Matriisilaskenta. Markku Koppinen

Matriisilaskenta Markku Koppinen

Alkusanat 7. joulukuuta 2012 Matriisilaskennan kurssilla perehdytään tavallisimpiin matriiseja koskeviin perusasioihin ja -menetelmiin, joita tarvitaan sekä käytännön sovelluksissa että muualla matematiikassa. Monisteessa on yritetty löytää tasapaino matriisien teorian ja käytännön laskuvalmiuksien välillä. Lineaarialgebran kurssilla oli jo esillä determinantti, matriisin aste, ominaisarvot, diagonalisointi ja porrasmatriisit. Tämän kurssin sisällöstä mainittakoon Jordanin normaalimuoto, spektraalihajotelma, komponenttimatriisit, deniitit matriisit, matriisien jonot, sarjat ja funktiot, MoorenPenrosen (yleistetty käänteismatriisi ja PerroninFrobeniuksen lause kaikki asioita, jotka sovellusten yhteydessä yleensä oletetaan tunnetuiksi. Moniste on pääosin sama kuin vuosien 2008 tai 2006 versiot. Tekstin joukossa on runsaasti esimerkkejä. Kaikista ei ole annettu ratkaisua. Osa käsiteltäneen luennoilla ja demonstraatioissa, ja loput jäävät lukijan itse mietittäviksi. Kurssin seuraamiseksi lineaarialgebran kurssin hallinta on välttämätöntä. Ensimmäisessä luvussa on hiukan kertausta. Kirjallisuutta Tärkeimmät käytetyistä lähteistä ovat seuraavat: 1. C. Cullen: Matrices and linear transformations (1966 2. P. Lancaster: Theory of matrices (1969 Muita hyviä lähteitä: 3. K. M. Abadir & J. R. Magnus: Matrix algebra (2005 4. S. Axler: Linear algebra done right (1997 5. A. Berman & R. J. Plemmons: Nonnegative matrices in the mathematical sciences (1994 6. D. S. Bernstein: Matrix mathematics (2005 7. M. Fiedler: Special matrices and their applications in numerical mathematics (1986 8. F. R. Gantmacher: The theory of matrices, III (1960 9. K. Homan & R. Kunze: Linear algebra (1961 10. R. A. Horn & C. A. Johnson: Matrix analysis (1985 11. L. Mirsky: An introduction to linear algebra (1955 12. M. Newman: Integral matrices (1972 13. B. Noble & J. W. Daniel: Applied linear algebra (1977 14. S. Perlis: Theory of matrices (1952 15. C. R. Rao & S. K. Mitra: Generalized inverse of matrices and its applications (1971 i

Sisältö 1 Perusasioita 1 1.1 Hiukan kunnista ja kuntalaajennuksista..................... 1 1.2 Polynomien suurin yhteinen tekijä........................ 2 1.3 Vektoriavaruus................................... 3 1.4 Kanta ja dimensio. Suora summa......................... 4 1.5 Matriisialgebraa.................................. 5 1.6 Kannanvaihdot ja lineaarikuvaukset....................... 8 1.7 Determinantti ja jälki............................... 10 1.8 Matriisin aste.................................... 12 1.9 Ominaisarvot ja diagonalisoituvuus........................ 14 1.10 Similaarisuus kolmiomatriisin kanssa....................... 16 1.11 Sisätulo....................................... 18 2 Ominaisarvot ja -vektorit 21 2.1 Matriisin karakteristinen yhtälö.......................... 21 2.2 Ominaisarvon kertaluvut.............................. 21 2.3 Idempotentti matriisi. Projektio.......................... 24 2.3.1 Ortogonaalinen projektio......................... 25 2.4 Matriisin spektraaliesitys ja spektraalihajotelma................ 26 3 Kompleksiset matriisit 30 3.1 Unitaarimatriisi ja ortogonaalimatriisi...................... 30 3.2 Itseadjungoitu matriisi............................... 30 3.3 Unitaarinen similaarisuus. Normaali matriisi................... 32 3.4 Rayleighin osamäärä................................ 33 3.5 Deniitti matriisi.................................. 34 3.6 Neliömuoto ja Hermiten muoto.......................... 38 4 Minimaalipolynomi ja normaalimuodot 40 4.1 Polynomimatriisit.................................. 40 4.2 Matriisit rationaalifunktioiden kunnan yli.................... 42 4.3 Jakoalgoritmit. CayleynHamiltonin lause.................... 44 ii

SISÄLTÖ iii 4.4 Minimaalipolynomi................................. 46 4.5 Alkeismuunnokset ja riviekvivalenssi....................... 49 4.6 Invariantit polynomit ja Smithin kanoninen muoto............... 51 4.7 Riviekvivalenssi ja similaarisuus.......................... 55 4.8 Ensimmäinen luonnollinen normaalimuoto.................... 56 4.9 Matriisin alkeistekijät............................... 59 4.10 Toinen luonnollinen normaalimuoto........................ 61 4.11 Jordanin normaalimuoto.............................. 62 5 Matriisien normit 66 5.1 Vektorinormi.................................... 66 5.2 Matriisinormi.................................... 68 5.3 Indusoitu matriisinormi.............................. 69 5.4 Vektorien ja matriisien jonot ja sarjat...................... 72 6 Komponenttimatriisit 76 6.1 Komponenttimatriisit: alialgebran A kanta................... 76 6.2 Komponenttimatriisit ja matriisipolynomit.................... 79 6.3 Matriisin funktio f(a............................... 82 6.4 Matriisien funktiot sarjaesityksinä........................ 84 6.5 Matriisifunktioiden välisistä relaatioista..................... 86 7 Yleistetty käänteismatriisi 87 7.1 Määritelmä..................................... 87 7.2 Sovellus: yhtälöryhmän likimääräinen ratkaiseminen.............. 91 7.3 Singulaariarvohajotelma.............................. 92 8 Epänegatiiviset matriisit 96 8.1 PerroninFrobeniuksen lause........................... 96 8.1.1 Epänegatiivinen matriisi.......................... 97 8.1.2 PerroninFrobeniuksen lauseen todistus................. 100 8.1.3 Positiiviset ja primitiiviset matriisit................... 100 8.2 Sovellus: Markovin ketjut............................. 101

Luku 1 Perusasioita Tämä luku on paljolti lineaarialgebran kurssin kertausta. 1.1 Hiukan kunnista ja kuntalaajennuksista Pyrimme käsittelemään asiat, missä vain mahdollista, käyttäen skalaarikuntana mielivaltaista kuntaa K (Algebran peruskurssi II. Reaali- ja kompleksilukukunnat R ja C ovat mukana erikoistapauksina. Jos ei tunne yleisen kunnan käsitettä, tai jos on kiinnostunut vain reaalisista ja kompleksisista matriiseista, K:n tilalle voi joka kohdassa ajatella R:n tai C:n. Yleinen kunta on joukko K varustettuna yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla (+ ja, joiden oletetaan toteuttavan eräät hyvin samantapaiset laskulait kuin on voimassa R:ssä tai C:ssä. Kunnan aksioomat voidaan lausua seuraavasti: (K, + on Abelin ryhmä (kunnan additiivinen ryhmä, nolla-alkiona 0, (K \ {0}, on Abelin ryhmä (kunnan multiplikatiivinen ryhmä, ykkösalkiona 1, a(b + c = ab + ac ja (a + bc = ac + bc aina kun a, b, c K (distributiivilait. Kunnan K alkioilla laskeminen käy aivan samoin kuin reaali- tai kompleksiluvuilla. On kuitenkin seuraavat oleelliset erot: Yleisessä kunnassa K ei ole suuruusjärjestystä ( eikä itseisarvon ottoa (, K:n alkioilla ei ole minkäänlaista esitystä reaalilukujen avulla (vrt. C:ssä: z = x+yi, ja K:ssa saattaa olla n1 = 1+ +1 = 0 joillakin luonnollisilla luvuilla n. (Tässä n1 = n1 K = 1 K + + 1 K, ykkösiä n kappaletta. Kunnan karakteristika char K on 0, jos n1 K 0 aina kun n 1; jos taas n1 K = 0 jollain luonnollisella luvulla n 1, määritellään, että karakteristika char K on pienin tällainen luku n (ks. Algebran peruskurssi II. Esimerkiksi char R = 0 ja char C = 0. Kun p on alkuluku, niin Z p = Z/pZ on kunta, jonka karakteristika on p. Se reaalisten vektoriavaruuksien teoria, joka kehiteltiin lineaarialgebran kurssissa, voidaan melkein sellaisenaan siirtää koskemaan vektoriavaruuksia yli mielivaltaisen kunnan K; skalaarit vain otetaan R:n (tai C:n sijasta kunnasta K. Yksi tärkeä poikkeuskin on: sisätulo 1

