Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Pekka Salmi 17. lokakuuta 2016 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 1 / 205

Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä: ke 1014, to 1216 M101 (2h/vko riittää), alkaa ensi viikolla (yhteinen JMP:n kanssa) Arvostelu: Loppukoe 26.10. klo 14.3017.30 (uusinnat vain tarvittaessa) Harjoitustehtävistä 03.5 lisäpistettä (koe 24p). Ei vaikuta läpipääsyyn. Harjoitustehtävät, luentopäiväkirja, jne. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Kalvot Noppaan Harjulehto, Klén, Koskenoja: Analyysiä reaaliluvuilla (sopii paremmin muille analyysin kursseille mutta hyödyllinen täälläkin) Wikipedia (etenkin englanniksi) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 2 / 205

Yleisiä ohjeita Kysy luennoilla: muutkin miettivät samoja asioita. Kysy luentojen ulkopuolella. Laskuharjoitustehtävät eivät välttämättä ratkea suoraviivaisesti vaan niitä on tarkoituskin pähkäillä. Kurssin laajuus on 5 op = 133 h. Luentoja on 28 h, harjoituksia 14 h, koe 4 h, jolloin itsenäistä työtä on 87 h. Tarkista, että Weboodissa oleva email-osoite on aktiivisessa käytössä (ja vaihda tarvittaessa). Johdatus reaalifunktioihin -kurssi korvaa kurssin Alkeisfunktiot, joten näitä kahta kurssia ei voi molempia sisällyttää tutkintoonsa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 3 / 205

Kurssin osaamistavoitteet (pohjatiedot kunnossa: lukiomatematiikan kertaus) osaa soveltaa kolmioepäyhtälöä osaa määritellä ja käsitellä alkeisfunktioita tehdä yksinkertaisia matemaattisia päätelmiä ja arvioita osaa käyttää derivaattaa funktion kulun tutkimiseen osaa useita integroimistekniikoita: sijoitus, osittaisintegrointi tuntee kompleksilukujen perusominaisuudet Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 4 / 205

Lähtötasotesti 1 Mene sivulle oystack.oulu. 2 Valitse matematiikan lähtötasokurssi 3 Paina Oulun yliopisto logoa, jolloin voit kirjautua omalla tunnuksellasi. 4 Kurssiavain on MATO2016 5 Tavoitetaso: 80% oikein. 6 Tehtäviä voi yrittää useita kertoja. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 5 / 205

Suunnitelma 1 Itseisarvo, kolmioepäyhtälö 2 Funktiot, polynomit, rationaalifunktiot 3 Trigonometriset funktiot 4 Raja-arvot, jatkuvuus 5 Puristuslause, asymptootit 6 Määrätty integraali 7 Logaritmi- ja eksponenttifunktio 8 Derivaatta 9 Funktion kulun tutkiminen derivaatan avulla 10 Analyysin peruslause, antiderivaatta 11 Integroimistekniikoita: osittaisintegrointi, sijoitus 12 Epäoleelliset integraalit 13 Kompleksiluvut Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 6 / 205

Lukujoukot N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { } a Q = b a Z, b N R luonnolliset luvut kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut (lukusuora) 19 5 3 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 e π Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 7 / 205

Joukko-opin merkinnät merkintä tarkoitus esimerkki a A a kuuluu joukkoon A 1 N b / A a ei kuulu joukkoon A 1 / N B A B sisältyy joukkoon A N R A B = {x x A tai x B} A B = {x x A ja x B} A \ B = {x x A ja x / B} yhdiste eli unioni leikkaus erotus (A pois B). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 8 / 205

Reaalilukujen laskutoimitukset Reaalilukujen yhteenlasku + ja kertolasku toteuttavat seuraavat säännöt: (K1) x + (y + z) = (x + y) + z (yhteenlaskun liittännäislaki) (K2) x + 0 = 0 + x = x (nolla-alkio) (K3) x + ( x) = ( x) + x = 0 (vastaluvut) (K4) x + y = y + x (yhteenlaskun vaihdannaislaki) (K5) x (y z) = (x y) z (kertolaskun liittännäislaki) (K6) x 1 = 1 x = x (ykkösalkio) (K7) x x 1 = x 1 x = 1 kun x 0, (käänteisluvut) (K8) x y = y x (kertolaskun vaihdannaislaki) (K9) x (y + z) = x y + x z (osittelulaki) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 9 / 205

Reaalilukujen järjestys Reaalilukujen järjestys toteuttaa seuraavat säännöt: (J1) Jos a b ja b c, niin a c (transitiivisuus) (J2) Jos a b ja b a, niin a = b (antisymmetria) (J3) Kaikilla a ja b joko a b tai b a (totaalisuus) (J4) a b = a + c b + c (J5) 0 a ja 0 b = 0 ab 19 5 3 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 e π Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 10 / 205

