Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Alkiot voidaan jakaa ekvivalenssin suhteen luokkiin niin, että kaikki ne alkiot, joilla on sama ominaisuus (eli ovat relaatiossa keskenään), kuuluvat samaan luokkaan.

Ekvivalenssirelaatiota merkitään usein symbolilla ( luetaan: mato ). Keskenään ekvivalenssirelaatiossa olevat alkiot ovat ekvivalentteja.

Ekvivalenssirelaatiota merkitään usein symbolilla ( luetaan: mato ). Keskenään ekvivalenssirelaatiossa olevat alkiot ovat ekvivalentteja. Kaikkein yksinkertaisin ekvivalenssirelaatio on identtinen relaatio I X (alkioiden samuus). Myös looginen ekvivalenttisuus lauselogiikan (tai predikaattilogiikan) kaavojen joukossa on ekvivalenssirelaatio.

Esimerkki. Geometriassa esiintyy monenlaisia ekvivalenssirelaatioita, esimerkiksi Ekvivalenssirelaation x 1 y x ja y ovat yhdensuuntaiset, (1) missä perusjoukkona on X = {L R 2 L on suora},

Esimerkki. Geometriassa esiintyy monenlaisia ekvivalenssirelaatioita, esimerkiksi Ekvivalenssirelaation x 1 y x ja y ovat yhdensuuntaiset, (1) missä perusjoukkona on X = {L R 2 L on suora}, x 2 y x ja y ovat yhtenevät, (2) ja x 3 y x ja y ovat yhdenmuotoiset, (3) jolloin perusjoukkona on (esim.) Y = {K R 2 K on kolmio}.

Esimerkki. Geometriassa esiintyy monenlaisia ekvivalenssirelaatioita, esimerkiksi Ekvivalenssirelaation x 1 y x ja y ovat yhdensuuntaiset, (1) missä perusjoukkona on X = {L R 2 L on suora}, x 2 y x ja y ovat yhtenevät, (2) ja x 3 y x ja y ovat yhdenmuotoiset, (3) jolloin perusjoukkona on (esim.) Y = {K R 2 K on kolmio}. Se sama ominaisuus, joka on keskenään ekvivalenteilla alkioilla, on kohdassa (1) suunta, kohdassa (2) muoto ja koko sekä kohdassa (3) muoto.

Alkion a määräämä ekvivalenssiluokka: Ekvivalenssirelaation a/ = { x X x a }

Alkion a määräämä ekvivalenssiluokka: Ekvivalenssirelaation a/ = { x X x a } Symmetrisyyden perusteella voidaan kirjoittaa myös a/ = { x X a x }.

Alkion a määräämä ekvivalenssiluokka: Ekvivalenssirelaation a/ = { x X x a } Symmetrisyyden perusteella voidaan kirjoittaa myös a/ = { x X a x }. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään X /. Siis X / = { a/ a X } Huomaa, että tämän joukon alkiot ovat joukkoja. Esimerkki Taululla.

Refleksiivisyydestä seuraa, että a a/, joten minkään alkion määräämä ekvivalenssiluokka ei ole tyhjä. Ekvivalenssiluokalle a/ voidaan käyttää mukavampaa merkintää [a], jos asiayhteys on sellainen, ettei relaatiota tarvitse korostaa.

Refleksiivisyydestä seuraa, että a a/, joten minkään alkion määräämä ekvivalenssiluokka ei ole tyhjä. Ekvivalenssiluokalle a/ voidaan käyttää mukavampaa merkintää [a], jos asiayhteys on sellainen, ettei relaatiota tarvitse korostaa. Ekvivalenssiluokat muodostuvat keskenään ekvivalenteista alkioista siten, että kukin alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan.

Refleksiivisyydestä seuraa, että a a/, joten minkään alkion määräämä ekvivalenssiluokka ei ole tyhjä. Ekvivalenssiluokalle a/ voidaan käyttää mukavampaa merkintää [a], jos asiayhteys on sellainen, ettei relaatiota tarvitse korostaa. Ekvivalenssiluokat muodostuvat keskenään ekvivalenteista alkioista siten, että kukin alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan. Ekvivalenssiluokan alkiota käytetään usein luokkansa edustajana ja luokka voidaan tietyssä mielessä samastaa edustajaansa.

