Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x} ei erottele verkossa G solmuja a ja b toisistaan, joten on olemassa jokin sellainen verkon G polku P näiden solmujen välillä, että ehto V(P) (X\{x})= on voimassa. Joukko X erottelee solmut a ja b kuitenkin toisistaan, joten väite V(P) X ={x} pätee. Toisaalta oletuksen X {a, b}= perusteella myös ehto x / {a, b} toteutuu, jolloin x ei ole polun P päätepiste. Olkoot P a ja P b verkon P epätyhjät polut, joilla ehto V(P a ) V(P b )= V(P)\{x} pätee ja joilla solmu a on polun P a päätepiste ja solmu b on polun P b päätepiste. Olkoot lisäksi verkon G solmut r ja s sellaisia, että joukko{a, r} on polun P a päätepisteiden joukko ja että joukko{b, s} on polun P b päätepisteiden joukko. Kyseiset päätepisteiden joukot voivat olla yksiöitä, mutta ehto N G (x) V(P)={r, s} on voimassa. Tiedon V(P) X ={x} perusteella verkot P a ja P b ovat verkon G X polkuja. Polku P a on tällöin eräs solmun a sisältävä verkon G X yhtenäinen aliverkko, joten P a on verkon G X komponentin C a aliverkko. Vastaavasti P b on verkon G X komponentin C b aliverkko. Alkio r on siten verkon C a solmu ja alkio s on verkon C b solmu. Näin ollen verkoissa C a ja C b on molemmissa ainakin yksi solmun x naapuri. Solmu x valittiin mielivaltaisesti, joten halutun väitteen toinen suunta on osoitettu todeksi. Oletetaan käänteisesti joukon X jokaisella alkiolla olevan jokin verkkoon C a kuuluva naapuri sekä jokin verkkoon C b kuuluva naapuri. Osoitetaan tällöin, että joukko X on sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Oletetaan tätä varten joukon Y olevan alkioiden määrän suhteen pienin mahdollinen solmut a ja b erotteleva joukon X osajoukko. Näytetään ehdon X = Y olevan voimassa. Olkoon joukon X alkio x mielivaltainen. Oletuksen nojalla on olemassa jotkin verkon G solmut v ja w siten, että ehdot v N G (x) V(C a ) ja w N G (x) V(C b ) ovat voimassa. Verkot C a ja C b ovat yhtenäisiä, joten on olemassa verkon C a polku P v solmujen a ja v välillä sekä verkon C b polku P w solmujen b ja w välillä. 1

Verkoilla C a ja C b ei ole yhteisiä solmuja keskenään eikä joukon X kanssa. Yhdistämällä nyt polut P v ja P w solmun x kautta saadaan siis sellainen verkon G polku solmujen a ja b välille, että se leikkaa joukkoa X vain solmun x kohdalla. Siten ehdon x Y on oltava voimassa. Näin ollen myös väite X Y toteutuu, mikä osoittaa joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Samoilla todistuksilla voidaan käsitellä tapaus, jossa solmut a ja b erottelevana joukkona on tyhjä joukko. Tällainen tilanne on mahdollinen, jos solmut a ja b ovat verkon G eri komponenteissa. Tehtävä 6 : 2 Solmut a ja b ovat tehtävän oletuksissa keskenään samanlaisessa asemassa, joten riittää osoittaa joukon Y a erottelevan solmut a ja b toisistaan. Joukko Y b voidaan käsitellä saman todistuksen nojalla. Olkoon P mielivaltainen verkon G polku solmujen a ja b välillä. Tavoitteena on näyttää ehdon V(P) V(Y a ) toteutuvan. Oletuksen mukaan joukot X ja X erottelevat solmut a ja b toisistaan, joten ehdot V(P) X sekä V(P) X ovat voimassa. Toisaalta oletuksen perusteella joukot X ja X eivät sisällä solmuja a ja b eli polun P päätepisteitä. Olkoon P X solmusta a lähtevä verkon P polku, joka kohtaa joukon X vain toisen päätepisteensä kohdalla. Olkoon vastaavasti P X sellainen solmusta a lähtevä