LUKU 1. PERUSASIOITA 2 ja normi eivät yleisty mielivaltaisen kunnan tapaukseen. Joskus rajoitummekin kuntaan R tai C; näin on ainakin silloin, kun tarvitsemme sisätuloa tai normia. Lisäksi toisinaan joudumme olettamaan, että K on kyllin laaja siinä mielessä, että jokin tarkasteltavana oleva K-kertoiminen polynomi p(x = a r x r + a r 1 x r 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 (a i K i, a r 0, voidaan hajottaa tuloksi p(x = a r (x c 1 (x c r (c i K i; tällöin sanotaan, että p(x hajoaa täydellisesti yli K:n. Tämä on ekvivalentti sen kanssa, että p(x:n nollakohdat c 1,..., c r löytyvät K:sta (eikä jostain laajennuskunnasta. Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokainen K-kertoiminen polynomi hajoaa täydellisesti yli K:n. Esimerkiksi polynomi x 2 + x + 1 ei hajoa tekijöihin yli R:n, mutta koska sillä on C:ssä nollakohdat α, β = 1 2 ( 1 ± i 3, niin yli C:n se hajoaa: x 2 + x + 1 = (x α(x β. Reaalilukukunta R ei ole algebrallisesti suljettu, mikä nähdään vaikka polynomista x 2 + 1 tai x 2 +x+1. Sen sijaan C:tä koskee Algebran peruslause: C on algebrallisesti suljettu. Siksi lineaarialgebran kurssissa, käsiteltäessä matriisien ominaisarvoja, skalaarikunnaksi otettiin C; tällä taattiin, että ominaisarvopolynomit c A (x = det(a xi hajoavat täydellisesti. Tarvittaessa voidaan aina siirtyä käyttämään sopivaa K:n laajennuskuntaa, esimerkiksi ns. algebrallista sulkeumaa K. Tämä on eräs algebrallisesti suljettu kunta, joka sisältää K:n alikuntanaan. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. Jatkossa K on kiinnitetty kunta. Kunnille R ja C käytämme yhteistä merkintää K. 1.2 Polynomien suurin yhteinen tekijä Oletamme tunnetuiksi jotkin polynomien jaollisuutta ja suurinta yhteistä tekijää (syt koskevat asiat, jotka esitellään tässä lyhyesti. Ne ovat täysin analogisia kokonaislukuja koskevien vastaavien seikkojen kanssa. Kun a(x, b(x K[x], niin b(x jakaa a(x:n (K[x]:ssä, merkitään b(x a(x, jos on sellainen c(x K[x], että a(x = c(xb(x. Polynomeilla on voimassa ns. jakoalgoritmi: jos b(x 0, on yksikäsitteiset sellaiset q(x, r(x K[x], että a(x = q(xb(x + r(x, deg r(x < deg b(x; (1.1 tässä deg tarkoittaa polynomin astetta (degree (nollapolynomin asteeksi sovitaan. Siis b(x a(x jos ja vain jos jakojäännös r(x = 0 (nollapolynomi. Polynomi on pääpolynomi, jos korkeimman asteen termin kerroin (johtava kerroin on 1. Polynomien f 1 (x,..., f k (x K[x], joista ainakin yksi f i (x 0, suurin yhteinen tekijä syt(f 1 (x,..., f k (x on yksikäsitteinen sellainen pääpolynomi g(x, että se jakaa jokaisen f i (x:n ja että jokainen h(x, joka jakaa jokaisen f i (x:n, jakaa myös g(x:n. Ekvivalentisti, g(x on se yksikäsitteinen alimmanasteinen pääpolynomi, joka voidaan esittää muodossa g(x = k p i (xf i (x, (p i (x K[x] i. (1.2 i=1

LUKU 1. PERUSASIOITA 3 (Vielä ekvivalentisti: g(x on se yksikäsitteinen pääpolynomi, joka yksinään generoi renkaassa K[x] saman ihanteen kuin f 1 (x,..., f k (x yhdessä. Renkaan ihanne määritellään Algebran peruskurssissa II, emmekä me tule sitä tarvitsemaan. Polynomien syt voidaan laskea ns. Eukleideen algoritmilla, mutta meillä riittää seuraava keino: Kirjoitetaan f i (x:t jaottomien tekijöiden tuloiksi (jaottomat tekijät ovat aina 1. astetta jos K on algebrallisesti suljettu ja luetaan syt näistä hajotelmista (aivan kuten kokonaislukujen syt voidaan lukea alkutekijähajotelmista. Esimerkki 1.2.1 syt((x 1 2 (x 2, (x 1(x 3, (x 1 3 = x 1, syt(x 1, 0, 1 = 1, syt((x 1 2, x 2 = 1. Viimeksi mainitun nojalla 1 pitäisi voida lausua muodossa 1 = p(x(x 1 2 + q(x(x 2, ja todellakin: 1 = 1 (x 1 2 + ( x (x 2. Entä miten x 1 voidaan lausua muodossa (1.2 polynomien (x 1 2 (x 2, (x 1(x 3 ja (x 1 3 = x 1 avulla? 1.3 Vektoriavaruus Tyypillinen esimerkki vektoriavaruudesta on varustettuna laskutoimituksilla R n = {x = (x 1,..., x n x j R j} (n 1, x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n, ax = (ax 1,..., ax n, missä x = (x 1,..., x n ja y = (y 1,..., y n R n ja a R. Tarkemmin sanottuna R n on eräs reaalinen vektoriavaruus eli vektoriavaruus yli skalaarikunnan R. Käsittelemme jatkossa vektoreita aina pystyvektoreina, ellei toisin sanota. Niinpä R n :n alkioina ovat vektorit x 1 x = (x 1,..., x n T =., x n missä ( T tarkoittaa transponointia. Korvattaessa R C:llä saadaan kompleksinen vektoriavaruus C n, joka siis on vektoriavaruus yli kunnan C. Vektoriavaruus yli kunnan K on (V, +,, missä K on skalaarikunta, V on joukko, + on binäärioperaatio V V V (V :n alkioiden yhteenlasku ja on binäärioperaatio K V V (skalaarilla kertominen; merkitään a x = ax, ja missä on voimassa seuraavat ehdot: (V, + on Abelin ryhmä, a(x + y = ax + ay a K, x, y V, (a + bx = ax + bx a, b K, x V, (abx = a(bx a, b K, x V, 1x = x x V.

LUKU 1. PERUSASIOITA 4 Eräs vektoriavaruus yli kunnan K on K n : sen muodostavat vektorit x = (x 1,..., x n T, missä x 1,..., x n K, ja operaatiot määritellään vastaavasti kuin R n :ssä. Esimerkki 1.3.1 Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukko K[x] = { p(x = a 0 + a 1 x + + a r x r r 0, a i K i } on vektoriavaruus yli K:n (tavalliset laskutoimitukset. Jatkossa vektoriavaruudet ovat yli kiinnitetyn kunnan K, ellei toisin sanota. Vektoriavaruuden V aliavaruus U on osajoukko, joka itsekin on vektoriavaruus V :n operaatioiden ja saman skalaarikunnan K suhteen. Tätä koskee aliavaruuskriteeri: Kun U V, niin U on aliavaruus jos ja vain jos U ja ax + by U a, b K, x, y U. Jokainen V :n osajoukko S virittää (tai generoi aliavaruuden L(S = { a 1 x 1 + + a k x k k 0, a j K, x j S j }. Siis L(S on kaikkien S:n alkioista muodostettujen lineaarikombinaatioiden joukko. Esimerkki 1.3.2 Avaruudella K 3 on esimerkiksi aliavaruudet {(x, y, 0 T x, y K} ja {(x, y, z T K 3 x + y + z = 0}. Esimerkki 1.3.3 Avaruudella K[x] on mm. aliavaruudet P n = { p(x K[x] deg p(x n 1 } = { a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 a i K i }. Esimerkki 1.3.4 Matriisit ( a b c d (a, b, c, d C muodostavat kompleksisen vektoriavaruuden M 2 (C tavallisten operaatioiden suhteen. Sillä on aliavaruutena esimerkiksi kaikkien yläkolmiomatriisien ( ( a b 0 d joukko (a, b, d C. Tämän virittävät vaikkapa matriisit 1 0 0 0, ( ( 0 1 0 0, 0 0 0 1. 1.4 Kanta ja dimensio. Suora summa Vektoriavaruuden V äärellinen osajoukko S = {x 1,..., x k } on lineaarisesti riippuva, jos on sellaiset a 1,..., a k K, että jokin a j 0 ja a 1 x 1 + + a k x k = 0. Ekvivalentti ehto, kun k 2, on että jokin vektoreista x j voidaan esittää muiden x i :den lineaarikombinaationa. Jos S ei ole lineaarisesti riippuva, se on lineaarisesti riippumaton. Joukko S = {x 1,..., x k } on V :n kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää V :n (ts. V = L(S. Jos V :llä on tällainen kanta, sanotaan, että V on äärellisulotteinen ja että sen dimensio on dim V = dim K V = #S = k. Dimensio ei riipu kannan valinnasta. Kanta ei ole yksikäsitteinen. Kannan {x 1,..., x k } avulla jokainen vektori x V voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa x = c 1 x 1 + + c k x k, c j K. Tämä on x:n kantaesitys. Sen kertoimista muodostuvaa vektoria (c 1,..., c k T K n sanotaan vektorin x koordinaattivektoriksi. Näiden avulla avaruutta V voidaan käsitellä kuin se olisi K n. (Kanta määritellään kyllä ääretönulotteisessakin tapauksessa.