Lause 9. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa X ja a, b X. Tällöin a/ = b/, jos ja vain jos a b. Todistus. Taululla.

Lause 9. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa X ja a, b X. Tällöin a/ = b/, jos ja vain jos a b. Todistus. Taululla. Lause 10. Jos on ekvivalenssirelaatio joukossa X, niin joukon X jokainen alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan. Todistus. taululla.

Jos joukossa X on määritelty laskutoimitus, niin joukossa X / = {[x] x X } voidaan yrittää määritellä vastaava laskutoimitus ekvivalenssiluokkien edustajien avulla seuraavasti: [a] [b] = [a b].

Jos joukossa X on määritelty laskutoimitus, niin joukossa X / = {[x] x X } voidaan yrittää määritellä vastaava laskutoimitus ekvivalenssiluokkien edustajien avulla seuraavasti: [a] [b] = [a b]. Jotta olisi mielekäs, niin laskutoimituksen tulos ei saa riippua edustajien (a ja b) valinnasta.

Laskutoimituksen joukossa X / on oltava hyvin määritelty (engl. well-defined): [x] = [x ] [y] = [y ] = [x y] = [x y ]

Laskutoimituksen joukossa X / on oltava hyvin määritelty (engl. well-defined): [x] = [x ] [y] = [y ] = [x y] = [x y ] Tämä ehto toteutuu, jos ja vain jos joukon X laskutoimitus toteuttaa ehdon x x y y x y x y.

Esimerkki. Määrittelemme tason (tai avaruuden) suuntajanojen joukossa ekvivalenssirelaation x y x:llä ja y:llä on sama pituus ja sama suunta.

Esimerkki. Määrittelemme tason (tai avaruuden) suuntajanojen joukossa ekvivalenssirelaation x y x:llä ja y:llä on sama pituus ja sama suunta. Kutsumme vastaavia ekvivalenssiluokkia (geometrisiksi) vektoreiksi. Siis vektori on kaikkien keskenään yhtäpitkien ja samansuuntaisten suuntajanojen joukko. Mikä tahansa näistä suuntajanoista edustaa kyseistä vektoria.

Esimerkki. Määrittelemme tason (tai avaruuden) suuntajanojen joukossa ekvivalenssirelaation x y x:llä ja y:llä on sama pituus ja sama suunta. Kutsumme vastaavia ekvivalenssiluokkia (geometrisiksi) vektoreiksi. Siis vektori on kaikkien keskenään yhtäpitkien ja samansuuntaisten suuntajanojen joukko. Mikä tahansa näistä suuntajanoista edustaa kyseistä vektoria. Vektorien summa ja muut laskutoimitukset määritellään edustajien avulla. Tällöin ne on osoitettava riippumattomiksi edustajien valinnasta.

Tarkastellaan joukossa Z määriteltyä relaatiota x y x y on parillinen eli jaollinen kahdella Tämä relaatio on ekvivalenssi. Taululla.

Tarkastellaan joukossa Z määriteltyä relaatiota x y x y on parillinen eli jaollinen kahdella Tämä relaatio on ekvivalenssi. Taululla. Ekvivalenssiluokkia on kaksi: parilliset luvut ja parittomat luvut. Käytetään merkintöjä [0] = [ 2] = [2] = (parilliset luvut) ja [1] = [ 1] = [3] = [ 3] = (parittomat luvut) näille ekvivalenssiluokille.

Määritellään ekvivalenssiluokkien yhteen- vähennys- ja kertolasku seuraavasti: [a] [b] = [a + b] [a] [b] = [a b] [a] [b] = [ab]

Esimerkkejä: [1] [0] = [1 + 0] = [1] (parittoman ja parillisen luvun summa on pariton) [1] [1] = [1 1] = [0] (parittomien lukujen erotus on parillinen)

Esimerkkejä: [1] [0] = [1 + 0] = [1] (parittoman ja parillisen luvun summa on pariton) [1] [1] = [1 1] = [0] (parittomien lukujen erotus on parillinen) [1] [0] = [1 0] = [0] (parittoman ja parillisen luvun tulo on parillinen) [1] [1] = [1 1] = [1] (parittomien lukujen tulo on pariton) [0] [0] = [0 0] = [0] (parillisten lukujen tulo on parillinen)

[5] ([11] [26]) ([ 7] [ 21]) = [1] ([1] [0]) ([1] [1]) = ([1] [1 0]) ([1 1]) = ([1] [1]) [1] = [1 1] [1] = [1] [1] = [1 + 1] = [2] = [0]

[5] ([11] [26]) ([ 7] [ 21]) = [1] ([1] [0]) ([1] [1]) = ([1] [1 0]) ([1 1]) = ([1] [1]) [1] = [1 1] [1] = [1] [1] = [1 + 1] = [2] = [0] Siis lausekkeen 5 (11 26) + ( 7) ( 21) arvo on parillinen. Mutta voiko näin laskea? Onko esimerkiksi ([11] [26]) varmasti sama kuin ([1] [0])?