Lukusuoran välit Olkoon a, b R, a < b. [a, b] = {x R a x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} suljettu väli avoin väli puoliavoin väli puoliavoin väli Myös + ja voivat esiintyä merkinnöissä. Esimerkiksi [a, + [ = {x R a x} ], a] = {x R x a}. Kirjallisuudessa esiintyy myös merkinnät (a, b) = ]a, b[, (a, b] = ]a, b], jne. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 11 / 205

Itseisarvo Määritelmä Luvun x R itseisarvo on x = { x jos x 0 x jos x < 0. Geometrisesti tulkittuna x on luvun x etäisyys pisteestä 0: x = x y y = y 0 x x y Vastaavasti lukujen x, y R välinen etäisyys on x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 12 / 205

Itseisarvon ominaisuuksia Lemma Olkoot x, y R. 1 x 0 2 x = 0 x = 0 3 Olkoon a 0. Tällöin x a a x a. Erityisesti x x x. 4 xy = x y. Erityisesti x = x. 5 x 2 = x 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 13 / 205

Perustelu kohdille (3) ja (4) (3) Tapaus x 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli tässä tapauksessa 0 x a. Tapaus x < 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli a x eli tässä tapauksessa a x < 0. (4) Pilkotaan tapauksiin: (a) x 0 ja y 0, (b) x 0 ja y < 0, (c) x < 0 ja y 0 (d) x < 0 ja y < 0. Tapaus (a) on selvä. Tapauksessa (b) xy 0, joten tässä tapauksessa. Tapaus (c) on samanlainen kuin (b). Tapauksessa (d) xy > 0, joten xy = (xy) = x ( y) = x y xy = xy = ( x) ( y) = x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 14 / 205

Itseisarvoepäyhtälö Ratkaistaan epäyhtälö x 2 3.... Geometrinen tulkinta: x 2 on luvun x etäisyys luvusta 2. Täten epäyhtälö x 2 3 on voimassa täsmälleen silloin kun luvun x etäisyys luvusta 2 on enintään 3. 2 1 0 1 2 3 4 5 6 3 3 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 15 / 205

Esimerkki Ratkaistaan epäyhtälö x 1 x + 1 < 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 16 / 205

Tehtävä Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y < 5. 3 Kaikilla x ja y pätee x y x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 17 / 205

Kolmioepäyhtälö Lause (Kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x + y x + y. x + y y x Vektorin x + y pituus on enintään yhtäsuuri kuin vektoreiden x ja y pituuksien summa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 18 / 205

Kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Lemman nojalla x x x ja y y y. Summaamalla nämä epäyhtälöt saadaan ( x + y ) x + y x + y. Täten jälleen Lemman nojalla. x + y x + y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 19 / 205

Esimerkki Oletetaan että x ja y toteuttavat arviot x 1 < 2 ja y 1 < 3. Tällöin x y = x 1 + 1 y ey x 1 + 1 y = x 1 + y 1 < 2 + 3 = 5. Geometrinen tulkinta: x:n etäisyys luvusta 1 on alle 2 yksikköä ja y:n etäisyys luvusta 1 alle 3 yksikköä. Siis lukusuoralla x ja y sijoittuvat seuraavasti: x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y Tästä voidaan päätellä että x:n ja y:n välisen etäisyyden täytyy olla alle 5 yksikköä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 20 / 205

Käänteinen kolmioepäyhtälö eli ey:n vasen puoli Lause (Käänteinen kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x y x + y. Yhdistettynä kolmioepäyhtälöön saadaan, että kaikilla x, y R pätee seuraavat arviot: Täydellinen kolmioepäyhtälö x y x ± y x + y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 21 / 205

Käänteisen kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Kolmioepäyhtälön nojalla x = x + y y ey x + y + y = x y x + y. Vastaavasti y = y + x x ey y + x + x = y x x + y. Täten joten x + y x y x + y x y x + y. Lemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 22 / 205

Arviointia Esimerkki Olkoon a, b R joista tiedetään että a 1 ja b 2. Osoitetaan että tällöin a 2 b 2 3 a b. Kolmioepäyhtälön nojalla a 2 b 2 = (a + b)(a b) = a + b a b ey ( a + b ) a b 3 a b. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 23 / 205

Arviointia 2 Esimerkki Mitä voidaan sanoa luvusta a, kun tiedetään, että a ja b ovat sellaisia reaalilukuja, että 2 < b < 3 ja a b 1 2? Käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla a b = a b a b 1 2. Täten b 1 2 a b + 1 2. Yhdistämällä tämä tietoon että 2 < b < 3 saadaan että Geometrinen ratkaisu: piirrä kuva. 3 2 < a < 7 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 24 / 205

Funktion käsite ja kuvaaja Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Funktio f : X Y on sääntö joka liittää jokaiseen alkioon x X täsmälleen yhden alkion f (x) Y. Joukkoa X kutsutaan funktion f määritysalueeksi ja joukkoa Y funktion f maalijoukoksi. Funktion f kuvajoukko (tai arvojoukko) on Funktion f graa eli kuvaaja määrää funktion f yksikäsitteisesti. f (X ) = {f (x) x X } Y. G f = {(x, f (x)) x X } X Y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 25 / 205

