Lukuteoriaa. Pentti Haukkanen

Lukuteoriaa Pentti Haukkanen

Sisällys Kongruensseista 4. Eulerin-Fermat n lause... 4.2 Wilsonin lause... 7.3 Kiinalainen jäännöslause... 8.4 Polynomikongruensseista... 0.5 Julkisen avaimen kryptausjärjestelmä RSA... 3 2 Primitiiviset juuret 5 2. Kokonaisluvun kertaluku... 5 2.2 Primitiivinen juuri... 7 2.3 Diskreetti logaritmi... 9 2.4 Potenssin jäännös... 22 3 Neliönjäännökset 23 3. Määritelmä... 23 3.2 Legendren symboli... 25 3.3 Neliönjäännösten resiprookkilaki... 26 4 Aritmeettisia funktioita 27 4. Määritelmä... 27 4.2 Binäärioperaatioita... 28 4.3 Multiplikatiiviset funktiot... 30 4.4 Möbiuksen funktio... 3 4.5 Eulerin funktio... 32 4.6 Tekijäfunktio... 33 4.7 Mangoldtin funktio... 34 4.8 Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot... 34 4.9 Muodollinen potenssisarja... 36 4.0 Identiteettejä... 39 4. Analogioita ja yleistyksiä... 40 5 Aritmeettisen funktion keskiarvo 4 5. Määritelmä... 4 5.2 Abelin identiteetti... 43 2

5.3 Dirichlet n tulon osasumma... 46 5.4 Tekijäfunktion keskiarvo... 48 5.5 Eulerin funktion keskiarvo... 49 3

Kongruensseista. Eulerin-Fermat n lause Määritelmä Joukko {r,r 2,...,r m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m, jos r i r j (mod m) aina, kun i j. Esimerkki.. Joukot {0,,..., m } ja {, 2,..., m} ovat täydellisiä jäännössysteemejä modulo m. Lause.. Olkoon {r,r 2,...,r m } täydellinen jäännössysteemi modulo m, olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =, ja olkoon b mikä tahansa kokonaisluku. Silloin {ar + b, ar 2 + b,...,ar m + b} on täydellinen jäännössysteemi modulo m. Todistus Joukossa {ar + b, ar 2 + b,...,ar m + b} on m alkiota, joten riittää todistaa, että sen alkiot ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellaiset i ja j (i j), että ar i + b ar j + b (mod m). Silloin ar i ar j (mod m). Koska (a, m) =, niin algebran monisteen lauseen.8.4 mukaan r i r j (mod m). Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että {r,r 2,...,r m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m. Siis vastaoletus on väärä. Määritelmä Eulerin funktio φ määritellään kaavalla φ(n) = {r : r n, (r, n) =}, n Z +. Huomautus Funktio φ toteuttaa muun muassa kaavan φ(n) =n ( ). p p n Erityisesti φ(p k )=p k p k, kun p on alkuluku ja k Z +. Määritelmä Joukko {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m, jos ) (r i,m)=,kuni =, 2,...,φ(m), 2) r i r j (mod m), kun i j. 4

Esimerkki..2 Joukot {r : 0 r m, (r, m) =} ja {r : r m, (r, m) = } ovat supistettuja jäännössysteemejä modulo m. Huomautus Supistetun jäännössysteemin modulo m käsite on analoginen algebran käsitteen alkuluokkaryhmä modulo m kanssa. Lause..2 Olkoon {r,r 2,...,r φ(m) } supistettu jäännössysteemi modulo m, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =. Silloin {ar,ar 2,...,ar φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Todistus Joukossa {ar,ar 2,...,ar φ(m) } on φ(m) alkiota, joten riittää todistaa, että supistetun jäännössysteemin määritelmän kohdat ja 2 ovat voimassa. Kohta. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen i {, 2,..., φ(m)}, että (ar i,m) >. Siis on olemassa sellainen alkuluku p, että p ar i ja p m. Siis p a ja p m, tai p r i ja p m. Jos p a ja p m, niin (a, m) >, mikä on ristiriidassa oletuksen (a, m) = kanssa. Jos taas p r i ja p m, niin (r i,m) >. Siis {r,r 2,...,r φ(m) } ei ole supistettu jäännössysteemi modulo m, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen vastaoletus on väärä, joten (ar i,m) = aina, kun i =, 2,...,φ(m). Kohta 2. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellaiset i ja j (i j), että ar i ar j (mod m). Koska (a, m) =, niin algebran monisteen lauseen.8.4 mukaan r i r j (mod m). Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Siis vastaoletus on väärin eli ar i ar j (mod m), kun i j. Lause..3 (Eulerin-Fermat n lause) Jos (a, m) =, niin a φ(m) (mod m). Todistus Merkitään R = {r,r 2,...,r φ(m) } = {r : 0 r m, (r, m) =} ja ar = {ar,ar 2,...,ar φ(m) }. 5

Silloin joukot R ja ar ovat supistettuja jäännössysteemejä modulo m. Lisäksi jokaista lukua ar i ar kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku r j R, että r j = (ar i ) mod m. Siis jokaista lukua ar i ar kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku r j R, että r j ar i (mod m). Näin ollen ar ar 2 ar φ(m) r r 2 r φ(m) (mod m) eli a φ(m) r r 2 r φ(m) r r 2 r φ(m) (mod m). Koska (r r 2 r φ(m),m) =, niin supistamalla saamme, että a φ(m) (mod m). Seuraus.. (Fermat n pieni lause) Jos p on alkuluku ja p /a, niin a p (mod p). Todistus Seuraus saadaan lauseesta..3, koska φ(p) = p. Seuraus..2 Jos p on alkuluku, niin a p a (mod p). Todistus Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: p a, p /a. Jos p a, niin a 0 (mod p) ja a p 0 (mod p), joten a p a (mod p). Jos p /a, niin Fermat n pienen lauseen mukaan a p (mod p). Kertomalla kongruenssi puolittain luvulla a saadaan haluttu tulos. Huomautus Tarkastellaan kongruenssia ax b (mod m), missä (a, m) =. Kertomalla kongruenssi puolittain luvulla a φ(m) saadaan a φ(m) ax a φ(m) b (mod m). Eulerin-Fermat n lauseen perusteella saadaan ratkaisuksi x a φ(m) b (mod m). Erityisesti jos p on alkuluku ja p /a, niin kongruenssin ax b (mod p) ratkaisu on x a p 2 b (mod p). Esimerkki..3 Koska φ(0) = 4 (totea!), niin kongruenssin 3x 7 (mod 0) ratkaisu on x 3 φ(0) 7 3 3 7 9 (mod 0). Esimerkki..4 Fermat n pienen lauseen perusteella 3 0 (mod ). Näin ollen 3 20 =(3 0 ) 20 3 3 (mod ). Siis 3 20 mod =3. 6

.2 Wilsonin lause Määritelmä Olkoon (a, m) =. Silloin kongruenssin ax (mod m) ratkaisua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi modulo m. Merkitään x = a. Huomautus Kun (a, m) =, niin luvun a käänteisluku modulo m on olemassa ja on yksikäsitteinen modulo m. (Ks. algebran monisteen lause...) Huomautus Käänteisluvun modulo m käsite on analoginen käänteisalkion käsitteen kanssa alkuluokkaryhmässä modulo m. Huomautus Kun (a, m) =, niin kongruenssin ax b (mod m) ratkaisu on x a b (mod m). (Totea!) Esimerkki.2. Luku 9 on luvun 7 käänteisluku modulo 3, sillä 7 9 (mod 3). Huomaa, että vastaavasti luku 7 on luvun 9 käänteisluku modulo 3. Esimerkki.2.2 Kongruenssin 7x 22 (mod 3) ratkaisu on x 9 22 98 2 (mod 3). Huomautus Kun p on alkuluku ja p / a, niin Fermat n pienen lauseen perusteella luku a p 2 on luvun a käänteisluku modulo p. (Totea!) Lause.2. Olkoon p alkuluku. Silloin luku a on itsensä käänteisluku modulo p, jos ja vain jos a (mod p) tai a (mod p). Todistus Jos a (mod p) tai a (mod p), niin a 2 (mod p). Siis a on itsensä käänteisluku modulo p. Jos a on itsensä käänteisluku modulo p, niin a 2 (mod p). Siis p (a 2 ). Koska a 2 =(a )(a + ), niin p (a ) tai p (a + ). Näin ollen a (mod p) tai a (mod p). Lause.2.2 (Wilsonin lause) Jos p on alkuluku, niin (p )! (mod p). 7