LUKU 1. PERUSASIOITA 5 Esimerkki 1.4.1 Avaruuden K n luonnollinen kanta on {e 1,..., e n }, missä vektorit e j = (0,..., 1,..., 0 T (j:s koordinaatti = 1, muut = 0 ovat luonnolliset kantavektorit. Siis dim K n = n. Vektorin a = (a 1,..., a n T kantaesitys tässä kannassa on a = a 1 e 1 + +a n e n. Esimerkki 1.4.2 Polynomiavaruudella P n on kanta {1, x,..., x n 1 }, joten dim P n = n (esimerkki 1.3.3. Esimerkki 1.4.3 Joukko R n on C n :n osajoukko muttei C-aliavaruus. Huomaa kuitenkin, että C n on vektoriavaruus myös yli R:n, ja R n on tämän aliavaruus. Kun C n :ää katsotaan vektoriavaruutena yli C:n, sen dimensio on n, merkitään dim C (C n = n, mutta vektoriavaruutena yli R:n sen dimensio onkin 2n, merkitään dim R (C n = 2n. Esimerkki 1.4.4 Olkoon M m n (K m n-matriisien joukko yli K:n; siis sen alkioina ovat a 11... a 1n (a ij m n =............ a m1... a mn (a ij K. Tavallisten matriisioperaatioiden suhteen (yhteenlasku, skalaarilla kertominen M m n (K on vektoriavaruus yli K:n. Nollavektorina toimii nollamatriisi O = (0 m n. Tällä avaruudella on luonnollinen kanta {E rs r = 1,..., m, s = 1,..., n}, missä E rs on matriisi, jonka kohdassa (r, s on 1 ja muut alkiot ovat nollia. Nimittäin matriisilla A = (a ij on yksikäsitteinen esitys niiden lineaarikombinaationa: A = m n r=1 s=1 a rse rs. Siis dim M m n (K = mn. Voidaan kirjoittaa E rs = (δ ir δ js m n, missä δ ij on Kroneckerin symboli, joka määritellään: δ ij = 1, kun i = j, ja δ ij = 0, kun i j. Vektoriavaruus V on aliavaruuksiensa U ja W summa, merkitään V = U +W, jos jokainen v V voidaan esittää muodossa v = u + w, missä u U ja w W. Jos jokaisen v:n esitys tässä muodossa on yksikäsitteinen, summa on suora ja merkitään V = U W. Kun V on äärellisulotteinen ja U ja W ovat sen aliavaruuksia, niin V = U W tarkalleen silloin kun seuraavista kolmesta ehdosta kaksi on voimassa (jolloin kolmaskin on: V = U + W, U W = {0}, dim V = dim U + dim W. Kun nämä ovat voimassa, V :lle saadaan kanta yhdistämällä U:n ja W :n kannat. 1.5 Matriisialgebraa Matriisien A = (a ij M m n (K ja B = (b ij M n r (K tulo määritellään: AB = (c ij M m r (K, missä c ij = n k=1 a ikb kj. Tapauksessa m = n merkitään myös M m n (K = M n (K. Em. yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen M n (K on rengas, jonka ykkösalkiona on identiteettimatriisi I = I n = (δ ij n n. Nyt M n (K:llä on sekä vektoriavaruus- että rengasrakenne, ja kun ne otetaan samanaikaisesti huomioon, siitä saadaan esimerkki ns. K-algebrasta:

LUKU 1. PERUSASIOITA 6 Määritelmä 1.5.1 (Assosiatiivinen K-algebra on nelikkö (R, +,,, missä (R, +, on rengas, (R, +, on vektoriavaruus yli K:n ja on voimassa α (x y = (α x y = x (α y kaikilla alkioilla α K, x, y R. Osajoukko S R on alialgebra jos se on sekä aliavaruus että alirengas. Tulo- ja skalaarillakertomisperaatiot ja merkitään tavallisesti ilman pistettä. Toinen tuttu K-algebra on polynomialgebra K[x]. Se on kommutatiivinen, kun taas M n (K on epäkommutatiivinen kun n > 1. Kunta K itse on K-algebra, siis R on R-algebra ja C on C-algebra; lisäksi C on R-algebra. Esimerkki 1.5.2 Algebralla M n (K on alialgebra, jonka muodostavat yläkolmiomatriisit, siis matriisit, joiden päälävistäjän alapuoleiset alkiot ovat nollia. Sen osoittamiseksi, että kyseessä on alialgebra, on todettava, että identiteettimatriisi on yläkolmiomatriisi, kahden yläkolmiomatriisin summa ja tulo ovat yläkolmiomatriiseja ja että yläkolmiomatriisin skalaarimonikerta on yläkolmiomatriisi. (Se, että nämä ovat juuri tarvittavat ehdot, tulee aliavaruusja alirengaskriteereistä. Muistetaan, että jos p(x = c 0 x k + c 1 x k 1 + + c k 1 x + c k K[x] ja A M n (K, niin matriisipolynomi p(a tarkoittaa matriisia p(a = c 0 A k + c 1 A k 1 + + c k 1 A + c k I M n (K. Kun A M n (K on kiinnitetty, merkitään A alialg = A = { p(a p(x K[x] }, (1.3 ja sanotaan, että tämä on A:n generoima alialgebra. On helppo osoittaa, että se on yksikäsitteinen suppein M n (K:n alialgebra, johon A kuuluu. Esimerkki 1.5.3 Osoitetaan, että jokainen A M n (K toteuttaa jonkin polynomiyhtälön p(a = O, missä p(x K[x], p(x 0. Tarkastellaan esimerkkinä matriisia A = ( 1 1 0 1. Neliömatriisi A M n (K on säännöllinen, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi A 1, että AA 1 = A 1 A = I. Jos B M n (K toteuttaa toisen ehdoista AB = I ja BA = I, niin toinenkin on voimassa ja B = A 1. Esimerkki 1.5.4 Osoitetaan, että jos A M n (K on säännöllinen, niin A 1 A. Esimerkki 1.5.5 Olkoon A idempotentti neliömatriisi, toisin sanoen A 2 = A. Silloin A = {c 0 I + c 1 A c 0, c 1 K}. Jos A O, I, niin {I, A} on alialgebran A kanta. Ratkaistaan tällöin B 1, kun B = ci + A, missä c 0, 1 on kiinnitetty. Matriisit A, B M n (K ovat similaariset, jos A = P 1 BP jollain säännöllisellä matriisilla P; matriisia P sanotaan similaarisuuden välittäväksi muunnosmatriisiksi. Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio. Lisäksi on voimassa: P 1 (A 1 + A 2 P = P 1 A 1 P + P 1 A 2 P, P 1 (A 1 A 2 P = (P 1 A 1 P (P 1 A 2 P, P 1 (ca 1 P = cp 1 A 1 P,