Reaalifunktiot Reaalifunktion määritysalue ja kuvajoukko ovat reaalilukujen joukon osajoukkoja. Tällaisen funktion f : M R, missä M R, kuvaaja on muotoa G f = {(x, y) R 2 x M, y = f (x)} ja se voidaan esittää (x, y)-koordinaatistossa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 26 / 205

Esimerkki Olkoon f : R R, f (x) = x. Tällöin funktion f määritysalue on R, kuvajoukko on { x x R} = [0, + [ ja kuvaaja on joukko G f = {(x, x ) x R} = {(x, x) x < 0} {(x, x) x 0}. 4 3 2 1 1 2 3 4 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 27 / 205

Esimerkki 2 Tutkitaan sääntöä f (x) = 1 x 2 1. Mikä on funktion f luonnollinen määritysalue ja kuvajoukko? Luonnollinen määritysalue on R \ { 1, 1}. Funktio f on parillinen (symmetrinen origon suhteen) eli f ( x) = f (x). Kun x, nimittäjä f (x) 0. Kun x 1+, niin f (x) +. Täten ]0, + [ sisältyy kuvajoukkoon. Toisaalta f (0) = 1 ja kun x 1, niin f (x) (f on vähenevä välillä [0, 1[). Kaiken kaikkiaan voidaan päätellä että funktion f kuvajoukko on ], 1] ]0, + [. Ks. Wolfram Alpha. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 28 / 205

Polynomifunktiot Funktio P : R R, P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 missä a 0, a 1,..., a n R, a n 0, on polynomi, jonka aste on n. Lukuja a 0, a 1,..., a n kutsutaan polynomin kertoimiksi. Luku x 0 R on funktion f nollakohta jos f (x) = 0 (luvun x täytyy tietenkin kuulua funktion f määritysalueeseen). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 29 / 205

Aputulos Lemma a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) Todistus 1. tapa: Induktio luvun n suhteen. 2. tapa: Kerrotaan auki (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) = a n + a n 1 b + a n 2 b 2 + + a 2 b n 2 + ab n 1 a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 ab n 1 b n = a n b n. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 30 / 205

Polynomin juuret Lause Jos x 0 on astetta n olevan polynomin P nollakohta, niin P on jaollinen termillä x x 0 eli P(x) = (x x 0 )Q(x) missä Q on astetta n 1 oleva polynomi. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 31 / 205

Todistus Olkoon P(x) = Edellisen lemman nojalla P(x) = P(x) P(x 0 ) n a k x k, a k R, a n 0. k=0 = a n (x n x n 0 ) + a n 1 (x n 1 x n 1 0 ) + + a 1 (x x 0 ) + a 0 a 0 = a n (x x 0 )Q n (x) + a n 1 (x x 0 )Q n 1 (x) + + a 1 (x x 0 ) n = (x x 0 ) a k Q k (x). k=1 } {{ } =Q(x) Tekijän Q(x) korkeimman asteen termi on a n x n 1 joten Q:n aste on n 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 32 / 205

Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään n kappaletta erisuurta nollakohtaa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 33 / 205

Rationaalifunktiot Rationaalifunktio on funktio joka on muotoa R(x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0 missä P(x) ja Q(x) ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion R määritysalue on {x R Q(x) 0} eli koko R lukuunottamatta polynomin Q(x) nollakohtia. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 34 / 205

Esimerkki Olkoon R(x) = x + 1 x 2 1. Tällöin R:n määritysalue on R \ { 1, 1}. Voidaan huomata että x + 1 x 2 1 = x + 1 (x 1)(x + 1) = 1 x 1. kun x / { 1, 1}. Täten R voitaisiin luonnollisesti laajentaa funktioksi R 2 : R \ { 1} R, R 2 (x) = 1 x 1. Kuitenkin R ja R 2 ovat eri funktioita (niillä on eri määritysalueet). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 35 / 205

Laskutoimituksia funktioilla Funktioiden väliset laskutoimitukset määritellään pisteittäin. Olkoot f : M f R, g : M g R ja c R vakio. Tällöin (f + g)(x) = f (x) + g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f (x) = f (x) g g(x). (erityisesti (cf )(x) = cf (x)) Luonnollinen määritysalue uusille funktioille on M f M g, paitsi funktion f /g tapauksessa määrittelyalue on (M f M g ) \ {x M g g(x) = 0}. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 36 / 205

Summafunktio f (x) = x f (x) + g(x) = x + sin x g(x) = sin x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 37 / 205

Yhdistetty funktio Funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdiste on funktio (f g)(x) = f ( g(x) ). Yhdistetyn funktion määritysalue on M f g = {x M g g(x) M f }. g f x g(x) f ( g(x) ) f g Joskus funktiota g kutsutaan sisäfunktioksi ja funktiota f ulkofunktioksi. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 38 / 205