Todistus Lause on selvästi voimassa, kun p = 2 tai p = 3 (totea!). Oletetaan, että p on lukua 3 suurempi alkuluku. Olkoon a {2, 3,...,p 2}. Koska (a, p) =, niin luvulla a on käänteisluku modulo p. Lauseen.2. mukaan luvun a käänteisluku modulo p on erisuuri kuin luku a itse. Siis luvut 2, 3,..., p 2 voidaan jakaa erillisiin pareihin niin, että jokaisen parin tulo on (mod p). Kertomalla nämä parit keskenään saadaan, että 2 3 (p 2) (mod p). Koska (p ) (mod p), niin 2 3 (p 2)(p ) (mod p) eli (p )! (mod p). Huomautus Wilsonin lauseen tulos pitää paikkansa myös kääntäen (ks. lause.2.3). Siis sitä voi käyttää alkulukutestinä. Lause.2.3 Jos n on sellainen positiivinen kokonaisluku, että (n )! (mod n), niin n on alkuluku. Todistus Oletetaan, että (n )! (mod n), ja väitetään, että n on alkuluku. Tehdään vastaoletus, että n on yhdistetty luku. Siis n = ab, missä < a,b < n. Näin ollen a (n )!. Koska (n )! (mod n), niin n ((n )! + ). Nyt koska a n, niin a ((n )! + ). Siis a (n )! ja a ((n )! + ), joten a ((n )!+ (n )!) eli a, mikä on mahdotonta, koska a>. Näin ollen vastaoletus on väärä. Esimerkki.2.3 Koska (6 )! = 20 0 (mod 6), niin 6 ei ole alkuluku..3 Kiinalainen jäännöslause Lause.3. Olkoot m,m 2,...,m r ( 2) pareittain suhteellisia alkulukuja. Silloin kongruenssiryhmällä x a (mod m ), x a 2 (mod m 2 ),. x a r (mod m r ) 8

on yksikäsitteinen ratkaisu modulo M = m m 2 m r. Todistus Jaetaan todistus kahteen osaan: konstruoidaan ratkaisu ja todistetaan ratkaisun yksikäsitteisyys. Konstruoidaan ensin ratkaisu. Merkitään M k = M/m k = m m 2 m k m k+ m r. Koska luvut m,m 2,...,m r ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin (M k,m k )=. Näin ollen luvulla M k on käänteisluku modulo m k. Merkitään käänteislukua symbolilla y k, jolloin M k y k (mod m k ). Todistetaan nyt, että kongruenssiryhmän ratkaisu on x = a M y + a 2 M 2 y 2 + + a r M r y r. Koska m k M j, kun j k, niin M j 0 (mod m k ), kun j k. Näin ollen x a k M k y k (mod m k ). Koska M k y k (mod m k ), niin x a k (mod m k ). Siis x on kongruenssiryhmän ratkaisu. Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo M. Olkoot x 0 ja x kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua k =, 2,...,r kohti x 0 x a k (mod m k ), joten jokaista lukua k =, 2,...,rkohti m k (x 0 x ). Näin ollen M (x 0 x ) eli x 0 x (mod M). Esimerkki.3. Ratkaistaan kongruenssiryhmä x (mod 3), x 2 (mod 5), x 3 (mod 7). Koska luvut 3, 5, 7 ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin kiinalaisen jäännöslauseen mukaan kongruenssiryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu modulo 3 5 7 eli modulo 05. Sovelletaan kiinalaisen jäännöslauseen todistusta. Silloin M = 3 5 7 = 05, M = 05/3 = 35, M 2 = 05/5 = 2, M 3 = 05/7 = 5. Lukujen M k on käänteisluvut y k modulo m k toteuttavat ehdot 35y (mod 3), 2y 2 (mod 5), 5y 3 (mod 7). Näin ollen y 2 (mod 3), y 2 (mod 5), y 3 (mod 7). (Totea!) Siis x 35 2+2 2 +3 5 57 52 (mod 05). 9

.4 Polynomikongruensseista Tarkastellaan polynomikongruenssin f(x) 0 (mod m) ratkaisemista, missä m = p a p a 2 2 p an n. Kirjoitetaan se kongruenssiryhmänä f(x) 0 (mod p a i i ), i=, 2,...,n, ja ratkaistaan ryhmän jokainen kongruenssi. Lopuksi sovelletaan kiinalaista jäännöslausetta. Esimerkki.4. Kongruenssin 2x 3 +7x 4 0 (mod 200) ratkaiseminen palautuu kongruenssiryhmän 2x 3 +7x 4 0 (mod 8), 2x 3 +7x 4 0 (mod 25) ratkaisemiseksi, sillä 200=2 3 5 2. Lauseen.4. periaatteella voidaan todistaa, että tämä palautuu kongruenssiryhmän x 4 (mod 8), x 6 (mod 25) ratkaisemiseksi. Kiinalaisen jäännöslauseen periaatteella saadaan ratkaisuksi x 6 (mod 200). (Totea!) Kongruenssi f(x) 0 (mod p a ) ratkaistaan niin sanotulla nostoperiaatteella. Ensiksi kongruenssi f(x) 0 (mod p) ratkaistaan kokeilemalla. Oletetaan sitten, että kongruenssin f(x) 0 (mod p k ) ratkaisut tunnetaan. Silloin kongruenssin f(x) 0 (mod p k+ ) ratkaisut saadaan seuraavan lauseen avulla. Lause.4. Olkoon f(x) kokonaislukukertoiminen polynomi, p alkuluku ja k ( ) kokonaisluku. Silloin x k+ on kongruenssin f(x) 0 (mod p k+ ) (.4.) 0

ratkaisu, jos ja vain jos x k+ = x k + tp k, missä x k, 0 x k <p k, on kongruenssin ratkaisu ja t, 0 t<p, on kongruenssin ratkaisu. f(x) 0 (mod p k ) (.4.2) f (x k )t f(x k) p k (mod p) (.4.3) Todistus Olkoon x k+ kongruenssin (.4.) ratkaisu. Silloin x k+ on myös kongruenssin (.4.2) ratkaisu. Näin ollen on olemassa sellainen kongruenssin (.4.2) ratkaisu x k, että x k+ x k (mod p k ), missä 0 x k <p k.täten x k+ = x k + tp k, missä t Z. Koska x k +(t + lp)p k x k + tp k (mod p k+ ), kun l Z, niin riittää, että 0 t < p. Todistetaan vielä, että t toteuttaa kongruenssin (.4.3). Binomikaavan avulla voidaan todistaa (harj.), että f(x k+ )=f(x k + tp k )=f(x k )+tp k f (x k )+ 2 t2 p 2k f (x k )+ (.4.4) Koska 2k k +, niin f(x k+ ) f(x k )+tp k f (x k ) (mod p k+ ). Koska f(x k+ ) 0 (mod p k+ ), niin tp k f (x k ) f(x k ) (mod p k+ ). Edelleen koska f(x k ) 0 (mod p k ), niin p k f(x k ). Näin ollen t toteuttaa kongruenssin (.4.3). Olemme siis todistaneet, että jos x k+ on kongruenssin (.4.) ratkaisu, niin x k+ = x k +tp k, missä x k,0 x k <p k, on kongruenssin (.4.2) ratkaisu ja t, 0 t<p, on kongruenssin (.4.3) ratkaisu. Käänteinen puoli voidaan todistaa yhtälön (.4.4) avulla. Esimerkki.4.2 Ratkaistaan kongruenssi x 3 + x 2 +29 0 (mod 25).

Merkitään f(x) =x 3 + x 2 + 29. Kokeilemalla havaitaan, että kongruenssin f(x) 0 (mod 5) ainoa ratkaisu on x 3 (mod 5). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 25) ratkaisu muodossa x 2 =3+5t, missä t, 0 t<5, toteuttaa kongruenssin f (3)t f(3) 5 (mod 5) eli kongruenssin 33t 3 (mod 5). Siis t = 4, joten kongruenssin f(x) 0 (mod 25) ratkaisu on x 2 23 (mod 25). Esimerkki.4.3 Ratkaistaan kongruenssi x 2 + x +7 0 (mod 27). Merkitään f(x) =x 2 + x + 7. Kokeilemalla havaitaan, että kongruenssin f(x) 0 (mod 3) ainoa ratkaisu on x (mod 3). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu muodossa x 2 = +3t, missä t, 0 t<3, toteuttaa kongruenssin f ()t f() 3 (mod 3) eli kongruenssin 0t 3 (mod 3). Kaikki luvut t, 0 t < 3, toteuttavat kongruenssin, joten kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisut ovat x 2, 4, 7 (mod 9). Etsitään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisu muodossa x 3 x 2 =, 4, 7jat, 0 t<3, toteuttaa kongruenssin = x 2 +9t, missä f (x 2 )t f(x 2) 9 (mod 3). (.4.5) Olkoon x 2 =. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 3t (mod 3), jolla ei ole ratkaisua. Siis kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu x 2 (mod 9) ei tuota yhtään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisua. Olkoon x 2 = 4. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 9t 3 (mod 3). Kaikki luvut t, 0 t < 3, toteuttavat tämän kongruenssin, joten saadaan kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisut x 3 4, 3, 22 (mod 27). 2