verkon P polku, joka leikkaa joukkoa X ainoastaan toisessa päätepisteessään. Olkoon u joukon V(P X ) X ainoa alkio ja olkoon lisäksi u joukon V(P X ) X ainoa alkio. Tällöin verkko P X u on verkon C a polku ja verkko P X u on verkon C a polku. Jos ehto u = u on voimassa, niin väite V(P) X X toteutuu. Haluttu väite V(P) Y a on tässä tapauksessa voimassa. Voidaan jatkossa olettaa ehdon u u pätevän, jolloin polut P X ja P X eivät ole keskenään samanpituisia. Jos polku P X on polkua P X lyhyempi, niin polku P X on verkon P X u aliverkko, jolloin alkio u on verkon C a solmu. Tässä tapauksessa väite X V(C a) toteutuu. Jos vuorostaan polku P X on polkua P X lyhyempi, 2

niin alkio u on vastaavasti verkon C a solmu, jolloin väite X V(C a ) pätee. Molemmissa tapauksissa väite V(P) Y a toteutuu. Joukko Y a siis erottelee verkossa G solmut a ja b toisistaan. Siten myös joukko Y b erottelee nämä solmut. Tehtävä 6 : 3 Osoitetaan relaation olevan joukon E(G) ekvivalenssirelaatio. Relaatio on refleksiivinen, sillä jokaisella särmällä e E(G) on ehto e = e voimassa. Relaatio on suoraan myös symmetrinen, sillä yhtäsuuruusrelaatio ja verkon G samalla syklillä oleminen ovat molemmat symmetrisiä relaatioita. Näytetään seuraavaksi relaation olevan transitiivinen. Olkoon joukko {e, e, e } E(G) sellainen, että ehdot e e ja e e ovat voimassa. Jos näistä särmistä jotkin ovat keskenään samoja alkioita, niin ne kaikki ovat samoja alkioita tai sijaitsevat samalla syklillä, joten haluttu ehto e e pätee. Jatkossa voidaan olettaa joukossa {e, e, e } olevan kolme eri alkiota. Tällöin on olemassa verkon G syklit C ja C niin, että ehdot{e, e } E(C) ja{e, e } E(C ) toteutuvat. Erityisesti ehto e E(C) E(C ) on voimassa, joten sykleillä C ja C on ainakin kaksi yhteistä leikkauspistettä. Jos ehto C = C toteutuu, niin haluttu lopputulos on suoraan voimassa. Merkitään kirjaimella m syklin C solmujen lukumäärä. Olkoon joukon V(C) numerointi {x 1,..., x m } ilman toistoja sellainen, että pätee e = {x 1, x m } ja että jokaisella i {1,..., m 1} on ehto {x i, x i+1 } E(C) voimassa. Olkoon luku r joukon {1,..., m} pienin alkio, jolla ehto x r V(C ) pätee. Olkoon s vuorostaan suurin väitteen x s V(C ) toteuttava joukon {1,..., m} alkio. Nämä luvut ovat olemassa ja ovat keskenään eri alkioita tiedon e E(C) E(C ) nojalla. Olkoon A se syklin C solmut x r ja x s yhdistävä polku, jolle särmä e kuuluu. Vastaavasti olkoon A syklin C polku solmujen x r ja x s välillä siten, että särmä e on polun A särmäjoukossa. Oletuksen e e mukaan poluista A ja A ainakin toisessa on vähintään kaksi solmua. Polkujen A ja A yhdisteenä saadaan sellainen verkon G sykli, jolla särmät e ja e molemmat sijaitsevat. Väite e e on siis voimassa. Relaatio on transitiivinen ja siten joukon E(G) ekvivalenssirelaatio. 3

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Särmän f virittämä verkon G aliverkko K on yhtenäinen verkko. Kahden solmun aliverkossa K ei ole leikkaussolmuja, joten on olemassa verkon G sisältymisen suhteen maksimaalinen yhtenäinen aliverkko siten, että verkolla K ei ole leikkaussolmuja ja että verkko K on verkon B aliverkko. Verkko B on verkon G eräs lohko. Näytetään joukon E(B) olevan särmän f ekvivalenssiluokka relaation suhteen. Käsitellään ensin tilanne, jossa särmä f on ekvivalenssiluokkansa ainoa alkio. Osoitetaan väitteen B = K olevan voimassa. Oletetaan verkon B yhtenäisyyden perusteella vastaoletuksena, että jokin solmu a B\ K on särmän f päätepisteen naapurisolmu. Olkoon solmu x särmän f kyseinen päätepiste ja olkoon solmu y särmän f toinen päätepiste. Verkko B on lohko, joten alkio x ei ole sen leikkaussolmu. Verkko B x on siis yhtenäinen ja on olemassa verkon B x polku solmujen z ja y välillä. Kyseinen polku voidaan jatkaa verkon G sykliksi lisäämällä siihen särmä f sekä solmujen x ja z välinen särmä. Ristiriitaisesti särmän f ekvivalenssiluokassa on vähintään kolme alkiota. Ehdon K = B on näin ollen oltava voimassa, jolloin myös haluttu väite E(B)={ f} toteutuu. Oletetaan seuraavaksi, että särmän f ekvivalenssiluokassa relaation suhteen on ainakin kaksi eri alkiota. Särmä f on tällöin verkon G jollakin syklillä ja tämä sykli on 2-yhtenäisenä verkkona myös lohkon B aliverkko. Lohko B sisältää siis vähintään kolme solmua, jolloin lohko B on sisältymisen suhteen maksimaalinen 2-yhtenäinen verkon G aliverkko, jonka särmäjoukkoon särmä f kuuluu. Mikäli verkko B ei olisi 2-yhtenäinen, niin tiedon V(B) >2 nojalla jokin sen solmuista olisi leikkaussolmu. Näytetään ensin särmän f ekvivalenssiluokan olevan joukon E(B) osajoukko. Oletetaan vastaoletuksena joukon E(G)\ E(B) jonkin särmän g olevan sellainen, että väite f g pätee. Nyt jollakin verkon G syklillä C g väite { f, g} E(C g ) on voimassa. Tällöin verkkojen B ja C g yhdiste on 2-yhtenäinen. Verkoissa B ja C g ei nimittäin ole leikkaussolmuja ja toisaalta tiedon f E(B) E(C g ) nojalla niillä on ainakin kaksi yhteistä solmua. Yhden solmun poistaminen verkkojen B ja 4

C g yhdisteestä ei siis aiheuta epäyhtenäisyyttä. Saadaan ristiriita sen kanssa, että verkko B on maksimaalinen 2-yhtenäinen aliverkko. Vielä on osoitettava, että joukko E(B) sisältyy särmän f ekvivalenssiluokkaan. Olkoon joukon E(B)\{ f} alkio h mielivaltainen. Oletuksen mukaan jokaisella solmulla u V(B) verkko B u on yhtenäinen. Toisaalta joukon V(B) osajoukot f ja h ovat kaksioita, joten verkossa B mikään korkeintaan yhden solmun sisältävä joukon V(B) osajoukko ei erottele joukkoja f ja h toisistaan. Näin ollen Mengerin lauseen perusteella verkossa B on kaksi erillistä polkua kaksioiden f ja h välillä. Lisäämällä särmät f ja h kyseisten polkujen yhdisteeseen saadaan verkon G sykli, jolla särmät f ja h sijaitsevat. Haluttu tulos f h on voimassa. Näin ollen joukko E(B) on näytetty särmän f ekvivalenssiluokaksi. Verkon G jokaisen särmän ekvivalenssiluokan relaation suhteen havaitaan olevan verkon G jonkin lohkon särmäjoukko. Toisaalta myös jokainen verkon G sellainen lohko, johon kuuluu vähintään kaksi eri solmua, sisältää jonkin särmä ja sen virittämän aliverkon sekä siten myös kyseisen särmän ekvivalenssiluokan. Tehtävä 6 : 4 Todistetaan ennen varsinaisen tehtävän käsittelyä kaksi aputulosta. Ensimmäisenä käsiteltävää tulosta hyödynnetään lisäksi tehtävän 6 yhteydessä ja jälkimmäistä tulosta sovelletaan tehtävän 5 ratkaisussa. Lemma. Olkoon k Z + jokin luku ja olkoon H äärellinen k-yhtenäinen verkko. Olkoon S V(H) epätyhjä osajoukko ja olkoon solmu r V(H) mielivaltainen. Tällöin on olemassa vähintään min{ S, k} kappaletta sellaisia verkon H polkuja solmun r ja joukon S solmujen välillä, että ne leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun r kohdalla. Erityisesti jokaisella solmulla s V(H)\{r} on vähintään k kappaletta verkon H riippumattomia polkuja solmujen r ja s välillä. Todistus. Kolmannen harjoituskerran tehtävän 2 nojalla ehto κ(h) δ(h) pätee, joten joukossa N H (r) on ainakin k eri solmua. Olkoon X jokin ehdot X < S ja X <k toteuttava joukon V(H) osajoukko. Näytetään nyt, että joukko X ei erottele verkossa H joukkoja S ja N H (r) toisistaan. 5