Todistetaan seuraavaksi, että kertolasku on hyvin määritelty: Ekvivalenssirelaation [a] = [c] [b] = [d] = [ab] = [cd].

Todistetaan seuraavaksi, että kertolasku on hyvin määritelty: Ekvivalenssirelaation [a] = [c] [b] = [d] = [ab] = [cd]. Todistus. Oletetaan, että [a] = [c] ja [b] = [d]. Tällöin siis a c ja b d.

Todistetaan seuraavaksi, että kertolasku on hyvin määritelty: Ekvivalenssirelaation [a] = [c] [b] = [d] = [ab] = [cd]. Todistus. Oletetaan, että [a] = [c] ja [b] = [d]. Tällöin siis a c ja b d. Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja l, että Siis a = c + 2k ja b = d + 2l. a c = 2k, b d = 2l.

Todistetaan seuraavaksi, että kertolasku on hyvin määritelty: Ekvivalenssirelaation [a] = [c] [b] = [d] = [ab] = [cd]. Todistus. Oletetaan, että [a] = [c] ja [b] = [d]. Tällöin siis a c ja b d. Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja l, että a c = 2k, b d = 2l. Siis a = c + 2k ja b = d + 2l. Sijoittamalla nämä saadaan, että ab cd = (c + 2k)(d + 2l) cd = 2(cl + k(d + 2l))

Siis ab cd on parillinen, ts. ab cd, joten [ab] = [cd]. Kertolasku on hyvin määritelty; kertolaskun tulos ei riipu siitä, mitä edustajia ekvivalenssiluokille valitaan.

Siis ab cd on parillinen, ts. ab cd, joten [ab] = [cd]. Kertolasku on hyvin määritelty; kertolaskun tulos ei riipu siitä, mitä edustajia ekvivalenssiluokille valitaan. Jätämme harjoitustehtäväksi todistaa myös yhteen- ja vähennyslaskun olevan hyvin määriteltyjä.

Voimme määritellä myös potenssin ekvivalenssiluokkien joukossa tavalliseen tapaan: [a] n = [a] [a] [a]. }{{} n kertaa

Voimme määritellä myös potenssin ekvivalenssiluokkien joukossa tavalliseen tapaan: [a] n = [a] [a] [a]. }{{} n kertaa Induktiolla voidaan helposti todistaa, että [a] n = [a n ]. Koska ekvivalenssiluokkia on vain kaksi ja [1 n ] = [1], saamme sovelluksena tuloksen Olkoon m Z. Tällöin luvut m, m 2, m 3, m 4,... ovat joko kaikki parillisia tai kaikki parittomia.

Voimme määritellä myös potenssin ekvivalenssiluokkien joukossa tavalliseen tapaan: [a] n = [a] [a] [a]. }{{} n kertaa Induktiolla voidaan helposti todistaa, että [a] n = [a n ]. Koska ekvivalenssiluokkia on vain kaksi ja [1 n ] = [1], saamme sovelluksena tuloksen Olkoon m Z. Tällöin luvut m, m 2, m 3, m 4,... ovat joko kaikki parillisia tai kaikki parittomia. Tämän ja muut tässä esitetyt parillisuutta ja parittomuutta koskevat tulokset voi toki helposti todistaa suoraankin ilman viittauksia ekivalenssirelaatioon - ja luokkiin.

Yleisemmin, jos n Z +, niin relaatio on ekvivalenssi. x y x y on jaollinen luvulla n

Yleisemmin, jos n Z +, niin relaatio on ekvivalenssi. x y x y on jaollinen luvulla n Ekvivlenssiluokkien yhteenlasku, vähennyslasku ja kertolasku voidaan määritellä myös tässä yleisessä tapauksessa samalla tavalla kuin edellä. Siis [a] [b] = [a + b], [a] [b] = [a b] ja [a] [b] = [ab] kaikilla a, b Z.