LUKU 1. PERUSASIOITA 7 kun A i M n (K ja c K. Nämä ehdot merkitsevät, että kuvaus A P 1 AP on K- algebrahomomorsmi M n (K M n (K (kun P on kiinnitetty. Erityisesti seuraa, että P 1 p(ap = p(p 1 AP (p(x K[x]. (1.4 Matriisin A transponoitu matriisi A T saadaan vaihtamalla pystyrivit vaakariveiksi järjestys säilyttäen; siis jos A = (a ij m n, niin A T = (a ji n m. Kun matriisitulo AB on määritelty, niin (AB T = B T A T. Matriiseja voidaan kertoa lohkomuodossa, esimerkiksi ( ( ( A B A B AA + BC AB + BD C D C D = CA + DC CB + DD, edellyttäen että lohkojen riviluvut sopivat kertolaskun puolesta yhteen. Olkoon esimerkiksi A M m n (K ja B M n k (K, ja merkitään A:n vaakarivejä a 1,..., a m ja B:n pystyrivejä b 1,..., b n. Silloin AB = A ( b 1 b 2... b n = ( Ab1 Ab 2... Ab n ja AB = a 1 a 2. a n B = a 1 B a 2 B.. a n B Esimerkki 1.5.6 Olkoon A M n (K, B M n m (K, C M m n (K ja D M m (K. Oletetaan, että A on säännöllinen. Silloin ( A B = C D ( ( ( I O A O I A 1 B CA 1 I O D CA 1 B O I, (1.5 mikä nähdään kertomalla oikea puoli lohkomuodossa. (On tietenkin tarkistettava myös, että esiintyvät matriisitulot ovat määriteltyjä. ( Matriisia D CA 1 B sanotaan joskus A:n A B Schurin komplementiksi matriisissa. Kaavan voi ymmärtää vaikka niin, että matriisi C D muunnetaan tietyllä muunnoksella kvasidiagonaaliseksi (määritellään myöhemmin. Tapaus n = m = 1 antaa ( ( ( ( a b 1 0 a 0 1 b = c c d a 1 0 d bc a a 0 1 (a, b, c, d K, a 0. (1.6 ( ( ( Esimerkki 1.5.7 I A A O O AB =. O I I B I B Esimerkki 1.5.8 ( A O = B C ( A O O I ( I O B I ( I O. O C

LUKU 1. PERUSASIOITA 8 1.6 Kannanvaihdot ja lineaarikuvaukset Olkoot B = {b 1,..., b m } ja B = {b 1,..., b m} kaksi V :n kantaa. Kannanvaihdon B B matriisi P = P B B saadaan lausumalla kantavektorit b i kannassa B ja kirjoittamalla näin saadut koordinaattivektorit P :n pystyriveiksi. Toisin sanoen P = (p ij m m, missä p ij :t määräytyvät yhtälöistä b j = m i=1 p ijb i (j = 1,..., m. Vektorin x V koordinaattivektoreilla X B = (x 1,..., x n T ja X B = (x 1,..., x n T ko. kantojen suhteen on yhteys X B = P X B. Kuvaus τ : V W kahden vektoriavaruuden välillä on lineaarikuvaus, jos τ(ax + by = aτ(x + bτ(y a, b K, x, y V. Lineaarikuvaus τ : V W voidaan esittää matriisilla kiinnittämällä V :lle ja W :lle kannat: Kun V :lle valitaan kanta B = {b 1,..., b n } ja W :lle kanta C = {c 1,..., c m }, niin τ:ta esittävä matriisi M(τ = M B,C (τ muodostetaan lausumalla kantavektoreiden b j kuvat τ(b j kannassa C, siis τ(b j = m i=1 a ijc i (j = 1,..., n, ja asettamalla M(τ = (a ij ; saadut koordinaattivektorit laitetaan siis taaskin pystyriveiksi. Jos nyt x V ja y W ovat mielivaltaisia, niin τ(x = y M(τX B = Y C, missä X B = (x 1,..., x n T ja Y C = (y 1,..., y m T ovat x:n ja y:n koordinaattivektorit ko. kantojen suhteen. Jos tässä tilanteessa V :ssä suoritetaan kannanvaihto B B ja W :ssä kannanvaihto C C, ja jos kannanvaihtojen matriisit ovat P = P B B ja Q = P C C, niin τ:ta esittävä matriisi muuntuu seuraavalla säännöllä: M B,C (τ = Q 1 M B,C (τp. (1.7 Tarkastellaan erityisesti lineaarikuvausta µ : V V. Sen matriisiksi kannan B suhteen sanotaan matriisia M B (µ = M B,B (µ; huomaa, että nyt sekä määrittely- että maalipuolella käytetään samaa kantaa. Nähdään, että tämä matriisi muuntuu kannanvaihdossa säännöllä M B (τ = P 1 M B (τp, (1.8 missä P = P B B. Näin ollen kyseessä on similaarimuunnos. Jokainen matriisi A = (a ij M m n (K määrää lineaarikuvauksen τ A : K n K m, ( x1. x n A ( x1. x n (x i K. Koska τ A (x = Ax x K n, niin A on itse tämän lineaarikuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen. Olkoon A M m n (K matriisi ja olkoon τ : K n K m sitä vastaava lineaarikuvaus, siis τ(x = Ax (x K n. Sen ydin on Ker(τ = {x K n τ(x = 0} ja kuva-avaruus Im(τ = {τ(x x K n }. Niitä sanotaan myös matriisin A ytimeksi ja kuva-avaruudeksi ja merkitään Ker(A ja Im(A; siis Ker(A = {x K n Ax = 0} K n, Im(A = {Ax x K n } K m.

LUKU 1. PERUSASIOITA 9 Ne ovat ko. avaruuksien aliavaruuksia. Lineaarikuvauksen dimensioyhtälön mukaan n = dim Ker(τ + dim Im(τ. Siitä saadaan nyt n = dim Ker(A + dim Im(A. Todistamme ensimmäisen matriiseja koskevan rakennetuloksemme. Neliömatriisi A on nilpotentti, jos A i = O jollain i:llä. Sovitaan, että A 0 = I, kun A O. ( Lause 1.6.1 Jokainen matriisi A M n (K on similaarinen muotoa R O O N olevan matriisin kanssa, missä R M p (K on säännöllinen ja N M n p (K on nilpotentti (0 p n. Lisäksi p = dim Im(A k, missä k 0 on pienin sellainen luku, että Im(A k = Im(A k+1. Todistus. Koska Im(A i+1 Im(A i (nimittäin A i+1 x = A i (Ax x, niin Im(A i :t muodostavat laskevan ketjun K n :n aliavaruuksia: K n = Im(A 0 Im(A Im(A 2 Im(A i Im(A i+1. Dimensio dim(k n = n on äärellinen, joten Im(A i = Im(A i+1 jollain i:llä, i n. Silloin lisäksi Im(A i = Im(A i+2. Nimittäin ensinnäkin Im(A i Im(A i+2. Jos kääntäen x Im(A i niin x = A i+1 y = A(A i y = A(A i+1 z = A i+2 z joillain vektoreilla y ja z; siis x Im(A i+2. Tästä seuraa induktiolla, että Im(A i+j = Im(A i kun j 0. Näin ollen K n Im(A Im(A 2 Im(A k = Im(A k+1 = Im(A k+2 =, (1.9 kun k on kuten lauseessa. Osoitetaan seuraavaksi, että K n = Im(A k Ker(A k. Koska dimensioyhtälön nojalla n = dim Im(A k + dim Ker(A k, niin riittää osoittaa, että K n = Im(A k + Ker(A k. Olkoon sitä varten x K n mielivaltainen. Silloin A k x Im(A k = Im(A 2k, joten A k x = A 2k y jollain vektorilla y. Siis A k (x A k y = 0, toisin sanoen x A k y Ker(A k. Nyt x = A k y + (x A k y, missä A k y Im(A k ja x A k y Ker(A k. Siis x Im(A k + Ker(A k. Suoralla summalla K n = Im(A k Ker(A k on kanta B = {x 1,..., x n }, missä {x 1,..., x p } on Im(A k :n ja {x p+1,..., x n } on Ker(A k :n kanta. Kun x Im(A k, niin Ax Im(A k, ja kun x Ker(A k, niin Ax Ker(A k. Käyttämällä tätä kantavektoreihin x i nähdään, että kun i p niin Ax i on vektoreiden x 1,..., x p lineaarikombinaatio, ja kun i p + 1 niin Ax i on vektoreiden x p+1,..., x n lineaarikombinaatio. Siis lineaarikuvauksen K n K n, x Ax, matriisi kannan B suhteen on muotoa ( R O O N, missä R ja N ovat p p- ja (n p (n p- matriisit. Nyt R on kuvauksen x Ax restriktion Im(A k Im(A k matriisi kannan {x 1,..., x p } suhteen. Tämä kuvaus on surjektio, sillä Im(A k = Im(A k+1 ; siis se on bijektio, joten R on säännöllinen. Matriisi N on kuvauksen x Ax restriktion Ker(A k Ker(A k matriisi kannan {x p+1,..., x n } suhteen. Koska A k vie Ker(A k :n nollaksi, niin N k = O. ( Lopuksi A on kuvauksen K n K n, x Ax, matriisi luonnollisen kannan suhteen, ja R O O N on saman kuvauksen matriisi kannan B suhteen. Siis matriisit ovat similaariset.