Verkko H on k-yhtenäinen, joten tiedosta X < k seuraa verkon H X olevan yhtenäinen. Toisaalta tietojen X < S ja X < N H (r) nojalla verkossa H X on vähintään yksi joukkoon S kuuluva solmu ja vähintään yksi joukkoon N H (r) kuuluva solmu. Verkon H X yhtenäisyyden nojalla joukkojen S\X ja N H (r)\x välillä on olemassa jokin verkon H X polku. Kyseinen polku yhdistää tällöin joukot S ja N H (r) verkossa H eikä sisällä joukon X solmuja. Joukko X ei siis erottele joukkoja S ja N H (r) verkossa H. Edellisen päättelyn perusteella jokainen joukot S ja N H (r) erotteleva joukon V(H) osajoukko sisältää ainakin min{ S, k} alkiota. Näin ollen Mengerin lauseen nojalla on vähintään min{ S, k} kappaletta verkon H erillisiä polkuja joukkojen S ja N H (r) välillä. Näistä poluista jokainen voidaan jatkaa solmuun r asti vieväksi poluksi yhden uuden särmän lisäämisellä, jolloin tuloksena olevat polut leikkaavat toisiaan ainoastaan solmun x kohdalla. Olkoon lisäksi solmu s V(H)\{r} mielivaltainen. Solmulla s on ainakin k naapuria, joten edellisten päätelmien nojalla solmusta r on vähintään k kappaletta sellaisia polkuja joukon N H (s) alkioihin, että kyseiset polut leikkaavat pareittain toisiaan ainoastaan solmun r kohdalla. OlkoonP näiden polkujen kokoelma. Jos mikään joukon P poluista ei kulje solmun s kautta, niin joukon P kaikki polut voidaan jatkaa solmuun s asti. Tässä tapauksessa solmujen r ja s välillä on siis ainakin k kappaletta riippumattomia polkuja. Muussa tapauksessa oletuksen s r nojalla on olemassa täsmälleen yksi P P siten, että ehto s V(P) toteutuu. Kokoelman P polut nimittäin leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x osalta. Jatkamalla joukon P \{P} kaikki polut solmuun s asti sekä valitsemalla lyhyin verkkoon P sisältyvä polku solmujen r ja s välillä saadaan tuloksena vähintään k kappaletta solmujen r ja s välisiä riippumattomia polkuja. Luentojen ja kurssikirjan tavoin merkinnällä v e tarkoitetaan verkon G/e sitä alkiota, joka syntyy särmän e kutistamisessa. Seuraavien havaintojen yhteydessä oletetaan, että särmän suhteen kutistettu verkko on määritelty tarkastellun särmän ja sen päätepisteiden korvaamisella uudella solmulla ilman ekvivalenssiluokkia. Ekvivalenssirelaation avulla tehdyn määritelmän tapauksessa verkkojen ja niiden polkujen käsittelyssä on käytettävä verkkojen välisiä isomorfismeja. 6

Lemma. Olkoot verkko H ja sen särmä f mielivaltaisia sekä olkoot solmut x ja y särmän f päätepisteet. Tällöin ehto H {x, y}=(h/ f) v f on voimassa. Lisäksi jokaisella osajoukolla A V(H)\{x, y} väite(h/ f) A=(H A)/ f pätee. Olkoot toisaalta verkon H polku P ja joukkoon V(H)\{x, y} kuuluva polun P päätepiste p sellaisia, että polun P jäljellä oleva päätepiste on joukon {x, y} alkio. Tällöin verkossa H/ f on olemassa solmujen p ja v f välinen polku, jonka solmut ovat joukon (V(P)\{x, y}) {v f } alkioita. Jos erityisesti P on verkon H polku joukon H\{x, y} kahden solmun välillä, niin