Olkoon x 2 = 7. Silloin kongruenssi (.4.5) tulee muotoon 5t 7 (mod 3), jolla ei ole ratkaisua. Siis kongruenssin f(x) 0 (mod 9) ratkaisu x 2 7 (mod 9) ei tuota yhtään kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisua. Siis kaiken kaikkiaan kongruenssin f(x) 0 (mod 27) ratkaisut ovat x 3 4, 3, 22 (mod 27)..5 Julkisen avaimen kryptausjärjestelmä RSA Julkisen avaimen järjestelmä Henkilöllä A on julkinen kryptausfunktio E A (salausfunktio) ja salainen dekryptausfunktio D A (purkufunktio). Oletetaan, että henkilö Blähettää viestin henkilölle A. Merkitään lähetettävän viestin selvätekstimuotoa kirjaimella w ja kryptotekstimuotoa kirjaimella c. Henkilö B kryptaa viestin w funktiolla E A, jolloin siis c = E A (w), ja lähettää viestin muodossa c. Henkilö A purkaa viestin funktiolla D A, jolloin hän saa viestin w. Siis D A (c) =w. Tässä funktiot E A ja D A ovat toistensa käänteisfunktioita eli D A (c) =D A (E A (w)) = w. (.5.) RSA-järjestelmä Julkinen kryptausfunktio E A ja salainen dekryptausfunktio D A laaditaan RSA-järjestelmässä seuraavalla tavalla. Valitaan kaksi (suurta) alkulukua p ja q (p q). Lasketaan n = pq ja m = φ(n) =(p )(q ). Valitaan sellainen luku e, että (e, m) =. Luku d olkoon luvun e käänteisluku modulo m, ts. de (mod m). (Siis on olemassa sellainen kokonaisluku k, että de = km +.) Henkilön A julkinen kryptausfunktio E A on E A (w) =w e mod n ja salainen dekryptausfunktio D A on D A (c) =c d mod n. Tällöin kaava (.5.) toteutuu, sillä D A (c) c d (w e ) d = w de = w km+ =(w m ) k w w (mod n), 3

missä viimeinen päättely perustuu Eulerin-Fermat n lauseeseen. (Todennäköisyys, että Eulerin-Fermat n lauseessa vaadittava ehto (w, n) = ei ole voimassa, on äärimmäisen pieni.) Henkilö voi vapaasti jakaa kryptausfunktionsa E A, jonka pohjalta on äärimmäisen vaikea löytää dekryptausfunktio D A. (Perustelu sivuutetaan.) Esimerkki.5. Olkoon p = 7jaq =. (Alkuluvut ovat pieniä yksinkertaisuuden vuoksi.) Silloin n = pq =77jam = φ(n) =(p )(q ) = 60. Olkoon e = 3 (missä siis (e, m) = ). Silloin henkilön A julkinen kryptausfunktio on E A (w) =w 3 mod 77. Luku d toteuttaa kongruenssin de (mod m) eli kongruenssin 3d (mod 60). Tämän kongruenssin ratkaisu on d 37 (mod 60). (Totea!) Siis henkilön A salainen dekryptausfunktio D A on D A (c) =c 37 mod 77. Oletetaan, että viesti on w = 3. (Silloin (w, n) =.) Koska w 3 3 3 =3 5 (3 4 ) 2 = 243 8 2 2 4 2 = 92 38 (mod 77), niin viestin w kryptotekstimuoto on c = E A (w) =w 3 mod 77=38. Puretaan c funktiolla D A (c) =c 37 mod 77. Koska 38 2 = 444 9 (mod 77), 38 4 ( 9) 2 = 36 24 (mod 77), 38 8 ( 24) 2 = 576 37 (mod 77), 38 6 37 2 = 369 7 (mod 77), 38 32 ( 7) 2 = 289 9 (mod 77), niin c 37 = 38 37 =38 32 38 4 38 9 ( 24) 38 = 456 38 6 38 = 228 3 (mod 77). Näin ollen D A (c) =c 37 mod 77=3=w. 4

Allekirjoitus Viestin allekirjoitus voidaan toteuttaa julkisen avaimen järjestelmässä. Oletetaan taas, että henkilö Blähettää viestin henkilölle A. Silloin B laskee muunnokset D B (w) =s, E A (s) =c. Viesti lähetetään muodossa c. Henkilö A purkaa sen laskemalla D A (c) =s, E B (s) =w. Siis A saa parin (s, w), jota voidaan pitää viestin allekirjoitettuna muotona. Nimittäin B ei voi kiistää lähettäneensä viestiä (s, w), sillä D B on B:n salainen funktio ja täten vain B on voinut laskea luvun s luvusta w. 2 Primitiiviset juuret 2. Kokonaisluvun kertaluku Olkoot a ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Silloin Eulerin-Fermat n lauseen mukaan a φ(m) (mod m). Näin ollen on olemassa ainakin yksi sellainen positiivinen kokonaisluku x, että a x (mod m). Määritelmä Olkoot a ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Silloin luvun a kertaluku modulo m on on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku x, että a x (mod m). Merkitään x = ord m a. Esimerkki 2.. Etsitään ord 7 2. Selvästi 2 2 (mod 7), 2 2 4 (mod 7), 2 3 (mod 7), joten ord 7 2 = 3. Vastaavasti voidaan perustella, että ord 7 3 = 6. (Totea!) Lause 2.. Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia. Silloin a x (mod m) ord m a x. 5

Todistus Jos ord m a x, niin x = (ord m a)k, missä k Z +.Näin ollen a x =(a ordma ) k k = (mod m). Oletetaan käänteisesti, että a x (mod m). Jakoalgoritmin mukaan x = (ord m a)q + r, 0 r<ord m a. Näin ollen a x = a (ordma)q+r = a (ordma)q a r a r (mod m). Koska a x (mod m), niin a r (mod m). Täten epäyhtälön 0 r<ord m a ja luvun ord m a määritelmän perusteella r =0. Näin ollen x = (ord m a)q + r = (ord m a)q eli ord m a x. Esimerkki 2..2 Koska ord 7 2 = 3 (ks. esim. 2..), niin esimerkiksi x = 9 on kongruenssin 2 x (mod 7) ratkaisu mutta x = 0 ei ole kongruenssin 2 x (mod 7) ratkaisu. Seuraus 2.. Jos a ja m (> 0) ovat keskenään jaottomia, niin ord m a φ(m). Todistus Seuraus saadaan suoraan Eulerin-Fermat n lauseesta ja lauseesta 2... Esimerkki 2..3 Etsitään ord 9 7. Koska φ(9) = 6, niin lauseen 2.. perusteella luvun ord 9 7 mahdolliset arvot ovat, 2, 3 ja 6. Selvästi 7 7 (mod 9), 7 2 4 (mod 9), 7 3 (mod 9), joten ord 9 7=3. Lause 2..2 Olkoot a ja m (> 0) keskenään jaottomia ja i, j 0. Silloin a i a j (mod m) i j (mod ord m a). Todistus Oletetaan, että i j (mod ord m a). Menettämättä yleisyyttä voidaan olettaa, että 0 j i. Silloin i = j + k(ord m a), missä k on ei-negatiivinen kokonaisluku. Näin ollen a i = a j+k(ordma) = a j (a ordma ) k a j (mod m). 6

Oletetaan käänteisesti, että a i a j (mod m), missä 0 j i. Silloin a j a i j a j (mod m). Koska (a, m) =, niin (a j,m)=. Näin ollen supistussäännön perusteella a i j (mod m). Täten lauseen 2.. mukaan ord m a (i j) eli i j (mod ord m a). Esimerkki 2..4 Esimerkin 2..3 mukaan ord 9 7=3. Näin ollen lauseen 2..2 perusteella esimerkikisi 7 2 7 5 7 8 (mod 9), 7 2 7 6 (mod 9). Lause 2..3 Jos ord m a = t ja u on positiivinen kokonaisluku, niin ord m (a u )= t (t, u). Todistus Lause seuraa lauseesta 2.. ja kaavasta [t, u] = tu/(t, u). Esimerkki 2..5 Esimerkin 2.. mukaan ord 7 2=3. Näin ollen lauseen 2..3 perusteella ord 7 2 5 =3/(3, 5)=3. 2.2 Primitiivinen juuri Määritelmä Olkoot r ja m (> ) keskenään jaottomia kokonaislukuja. Jos ord m r = φ(m), niin sanotaan, että r on primitiivinen juuri modulo m. Esimerkki 2.2. Koska φ(9) = 6 ja 2 2 4, 2 3 8ja2 6 (mod 9), niin 2 on primitiivinen juuri modulo 9. Esimerkki 2.2.2 Koska φ(7) = 6, niin esimerkin 2.. perusteella 3 on primitiivinen juuri modulo 7, mutta 2 ei ole primitiivinen juuri modulo 7. Huomautus Kaikilla kokonaisluvuilla ei ole primitiivisiä juuria. Esimerkikisi ei ole primitiivisiä juuria modulo 8. Voidaan nimittäin osoittaa, että ord 8 = ja ord 8 3= ord 8 5 = ord 8 7 = 2, missä, 3, 5 ja 7 ovat luvun 8 kanssa suhteelliset alkuluvut (< 8), mutta φ(8)= 4. Voidaan todistaa, että on olemassa primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos m =2, 4,p t, 2p t, missä p on pariton alkuluku ja t positiivinen kokonaisluku. 7