LUKU 1. PERUSASIOITA 10 ( ( ( 1 0 0 x x Esimerkki 1.6.2 Kun A = 1 1 1 M 3 (R, niin A y = x + y + z. Seuraa, että 1 1 1 z x + y + z Im(A = {(a, b, b T a, b R} = Im(A 2, joten lauseen k = 1. Lisäksi Ker(A = {(0, b, b T b R}. Valitaan Im(A:lle kanta {x 1, x 2 } ja Ker(A:lle kanta {x 3 }, missä x 1 = (1, 0, 0 T, x 2 = (0, 1, 1 T ja x 3 = (0, 1, 1 T. Silloin Ax 1 = (1, 1, 1 T = x 1 + x 2, Ax 2 = (0, 2, 2 T = 2x 2, Ax 3 = 0, ( 1 0 0 joten kuvauksen x Ax matriisi kannan B = {x 1, x 2, x 3 } suhteen on B = 1 2 0. Siis A ( 0 0 0 1 0 ( on similaarinen B:n kanssa, ja saadaan R = 1 2 ja N = 0. Similaarisuuden ( 1 välittävä 0 0 matriisi löydetään esimerkiksi käyttämällä kannanvaihtomatrisia P = P E B = 0 1 1 0 1 1. Kun τ on kuvaus x Ax, niin A = M E (τ ja B = M B (τ, ja säännöstä (1.7 saadaan B = M B,B (τ = P B E M E,E (τp E B = P 1 AP. 1.7 Determinantti ja jälki Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti on a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n det(a = = sign(j............... 1, j 2,..., j n a 1j1 a 2j2 a njn. (1.10 α a n1 a n2... a nn Summassa käydään kaikki joukon {1, 2,..., n} permutaatiot α = (j 1, j 2,..., j n ja kerroin sign(j 1, j 2,..., j n = ±1 on permutaation merkki. Determinantin perusominaisuuksia: 1 det(a T = det(a. 2 det(a vaihtaa vain merkkinsä, jos A:n kaksi vaakariviä vaihdetaan tai kaksi pystyriviä vaihdetaan. 3 det(a = 0, jos A:ssa on kaksi samaa vaakariviä tai kaksi samaa pystyriviä. 4 jonkin vaaka- tai pystyrivin yhteinen tekijä voidaan siirtää det(a:n tekijäksi; erityisesti siis det(ca = c n det(a (c K. 5 Kun 1 k n, niin a 11... a 1n...................... a k1 + b k1... a kn + b kn...................... a n1... a nn a 11... a 1n a 11... a 1n...................... = a k1... a kn + b k1... b kn....................... a n1... a nn a n1... a nn

LUKU 1. PERUSASIOITA 11 Huomaa, että ominaisuuksien 4 ja 5 nojalla determinantti on lineaarikuvaus kunkin vaakarivinsä funktiona (tai yhtä hyvin kunkin pystyrivin. Lineaarialgebran kurssissa todistettiin det(ab = det(a det(b. (1.11 Alkion a ij alimatriisiksi A ij sanotaan (n 1 (n 1-matriisia, joka saadaan pyyhkimällä A:sta pois i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Alkion a ij alideterminantti on det(a ij ja komplementti C ij = ( 1 i+j det(a ij. Muistetaan seuraavat kaavat, jotka sisältävät determinantin vaaka- ja pystyrivikehitelmät: n a ij C kj = j=1 { det(a, jos i = k, 0, jos i k; n a ij C ik = i=1 { det(a, jos j = k, 0, jos j k. Esimerkki 1.7.1 Suoraan determinantin määritelmästä on helppo todistaa det ( A O C D = det(a det(d, det ( A B O D (1.12 = det(a det(d, (1.13 kun A ja D ovat neliömatriiseja. Nämä voidaan perustella toisinkin: ensimmäinen seuraa helposti esimerkin 1.5.8 hajotelmasta, kun kaava (1.11 ja determinantin rivikehitelmät oletetaan tunnetuiksi; vastaavasti saadaan toinen. Esimerkki 1.7.2 Kääntäen, kaavalle (1.11 saataisiin uusi todistus esimerkin 1.5.7 hajotelmasta seuraavasti: 1 Todistetaan kaavat (1.13 suoraan determinantin määritelmästä. 2 Todistetaan, ettei matriisin kertominen muotoa ( I A olevalla matriisilla muuta determinantin arvoa ja että det em. ominaisuuksista. ( O C I B O I = det(c; kumpikin tulee helposti determinantin Matriisin A M n (K liittomatriisi (adjugate on adj(a = (C ij T, missä C ij :t ovat A:n alkioiden komplementit. Yhtälöt (1.12 merkitsevät, että Nähdään myös, että A adj(a = adj(a A = det(a I. (1.14 A on säännöllinen jos ja vain jos det(a 0, ja tällöin A 1 = det(a 1 adj(a. (1.15 Esimerkki 1.7.3 Olkoon c 1,..., c n K. Lasketaan Vandermonden determinantti 1 c 1 c 2 1 c n 1 1 1 c 2 c 2 2 c n 1 2...................... 1 c n c 2 n c n 1 n = i c j. (1.16 i>j(c Esimerkki 1.7.4 Olkoon A, B, C, D M n (K, missä A on säännöllinen. Tarkastellaan esimerkin 1.5.6 yhtälöä (1.5. Oikealla puolella on ensimmäisenä alakolmiomatriisi, jonka päälävistäjällä on vain ykkösiä, joten sen determinantti on 1. Samoin kolmannen matriisin determinantti on 1. Esimerkkien 1.7.2 ja 1.7.1 nojalla det ( A B C D ( A O = det O D CA 1 = det(a det(d CA 1 B. B

LUKU 1. PERUSASIOITA 12 Koska A ja D CA 1 B ovat neliömatriiseja, saadaan Schurin kaava ( A B det = det(a(d CA 1 B = det((d CA 1 BA. C D Tapauksissa AC = CA tai AB = BA seuraa ( { A B det(ad CB jos AC = CA, det = C D det(da CB jos AB = BA. (1.17 Tämä tuli johdettua oletuksella, että A on säännöllinen, mutta lopputuloksessahan A 1 ei enää esiinny. Myöhemmin näemme, miten tulos laajennetaan singulaarisillekin matriiseille A. Determinantin lisäksi toinen tärkeä neliömatriisiin A = (a ij n n liittyvä suure on sen jälki tr(a (trace, joka määritellään: tr(a = a 11 + + a nn. (1.18 Suoraan laskemalla todetaan, että tr(ab = tr(ba, kun A ja B ovat samaa kokoa olevia neliömatriiseja, ja että tästä seuraa, että similaareilla matriiseilla on sama jälki. Huomautus 1.7.5 Determinanttia koskevat asiat johdettiin lineaarialgebran kurssissa kunnalle K = R, mutta samat todistukset käyvät yleisestikin. Tulokset ovat voimassa jopa, kun K:n tilalla on mielivaltainen kommutatiivinen rengas R! Kuitenkin toteamuksessa (1.15 ehdon det(a 0 tilalle on otettava ehto, että alkiolla det(a R on käänteisalkio renkaassa R, ja A 1 :n lausekkeeseen tulee ko. käänteisalkio. Tulemme tarvitsemaan tätä laajennusta, erityisesti yhtälöä (1.14, tapauksessa R = K[x]. 1.8 Matriisin aste Merkitään matriisin A M m n (K pystyrivejä a 1,..., a n ja vaakarivejä a 1,..., a m. Huomaa, että a j K m ja a i K n, missä ajattelemme nyt K n :n alkioita vaakavektoreina. Matriisin pystyriviavaruus on L(a 1,..., a n K m ja vaakariviavaruus on L(a 1,..., a m K n. Nämä ovat dimensioiltaan yhtä suuret (todistus kuten lineaarialgebran kurssissa; määritellään, että tämä yhteinen dimensio on A:n aste r(a. Siitä, että Ae j = a j, seuraa, että Im(A = L(a 1,..., a n. Siis Lemma 1.8.1 Jos A M m n (K ja B M n k (K, niin r(a = dim Im(A. (1.19 r(ab min(r(a, r(b. Jos C 1 M n (K on säännöllinen, niin r(ac 1 = r(a. Jos C 2 M m (K on säännöllinen, niin r(c 2 A = r(a.