Esimerkki Olkoon h(x) = x 2 1. Tässä voidaan ajatella että h on kuvausten g(x) = x 2 1 ja f (x) = x yhdiste, sillä f g(x) = f (g(x)) = f (x 2 1) = x 2 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 39 / 205

Käänteisfunktio Funktio g : Y X on funktion f : X Y käänteisfunktio mikäli (g f )(x) = x kaikilla x X ja (f g)(y) = y kaikilla y Y. Käänteisfunktiota merkitään f 1. Lause Funktiolla f : X Y on olemassa käänteisfunktio täsmälleen silloin kun f on bijektio eli 1 f on injektio: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 2 f on surjektio: f (X ) = Y Todistuksen idea: Määritellään g : Y X asettamalla g ( f (x) ) = x (jotta tämä on järkevää on f :n oltava bijektio). Tällöin g = f 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 40 / 205

Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = 3x + π. Nyt y = f (x) = 3x + π x = 1 (y π). 3 ( ) Yhtälöstä ( ) voidaan päätellä, että f : R R on bijektio: 1 f on injektio sillä f (x 1 ) = f (x 2 ) = 3x 1 + π = 3x 2 + π = x 1 = x 2 ; 2 f on surjektio sillä jokaisella y R löytyy x R, jolle f (x) = y (valitaan x = 1 (y π)). 3 Yhtälöstä ( ) voidaan myös nähdä että funktion f käänteiskuvaus f 1 : R R on f 1 (y) = 1 (y π). 3 Siis f 1 (f (x)) = x ja f (f 1 (y)) = y kaikilla x, y R. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 41 / 205

Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = x 2. Onko funktiolla f käänteisfunktiota? Kysymys on epätarkka. Jos määritysalue M f = R niin ei ole koska f ei tällöin ole injektio (f (x) = f ( x)). Jos määritysalue on esim. M f = [0, [, niin f on injektio, jonka kuvajoukko on [0, [. Käänteisfunktion g määrääminen: Merkitään y = f (x), jolloin x = g(y). Yhtälöstä y = x 2 saadaan x = y, joten g(y) = y. Käänteisfunktio on siis f 1 : [0, [ [0, [, f 1 (y) = y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 42 / 205

Monotoniset funktiot Olkoon M R jokin reaalilukuväli ja f : M R. Funktio f on 1 kasvava jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 2 vähenevä jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 3 aidosti kasvava jos f (x 1 ) < f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 4 aidosti vähenevä jos f (x 1 ) > f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 5 monotoninen jos se on kasvava tai vähenevä 6 aidosti monotoninen jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 43 / 205

Tehtävä Keksi esimerkit seuraavanlaisista funktioista mikäli mahdollista. 1 Aidosti vähenevä. 2 Aidosti vähenevä muttei vähenevä. 3 Kasvava muttei aidosti kasvava. 4 Sekä kasvava että vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 44 / 205

Aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio Lause Olkoon M R väli ja f : M R aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio ja erityisesti f : M f (M) on bijektio. Funktion f käänteiskuvaus f 1 : f (M) M on aidosti kasvava jos f on aidosti kasvava ja f 1 on aidosti vähenevä jos f on aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 45 / 205

Todistus: f on injektio Todistus Oletetaan että f on aidosti kasvava (tapaus missä f on aidosti vähenevä on vastaava). Jos x 1, x 2 M ja x 1 x 2, niin joko x 1 < x 2 tai x 1 > x 2. Koska f on aidosti kasvava, niin ensimmäisessä tapauksessa f (x 1 ) < f (x 2 ) ja toisessa f (x 1 ) > f (x 2 ). Joka tapauksessa f (x 1 ) f (x 2 ), joten f on injektio. Täten f : M f (M) on bijektio ja sillä on käänteisfunktio f 1 : f (M) M. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 46 / 205

Todistus: f 1 on aidosti kasvava Todistus jatkuu Osoitetaan vielä että f 1 on aidosti kasvava. Tehdään vastaoletus että näin ei ole. Tällöin on olemassa sellaiset y 1, y 2 f (M) että y 1 < y 2 mutta f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ). Nyt y 1 = f (x 1 ) ja y 2 = f (x 2 ) joillain x 1, x 2 M. Siis x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2. Siis x 1 x 2 mutta f (x 1 ) < f (x 2 ) mikä on ristiriita sen kanssa että f on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 47 / 205

Aidosti monotoniset funktiot ja epäyhtälöt Edellisen lauseen (ja määritelmän) nojalla jos f on aidosti kasvava ja x 1, x 2 M f niin x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Vastaavasti jos f on aidosti vähenevä niin x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 48 / 205

Esimerkki Ratkaistaan epäyhtälö 2x 1 x + 1 neliöönkorottamalla. Miksi sallittua? Tämä on sallittua, sillä funktio x x 2 : [0, [ [0, [ on aidosti kasvava. Täten 2x 1 x + 1 2x 1 2 x + 1 2 4x 2 4x + 1 x 2 + 2x + 1 3x 2 6x 0 3x(x 2) 0 0 x 2 (Koska y = 3x 2 6x on ylöspäin aukeava parabeli.) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 49 / 205

Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä Olkoon α suorakulmaisen kolmion terävä kulma, k 1 kulmaa α vastakkaisen kateetin pituus ja k 2 viereisen kateetin pituus. Olkoon vielä h hypotenuusan pituus. h k 1 α k 2 Kulman α sini on ja kosini sin α = k 1 h cos α = k 2 h. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 50 / 205

Sini- ja kosinifunktioiden määritelmä yksikköympyrän avulla Yksikköympyrän keskipiste on (0, 0) ja säde 1. Kehän pituus on 2π. (0, 1) (x, y) z ( 1, 0) sin z z (0, 0) cos z (x, 0) (1, 0) (0, 1) Pisteestä (1, 0) kuljetaan ympyrän kehää pitkin vastapäivään z pituinen matka pisteeseen (x, y). Asetetaan kaikilla z R sin z = y ja cos z = x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 51 / 205

Huomioita sinin ja kosinin määritelmästä Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla yhtyy aiempaan kun 0 < z < π/2 (radiaania). Tämän voi nähdä piirtämällä kolmio jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (x, 0) ja (x, y). Tulkitaan määritelmää siten, että negatiivisillä luvuilla z < 0 käännetään kiertosuunta myötäpäivään ja kuljetaan z pituinen matka. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 52 / 205

Sinin ja kosinin kuvaajat 1 sin x cos x π 2 0 1 π 2 π Sini on pariton funktio: sin( x) = sin x. Kosini on parillinen funktio: cos( x) = cos x. sin(x + π/2) = cos(x) sin(π x) = sin x Tehtävä: Miten yllä olevat kaavat näkyvät sinin ja kosinin kuvaajissa? Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 53 / 205

Esimerkkejä Esimerkki Osoita että ( π ) cos 2 z = sin z. Esimerkki Oletetaan tunnetuksi että sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Osoita että sin(2x) = 2 sin x cos x. Esimerkki Osoita että ( x + y sin x + sin y = 2 sin 2 ) cos ( x y 2 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 54 / 205

Tangentti ja kotangentti Tangenttifunktio määritellään asettamalla tan z = sin z, kun cos z 0, eli z π/2 + nπ, n Z. cos z Vastaavasti kotangentti määritellään asettamalla cot z = cos z, kun sin z 0, eli z nπ, n Z. sin z Geometrinen tulkinta: h k 1 α k 2 tan α = sin α cos α = k 1 k 2 ja cot α = 1 tan α = cos α sin α = k 2 k 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 55 / 205

Tangentti ja kotangentti yksikköympyrällä cot z z tan z z ( 1, 0) (0, 0) 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 56 / 205

Tangentin ja kotangentin kuvaajat tan x π 2 0 π 2 π cot x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 57 / 205

Sinin käänteisfunktio Sinifunktio ei ole injektio vaan esimerkiksi sin(π x) = sin x kaikilla x R. Rajoitettuna välille [ π/2, π/2] saadaan aidosti kasvava funktio sin: [ π/2, π/2] R ja sin([ π/2, π/2]) = [ 1, 1]. Tällä rajoituksella sinille saadaan käänteisfunktio arkussini arcsin: [ 1, 1] [ π/2, π/2], joka on myös aidosti kasvava. Joskus tätä kutsutaan arkussinin päähaaraksi ja merkitään arcsin, koska yhtälailla sinifunktio olisi voitu rajoittaa vaikka välille [π/2, 3π/2]. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 58 / 205

Arkussinin kuvaaja (0, 1) π 2 arcsin x x arcsin x 1 0 1 (0, 0) (1, 0) π 2 (0, 1) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 59 / 205

Esimerkki Esimerkki Laske arcsin(sin 2π). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 60 / 205

Muiden trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Kosini on aidosti vähenevä välillä [0, π] ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskosini arccos: [ 1, 1] [0, π]. Tangentti on aidosti kasvava välillä ] π/2, π/2[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkustangentti arctan: R ] π/2, π/2[. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä ]0, π[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskotangentti arccot: R ]0, π[. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 61 / 205

Arkustangentin kuvaaja π 2 x arctan x arctan x 3 2 1 0 1 2 3 (1, 0) π 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 62 / 205

Napakoordinaatit θ r x (x, y) y x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 arctan ( y ) π x kun x > 0, y 0 kun x = 0, y > 0 2 arctan ( y ) θ = x + π kun x < 0 π kun x = 0, y < 0 2 arctan ( y ) x + 2π kun x > 0, y < 0 ei määritelty kun x = 0, y = 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 63 / 205

Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti tiedostaa intuitiivisten määritelmien sudenkuopat osaa laskea raja-arvoja (manipuloimalla lausekkeita) osaa määrittää raja-arvoja suppiloperiaatteella (arviointi!) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 64 / 205

