissa optimipisteissä saman arvon. Tavoitefunktion optimiarvo on siis yksikäsitteinen.

1.3. LP-mallin graafinen ratkaiseminen 11 3. LP-mallilla on rajoittamaton optimi. Tavoitefunktion arvo saadaan miten hyväksi tahansa. Mallilla on ratkaisuja, mutta ei optimiratkaisua. 4. LP-mallilla ei ole ratkaisuja. Käypä alueontyhjä. (Eli ratkaisujoukko on tyhjä.) Rajoitteet ovat ristiriitaiset.