Lause 2.2. Olkoot r ja m (> ) keskenään jaottomia, ja olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Todistus Oletuksen mukaan (r, m) =. Näin ollen (r k,m) = aina, kun k =, 2,...,φ(m). Vielä pitää osoittaa, että luvut r,r 2,...,r φ(m) pareittain epäkongruentteja modulo m. Oletetaan, että r i r j (mod m). Lauseen 2..2 mukaan i j (mod φ(m)). Koska i, j φ(m), niin i = j. Näin ollen luvut r,r 2,...,r φ(m) ovat pareittain epäkongruentteja modulo m. Esimerkki 2.2.3 Esimerkin 2.2. ja lauseen 2.2. perusteella joukko {2, 2 2,...,2 φ(9) } eli joukko {2, 4, 8, 7, 5, } on supistettu jäännössysteemi modulo 9. Lause 2.2.2 Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m))=. Todistus Lauseen 2..3 perusteella ord m (r u )= ord mr (ord m r, u) = φ(m) (φ(m),u). Näin ollen ord m (r u )=φ(m) (eli r u on primitiivinen juuri modulo m), jos ja vain jos (u, φ(m))=. Esimerkki 2.2.4 Esimerkin 2.2. mukaan luku 2 on primitiivinen juuri modulo 9. Koska φ(9) = 6, niin lauseen 2.2.2 perusteella luvut 2 ja 2 5 ovat primitiivisiä juuria modulo 9. Lause 2.2.3 Jos on olemassa primitiivinen juuri modulo m, niin primitiivisten juurten modulo m kokonaislukumäärä onφ(φ(m)). Todistus Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin lauseen 2.2. perusteella ehdokkaat primitiivisiksi juuriksi modulo m ovat r,r 2,...,r φ(m). Lauseen 2.2.2 mukaan r u on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos (u, φ(m)) =. Täten Eulerin funktion määritelmän nojalla primitiivisten juurten modulo m kokonaislukumäärä on φ(φ(m)). 8

Esimerkki 2.2.5 Lauseen 2.2.3 ja esimerkin 2.2.4 perusteella luvut 2 ja 2 5 ovat ainoat primitiiviset juuret modulo 9. 2.3 Diskreetti logaritmi Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Silloin lauseen 2.2. mukaan {r,r 2,...,r φ(m) } on supistettu jäännössysteemi modulo m. Siis jos a on suhteellinen alkuluku luvun m kanssa, niin on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku x, että x φ(m) ja r x a (mod m). Määritelmä Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin lukua x, joka toteuttaa ehdot x φ(m) jar x a (mod m), sanotaan luvun a r-kantaiseksi diskreetiksi logaritmiksi (eli indeksiksi) modulo m. Silloin merkitään x = ind r a. Huomautus ) Luku ind r a riippuu modulista m. 2) r indra a (mod m). 3) Olkoon (a, m) =(b, m) =. Silloin a b (mod m), jos ja vain jos ind r a = ind r b, jos ja vain jos ind r a ind r b (mod φ(m)) Esimerkki 2.3. Olkoon m = 7. Esimerkissä 2.2.2 on todettu, että luku 3 on primitiivinen juuri modulo 7. Voidaan laskea, että3 3 (mod 7), 3 2 2 (mod 7), 3 3 6 (mod 7), 3 4 4 (mod 7), 3 5 5 (mod 7), 3 6 (mod 7). Näin ollen ind 3 = 6, ind 3 2=2, ind 3 3=, ind 3 4=4, ind 3 5=5, ind 3 6=3. Lause 2.3. Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Olkoot a ja b suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Silloin (i) ind r 0 (mod φ(m)), (ii) ind r (ab) ind r a + ind r b (mod φ(m)), (iii) ind r (a k ) k ind r a (mod φ(m)). 9

Todistus (i) Eulerin-Fermat n lauseen mukaan r φ(m) (mod m). Koska r on primitiivinen juuri modulo m, niin mikään luvun r alempi potenssi ei ole kongruentti luvun kanssa modulo m. Näin ollen ind r =φ(m) 0 (mod φ(m)). (ii) Diskreetin logaritmin määritelmän perusteella r indr(ab) ab (mod m) ja Koska niin r indra r indrb ab (mod m). r indra r indrb = r indra+indrb, r indr(ab) r indra+indrb (mod m) Nyt lauseen 2..2 perusteella kohta (ii) on voimassa. (iii) Kohta (iii) seuraa induktiolla kohdasta (ii). Esimerkki 2.3.2 Olkoon m = 7. Esimerkissä 2.3. on todettu, että ind 3 2=2, ind 3 3=, ind 3 6=3. Tämä sopii yhteen lauseen 2.3. kanssa, sillä ind 3 6 = ind 3 (2 3) ind 3 2 + ind 3 3=2+=3 (modφ(7)). Esimerkki 2.3.3 Ratkaistaan diskreettien logaritmien avulla kongruenssi 6x 2 (mod 7). Voidaan todistaa, että 3 on primitiivinen juuri modulo 7. (Totea!) Taulukossa on esitetty 3-kantaiset diskreetit logaritmit modulo 7. a 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 ind 3 a 6 4 2 5 5 0 2 3 7 3 4 9 6 8 Taulukko : 3-kantaiset diskreetit logaritmit modulo 7. Otetaan kongruenssin kummastakin puolesta 3-kantainen diskreetti logaritmi modulo 7, jolloin saadaan, että ind 3 (6x 2 ) ind 3 = 7 (mod 6). 20

(Huomaa, että yo. kongruenssissa moduli on nyt φ(7) eli 6 mutta 3-kantaisessa diskreetissä logaritmissa ind 3 moduli on 7.) Lauseen 2.3. kohtien (ii) ja (iii) perusteella ind 3 (6x 2 ) ind 3 6 + ind 3 (x 2 ) 5+2 ind 3 x (mod 6). Siis eli 5+2 ind 3 x 7 (mod 6) 2 ind 3 x 8 (mod 6). Tämän lineaarisen kongruenssin ratkaisu on ind 3 x 2 (mod 4). (Totea!) Näin ollen ind 3 x 2, 6, 0, 4 (mod 6). Diskreetin logaritmin määritelmän nojalla x 3 2, 3 6, 3 0, 3 4 (mod 7) eli x 9, 5, 8, 2 (mod 7). Koska yo. laskennan jokainen vaihe on voimassa myös käänteisesti, niin on saatu kongruenssin 6x 2 (mod 7) ratkaisu. Esimerkki 2.3.4 Ratkaistaan diskreettien logaritmien avulla kongruenssi 7 x 6 (mod 7). (Moduli on sama kuin esimerkissä 2.3.3.) Otetaan kongruenssin kummastakin puolesta 3-kantainen diskreetti logaritmi modulo 7, jolloin saadaan, että ind 3 (7 x ) ind 3 6 = 5 (mod 6). Lauseen 2.3. kohdan (iii) perusteella ind 3 (7 x ) x ind 3 7 x (mod 6). Siis x 5 (mod 6) 2