kyseiset solmut yhdistää myös verkon H/ f polku, jonka solmut ovat joukon(v(p )\{x, y}) {v f } alkioita. Todistus. Jokaisella verkon H solmulla u pätee u V(H)\{x, y} tasan silloin, kun ehto u V(H/ f) toteutuu. Lisäksi väitteet v f / V(H) sekä v f / V(H/ f)\{v f } ovat voimassa. Siten verkkojen H {x, y} ja(h/ f) v f solmujoukot ovat samat. Edelleen verkon H jokaisella särmällä g pätee g E(H {x, y}) g {x, y}= g E(H/ f). Toisaalta jokaisella verkon H solmulla u ovat ehdot{u, v f } / E(H {x, y}) sekä {u, v f } / E((H/ f) v f ) voimassa. Siten verkoilla H {x, y} ja (H/ f) v f on sama särmäjoukko. Ensimmäinen kysytty yhtäsuuruus on voimassa. Kiinnitetään tarkasteltavaksi joukoksi A jokin joukon V(H)\{x, y} osajoukko. Jokaisella verkon H solmulla u on voimassa u V ( (H/ f) A ) u V(H/ f) u / A u / {x, y} u / A u V(H A) u / {x, y} u V ( (H A)/ f ). Solmu v f on verkon (H/ f) A solmu, sillä väite v f / A pätee. Lisäksi oletuksen {x, y} A= perusteella solmu v f on myös verkon(h A)/ f solmu. Näin ollen verkoilla(h/ f) A ja(h A)/ f on sama solmujoukko. 7

Verkoilla (H/ f) A ja (H A)/ f on myös sama särmäjoukko. Verkon H jokaisella särmällä g saadaan nimittäin tulos g E ( (H/ f) A ) g E(H/ f) g A= g {x, y}= g A= g E(H A) g {x, y}= g E ( (H A)/ f ). Edelleen jokaisella solmulla u V(H)\A kaksio {u, v f } on verkon (H/ f) A särmä ja verkon (H A)/ f särmä. Vuorostaan jokaisella u A kaksio {u, v f } ei ole kummankaan tarkastellun verkon särmä. Verkot(H/ f) A ja(h A)/ f ovat siten keskenään sama verkko. Olkoon P p verkon P pisin sellainen solmusta p lähtevä polku, joka ei kohtaa särmän f päätepisteitä. Olkoon verkon P p solmu q sellainen, että joukko{p, q} on polun P p päätepisteiden joukko. Ehto q N H (x) N H (y) on voimassa. Lisäämällä solmu v f sekä särmä{q, v f } polkuun P p saadaan halutun ehdon toteuttava verkon H/ f polku solmujen p ja v f välille. Olkoon toisaalta P joukon V(H)\{x, y} alkioita yhdistävä verkon H polku. Jos ehto V(P ) {x, y} = toteutuu, niin P on verkon H/ f polku ja haluttu väite on voimassa. Jos sen sijaan ehto V(P ) {x, y} pätee, niin polun P päätepisteiden välille saadaan halutun ehdon toteuttava verkon H/ f polku solmun v f kautta edellisessä kappaleessa tehdyn päättelyn mukaisesti. Palataan takaisin varsinaisen tehtävän ratkaisuun. Käsitellään ensin tapaus, jossa jollakin verkon G syklillä C ovat ehdot e V(C) ja e / E(C) voimassa. Näytetään verkon G e olevan tällöin 2-yhtenäinen. Verkossa G on ainakin neljä solmua, joten 2-yhtenäisyyteen liittyvä vaatimus V(G e) > 2 toteutuu. Olkoon solmu a V(G e) mielivaltainen. Osoitetaan verkon (G e) a olevan yhtenäinen. Olkoot r ja s jotkin verkon (G e) a solmut. Verkko G on 2-yhtenäinen, joten verkossa G a on olemassa polku P solmujen r ja s välillä. Mikäli ehto e / E(P) toteutuu, niin polku P on suoraan verkon (G e) a polku solmujen r ja s välillä. 8