Raja-arvon epämääräinen määritelmä Funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvonaan luku a, jos muuttujan arvojen lähestyessä arvoa x 0 funktion f arvot lähestyvät lukua a. Lähestymisen tulee olla sellaista, että tulemalla tarpeeksi lähelle lukua x 0 saadaan funktion f arvot niin lähelle lukua a kuin suinkin halutaan. (WSOY, Pitkä matematiikka 7: Derivaatta) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 65 / 205

Esimerkki a = 3 2 f (x) = 1 x x 0 = 2 3 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 66 / 205

Raja-arvo pisteessä 0? a = 1 ( sin 1 x ) x 0 = 0 ( 1 ) lim sin = 1? x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 67 / 205

Oskiloiva raja-arvo ( x sin 1 x ) 0.05 ( 1 ) lim x sin = 0 x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 68 / 205

Tehtävä Tutkitaan funktion f (x) = 3x 1 käyttäytymistä pisteen x = 1 läheisyydessä. (Huomaa että f (1) = 2.) Olkoon ɛ > 0 virhetermi. Määrää ne x:n arvot joilla kun 1 ɛ = 0,1 2 ɛ = 0,01. f (x) 2 < ɛ Vihje: ratkaisun voi kirjoittaa muodossa x 1 < δ, mistä δ pitää selvittää. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 69 / 205

Raja-arvon määritelmä Olkoon f reaalifunktio joka on määritelty (ainakin) joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ \ {x 0 } jollain r > 0. Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun 0 < x x 0 < δ. Toisin sanoen kun f :n arvoja tarkastellaan tarpeeksi lähellä pistettä x 0 (muttei pisteessä x 0!), niin ne kaikki saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a. Funktion f raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään lim f (x). x x 0 Huomaa että funktion f arvolla pisteessä x 0 ei ole mitään merkitystä raja-arvon määritelmässä, eikä funktiota f ole välttämättä edes määritelty pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 70 / 205

Esimerkki 1 1 ɛ = 0.3 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 71 / 205

Esimerkki, osa 2 Sama δ ei toimi kun lukua ɛ pienennetään: 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 72 / 205

Esimerkki, osa 3 Luku δ voidaan kuitenkin valita vielä pienemmäksi... 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 73 / 205

Raja-arvoa ei ole olemassa f (x) lim f (x) = 1 mutta lim f (x) = 2 x 2 x 2+ Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 74 / 205

Välisoitto: toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 δ < x < x 0. Funktion f oikeanpuoleista raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään ja vasemmanpuoleista raja-arvoa lim f (x) x x 0 + lim f (x). x x 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 75 / 205

Funktion hyppäyskohta Huomautus Siis yksi tapaus jolloin raja-arvoa ei ole olemassa on sellainen, että toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa mutta ovat erisuuret. Tällaisessa kohdassa funktio hyppää. Toinen ongelmatapaus on se että toispuoleisia raja-arvoja ei edes ole olemassa (tai vain toinen on). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 76 / 205

Raja-arvoa ei ole olemassa 2 1 sin(1/x) Funktio ( 1 ) f (x) = sin x x 0 oskiloi voimakkaasti pisteen 0 läheisyydessä, joten raja-arvoa ei ole olemassa. ( 1 ) lim sin x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 77 / 205

Raja-arvon ominaisuuksia Lemma Kaikilla a, b, x 0 R pätee lim x x0 ax + b = ax 0 + b. Lause (Raja-arvon laskusääntöjä) Olkoot f ja g funktioita joilla on raja-arvot pisteessä x 0 ja olkoon c R vakio. Tällöin 1 lim x x0 ( f (x) + g(x) ) = ( limx x0 f (x) ) + ( lim x x0 g(x) ) 2 lim x x0 cf (x) = c lim x x0 f (x) 3 lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) 4 lim x x0 ( f (x)g(x) ) = ( limx x0 f (x) )( lim x x0 g(x) ) 5 lim x x0 f (x) g(x) = limx x 0 f (x) lim x x0 g(x) olettaen että lim x x 0 g(x) 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 78 / 205

Laskuesimerkki Lasketaan funktion raja-arvo pisteessä 2. f (x) = x 2 x 2 + x 6 Funktion f (x) = x 2 luonnollinen määritysalue on R \ { 3, 2} sillä x 2 +x 6 x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2). Funktiota f ei siis ole määritelty pisteessä x = 2. Voidaan kuitenkin tutkia f :n raja-arvoa pisteessä x = 2. Nyt x 2 lim f (x) = lim x 2 x 2 x 2 + x 6 = lim x 2 Mikä on f :n raja-arvo pisteessä x = 3? x 2 (x + 3)(x 2) = lim x 2 1 x + 3 = 1 5. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 79 / 205