Tämän lineaarisen kongruenssin ratkaisu on x 3 (mod 6). (Totea!) Tämä on kongruenssin 7 x 6 (mod 7) ratkaisu, sillä yo. laskennan jokainen vaihe on voimassa myös käänteisesti. 2.4 Potenssin jäännös Diskreettien logaritmien avulla voidaan tutkia kongruenssia x k a (mod m), missä m on positiivinen kokonaisluku, jolla on primitiivinen juuri, ja missä (a, m) =. Määritelmä Olkoot m ja k positiivisia kokonaislukuja ja olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin sanotaan, että a on k. potenssin jäännös modulo m, jos kongruenssi x k a (mod m) (2.4.) on ratkeava. Lause 2.4. Olkoon m positiivinen kokonaisluku, jolla on primitiivinen juuri, ja olkoon a suhteellinen alkuluku luvun m kanssa. Silloin kongruessi (2.4.) on ratkeava, jos ja vain jos a φ(m) (k,φ(m)) (mod m). Jos kongruessi on ratkeava, niin ratkaisuja modulo m on täsmälleen (k, φ(m)) kappaletta. Todistus Olkoon r primitiivinen juuri modulo m. Kongruenssi (2.4.) on voimassa, jos ja vain jos k ind r x ind r a (mod φ(m)). (2.4.2) Merkitään y = ind r x. Jos (k, φ(m)) / ind r a, niin lineaarisella kongruenssilla ky ind r a (mod φ(m)) (2.4.3) ei ole ratkaisua y. Siis ei ole sellaista lukua x, että kongruenssi (2.4.2) toteutuisi. Jos (k, φ(m)) ind r a, niin lineaarisella kongruenssilla (2.4.3) on täsmälleen (k, φ(m)) 22

ratkaisua y modulo φ(m). Koska x r y (mod m), niin lauseen 2..2 nojalla kongruenssin (2.4.2) toteuttaa täsmälleen (k, φ(m)) lukua x modulo m. Olemme siis todistaneet, että kongruenssi (2.4.) on ratkeava, jos ja vain jos (k, φ(m)) ind r a.tämä jaollisuus on voimassa, jos ja vain jos φ(m) (k, φ(m)) ind ra 0 (mod φ(m)) eli jos ja vain jos a φ(m) (k,φ(m)) (mod m). Esimerkki 2.4. Tutkittava, onko kongruenssi x 6 5 (mod 7) ratkeava eli onko luku 5 kuudennen potenssin jäännös modulo 7. Selvästi 5 6/(6,6) =5 8 (mod 7), joten 5 ei ole kuudennen potenssin jäännös modulo 7. 3 Neliönjäännökset 3. Määritelmä Määritelmä Olkoon m positiivinen kokonaisluku ( 2) ja a sellainen kokonaisluku, että (a, m) =. Silloin a on neliönjäännös modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) on ratkeava, ja a on neliönepäjäännös modulo m, jos kongruenssi x 2 a (mod m) ei ole ratkeava. Esimerkki 3.. Etsitään neliönjäännökset modulo 9. Asetetaan x käymään läpi supistettu jäännössysteemi modulo 9. Esimerkiksi x käy läpi luvut ±, ±2, ±4. Tällöin x 2 on vastaavasti kongruentti lukujen, 4, 7 kanssa modulo 9. Siis luvut, 4, 7ovat neliönjäännöksiä modulo 9 ja luvut 2, 5, 8 ovat neliönepäjäännöksiä modulo 9. Jatkossa rajoitutaan tapaukseen, jossa m on pariton alkuluku p. Esimerkki 3..2 Etsitään neliönjäännökset modulo. Asetetaan x käymään läpi supistettu jäännössysteemi modulo. Esimerkiksi x käy läpi luvut ±, ±2, ±3, ±4, ±5. Tällöin x 2 on vastaavasti kongruentti lukujen, 4, 9, 5, 3 kanssa modulo. Siis luvut, 3, 4, 5, 9 ovat neliönjäännöksiä modulo ja luvut 2, 6, 7, 8, 0 ovat neliönepäjäännöksiä modulo. 23

Lause 3.. Olkoon p pariton alkuluku ja r primitiivinen juuri modulo p. Olkoon a sellainen kokonaisluku, että p / a. Silloin a on neliönjäännös modulo p, jos ja vain jos ind r a on parillinen, ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos ind r a on pariton. Todistus Riittää todistaa neliönjäännöksiä koskeva väite. Olkoon a on neliönjäännös modulo p, ts. olkoon kongruenssi x 2 a (mod p) ratkeava. Silloin 2 ind r x ind r a (mod p ). Koska p on parillinen, niin edellinen kongruenssi on voimassa modulo 2. Näin ollen ind r a on parillinen. Oletetaan käänteisesti, että ind r a on parillinen. Merkitään x = r indra 2. Silloin x toteuttaa kongruenssin x 2 a (mod p), joten a on neliönjäännös modulo p. Seuraus Neliönjäännöksiä ja neliönepäjäännöksiä modulo p on kumpiakin (p )/2 kappaletta modulo p. Lause 3..2 (Eulerin kriteeri) Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p /a. Silloin a on neliönjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p )/2 (mod p), ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos a (p )/2 (mod p). Todistus Todistetaan aluksi lauseen ensimmäinen osa. Oletetaan, että a on neliönjäännös modulo p. Silloin kongruenssilla x 2 a (mod p) on ratkaisu, sanokaamme x. Koska (a, p) =, niin (x,p)=. Näin ollen Fermat n pienen lauseen perusteella a (p )/2 (x 2 ) (p )/2 = x p (mod p). Oletetaan käänteisesti, että a (p )/2 (mod p). Olkoon r on primitiivinen juuri modulo p. Koska (a, p) =, niin a r k (mod p) jollakin luvun k arvolla, missä k p. Siis r k(p )/2 a (p )/2 (mod p). Täten lauseen 2.. mukaan (ord p r) k(p )/2 eli (p ) k(p )/2. Siis k on parillinen, sanokaamme k = 2j. Nyt (r j ) 2 = r k a (mod p), 24

joten r j on kongruenssin x 2 a (mod p) ratkaisu. Näin ollen a on neliönjäännös modulo p. Todistetaan nyt lauseen toinen osa. Fermat n pienen lauseen perusteella (a (p )/2 )(a (p )/2 +)=a p 0 (mod p). Siis a (p )/2 ± (mod p). Nyt lauseen ensimmäisen osan perusteella saadaan lauseen toinen osa. Esimerkki 3..3 Olkoon p =. Silloin 2 ( )/2 =2 5 =32 (mod ) ja 3 ( )/2 =3 5 = 243 (mod ). Siis 2 on neliönepäjäännös modulo ja 3 on neliönjäännös modulo. 3.2 Legendren symboli Määritelmä Olkoon p (> 2) alkuluku ja a sellainen kokonaisluku, että p /a. Legendren symboli ( ) a p määritellään kaavalla ( ) { a, jos a on neliönjäännös modulo p, = p, jos a on neliönepäjäännös modulo p. Esimerkki 3.2. Esimerkin 3..2 mukaan ( ( ( ( ( 3 4 5 9 = = = = =, ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ) 2 6 7 8 0 = = = = =. ) ) ) ) Lause 3.2. Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoot a ja b sellaisia kokonaislukuja, että p /a ja p /b. Silloin (i) jos a b (mod p), niin ( ) ( ) a p = b p, 25

(ii) ( ) a p a (p )/2 (mod p), (iii) ( ) ( )( ) ab p = a b p p. Todistus (i) Jos a b (mod p), niin kongruenssilla x 2 a (mod p) on ratkaisu, jos ja vain jos kongruenssilla x 2 b (mod p) on ratkaisu. Näin ollen ( ) ( ) a p = b p. (ii) Kohta (ii) seuraa lauseesta 3..2. (iii) Kohdan (ii) perusteella ( ) ab (ab) (p )/2 a (p )/2 b (p )/2 p ( a p )( ) b p (mod p). Legendren symboli saa arvot ±. Siis jos ( ) ( )( ) ab p a b p p, niin (mod p) eli p 2, mikä on mahdotonta, koska p>2. Täten ( ) ( )( ) ab p = a b p p. Esimerkki 3.2.2 Tutkitaan, onko kongruenssi x 2 5 (mod 7) ratkeava. Lasketaan ( ) 5 7. Koska 5 2 (mod 7), niin lauseen 3.2. kohdan i) perusteella ( ) ( ) 5 7 = 2 7. Lauseen 3.2. kohdan iii) perusteella ( ) ( )( ( )( ) 2 3 4 3 2 2 ( ( 3 3 = = = (±) 7 7 7) 7 7 7) 2 =. 7) Lauseen 3.2. kohdan ii) perusteella ( 3 3 7) (7 )/2 3 8 (8) 2 ( 4) 2 (mod 7). Näin ollen ( ) 5 7 = eli kongruenssi x 2 5 (mod 7) ei ole ratkeava. 3.3 Neliönjäännösten resiprookkilaki Lause 3.3. (Gaussin lemma) Olkoon p pariton alkuluku, ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p / a. Olkoon s joukon {a, 2a,...,((p )/2)a} sellaisten alkioiden lukumäärä, joiden jakojäännös modulo p on suurempi kuin p/2. Silloin ( ) a p =( ) s. Esimerkki 3.3. Lasketaan ( ) 5 Gaussin lemman avulla. Lukujen 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 jakojäännökset modulo ovat 5, 0, 4, 9, 3, joista kaksi on suurempaa kuin /2. Näin ollen ( ) 5 =( ) 2 =. (Toisin sanoen kongruenssi x 2 5 (mod ) on ratkeava.) 26