Jos väite e E(P) pätee, niin polku P leikkaa sykliä C vähintään särmän e molempien päätepisteiden kohdalla. Toisaalta solmu a kuuluu enintään toiselle särmän e päätepisteiden välisistä syklin C kaarista, jolloin voidaan valita verkon C a aliverkko P C siten, että aliverkko P C on verkon C a suurinta pituutta oleva polku, jonka päätepisteet ovat polun P varrella. Jatkamalla polkua P C tarvittaessa vielä polun P päätepisteistä lähtevillä osilla saadaan verkon (G e) a polku solmujen r ja s välille. Solmut r ja s voidaan siis molemmissa tapauksissa yhdistää verkon(g e) a jollakin polulla. Toisaalta kyseiset solmut valittiin mielivaltaisesti, joten verkko (G e) a on yhtenäinen. Verkon G e on osoitettu olevan 2-yhtenäinen. Oletetaan seuraavaksi, että verkossa G ei ole sellaista särmän e päätepisteet sisältävää sykliä, jolla särmä e ei sijaitse. Näytetään tässä tapauksessa verkon G/e olevan 2-yhtenäinen. Oletuksesta V(G) 4 seuraa vaatimuksen V(G/e) > 2 olevan voimassa. Olkoot nyt r ja s verkon G/e kaksi eri solmua siten, että ehto r v e on voimassa. Osoitetaan solmujen r ja s välillä olevan tällöin ainakin kaksi verkon G/e riippumatonta polkua. Oletetaan ensin ehdon s = v e toteutuvan. Olkoon verkon G solmu x jatkossa särmän e toinen päätepiste. Tällöin ehto x r toteutuu. Verkko G on 2-yhtenäinen, joten ensimmäisen aputuloksen nojalla verkossa G on kaksi riippumatonta polkua solmujen r ja x välillä. Jälkimmäisen aputuloksen perusteella näistä saadaan kaksi verkon G/e riippumatonta polkua solmujen r ja v e välille Käsitellään jäljellä oleva tapaus, jossa ehto s v e on voimassa. Ensimmäisen aputuloksen perusteella on olemassa kaksio P verkon G riippumattomia polkuja solmujen r ja s välillä. Näytetään korkeintaan toisen kaksion P polun sisältävän särmän e päätepisteitä. Oletetaan vastaoletuksena kaksion P kummankin polun sisältävän särmän e päätepisteitä. Tiedon {r, s} e = perusteella särmän e päätepisteet kuuluvat joukon P eri polkujen varrelle, sillä kaksion P riippumattomat polut leikkaavat vain päätepisteissään. Särmä e ei ole kummankaan polun varrella. Yhdistämällä kaksion P riippumattomat polut saadaan ristiriitaisesti verkon G sykli, jolla särmä e itse ei sijaitse ja joka kuitenkin sisältää särmän e päätepisteet. 9

Olkoon P P sellainen, että ehto V(P) e= toteutuu. Verkko P on suoraan verkon G/e polku. Soveltamalla toisaalta jälkimmäistä aputulosta yksiön P \{P} sisältämään polkuun saadaan tuloksena polku P solmujen r ja s välille siten, että polut P ja P ovat riippumattomia. Verkon G/e jokaisen kahden eri solmun välillä on siten ainakin kaksi riippumatonta polkua. Verkko G/e voidaan edellisten havaintojen perusteella osoittaa 2-yhtenäiseksi. Olkoon solmu a V(G/e) mielivaltainen. Joukon V(G/e)\{a} jokaisen kahden solmun välillä on ainakin kaksi riippumatonta verkon G/e polkua ja pätee, että solmu a kuuluu korkeintaan yhdelle näistä poluista. Toisin sanoen jokaista joukon V(G/e)\{a} solmuparia yhdistää vähintään yksi verkon (G/e) a polku, joten verkko(g/e) a on yhtenäinen. Verkon G/e on osoitettu olevan 2-yhtenäinen. Verkoista G e ja G/e vähintään toinen on siis 2-yhtenäinen. Jos verkon G jokin sykli sisältää särmän e päätepisteet mutta ei itse kyseistä särmää, niin verkko G e on 2-yhtenäinen. Muutoin verkko G/e on 2-yhtenäinen. Tehtävä 6 : 5 Käsitellään haluttu väite suoraan myös tehtävänantoa yleisemmässä muodossa. Olkoon luku k Z + mielivaltainen ja olkoon verkko G jatkossa k-yhtenäinen. Erityisesti verkon G ei vaadita olevan 3-yhtenäinen. Näytetään tällöin verkon G/e yhtenäisyysluvun olevan vähintään k täsmälleen siinä tapauksessa, että verkon G {x, y} yhtenäisyysluku on vähintään luvun k 1 suuruinen. Oletetaan ensin verkon G/e olevan k-yhtenäinen. Ehto V(G/e) > k pätee, joten väittämät V(G) > k+1 ja V(G {x, y}) > k 1 toteutuvat. Olkoon A joukon V(G)\{x, y} sellainen osajoukko, että ehto A <k 1 toteutuu. Nyt väite A {v e } <k on voimassa, joten oletuksen perusteella verkko(g/e) (A {v e }) on yhtenäinen. Tehtävän 4 ratkaisussa esitetyn aputuloksen avulla havaitaan ehdon (G/e) (A {v e })= ( ) (G/e) v e A=(G {x, y}) A olevan voimassa, joten verkko(g {x, y}) A on yhtenäinen. Näin ollen verkon G {x, y} yhtenäisyysluku on ainakin luvun k 1 suuruinen. 10