Rationaalifunktioiden raja-arvot Edellä olevista laskusäännöistä ja lemmasta seuraa että polynomeille P ja Q pätee P(x) lim P(x) = P(x 0 ) ja lim x x 0 x x 0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ) kun Q(x 0 ) 0. Toisin sanoen polynomi- ja rationaalifunktiot ovat jatkuvia... P(x) Q(x) voi olla Huomautus: Edeltävän esimerkin nojalla raja-arvo lim x x0 olemassa myös sellaisissa pisteissä x 0 missä Q(x 0 ) = 0, mutta tällöin raja-arvoa ei tietenkään saada suoraan sijoittamalla P(x 0) Q(x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 80 / 205

Funktion jatkuvuus pisteessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli f (x 0 ) = lim x x 0 f (x). Siis f on jatkuva pisteessä x 0 jos f :n arvo pisteessä x 0 on sama kuin f :n raja-arvo pisteessä x 0. Toisin sanoen f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) f (x 0 ) < ɛ aina kun x x 0 < δ. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 81 / 205

Jatkuva funktio Määritelmä Olkoon f : M R missä M R. Funktio f on jatkuva (kokonaisuudessaan) jos f on jatkuva jokaisessa määritysalueensa M pisteessä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 82 / 205

1/x 1 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 83 / 205

Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 84 / 205

Yhdistetyn funktion raja-arvo Lause Oletetaan että raja-arvo lim x x0 f (x) =: y 0 on olemassa ja että funktio g on jatkuva pisteessä y 0. Tällöin yhdistetyllä funktiolla g f on olemassa raja-arvo pisteessä x 0 ja lim (g f )(x) = g( lim f (x)) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Erityisesti jos f on jatkuva pisteessä x 0 ja g on jatkuva pisteessä f (x 0 ) niin g f on jatkuva pisteessä x 0. Huomautus: jos f on jatkuva, niin y 0 = f (x 0 ) ja täten g(y 0 ) = (g f )(x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 85 / 205

Alkeisfunktiot ovat jatkuvia Alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan: polynomifunktiot rationaalifunktiot juurifunktiot trigonometriset funktiot eksponenttifunktiot (myöhemmin) logaritmifunktiot (myöhemmin) hyperboliset funktiot (myöhemmin) näiden äärelliset yhdistelmät (summat, tulot, osamäärät, yhdistetyt funktiot). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 86 / 205

Alkeisfunktioiden äärelliset yhdistelmät ovat jatkuvia Esimerkki Funktio sin(x 2 ) + e x on jatkuva. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 87 / 205

Puristuslause eli suppiloperiaate Seuraavan lauseen avulla voi laskea useita raja-arvoja. Lause Olkoot f, g ja h funktioita joille päätee 1 f (x) g(x) h(x) aina kun 0 < x x 0 < r 2 lim x x0 f (x) = lim x x0 h(x) =: a. Tällöin funktiolla g on raja-arvo pisteessä x 0 ja lim g(x) = a. x x 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 88 / 205

Puristuslauseen sovellus Tutkitaan raja-arvoa sin x lim x 0 x. Geometrisesti voidaan päätellä että sin x < x < tan x kun 0 < x < π/2: (0, 1) (0, 0) sin x x tan x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 89 / 205

Sovellus jatkuu... Jakamalla epäyhtälöt puolittain x:llä saadaan sin x x sin x < x < tan x < 1 < sin x x 1 cos x. Täten cos x < sin x < 1. x Koska lim x 0 cos x = 1 saadaan puristuslauseen nojalla että sin x lim x 0+ x = 1. Vasemmanpuoleinen raja-arvo saadaan vastaavasti joten sin x lim x 0 x = 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 90 / 205

Raja-arvo äärettömyydessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa [M, + [ jollain M R. Määritelmä Luku a R on funktion f raja-arvo äärettömyydessä + mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x > R. Vastaavasti a R on funktion f : ], M] R raja-arvo äärettömyydessä mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R < 0 että Merkitään näitä raja-arvoja ( = + ). f (x) a < ɛ aina kun x < R. lim f (x) ja lim f (x). x + x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 91 / 205

Asymptoottiesimerkki Tutkitaan funktion raja-arvoja äärettömyydessä. f (x) = 2x + 1 x 1 2x+1 x 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 92 / 205

Asymptootit Määritelmä Suoraa y = c kutsutaan funktion f horisontaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = c tai lim f (x) = c. x x + Vastaavasti suoraa x = c kutsutaan funktion f vertikaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = + tai lim f (x) = tai x c x c lim f (x) = + tai lim f (x) =. x c+ x c+ Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 93 / 205

Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on mikäli kaikilla R < 0 löytyy sellainen δ > 0 että Näitä merkitään f (x) < R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. lim f (x) = + ja lim f (x) =. x x 0 + x x 0 + Vasemmanpuoleiset raja-arvot määritellään käyttämällä f :n arvoja x 0 :n vasemmalla puolella (eli 0 < x x 0 < δ korvataan lausekkeella 0 < x 0 x < δ). Näitä merkitään lim x x0 f (x). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 94 / 205