LUKU 1. PERUSASIOITA 13 Todistus. Kun x K n, niin (ABx = A(Bx, joten Im(AB Im(A (aliavaruus. Seuraa dim(ab dim(a, eli r(ab r(a. Koska matriisin aste ei muutu transponoinnissa, niin r(ab = r((ab T = r(b T A T r(b T = r(b. Kun C 1 on kuten lauseessa, saadaan r(a = r(ac 1 C1 1 r(ac 1 r(a, joten r(ac 1 = r(a. Samoin todistetaan viimeinen väite. Lause 1.8.2 Olkoon A M m n (K ja r(a = r. On sellaiset matriisit B M m r (K ja C M r n (K, että A = BC ja r(b = r(c = r. Todistus. Merkitään A:n pystyrivejä a 1,..., a n K m ; siis a j = (a 1j,..., a nj T kun A = (a ij. Valitaan A:n pystyriviavaruudelle kanta b 1,..., b r. On sellaiset kertoimet c ij että r a j = c kj b k k=1 (j = 1,..., n, toisin sanoen, jos merkitään b k = (b 1k,..., b mk T, niin a ij = r c kj b ik = k=1 r b ik c kj k=1 (i = 1,..., m, j = 1,..., n. Siis A = BC, missä B = (b ij m r ja C = (c ij r n. Koska B:ssä on r pystyriviä ja C:ssä r vaakariviä, r(b r ja r(c r. Jos jompikumpi epäyhtälö olisi aito, lemmasta seuraisi r(a < r. Näin ollen r(b = r(c = r. Esimerkki 1.8.3 Kun A M n (K, niin r(a = 1 jos vain jos A = xy T, missä x, y K n, x, y 0. Mitkä ovat Im(A ja Ker(A? Lauseen todistus antaa menetelmän hajotelman A = BC löytämiseksi. Tarvitsemme sitä myöhemmin MoorenPenrosen yleistetyn käänteismatriisin yhteydessä. Lauseelle 1.8.2 saataisiin helposti toinen todistus seuraavasta lauseesta, joka on mukana mielenkiinnon vuoksi mutta jota emme tule tarvitsemaan. Lause 1.8.4 Olkoon A M m n (K ja r(a = r. Silloin A = P GQ, missä P M m (K ja Q M n (K ovat säännöllisiä ja G = (g ij m n, missä g 11 = = g rr = 1 ja muut g ij :t ovat nollia. Todistus. Olkoon τ : K n K m A:n määräämä kuvaus, τ(x = Ax. Riittää löytää sellaiset K n :n kanta {x 1,..., x n } ja K m :n kanta {y 1,..., y m }, että τ(x 1 = y 1,..., τ(x r = y r ja τ(x r+1 = = τ(x r+1 = 0. Nimittäin silloin τ:n matriisi näiden kantojen suhteen on G, ja väite seuraa, missä P ja Q ovat sopivat kannanvaihtomatriisit. Koska dim Im(τ = r(a = r, niin dim Ker(τ = n r. Valitaan K n :lle kanta {x 1,..., x n }, missä {x r+1,..., x n } on Ker(τ:n kanta. Helposti nähdään, että vektorit y 1 = τ(x 1,..., y r = τ(x r ovat lineaarisesti riippumattomia. Täydennetään niiden joukko K m :n kannaksi.

LUKU 1. PERUSASIOITA 14 1.9 Ominaisarvot ja diagonalisoituvuus Olkoon A M n (K. Sanotaan, että λ K on A:n ominaisarvo ja että x K n on siihen kuuluva ominaisvektori, jos Ax = λx, x 0. (1.20 Ominaisvektori x voi kuulua vain yhteen ominaisarvoon, sillä jos Ax = λ 1 x = λ 2 x, niin (λ 1 λ 2 x = 0, josta λ 1 λ 2 = 0. Skalaari λ on A:n ominaisarvo jos ja vain jos se on A:n karakteristisen yhtälön eli ominaisarvoyhtälön det(a λi = 0 (1.21 juuri. Nimittäin λ on ominaisarvo tarkalleen silloin kun Ker(A λi {0}, mikä on ekvivalentti sen kanssa, että A λi ei ole säännöllinen. Ominaisarvoon λ kuuluva ominaisavaruus on V λ = Ker(A λi, ja se koostuu λ:aan kuuluvista ominaisvektoreista ja vektorista 0. Merkitään A = (a ij. Karakteristisen yhtälön vasen puoli on astetta n oleva λ:n polynomi, ns. A:n karakteristinen polynomi eli ominaisarvopolynomi a 11 λ a 12... a 1n a 21 a 22 λ... a 2n c A (λ = det(a λi =...... (1.22. a n1 a n2... a nn λ Koska deg c A (λ = n, niin c A :lla on korkeintaan n nollakohtaa K:ssa. Jos sillä on tarkalleen n nollakohtaa λ 1,..., λ n K (osa ehkä samoja, se hajoaa täydellisesti yli K:n ja c A (λ = ( 1 n (λ λ 1 (λ λ 2 (λ λ n. (1.23 Jos skalaarikunta K on algebrallisesti suljettu (esimerkiksi jos K = C, niin c A (λ hajoaa aina täydellisesti yli K:n. Siis tällöin A:lla on n ominaisarvoa K; osa niistä voi olla samoja. ( Esimerkki 1.9.1 Tarkastellaan matriisin a b A = b a M 2 (R ominaisarvoja ja karakteristisen polynomin c A (λ hajoamista R:n yli ja C:n yli. Matriisi A on diagonalisoituva (yli K:n, jos se on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (yli K:n, ts. jos on sellainen säännöllinen P M n (K ja sellaiset λ 1,..., λ n K, että λ 1 0 λ 2 P 1 AP = λ3 merk.... = diag(λ 1, λ 2,..., λ n. (1.24 0 λ n Samoin kuin skalaarikunnan R tapauksessa todistetaan, että A on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisvektoreista voidaan valita K n :n kanta. Jos ominaisvektoreista koostuva kanta on olemassa, niin ehdon (1.24 toteuttava matriisi P voidaan muodostaa kirjoittamalla ko. kantavektorit P :n pystyriveiksi. Kääntäen, jos P toteuttaa ehdon (1.24, niin sen pystyrivit ovat eräs A:n ominaisvektoreista koostuva K n :n kanta.

LUKU 1. PERUSASIOITA 15 Jos A on diagonalisoituva, yhtälön (1.24 λ i :t ovat A:n ominaisarvot. Tämä voidaan nähdä seuraavasti: Jos A ja B ovat similaariset matriisit, A = Q 1 BQ, niin niillä on sama ominaisarvopolynomi, sillä c A (λ = det(a λi = det(q 1 BQ λi = det(q 1 det(b λi det(q = det(b λi = c B (λ. Siis, jos P 1 AP = D = diag(λ 1,..., λ n, niin c A (λ = c D (λ = det(diag(λ 1 λ,..., λ n λ = (λ 1 λ (λ n λ. Esimerkki 1.9.2 Onko esimerkin 1.9.1 A diagonalisoituva M 2 (R:ssä? Entä M 2 (C:ssä? Esimerkki 1.9.3 Tarkastellaan R 2 :n kiertoa origon ( ympäri vastapäivään kulman θ verran. cos θ sin θ Tämä on lineaarikuvaus, jonka matriisi on A =. Matriisi on samaa muotoa sin θ cos θ kuin esimerkeissä 1.9.1 ja 1.9.2, ja sieltä saadaan, ettei A:lla ole reaalisia ominaisarvoja eikä siis ominaisvektoreita R 2 :ssa, paitsi jos sin θ = 0 eli θ = n180. Juuri näinhän pitää geometrisen havainnon mukaan ollakin. Mutta sama matriisi antaa myös kuvauksen C 2 C 2, ja C 2 :ssa sillä on ominaisvektoreita! Esimerkki 1.9.4 Tarkastellaan origon kautta kulkevaa R 3 :n tasoa T. Olkoon τ : R 3 R 3 kohtisuora peilaus T :n suhteen ja olkoon A sen matriisi luonnollisen kannan suhteen. Mitä A:sta osataan tällä perusteella sanoa? Ajatellaan T :lle valituksi kanta {x 1, x 2 } ja täydennetään se R 3 :n kannaksi {x 1, x 2, x 3 } valitsemalla x 3 T. Silloin Ax 1 = x 1, Ax 2 = x 2 ja Ax 3 = x 3, joten x i :t ovat A:n ominaisvektoreita ja kuuluvat ominaisarvoihin 1, 1, 1. Siis τ:n matriisi tämän kannan suhteen on D = diag(1, 1, 1, ja D = P 1 AP, missä P :n pystyrivit ovat x 1, x 2, x 3. Nähdään, että A on diagonalisoituva ja c A (λ = (λ 1 2 (λ + 1. Kanta {x 1, x 2, x 3 } voidaan valita ortonormaaliksi. Silloin P on ortogonaalimatriisi, eli P T P = I. Saamme tuloksena, että origon kautta kulkevan tason suhteen otetun kohtisuoran peilauksen matriisi on aina muotoa P 1 diag(1, 1, 1P, missä P on ortogonaalimatriisi. Jos τ onkin vino peilaus T :n suhteen, diagonalisoivasta matriisista P ei saada ortogonaalista; ominaisarvot ovat silti nytkin 1, 1, 1. Esimerkki 1.9.5 Tarkastellaan matriisia c 1 0 c 1...... J = c 1 0 c n n. (1.25 (Tällaiset ns. Jordanin lohkot tulevat käyttöön myöhemmin. Matriisin J ainoa ominaisarvo on c, ja siihen kuuluvat ominaisvektorit ovat (1, 0,..., 0 T = e 1 ja tämän skalaarimonikerrat 0. Matriisin J T ainoa ominaisarvo on c, ja siihen kuuluvat ominaisvektorit ovat (0,..., 0, 1 T = e n ja tämän skalaarimonikerrat 0. Seikat Je 1 = ce 1 ja e T n J = ce T n ilmaistaan toisinaan sanomalla, että e 1 on J:n oikea ominaisvektori ja e n on J:n vasen ominaisvektori; kumpikin kuuluu ominaisarvoon c. Esimerkki 1.9.6 Osoitetaan, että jos A ja B voidaan diagonalisoida samalla similaarimuunnoksella, niin ne kommutoivat.