Oletetaan jatkossa kääntäen ehdon κ(g {x, y}) k 1 olevan voimassa ja näytetään verkon G/e olevan k-yhtenäinen. Joukossa V(G {x, y}) on ainakin k alkiota, joten verkossa G/e on vähintään k+1 alkiota. Olkoon joukon V(G/e) osajoukko A sellainen, että ehto A <k toteutuu. Oletetaan ensin ehdon v e A olevan voimassa. Tällöin ehdot A\{v e } V(G) ja A\{v e } <k 1 toteutuvat. Aikaisemman aputuloksen nojalla väite (G/e) A= ( ) (G/e) v e (A\{ve })=(G {x, y}) (A\{v e }) on voimassa. Oletuksen nojalla verkko (G {x, y}) (A\{v e }) on yhtenäinen, joten verkko(g/e) A on yhtenäinen. Oletetaan seuraavaksi ehdon v e / A toteutuvan, jolloin väite A V(G) pätee. Olkoot r ja s verkon (G/e) A kaksi eri solmua siten, että ehto r v e toteutuu. Verkko G on k-yhtenäinen, joten verkko G A on yhtenäinen. Oletetaan ensin väitteen s=v e pätevän. Tällöin solmujen r ja x välillä on jokin verkon G A polku. Tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen perusteella on olemassa jokin solmujen r ja v e välinen verkon(g A)/e polku. Saman tuloksen perusteella väite (G A)/e=(G/e) A on voimassa, joten verkossa (G/e) A on solmuja r ja v e yhdistävä polku. Edelleen tehtävässä 4 esitetyn tuloksen perusteella ehdon s v e toteuttavassa tapauksessa verkossa (G A)/e on jokin polku solmujen r ja s välillä. Solmut r ja s voidaan siten yhdistää myös verkon (G/e) A polulla. Verkko (G/e) A on osoitettu yhtenäiseksi. Verkko G/e on näin ollen k-yhtenäinen, mikä osoittaa halutun yhtäpitävyyden olevan voimassa. Tehtävä 6 : 6 Osoitetaan induktiolla luvun k N\{0, 1} suhteen, että jos G on jokin äärellinen k-yhtenäinen verkko, niin jokaisella joukolla D [V(G)] k on olemassa verkon G sykli, joka sisältää joukon D jokaisen solmun. Toisaalta kaikki 1-yhtenäiset verkot eivät sisällä syklejä, joten väitettä ei voi laajentaa tähän tapaukseen. Olkoon ensin G jokin äärellinen 2-yhtenäinen verkko sekä olkoot a ja x sen kaksi eri solmua. Tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen nojalla on olemassa 11

verkon G riippumattomat polut P ja P siten, että polut P ja P ovat keskenään eri polkuja ja että joukko{a, x} on niiden päätepisteiden joukko. Oletuksen a x perusteella joukossa V(P) V(P ) on ainakin kolme alkiota, sillä solmujen a ja x välillä voi lisäksi olla enintään yksi särmä. Polkujen P ja P yhdisteenä saadaan siten eräs solmut a ja x sisältävä verkon G sykli. Näin ollen induktion alkuaskel on käsitelty. Oletetaan nyt induktio-oletuksena luvun k N\{0, 1} olevan sellainen, että jokaisella k-yhtenäisellä äärellisellä verkolla on voimassa, että sen mitkä tahansa k eri solmua ovat keskenään samalla syklillä. Olkoon lisäksi G jokin äärellinen verkko, jonka yhtenäisyysluku on vähintään luvun k + 1 suuruinen. Olkoot joukko A [V(G)] k sekä solmu x V(G)\A mielivaltaisia. Näytetään joukon A {x} sisältyvän verkon G johonkin sykliin. Verkko G on erityisesti k-yhtenäinen, joten induktio-oletuksen perusteella on olemassa