Olkoon R relaatio joukossa X. Tällöin tsr(r) on pienin R:n sisältävä ekvivalenssirelaatio:

Olkoon R relaatio joukossa X. Tällöin tsr(r) on pienin R:n sisältävä ekvivalenssirelaatio: Lause 11. (1) tsr(r) on joukon X ekvivlenssirelaatio. (2) Jos S on joukon X ekvivalenssi s.e. R S, niin tsr(r) S.

Olkoon R relaatio joukossa X. Tällöin tsr(r) on pienin R:n sisältävä ekvivalenssirelaatio: Lause 11. (1) tsr(r) on joukon X ekvivlenssirelaatio. (2) Jos S on joukon X ekvivalenssi s.e. R S, niin tsr(r) S. Todistuksen idea. (1) tsr(r) = t(sr(r)) on n mukaan transitiivinen. Se on myös symmetrinen, koska sr(r) = s(r(r)) on symmetrinen, ja tämä säilyy transitiivisessa sulkeumassa. Samoin nähdään, että tsr(r) on refleksiivinen.

Olkoon R relaatio joukossa X. Tällöin tsr(r) on pienin R:n sisältävä ekvivalenssirelaatio: Lause 11. (1) tsr(r) on joukon X ekvivlenssirelaatio. (2) Jos S on joukon X ekvivalenssi s.e. R S, niin tsr(r) S. Todistuksen idea. (1) tsr(r) = t(sr(r)) on n mukaan transitiivinen. Se on myös symmetrinen, koska sr(r) = s(r(r)) on symmetrinen, ja tämä säilyy transitiivisessa sulkeumassa. Samoin nähdään, että tsr(r) on refleksiivinen. (2) Jos S on ekvivalenssi s.e. R S, niin r(r) S, koska S on refleksiivinen. Samalla tavalla nähdään, että sr(r) S, ja edelleen, että tsr(r) S.

Esimerkki. Jos X = {a, b, c, d} ja R = {(a, a), (b, c), (c, d)}, niin r(r) = I X {(b, c), (c, d)},

Esimerkki. Jos X = {a, b, c, d} ja R = {(a, a), (b, c), (c, d)}, niin r(r) = I X {(b, c), (c, d)}, sr(r) = I X {(b, c), (c, d), (c, b), (d, c)}, ja

Esimerkki. Jos X = {a, b, c, d} ja R = {(a, a), (b, c), (c, d)}, niin r(r) = I X {(b, c), (c, d)}, sr(r) = I X {(b, c), (c, d), (c, b), (d, c)}, ja tsr(r) = I X {(b, c), (b, d), (c, b), (c, d), (d, b), (d, c)}.

Esimerkki. Jos X = {a, b, c, d} ja R = {(a, a), (b, c), (c, d)}, niin r(r) = I X {(b, c), (c, d)}, sr(r) = I X {(b, c), (c, d), (c, b), (d, c)}, ja tsr(r) = I X {(b, c), (b, d), (c, b), (c, d), (d, b), (d, c)}. Ekvivalenssirelation tsr(r) ekvivalenssiluokat ovat siis {a} ja {b, c, d}, joten X /R = { {a}, {b, c, d} }.

Olemme todenneet, että jokainen ekvivalenssirelaatio määrittelee luokkajaon, nimittäin jaon ekvivalenssiluokkiin. Osoitamme nyt käänteisesti, että jokainen luokkajako määrittelee ekvivalenssirelaation. Tarkastelemme joukon X ( ) luokkajakoa A = {A k } k I, jolloin X = k I A k, missä A i A k = aina, kun i k.

Olemme todenneet, että jokainen ekvivalenssirelaatio määrittelee luokkajaon, nimittäin jaon ekvivalenssiluokkiin. Osoitamme nyt käänteisesti, että jokainen luokkajako määrittelee ekvivalenssirelaation. Tarkastelemme joukon X ( ) luokkajakoa A = {A k } k I, jolloin X = k I A k, missä A i A k = aina, kun i k. Määrittelemme joukossa X relaation x y x ja y kuuluvat samaan joukkoon A k, joka on helppo osoittaa ekvivalenssiksi. Nyt X / = A.