LUKU 1. PERUSASIOITA 16 1.10 Similaarisuus kolmiomatriisin kanssa Kaikki matriisit eivät ole diagonalisoituvia, eivät edes algebrallisesti suljetun skalaarikunnan tapauksessa. Sen sijaan, kuten kohta todistamme, jokainen matriisi on similaarinen kolmiomatriisin kanssa, jos skalaarikunta on algebrallisesti suljettu (siis esimerkiksi jos K = C. Matriisi T = (t ij n n on yläkolmiomatriisi jos t ij = 0 kun i > j. Vastaavasti määritellään alakolmiomatriisit. Lause 1.10.1 Olkoon A M n (K. Oletetaan, että c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli. Silloin A on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa, toisin sanoen on sellaiset Q, T M n (K, että Q on säännöllinen ja T on yläkolmiomatriisi ja että A = QT Q 1. Todistus. Käytetään induktiota n:n suhteen. Tapaus n = 1 on triviaali. Olkoon n > 1 ja oletetaan, että väite on tosi (n 1 (n 1-matriiseille. Koska c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli, toisin sanoen c A (λ = ±(λ λ 1 (λ λ n, sillä on nollakohta λ = λ 1 K. Siis A:lla on ominaisarvo λ 1 ja siihen kuuluva ominaisvektori x 1 K n. Täydennetään {x 1 } K n :n kannaksi {x 1, r 2,..., r n }. Olkoon R M n (K matriisi, jonka pystyriveinä ovat x 1, r 2,..., r n. Jos merkitään x 1 = (x 1,..., x n T ja r j = (r 1j,..., r nj T, niin R = ( x 1 r 12... r 1n x 1 r 2... r n =.... x n r n2... r nn Koska R:n pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomia, R on säännöllinen ja sillä on käänteismatriisi R 1. Kertomalla lohkomuodossa saadaan R 1 AR = R 1 A ( x 1 r 2... r n Mutta R 1 R = I, toisin sanoen = R 1( Ax 1 Ar 2... Ar n = R 1( λ 1 x 1 Ar 2... Ar n = ( λ 1 R 1 x 1 R 1 Ar 2... R 1 Ar n. R 1 R = R 1 ( x 1 r 2... r n = ( R 1 x 1 R 1 r 2... R 1 r n = I, jonka ensimmäinen pystyrivi antaa R 1 x 1 = (1, 0,..., 0 T. Siis R 1 AR on muotoa λ 1... R 1 AR = 0. B, 0 missä B M n 1 (K. Todetaan, että myös c B (λ hajoaa täydellisesti K:n yli: λ 1 λ... c A (λ = c R 1 AR(λ = det(r 1 AR λi = 0. B λi 0 = (λ 1 λ det(b λi = (λ 1 λc B (λ.

LUKU 1. PERUSASIOITA 17 Koska c A (λ = ±(λ λ 1 (λ λ n, niin c B (λ = ±(λ λ 2 (λ λ n, λ i K. Induktio-oletuksen nojalla B = V SV 1, missä V, S M n 1 (K, V on säännöllinen ja S yläkolmiomatriisi. Näin ollen R 1 AR = λ 1... 0. V SV 1 0 = 1 0... 0 0. V 0 0 λ 1... 0. S 1 0... 0 0. V 1. Kirjoitetaan tämä yhtälö muodossa R 1 AR = R 1 T R1 1, missä R 1 on oikean puolen ensimmäinen ja T toinen matriisi; kertomalla lohkomuodossa nähdään, että kolmas matriisi todella on R1 1. Lisäksi T on yläkolmiomatriisi. Yhtälöstä seuraa A = RR 1 T R1 1 R 1 = (RR 1 T (RR 1 1. Voidaan valita Q = RR 1. Seuraus 1.10.2 Jos K on algebrallisesti suljettu, jokainen M n (K:n matriisi on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa M n (K:ssa. Transponoinnilla saadaan vastaava tulos, missä T on alakolmiomatriisi. Jos A = QT Q 1, missä T = (t ij on yläkolmiomatriisi, niin päälävistäjäalkiot t 11,..., t nn ovat A:n ominaisarvot. Nimittäin c A (λ = c T (λ = det(t λi = (t 11 λ (t nn λ. Toisaalta similaareilla matriiseilla on sama determinantti ja sama jälki, joten det(a = det(t ja tr(a = tr(t. Yläkolmiomatriisille T = (t ij determinantti ja jälki on helppo laskea: det(t = t 11 t nn ja tr(t = t 11 + + t nn. Saamme siis: Seuraus 1.10.3 Olkoon A M n (K. Oletetaan, että c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli. Olkoot A:n ominaisarvot λ 1,..., λ n. Silloin det(a = λ 1 λ n, tr(a = λ 1 + + λ n. Huomautus 1.10.4 Sama tulos pätee vaikkei c A (λ hajoaisi täydellisesti K:n yli. Silloin vain ominaisarvot eivät kaikki kuulu K:hon, vaan ne ovat jossain laajennuskunnassa, vaikkapa K:n algebrallisessa sulkeumassa. Esimerkiksi, jos A M n (R, niin A:n ominaisarvot λ i saattavat olla kompleksisia, mutta det(a ja tr(a (jotka ovat tietenkin reaalisia saadaan silti niiden tulona ja summana. Lause 1.10.5 Olkoot matriisin A M n (K ominaisarvot λ 1,..., λ n K, ja olkoon p(x K[x]. Matriisin p(a ominaisarvot ovat p(λ 1,..., p(λ n. Todistus. Lauseen mukaan A = QT Q 1, missä T = (t ij on yläkolmiomatriisi. Silloin myös p(a = Qp(T Q 1 (ks. (1.4. Koska similaareilla matriiseilla on samat ominaisarvot, niin riittää todistaa väite A:n sijasta T :lle. Laskemalla huomataan, että potenssi T k on yläkolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat t k 11,..., t k nn. Siis p(t on yläkolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat p(t 11,..., p(t nn, joten nämä ovat samalla sen ominaisarvot. 0

LUKU 1. PERUSASIOITA 18 1.11 Sisätulo Tässä pykälässä skalaarikunta on K, siis R tai C. Kompleksiluvun z liittolukua merkitään z. Vektoriavaruuden K n (tavallinen sisätulo määritellään x, y = n x i y i, (1.26 kun x = (x 1,..., x n T, y = (y 1,..., y n T. Sisätulo on kuvaus K n K n K ja täyttää ehdot i=1 (i x, x 0 x K n ; x, x = 0 x = 0; (ii ax + by, z = a x, z + b y, z a, b K, x, y, z K n ; (iii x, y = y, x x, y K n. (Yleinen sisätulo reaalisessa tai kompleksisessa vektoriavaruudessa määritellään ottamalla nämä ehdot aksioomiksi. Ehdosta (iii seuraa, että x, x R, vaikka olisi K = C, joten ehdon (i epäyhtälö on mielekäs. Ehdon (ii mukaan x + y, z = x, z + y, z ja ax, z = a x, z, ja kun otetaan ehto (iii huomioon, niin saadaan z, x + y = z, x + z, y mutta z, ax = a z, x! Vektorin x K n pituus (eli normi on x = x, x = n x i 2. (1.27 (Huomaa, ettei x i 2 ole sama kuin x 2 i jos K = C. CauchynSchwarzin epäyhtälö oli jo lineaarialgebran kurssissa kun K = R. Kun c C, niin i=1 x, y x y (1.28 cx + y, cx + y = c 2 x, x + 2 Re(c x, y + y, y c 2 x, x + 2 c x, y + y, y on c:n 2. asteen polynomi ja identtisesti 0. Siis diskriminantti on 0, mistä (1.28 seuraa. CauchynSchwarzin epäyhtälön avulla todistetaan helposti kolmioepäyhtälö x + y x + y. (1.29 Matriisin A = (a ij m n M m n (C adjungoitu matriisi (adjoint määritellään A = (a ji n m. (1.30 Siis A = A T, missä A = (a ij m n. Huomaa, että (AB = B A ja A = A. Samaistamalla skalaarit ja 1 1-matriisit sisätulo voidaan kirjoittaa kätevästi matriisitulona: x, y = y x kun x, y C n. Reaalisille vektoreille x, y = y T x. Lause 1.11.1 Kun A M m n (K ja x K n, y K m, niin Ax, y = x, A y.