Lause 3.3.2 (Resiprookkilaki) Olkoot p ja q erisuuria parittomia alkulukuja. Silloin ( )( ) p q =( ) p q 2 2. q p Esimerkki 3.3.2 Lasketaan ( ) 3 7. Resiprookkilain nojalla ( ) 3 = 7 ( ) 7. 3 Lauseen 3.2. perusteella ( ) ( ( ) 7 4 2 2 = = =(±) 3 3) 2 =. 3 Siis ( ) 3 7 =. Vastaus nähdään helposti myös lauseen 3.. ja taulukon avulla. 4 Aritmeettisia funktioita 4. Määritelmä Määritelmä Reaaliarvoista (tai kompleksiarvoista) funktiota, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko, sanotaan aritmeettiseksi funktioksi. Esimerkki 4.. Olkoon α R. Symbolilla N α merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että N α (n) =n α, kun n Z +. Erityisesti merkitään N = N ja N 0 = ζ. Siis N(n) =n ja ζ(n) =,kunn Z +. Esimerkki 4..2 Kirjaimella γ merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että γ(n) = p n p, kun n>. Lisäksi sovitaan, että γ()=. Esimerkki 4..3 Kirjaimella ω merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että ω(n) = p n, kun n>. Lisäksi sovitaan, että ω()=0. Esimerkki 4..4 Kirjaimella Ω merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että Ω(n) = p n n(p), kun n>, missä n = p n p n(p) on luvun n kanoninen esitys. Lisäksi sovitaan, että Ω() = 0. Esimerkki 4..5 Liouvillen funktio λ on sellainen aritmeettinen funktio, että λ(n) = ( ) Ω(n), kun n Z +. 27

4.2 Binäärioperaatioita Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g (tavallinen) summa f + g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f + g)(n) =f(n)+g(n), kun n Z +. Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g (tavallinen) tulo fg on sellainen aritmeettinen funktio, että (fg)(n) =f(n)g(n), kun n Z +. Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g Dirichlet n tulo (eli Dirichlet n konvoluutio) f g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f g)(n) = f(d)g(n/d), n Z +. d n Lause 4.2. Dirichlet n tulo on assosiatiivinen. Todistus Dirichlet n tulon määritelmän perusteella ((f g) h)(n) = (f g)(d)h(c) = f(a)g(b)h(c) dc=n = abc=n = ad=n f(a)g(b)h(c) = dc=n ab=d f(a) ad=n bc=d g(b)h(c) f(a)(g h)(d) =(f (g h))(n) n Z +. Näin ollen (f g) h = f (g h) aina, kun f,g,h ovat aritmeettisia funktioita. Olemme siis todistaneet lauseen 4.2.. Lause 4.2.2 Dirichlet n tulo on kommutatiivinen. Todistus Kun d käy läpi luvun n tekijät, niin myös n/d käy läpi luvun n tekijät. Tästä voimme päätellä lauseen 4.2.2. Määritelmä Kirjaimella δ merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että δ() = ja δ(n) = 0 muulloin. Lause 4.2.3 Aritmeettinen funktio δ on ykkösfunktio Dirichlet n tulon suhteen. Todistus Koska δ(n/d) = 0, kund n, jakoskaδ(n/d) =, kund = n, niin (f δ)(n) = f(d)δ(n/d) =f(n) n Z +. d n Kommutatiivisuuden nojalla (δ f)(n) =f(n) n Z +.Näin ollen f δ = δ f = f aina, kun f on aritmeettinen funktio. Olemme siis todistaneet lauseen 4.2.3. 28

Lause 4.2.4 Dirichlet n tulo on distributiivinen yli tavallisen summan. Todistus Harjoitustehtävä. Merkintä Kirjaimella A merkitään kaikkien aritmeettisten funktioitten joukkoa. Lause 4.2.5 Pari (A, ) on kommutatiivinen monoidi. Lause 4.2.6 Kolmikko (A, +, ) on kommutatiivinen ykkösrengas. Lauseet 4.2.5 ja 4.2.6 seuraavat lauseista 4.2., 4.2.2, 4.2.3 ja 4.2.4. Lause 4.2.7 Aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio f Dirichlet n tulon suhteen, jos ja vain jos f() 0.Käänteisfunktio f saadaan rekursiivisesta kaavasta f () = f(), f (n) = f(d)f (n/d), n >. (4.2.) f() d n d> Todistus Oletetaan, että aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio. Silloin (f f )(n) =δ(n) aina, kun n Z +. Siis erityisesti (f f )() = δ() eli f()f ()=. Näin ollen f() 0. Oletetaan käänteisesti, että f() 0. Olkoon g sellainen aritmeettinen funktio, että g()=/f() ja g(n) = f(d)g(n/d), f() d n d> kun n>. Silloin selvästi (f g)(n) =δ(n) aina, kun n Z +. Kommutatiivisuuden nojalla funktio g on funktion f käänteisfunktio Dirichlet n tulon suhteen. Merkintä Symbolilla A 0 merkitään kaikkien sellaisten aritmeettisten funktioitten f joukkoa, jotka toteuttavat ehdon f() 0. Lause 4.2.8 Pari (A 0, ) on Abelin ryhmä. 29

4.3 Multiplikatiiviset funktiot Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan multiplikatiiviseksi, jos f() = ja f(mn) =f(m)f(n) aina, kun (m, n) =. Esimerkki 4.3. Aritmeettiset funktiot N α,γ,λ ja δ ovat multiplikatiivisia. Lause 4.3. Olkoon f sellainen aritmeettinen funktio, että f()=. Silloin f on multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(n) = p f(p n(p) ) n Z +, missä n = p p n(p) on luvun n kanoninen esitys. Todistus Harjoitustehtävä. Lause 4.3.2 Jos f ja g ovat multiplikatiivisia, niin f g on multiplikatiivinen. Todistus Selvästi (f g)() =. Oletetaan, että (m, n) =. Jos nyt d mn, niin d voidaan esittää muodossa d = ab, missä a m ja b n. Silloin (a, b) =(m/a, n/b) =. Näin ollen (f g)(mn) = f(d)g(mn/d) = f(ab)g((m/a)(n/b)) d mn a m b n = f(a)f(b)g(m/a)g(n/b) = f(a)g(m/a) f(b)g(n/b) a m a m b n b n = (f g)(m)(f g)(n). Näin olemme todistaneet lauseen 4.3.2. Lause 4.3.3 Jos f on multiplikatiivinen, niin f on multiplikatiivinen. Todistus Selvästi f () =. Oletetaan, että (m, n) =. Jos mn =, niin f (mn) ==f (m)f (n). Oletetaan, että mn ja että f (m n )=f (m )f (n ) 30

aina, kun (m,n ) = ja m n < mn. Jos m = tai n =, niin f (mn) = f (m)f (n). Oletetaan, että m, n. Kaavan (4.2.) nojalla saadaan f (mn) = d mn d> = a m b n ab> = f (m) b n b> a m a> f(d)f (mn/d) = a m b n ab> f(a)f(b)f (m/a)f (n/b) f(b)f (n/b) f (n) a m a> f(a)f (m/a) b n b> f(b)f (n/b) f(ab)f ((m/a)(n/b)) f(a)f (m/a) = f (m)f (n)+f (m)f (n) f (m)f (n) = f (m)f (n). Näin olemme todistaneet lauseen 4.3.3. Merkintä Kirjaimella M merkitään kaikkien multiplikatiivisten funktioiden joukkoa. Lause 4.3.4 Pari (M, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. 4.4 Möbiuksen funktio Määritelmä Möbiuksen funktio µ on sellainen multiplikatiivinen funktio, että µ(p a )= {, kun p on alkuluku ja a =, 0, kun p on alkuluku ja a>. Lause 4.4. Möbiuksen funktio µ on funktion ζ käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen, ts. ζ = µ. Todistus Harjoitustehtävä. Vihje: Kommutatiivisuuden nojalla riittää todistaa, että (ζ µ)(n) =δ(n), kun n Z +. Multiplikatiivisuuden nojalla riittää tutkia tapausta, jossa n on alkuluvun potenssi. 3