jokin verkon G sykli C siten, että ehto A V(C) toteutuu. Jos väittämä x V(C) toteutuu, niin joukon A {x} kaikki solmut sijaitsevat verkon G samalla syklillä. Voidaan siis olettaa ehdon x / V(C) olevan voimassa. Käsitellään ensin tapaus, jossa ehto V(C) = A on voimassa. Olkoot a ja a jotkin joukon A kaksi eri solmua, joilla väite {a, a } E(C) toteutuu. Tällaiset solmut voidaan valita, sillä verkon G jokaisella syklillä on ainakin kolme solmua. Tehtävän 4 ratkaisussa esitetyn aputuloksen perusteella on olemassa k kappaletta sellaisia verkon G polkuja joukon A ja solmun x välillä, että ne leikkaavat toisiaan pareittain vain solmun x kohdalla. Erityisesti on tällöin olemassa polku P a solmujen a ja x välillä sekä polku P a solmujen a ja x välillä siten, että kyseiset polut leikkaavat toisiaan vain solmun x kohdalla eivätkä toisaalta kohtaa joukkoa V(C) solmujen a ja a ulkopuolella. Poistamalla syklistä C särmä {a, a } sekä yhdistämällä tulos polkuihin P a ja P a saadaan verkon G sykli, jolle joukko A {x} sisältyy. Oletetaan jatkossa ehdon A V(C) olevan voimassa. Muodostetaan nyt eräs syklin C solmujoukon ositus. Merkitään kirjaimella m syklin C solmujen määrää ja numeroidaan joukko V(C) muodossa{c 1,..., c m } siten, että ehto c 1 A toteutuu. Olkoon kuvaus f : A {1,..., m} sellainen, että jokaisella alkiolla u Aon väite 12

c f(u) = u voimassa. Jokaisella alkiolla u A merkinnällä B u tarkoitetaan lisäksi joukon V(C) rekursiivisesti esitettyä osajoukkoa { u } { ci V(C) : i { f(u)+1,..., m} c i 1 B u c i / A }. Kokoelma{B u : u A} on tällöin joukon V(C) ositus. Toisaalta jokaisella alkiolla u A joukko B u virittää verkon C erään polun, jolle joukon A alkioista ainoastaan solmu u itse kuuluu. Huomataan väitteiden κ(g) k+ 1 ja V(C) k+ 1 pätevän. Nyt tehtävän 4 yhteydessä esitetyn tuloksen nojalla on olemassa ainakin k + 1 kappaletta sellaisia verkon G polkuja joukon V(C) ja solmun x välillä, että ne leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x kohdalla. Siten on olemassa k + 1 alkiota sisältävä joukko P sellaisia solmun x ja joukon V(C) välisiä polkuja, että joukonp polut leikkaavat pareittain toisiaan vain solmun x kohdalla ja että jokainen joukon P polku leikkaa sykliä C vain toisen päätepisteensä osalta. Laatikkoperiaatteen ja tiedon P > A nojalla on olemassa alkio a A sekä joukon P polut P ja P siten, että joukko B a sisältää polkujen P ja P syklille C kuuluvat päätepisteet. Olkoot joukon {1,..., m} alkiot l ja l sellaisia, että solmu c l polun P päätepisteenä ja että solmu c l on polun P päätepisteenä. Tällöin väite c l c l on voimassa. Polut P ja P nimittäin leikkaavat toisiaan vain syklille C kuulumattoman solmun x kohdalla. Kokoelmasta P tehtyjen oletusten mukaan joukko V(P) V(C) on polun P päätepisteen c l muodostama yksiö. Vastaavasti leikkausjoukko V(P ) V(C) on polun P päätepisteen c l yksiö. Toisaalta joukon B a määritelmästä seuraa, että täsmälleen toinen solmujen c l ja c l välisistä syklin C kaarista sisältää joukon A\{c l, c l } solmuja. Yhdistämällä kyseinen kaari polkuihin P ja P saadaan näin ollen verkon G sykli, jolla joukon A {x} kaikki solmut sijaitsevat. Kaikissa mahdollisissa tapauksissa joukon A {x} alkiot sijaitsevat jollakin verkon G syklillä. Siten induktioaskel onnistuu. Haluttu väite seuraa näin ollen yleisestä induktioperiaatteesta. 13