LUKU 1. PERUSASIOITA 19 Todistus. Ax, y = y (Ax = (y Ax = (A y x = x, A y. Esimerkki 1.11.2 Neliömatriisille A on voimassa det(a = det( A T = det( A = det(a. Jos A = A (tällaista matriisia sanotaan itseadjungoiduksi, saadaan det(a R. Vektorit x ja y ovat kohtisuoria eli ortogonaalisia, merkitään x y, jos x, y = 0. Vektorijoukko {x 1,..., x k } on ortogonaalinen, jos x i, x j = 0 kun i j, ja se on ortonormaalinen, jos lisäksi jokaisen x i :n pituus on 1. Vektorien x 1,..., x k ortonormaalisuusehto voidaan kirjoittaa: x i, x j = δ ij, kun i, j = 1,..., k (δ ij on Kroneckerin symboli. Ortogonaalinen joukko vektoreita 0 on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 1.11.3 Kun {x 1,..., x n } on C n :n ortonormaalikanta, niin matriisin A M n (C jälki saadaan kaavasta tr A = n i=1 Ax i, x i. Kun A, B M m n (C, niin tulon A B alkioina ovat matriisien A ja B pystyrivien a 1,..., a n C m ja b 1,..., b n C m sisätulot: kohdassa (i, j on alkio a i b j = b j, a i. Matriisia A M n (C sanotaan unitaariseksi, jos sen pystyrivit muodostavat ortonormaalisen joukon. Ekvivalentisti A on unitaarinen jos A A = I, toisin sanoen A = A 1. Koska ehdot A A = I ja AA = I ovat yhtäpitävät, niin A on unitaarinen myös tarkalleen sillloin, kun se vaakarivit ovat ortonormaaliset. Reaalisen matriisin A tapauksessa unitaarisuus tarkoittaa että A T A = I; tällaista matriisia sanotaan ortogonaaliseksi. Osoitamme, että unitaarimatriisit ovat tarkalleen ne matriisit, jotka säilyttävät sisätulon. Käsittelemme vain kompleksisen tapauksen. Reaalinen tapaus todistetaan lähes samoin. Lause 1.11.4 Olkoon A M n (C. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i Ax, Ay = x, y x, y C n ; (ii Ax = x x C n ; (iii A on unitaarinen. Todistus. Ehdosta (i seuraa (ii, sillä Ax = Ax, Ax 1/2 ja x = x, x 1/2. Ehdot (i ja (iii ovat ekvivalentit, koska Ax, Ay = x, y x, y C n x, A Ay = x, y x, y C n A A = I. Oletetaan lopuksi, että (ii on voimassa, ja todistetaan (i. Kun x, y C n, niin x + y 2 x 2 y 2 = x + y, x + y x, x y, y = x, y + y, x, Tämä on (ii:n nojalla sama kuin Ax + Ay 2 Ax 2 Ay 2 = Ax, Ay + Ay, Ax, joten Ax, Ay + Ay, Ax = x, y + y, x. Sijoitetaan tähän y:n paikalle iy ja otetaan skalaari i sisätulosta ulos: i Ax, Ay + i Ay, Ax = i x, y + i y, x. Kertomalla tämä i:llä ja lisäämällä edelliseen yhtälöön saadaan 2 Ax, Ay = 2 x, y.

LUKU 1. PERUSASIOITA 20 Lineaarialgebran kurssissa R n :n tapauksessa esitetty GraminSchmidtin ortogonalisointimenetelmä pätee kompleksiselle avaruudelle C n (ja jopa, todistusta myöten, yleisellekin kompleksiselle sisätuloavaruudelle. Menetelmä on seuraava: Olkoon {x 1,..., x k } joukko vektoreita. Konstruoidaan vektorit y 1,..., y k rekursiivisesti: y 1 = x 1, ja kun j = 2,..., k, niin y j = x j j 1 i=1 a jiy i, missä { 0, jos yi = 0, a ji = x j,y i y i 2, jos y i 0. Saadut vektorit y 1,..., y k ovat keskenään ortogonaaliset ja virittävät saman aliavaruuden kuin x 1,..., x k. Jos x i :t ovat lineaarisesti riippumattomat, niin samoin ovat y i :t, ja tällöin tapauksia y i = 0 ei esiinny. Joukon S K n ortogonaalikomplementti S = {x K n x, y = 0 S} on aliavaruus, vaikkei S olisi (aliavaruuskriteeri. Helposti todistetaan myös, että S = L(S. Jos S on aliavaruus, niin K n = S S. (1.31 Tästä saadaan n = dim(s + dim(s ja helposti myös, että (S = S. Suorasummahajotelman (1.31 voi perustella seuraavalla idealla: Valitaan S:lle kanta {x 1,..., x k }, täydennetään se K n :n kannaksi {x 1,..., x k,..., x n } ja ortogonalisoidaan tämä GraminSchmidtin menetelmällä kannaksi {y 1,..., y n }. Silloin {y 1,..., y k } on S:n kanta, ja helposti todetaan, että L(y k+1,..., y n = S. Myöhemmin tarvitaan seuraavaa tulosta: Lemma 1.11.5 Jos vektorit z 1,..., z r K n ovat lineaarisesti riippumattomia, on sellaiset y 1,..., y r K n, että z i, y j = δ ij. Todistus. Voidaan olettaa, että r 2. Koska z i :t ovat lineaarisesti riippumattomia, niin dim L(z 1,..., z r = r. Siis dim L(z 1,..., z r = n r. Samoin dim L(z 2,..., z r = n r+1. On siis sellainen y 1, että y 1 L(z 2,..., z r ja y 1 / L(z 1,..., z r. Silloin c = z 1, y 1 = 0 ja z i, y 1 = 0 kun i = 2,..., r. Valitaan y 1 = (1/cy 1. Muut y j :t löydetään samoin.

Luku 2 Ominaisarvot ja -vektorit 2.1 Matriisin karakteristinen yhtälö Matriisin A = (a ij M n (K karakteristinen polynomi on a 11 λ a 12... a 1n a 21 a 22 λ... a 2n c A (λ = det(a λi =...... (2.1. a n1 a n2... a nn λ Determinantin määritelmästä (1.10 saadaan, että deg c A (λ = n ja että c A (λ = (a 11 λ (a nn λ + f(λ, (2.2 missä f(λ on sellaisten muotoa (a i1 i 1 λ (a ik i k λ olevien termien lineaarikombinaatio, että kussakin on korkeintaan n 2 tekijää (a ii λ. Siis, kun n 2, c A (λ:n kaksi korkeimman asteen tekijää ovat ( 1 n λ n ja ( 1 n 1 (a 11 + + a nn λ n 1 = ( 1 n 1 tr(aλ n 1. Lisäksi c A (λ:n vakiotermi on c A (0 = det(a. Saamme (kun n 2, että missä c 1 = ( 1 (n 1 tr(a ja c n = det(a. c A (λ = ( 1 n λ n + c 1 λ n 1 + + c n, (2.3 Esimerkki 2.1.1 Seurauksen 1.10.3 mukaan A:lla on ominaisarvona 0 jos ja vain jos A ei ole säännöllinen. Miten sama seuraa jo ominaisarvon ja -vektorin määritelmästä? Esimerkki 2.1.2 Osoitetaan, että matriisi A on nilpotentti (ts. A k = O jollain k:lla jos ja vain jos c A (λ = ±λ n, eli jos ja vain jos 0 on sen ainoa ominaisarvo K:ssa. 2.2 Ominaisarvon kertaluvut Olkoot matriisin A M n (K ominaisarvot λ 1,..., λ n jossain riittävän suuressa K:n laajennuskunnassa, esimerkiksi λ 1,..., λ n K. Tarkastellaan yhtä ominaisarvoa λ j. Jos λ j K, 21