Lause 4.4.2 (Möbiuksen käänteiskaava) Olkoot f ja g aritmeettisia funktioita. Silloin f(n) = g(d) n Z + d n g(n) = d n f(d)µ(n/d) n Z +. (4.4.) Todistus Yhtälö f(n) = d n g(d) n Z + voidaan kirjoittaa Dirichlet n tulon avulla muodossa f = g ζ. Kertomalla jälkimmäinen yhtälö oikealta puolittain Möbiuksen funktiolla µ saadaan yhtälö f µ =(g ζ) µ. Lauseiden 4.2. ja 4.4. perusteella saadaan yhtälö f µ = g, joka on sama kuin yhtälö g(n) = d n f(d)µ(n/d) n Z +. 4.5 Eulerin funktio Määritelmä Eulerin funktio φ määritellään kaavalla φ(n) = {a : a n, (a, n) =}, n Z +. (Ks...) Lause 4.5. Eulerin funktio φ toteuttaa kaavan φ = N µ. Todistus Olkoon n Z +. Eulerin funktion määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa Lauseen 4.4. nojalla n φ(n) = δ((a, n)). a= φ(n) = Muuttamalla summausjärjestystä saadaan n a= d (a,n) φ(n) = d n µ(d) µ(d). n. a= d a Selvästi n =n/d. a= d a 32

(Totea!) Näin ollen φ(n) = d n µ(d)n/d =(µ N)(n) =(N µ)(n). Siis φ = N µ, joten olemme todistaneet lauseen 4.5.. Seuraus Kun p on alkuluku ja a Z +, niin φ(p a )=p a p a. Lause 4.5.2 Eulerin funktio φ on multiplikatiivinen. Todistus Lause 4.5.2 seuraa suoraan lauseista 4.5. ja 4.3.2. Seuraus Eulerin funktio φ toteuttaa kaavan φ(n) =n ( ),n Z +. p p n 4.6 Tekijäfunktio Määritelmä Olkoon α R. Tekijäfunktio σ α on sellainen aritmeettinen funktio, että σ α (n) = d α, d n ts. σ α = N α ζ. Huomautus Tekijäfunktion arvo σ 0 (n) ilmaisee luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärän, ja tekijäfunktion arvo σ (n) ilmaisee luvun n positiivisten tekijöiden summan. Joskus merkitään lyhyesti σ 0 = d ja σ = σ, vrt. luku 5. Lause 4.6. Tekijäfunktio σ α on multiplikatiivinen. Todistus Lause 4.6. seuraa suoraan tekijäfunktion määritelmästä ja lauseesta 4.3.2. 33

4.7 Mangoldtin funktio Määritelmä Mangoldtin funktio Λmääritellään kaavalla { log p, kun n = p Λ(n) = a, missä a, 0 muulloin. Lause 4.7. Kun n, niin log n = Λ(d). (4.7.) d n Todistus Lause on voimassa, kun n =. (Totea!) Oletetaan, että n >, ja kirjoitetaan n = r k= p a k k. Silloin r log n = a k log p k. k= Tarkastellaan yhtälön (4.7.) oikeaa puolta. Nollasta poikkeavat termit saadaan, kun d on muotoa p m k, missä k =, 2,...,r ja m =, 2,...,a k.näin ollen r a k r Λ(d) = Λ(p m a k r k )= log p k = a k log p k = log n. d n k= m= k= m= k= Näin olemme todistaneet lauseen 4.7.. Lause 4.7.2 Kun n, niin Λ(n) = log(d)µ(n/d) = µ(d) log(n/d) = µ(d) log(d). (4.7.2) d n d n d n Todistus Lause 4.7.2 seuraa lauseesta 4.7. Möbiuksen käänteiskaavan avulla. Huomautus Mangoldtin funktio Λ ei ole multiplikatiivinen. (Totea!) 4.8 Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan täydellisesti multiplikatiiviseksi, jos f() = ja f(mn) =f(m)f(n) aina, kun m, n Z +. Huomautus Täydellisesti multiplikatiivinen funktio on multiplikatiivinen. Esimerkki 4.8. Aritmeettiset funktiot N α, δ ja λ ovat täydellisesti multiplikatiivisia. 34

Lause 4.8. Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(p a )=f(p) a (4.8.) aina, kun p on alkuluku ja a. Todistus Harjoitustehtävä. Lause 4.8.2 Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f = µf. (4.8.2) Todistus Oletetaan, että f on täydellisesti multiplikatiivinen. Silloin (µf f)(n) = µ(d)f(d)f(n/d) =f(n) µ(d) =f(n)δ(n) =δ(n). d n d n Näin ollen f = µf. Oletetaan käänteisesti, että yhtälö (4.8.2) on voimassa. Todistetaan, että silloin yhtälö (4.8.) on voimassa. Yhtälön (4.8.2) nojalla µ(d)f(d)f(p a /d) =0 d p a eli µ()f()f(p a )+µ(p)f(p)f(p a )=0. Näin ollen f(p a )=f(p)f(p a ). Jatkamalla induktiivisesti todetaan, että yhtälö (4.8.) on voimassa. Koska funktio f on multiplikatiivinen, niin lauseen 4.8. perusteella funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen. Lause 4.8.3 Multiplikatiivinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(g h) =(fg) (fh) (4.8.3) aina, kun g ja h ovat aritmeettisia funktioita. Todistus Harjoitustehtävä. 35

4.9 Muodollinen potenssisarja Lukujonon (a k ) k=0 muodollinen potenssisarja on lauseke a k x k. (4.9.) k=0 Joskus jonon (a k ) k=0 muodollista potenssisarjaa merkitään lyhyesti symbolilla a(x), ts. a(x) = a k x k = a 0 + a x + a 2 x 2 + (4.9.2) k=0 Kaavassa (4.9.2) symbolille x ei anneta lukuarvoja, vaan symbolin x potenssi ilmaisee kertoimensa paikan lukujonossa. Muodollinen potenssisarja on siis itse asiassa lukujonon uudenlainen esitysmuoto, jota on helppo käsitellä joissakin tilanteissa. Jos lukujonon jokin jäsen a k on = 0, niin termi a k x k jätetään kaavan (4.9.2) oikeanpuoleisesta lausekkeesta pois, ja jos a k =, niin silloin merkitään a k x k = x k. Esimerkiksi jonon (3, 2,, 0, 0,...) muodollinen potenssisarja on 3 + 2x + x 2. Äärellinen jono (a 0,a,a 2,...,a n ) samaistetaan äärettömän jonon (a 0,a,a 2,...,a n, 0, 0,...) kanssa. Selvästi a(x) =b(x) a k = b k, k =0,, 2,... (4.9.3) Muodollisten potenssisarjojen summa ja tulo määritellään kaavoilla a(x)+b(x) = (a k + b k )x k, (4.9.4) k=0 k a(x)b(x) = ( a i b k i )x k. (4.9.5) k=0 i=0 Tuloa kutsutaan myös Cauchyn tuloksi. Abstraktin algebran kielellä voidaan sanoa, että muodolliset potenssisarjat muodostavat kommutatiivisen ykkösrenkaan summan ja tulon suhteen. Renkaan ykkösalkio on sarja eli sarja +0x+0x 2 +. Sillä on ominaisuus a(x) = a(x) = a(x) aina, kun a(x) on muodollinen potenssisarja. Muodollinen potenssisarja b(x) on muodollisen potenssisarjan a(x) inverssi, jos a(x)b(x) = b(x)a(x) =. Silloin merkitään b(x) = a(x) = /a(x). Voidaan todistaa, että muodollisella potenssisarjalla a(x) on inverssi, jos ja vain jos a 0 0. Esimerkki 4.9. k=0 a k x k = ax, 36

n ( ) n ( + x) n = x k. k=0 k Määritelmä Olkoon p alkuluku. Aritmeettisen funktion f Bellin sarja f p (x) modulo p on muodollinen potenssisarja, joka määritellään kaavalla f p (x) = f(p k )x k. (4.9.6) k=0 Esimerkki 4.9.2 Möbiuksen funktion µ Bellin sarjan modulo p antaa kaava µ p (x) = x. Esimerkki 4.9.3 Funktion N Bellin sarjan modulo p antaa kaava (Totea!) N p (x) = px. Esimerkki 4.9.4 Funktion ζ Bellin sarjan modulo p antaa kaava (Totea!) ζ p (x) = x. Lause 4.9. Olkoot f ja g multiplikatiivisia funktioita. Silloin f = g, jos ja vain jos f p (x) =g p (x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Harjoitustehtävä. Lause 4.9.2 Olkoot f ja g aritmeettisia funktioita. Silloin (f g) p (x) =f p (x)g p (x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Muodollisen potenssisarjan (f g) p (x) potenssin x k kerroin on d p k f(d)g(pk /d) eli k i=0 f(p i )g(p k i ), joka on myös muodollisen potenssisarjan f p (x)g p (x) potenssin x k kerroin. 37

