Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Samankaltaiset tiedostot
Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

1 sup- ja inf-esimerkkejä

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

1 sup- ja inf-esimerkkejä

Matemaattisen analyysin tukikurssi

1 Supremum ja infimum

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

1 Reaaliset lukujonot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Matematiikan tukikurssi

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä

Osa 5. lukujonot ja sarjat.

Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7

Sarjojen suppenemisesta

Kuinka määritellään 2 3?

Matematiikan tukikurssi

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Äärettömät raja-arvot

Matematiikan tukikurssi

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta 1

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Raja-arvot ja jatkuvuus

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Konvergenssilauseita

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

Lukujonot lukiossa ja yliopistossa

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Matematiikan tukikurssi

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kompleksianalyysi, viikko 5

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Funktion määrittely (1/2)

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Euklidiset avaruudet. MS-C1540 Euklidiset avaruudet. Tavoitteet. Perusongelma. Esimerkki. Solmussa vai ei? Linkissä vai ei?

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

MS-C1540 Euklidiset avaruudet. MS-C1540 Sisältö. Euklidiset avaruudet. Tavoitteet. Perusongelma. Esimerkki. Linkissä vai ei? Solmussa vai ei?

MS-C1540 Sisältö. 7 Jonot. 1 Johdanto. 8 Funktiojonot. 2 Reaaliluvut. 9 Täydellisyys. 3 Jatkuvat funktiot R:ssä. 10 Kompaktius. 4 Sisätulo ja normi

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

2 Funktion derivaatta

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Transkriptio:

Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f (n) = a n. Jonon indeksöinti voi alkaa myös jostakin muusta arvosta kuin 1. Jos indeksin alkuarvo ei ole tärkeä tai tilanne on muuten selvä, voidaan käyttää merkintää (a n ). 1 / 10

Käytännössä Jonoja voidaan määritellä antamalla yleisen termin lauseke; esimerkiksi a n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ). rekursiivisesti palautuskaavojen avulla, erityisesti monissa numeerisissa menetelmissä. Esimerkiksi f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 2 + f n 1, kun n 2 Fibonaccin lukujono (0, 1, 1, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittauksia jostakin systeemistä; esimerkiksi äänen voimakkuus tasaisin aikavälein (idealisoituna äärettömäksi jonoksi). 2 / 10

Perusongelmat Mitä jonon ominaisuuksia saadaan selville yleisen termin tai palautuskaavojen avulla? Miten palautuskaavasta saadaan yleisen termin lauseke? Esimerkiksi Fibonaccin jonolle jossa f n = 1 5 ( ϕ n ( ϕ) n), ϕ = 1 + 5 2 on ns. kultaisen leikkauksen suhde. 3 / 10

Jonojen ominaisuuksia Määritelmä 1 Lukujono (a n ) on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen C R, että a n C kaikilla n alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen c R, että a n c kaikilla n rajoitettu, jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu nouseva, jos a n+1 a n kaikilla n laskeva, jos a n+1 a n kaikilla n monotoninen, jos se on nouseva tai laskeva 4 / 10

Suppeneminen Määritelmä 2 Lukujono (a n ) suppenee kohti raja-arvoa L R, jos lausekkeen a n L arvo lähestyy nollaa, kun n ; täsmällisemmin: Jokaista ε > 0 vastaa sellainen indeksi n ε N, että a n L < ε aina, kun n n ε. Tällöin merkitään lim a n = L tai lim a n = L tai lyhyesti a n L. Jos lukujono ei suppenee, niin se hajaantuu. Idea: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε tarvitaan. Piirrä kuvio! 5 / 10

Yleisiä tuloksia 6 / 10 Laskeva ja alhaalta rajoitettu jono suppenee. Suppeneva jono on rajoitettu. Suppiloperiaate: Jos a n b n c n jostakin indeksistä alkaen ja lim a n = lim c n = L, niin jono (b n ) suppenee ja lim b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku 1 < q 1, jolloin sen raja-arvo on joko 0 tai 1. Muissa tapauksissa geometrinen jono hajaantuu. Jonon suppenemista kohti nollaa voi tutkia lausekkeen a n+1 /a n avulla: jos jostakin indeksistä alkaen on a n+1 /a n q ja 0 q < 1, niin lim a n = 0. Tämä seuraa kahdesta edellisestä kohdasta.

Laskusääntöjä 7 / 10 Jos lim a n = a, lim b n = b ja c R, niin lim (a n + b n ) = a + b, lim (a nb n ) = ab, lim (c a n) = c a (edellisen erikoistapaus), lim (a n/b n ) = a/b, jos b 0 (jolloin myös b n 0 jostakin indeksistä alkaen). Perustelu: Ensimmäinen ja kolmas kaava ovat suoraviivaisia. Toisen kohdalla käytetään epäyhtälöä a n b n ab = (a n b n a n b) + (a n b ab) a n b n b + a n a b ja sitä, että a n C jollakin vakiolla C. Neljännen kaavan kohdalla osoitetaan aluksi, että 1/b n 1/b, ja käytetään sen jälkeen tulokaavaa.

Esimerkkejä lim n a = 1, kun a > 0 lim n n = 1 lim ( 1 + 1 n) n = e = Neperin luku 2,7182818... Stirlingin kaava (jolle ei helppoa todistusta!): lim n! 2πn(n/e) n = 1. Idea: Ensimmäinen seuraa toisesta suppiloperiaatteen avulla. Toisen kohdalla merkitään x n = n n 1 > 0 ja sovelletaan binomikaavaa: n = (1 + x n ) n = 1 + nx n + n(n 1)x 2 n/2 + > 1 + n(n 1)x 2 n/2, joten 0 < x n < 2/n. 8 / 10

Ympyrän kaarenpituus ja kulma Kaarenpituus yksikköympyrällä x 2 + y 2 = 1 määritellään seuraavalla tavalla: jaetaan tutkittava kaari tasavälisesti 2 n :ään osaan ja lasketaan vastaavan murtoviivan pituus a n. Näin saadaan nouseva ja ylhäältä rajoitettu jono, jonka raja-arvo on kyseessä olevan kaaren pituus. Määritelmä 3 Luku π on yksikköympyrän puolikkaan kaarenpituus. Kaarenpituuden avulla määritellään kulman yksikkö radiaani (lyh. rad), joka on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin x ja cos x määritellään yksikköympyrän kaarenpituuden avulla kaikille x R. 9 / 10

Raja-arvon yleistykset Myös käsitteet lim a n = ja voidaan määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim a n = lim a n = jokaista lukua M vastaa sellainen indeksi n M, että a n M aina kun n n M. Sanotaan: Jono (a n ) hajaantuu kohti ääretöntä. 10 / 10