Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A lasketaan kaikki 4 tehtävää. Taulukkokirjaa saa käyttää koko kokeessa. 3 A. a) Sievennä. b) Ratkaise yhtälö ( x )( x ) 4. c) Laske 4 dx. x T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 A. a) Määritä viereisen polynomifunktion kuvaajan perusteella b) Määritä funktion c) Ratkaise yhtälö ) funktion derivaatan nollakohdat ) graafisesti derivaatan arvo kohdassa x 3. f ( x) 4x x. 4 x 4 x määrittelyjoukko. T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu 3 / 4 A3. a) Kartan mittakaava on : 000. Tontin pinta-ala on 000 m. Mikä on tontin pinta-ala tällä kartalla? 3 x x b) Määritä lim. x x c) Asun hinta nousi ensin 0 % ja laski sitten 0 %. Kuinka monta prosenttia asun hinta muuttui yhteensä? T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu 4 / 4 A4. a) Määritä ympyrän Y: x y x y 6 8 keskipiste ja säde. (p) b) Osoita, että piste A (4, ) on ympyrällä Y. (p) c) Määritä ympyrälle Y pisteeseen A piirretyn tangentin yhtälö ja piirrä tangentin kuvaaja. (3p) T06
B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A (,, 3), B (0,,) ja C (,3, ). a) Laske sivun AB pituus. (p) b) Määritä vektorien AC ja BC välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (3p) c) Onko kolmio suorakulmainen? Perustele! (p) B6. Normaalista 5 kortin pakasta on poimittu seuraavat kortit pois: Hertta 0, hertta 9 sekä pata 9 ja pata 8. Nämä neljä korttia sekoitetaan hyvin ja asetetaan satunnaiseen järjestykseen kuvapuoli alaspäin pöydälle. Näistä korteista valitaan umpimähkään kaksi. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa valittujen korttien arvon summan. a) Esitä pylväsdiagrammina tämän satunnaismuuttujan jakauma. b) Määritä satunnaismuuttujan X keskihajonta. 4 3 B7. Olkoon funktio f ( x) 3x 8x 6x 4x 60. a) Määritä funktion ääriarvokohdat. Esitä perusteluksi kulkukaavio. (3p) b) Määritä perustellen kumpi funktion arvoista 9 9 f ( 0 ) vai f ( 3 0 ) on suurempi? (p) c) Piirrä funktion kuvaajaa valaiseva kuvio. (+p) B8. Määritä käyrälle f ( x) ln x kohtaan x 3 piirretyn tangentin T yhtälö suorituksen välivaiheet esittäen. Osoita, että tangentin T kuvaaja on aina käyrän kuvaajan yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta. B9. a) Millä muuttujan x arvoilla lukujono ln( x),ln(),ln( x ),... on aritmeettinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. b) Millä muuttujan x arvoilla lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. V06
B-osio. Laske tehtävistä B0-B3 enintään kolme. B0. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat suoralla x pisteissä A (, a) ja B (, a), missä a 0. Toiset kaksi muuta kärkeä ovat pisteissä C ja D käyrällä x 4 y y-akselin oikealla puolella. a) Piirrä huolellinen kuvio tilanteesta. (p) b) Suorakulmio ABCD pyörähtää suoran x ympäri. Muodosta määrätyn integraalin avulla lauseke, jonka avulla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus V voidaan laskea. (p) c) Määritä luku a siten, että tilavuus V on suurin mahdollinen. Perustele tuloksesi esim. derivaatan avulla. (3p) B. Lentokone on etäisyydellä h maapallon pinnan yläpuolella. Osoita, että siihen maasta näkyvän osan pinta-ala saadaan lausekkeesta rh A, missä r on maapallon säde. h r Laske tehtävässä B joko tehtävä I tai II (EI MOLEMPIA!) B/I. Osoita, että luku n n 3 3n 9n positiivisilla kokonaisluvuilla n. on jaollinen luvulla kahdeksan kaikilla B/II. Käyrä y x rajoittaa x-akselin kanssa alueen A välillä [,4]. a) Laske alueen A pinta-alan tarkka arvo välivaiheet esittäen. (p) b) Laske alueen pinta-alan arvio käyttäen Simpsonin menetelmää ja neljää osaväliä. (3p) c) Mikä on arvion prosentuaalinen virhe? (p) x B3. a) Osoita, että funktiolla f ( x), x on käänteisfunktio f. 3x 3 b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa x. c) Osoita, että funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion kuvaaja eivät kohtaa toisiaan. f V06