Esimerkki 4.9.5 Eulerin funktion φ Bellin sarjan modulo p antaa kaava φ p (x) = x px. Huomautus Olkoot f, g ja h sellaisia multiplikatiivisia funktioita, että h p (x) = f p (x)g p (x) aina, kun p on alkuluku. Silloin h = f g. (Totea!) Esimerkki 4.9.6 Olkoon θ(n) =2 ω(n). Silloin θ on multiplikatiivinen ja θ p (x) = +x x aina, kun p on alkuluku. (Totea!) Näin ollen θ p (x) =(µ 2 ) p (x)ζ p (x) aina, kun p on alkuluku. Koska funktiot θ, µ 2 ja ζ ovat multiplikatiivisia, niin θ = µ 2 ζ. Lause 4.9.3 Olkoon f sellainen aritmeettinen funktio, että f() 0. Silloin (f ) p (x) = f p(x) aina, kun p on alkuluku. Todistus Harjoitustehtävä. Esimerkki 4.9.7 Möbiuksen funktion µ käänteisfunktion Bellin sarjan modulo p antaa kaava (µ ) p (x) = x (= ζ p(x)). Huomautus Olkoot f ja g sellaisia multiplikatiivisia funktioita, että f p (x)g p (x) = aina, kun p on alkuluku. Silloin g = f. (Totea!) Esimerkki 4.9.8 Koska (µ 2 ) p (x) =+xja λ p (x) = aina, kun p on alkuluku +x (totea!), ja koska funktiot µ 2 ja λ ovat multiplikatiivisia, niin µ 2 = λ. 38

4.0 Identiteettejä Kaksi luontevaa tapaa todistaa aritmeettisia identiteettejä onkäyttää apuna multiplikatiivisuutta ja Dirichlet n tuloa. Havainnollistetaan asiaa kahdella esimerkillä. Esimerkki 4.0. Todistetaan, että n φ(n) = d n µ 2 (d) φ(d). (4.0.) µ 2 (d) Merkitään L(n) = n ja R(n) = φ(n) d n. Silloin L ja R ovat multiplikatiivisia φ(d) funktioita. Täten lauseen 4.3. nojalla yhtälö (4.0.) riittää osoittaa oikeaksi, kun n on alkuluvun potenssi p a, a. Selvästi ja L(p a )= Näin ollen yhtälö (4.0.) on voimassa. p a p a p a = R(p a )=+ p = p p p p. Esimerkki 4.0.2 Todistetaan, että σ (n) = d n φ(d)σ 0 (n/d). (4.0.2) Merkitään R(n) = d n φ(d)σ 0 (n/d). Silloin R(n) =(φ σ 0 )(n) =(N µ ζ ζ)(n). Koska µ ζ = δ, missä δ on ykkösfunktio, niin R(n) =(N ζ)(n) =σ (n). Näin ollen yhtälö (4.0.2) on voimassa. 39

4. Analogioita ja yleistyksiä Määritelmä Luvun n tekijää d sanotaan luvun n unitaaritekijäksi, jos (d, n/d) =. Jos d on luvun n unitaaritekijä, niin merkitään d n. Esimerkki 4.. Olkoon n = p a q b, missä p ja q ovat erisuuria alkulukuja. Silloin luvun n unitaaritekijät ovat, p a, q b ja n. Yleisesti, jos luvun n kanoninen esitys on n = p a p a 2 2 p a k, niin mitkä ovat luvun n unitaaritekijät? k Määritelmä Aritmeettisten funktioitten f ja g unitaaritulo (eli unitaarikonvoluutio) f g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f g)(n) = d n f(d)g(n/d). Lause 4.. Pari (A 0, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. (Pitkä.) Lause 4..2 Pari (M, ) on Abelin ryhmä. Todistus Harjoitustehtävä. (Pitkä.) Määritelmä Möbiuksen funktion unitaarianalogia µ on funktion ζ käänteisfunktio unitaaritulon suhteen. Määritelmä Merkintä (m, n) tarkoittaa luvun m suurinta (tavallista) tekijää, joka on luvun n unitaaritekijä. Esimerkki 4..2 Olkoon m = p 2 q 2 ja n = p 3 q, missä p ja q ovat erisuuria alkulukuja. Silloin (m, n) = q. Määritelmä Eulerin funktion unitaarianalogia φ määritellään kaavalla φ (n) = {a : a n, (a, n) =}. Lause 4..3 Eulerin funktion unitaarianalogia toteuttaa kaavan φ = N µ. 40

Todistus Harjoitustehtävä. Määritelmä Olkoon u Z +. Jordanin funktio J u määritellään kaavalla J u (n) = {(a,a 2,...,a u ): a,a 2,...,a u n, syt(a,a 2,...,a u,n)=}. Huomautus Kun u =, niin J u = φ. Siis J u on Eulerin funktion yleistys. Lause 4..4 Jordanin funktio toteuttaa kaavan J u = N u µ. Todistus Harjoitustehtävä. Määritelmä Olkoon K(n, d) reaaliarvoinen (tai kompleksiarvoinen) funktio sellaisten järjestettyjen parien (n, d) joukossa, missä d n. Silloin aritmeettisten funktioitten f ja gk-tulo (eli K-konvoluutio) f K g on sellainen aritmeettinen funktio, että (f K g)(n) = f(d)g(n/d)k(n, d). d n Esimerkki 4..3 Dirichlet n tulo ja unitaaritulo ovat K-tulon erikoistapauksia. (Totea!) Siis K-tulo on Dirichlet n tulon ja unitaaritulon yleistys. Määritelmä Aritmeettista funktiota f sanotaan additiiviseksi, jos f() = 0 ja f(mn) = f(m) + f(n) aina, kun (m, n) =. Aritmeettista funktiota f sanotaan täydellisesti additiiviseksi, jos f() = 0 ja f(mn) =f(m)+f(n) aina, kun m, n Z +. Huomautus Täydellisesti additiivinen funktio on additiivinen. Esimerkki 4..4 Funktio log n on täydellisesti additiivinen. 5 Aritmeettisen funktion keskiarvo 5. Määritelmä Määritelmä funktio, että Olkoon f aritmeettinen funktio. Olkoon g sellainen reaalimuuttujan lim x x g(x) f(n) =. 4

Silloin sanotaan, että funktion f(n) keskiarvo on g(n). Määritelmä Olkoon f aritmeettinen funktio. Jos f(n) lim =, x g(x) niin sanotaan, että osasumman f(n) asymptoottinen arvo on g(x). Erotusta f(n) g(x) sanotaan virhetermiksi ja merkitään symbolilla E(x). Virhetermi esitetään usein käyttämällä apuna O merkintää, joka määritellään seuraavassa. Määritelmä Olkoon g(x) > 0, kun x. Merkintä f(x) =O(g(x)) tarkoittaa, että on olemassa sellaiset vakiot M ja a, että f(x) Mg(x), kun x a. Merkintä tarkoittaa, että f(x) =h(x)+o(g(x)) f(x) h(x) =O(g(x)). Esimerkki 5.. Dirichlet n kaavan mukaan d(n) =x log x +(2C )x + O( x), x, (5..) missä C on Eulerin vakio, joka määritellään kaavalla C = lim (+ n 2 + 3 + + ) n log n. Näin ollen tekijäfunktion d(n) keskiarvo on log n, osasumman d(n) asymptoottinen arvo on x log x ja kaavan (5..) mukainen virhetermi on E(x) =(2C )x + O( x). 42

Dirichlet n kaavan virhetermiä voidaan parantaa. Toistaiseksi paras arvio on Iwaniecin ja Mozzochin (988) tulos E(x) =(2C )x + O ( x 7 22 +ε) aina, kun ε>0. Tässä monisteessa todistamme Dirichlet n kaavaa heikomman tuloksen ks. lause 5.4.. d(n) =x log x + O(x), 5.2 Abelin identiteetti Abelin identiteetin erikoistapauksena saadaan Eulerin summakaava, jota käytetään apuna joidenkin asymptoottisten kaavojen johtamisessa. Lause 5.2. (Abelin identiteetti) Olkoon a(n) aritmeettinen funktio. Merkitään A(x) = a(n), missä A(x) =0, kun x <. Olkoon f funktio, jolla on jatkuva derivaatta välillä [y, x], missä 0 <y<x. Silloin y< a(n)f(n) =A(x)f(x) A(y)f(y) x y A(t)f (t)dt. Todistus Merkitään [x] = k ja [y] = m, jolloin A(x) = A(k) ja A(y) = A(m). Silloin y< a(n)f(n) = = = = k n=m+ k n=m+ k n=m+ k n=m+ a(n)f(n) = A(n)f(n) k n=m+ k n=m {A(n) A(n )}f(n) A(n)f(n +) A(n){f(n) f(n +)} + A(k)f(k) A(m)f(m +) A(n) n+ n f (t)dt+a(k)f(k) A(m)f(m +) 43