Jatkuvien funktioiden väliarvolause Lause Olkoon f : [a, b] R jatkuva. Tällöin funktio f saa kaikki arvot, jotka ovat lukujen f (a) ja f (b) välissä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 95 / 205

Integraalit 1 Määrätty integraali = oikea integraali: esim. 1 0 x 2 dx = reaaliluku 2 Määräämätön integraali = derivaatan käänteisoperaatio: esim. x 2 dx = joukko funktioita Huomautus Nämä kaksi eri käsitettä yhdistää Analyysin peruslause (the Fundamental Theorem of Calculus). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 96 / 205

Integraali (määrätty) eli merkillä varustettu pinta-ala Funktion f (x) integraali välin [a, b] yli on funktion f (x) graan ja x-akselin välin [a, b] väliin jäävä netto pinta-ala kun x-akselin yläpuoliset osiot saavat merkin + ja alapuoliset merkin. b a f (x) dx = vihreä ala punainen ala Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 97 / 205

Miten pinta-ala määritellään? Positiivisen funktion f : [a, b] R kuvaajan ja x-akselin välistä pinta-alaa voidaan arvioida suorakulmioilla. Jaetaan tutkittava väli [a, b] osiin ja arvioidaan funktiota jokaisella osavälillä sekä alhaalta että ylhäältä päin. f (x) f (x) a b a b Oranssin alueen ala antaa alapuolisen arvion pinta-alalle ja vihreän alueen ala yläpuolisen arvion. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 98 / 205

Esimerkki Tutkitaan funktion f (x) = x 2 kuvaajan ja x-akselin välistä pinta-alaa välillä [1, 2]. f (x) = x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A 1 = 1.625 Y 1 = 3.125 A 2 = 1.96875 Y 2 = 2.71875 Ylä- ja alapuoleisen arvion erotus: Y 1 A 1 = 1.5 Y 2 A 2 = 0.75 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 99 / 205

Positiivisen funktion integraalin määritelmän idea Funktion f (x) 0 kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala määritellään approksimoimalla suorakulmioiden avulla (nk. Riemannin integraali). f (x) f (x) a b a b Tihentämällä jakoa pinta-alalle saadaan tarkemmat ala- ja yläpuoleiset arviot, ja jos näillä on yhteinen raja-arvo, niin sanotaan, että f on integroituva (välillä [a, b]). Yhteistä raja-arvoa kutsutaan f :n integraaliksi yli välin [a, b] ja merkitään b a f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 100 / 205

Integraali kun f ei välttämättä positiivinen Jokainen reaaliarvoinen funktio f : [a, b] R voidaan jakaa positiiviseen ja negatiiviseen osaan: f (x) = f + (x) f (x) kaikilla x [a, b] missä f + (x) 0 ja f (x) 0 kaikilla x [a, b]. Lisäksi vaaditaan, että f + ja f eivät ole samassa kohtaa 0 (täsmällinen määritelmä seuraavalla kalvolla). Määritelmä Funktion f integraali yli välin [a, b] määritellään asettamalla b a f (x) dx := b a b f + (x) dx f (x) dx, a olettaen että positiiviset funktiot f + ja f ovat integroituvia (tällöin sanotaan että f on integroituva). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 101 / 205

(Lisäkalvo) Positiivinen ja negatiivinen osa täsmällisesti Olkoon f : [a, b] R. Määritellään kaikilla x [a, b] jolloin f + (x) = max{f (x), 0} = f (x) = max{ f (x), 0} = f (x) + f (x) 2 f (x) f (x) 2 f (x) = f + (x) f (x) ja f (x) = f + (x) + f (x). f (x) f (x) f + (x) f (x) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 102 / 205

Huomautuksia Integraalia voi merkitä myös lyhemmin Kun a > b, niin määritellään b a b a f. f = a b f. Tällöin pätee sääntö kaikilla a, b R. b f = a a b f Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 103 / 205

Jatkuvat funktiot ovat integroituvia Määritelmä Funktio f : M R on rajoitettu jos on olemassa sellainen luku R > 0 että f (x) R kaikilla x M. Lause Jos funktio f : [a, b] R on rajoitettu ja sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia, niin f on integroituva. Seuraus Jokainen jatkuva funktio f : [a, b] R on integroituva. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 104 / 205

Integraalin lineaarisuus Lause Kun f ja g ovat integroituvia funktioita ja c R vakio, niin b a ( f (x) + g(x) ) dx = b a b f (x) dx + g(x) dx a ja b a cf (x) dx = c b a f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 105 / 205

Integroimisalueen pilkkominen osiin Lemma Olkoon a < c < b ja f : [a, b] R integroituva. Tällöin b a f (x) dx = c Tehtävä: perustele lemma geometrisesti. a b f (x) dx + f (x) dx. c Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 106 / 205

Integraalin positiivisuus Määritelmän mukaan f (x) 0 kaikilla x [a, b] = b a f (x) dx 0. (olettaen että f on integroituva). Tästä seuraa yleistys: Lemma Olkoon f ja g integroituvia. Tällöin f (x) g(x) kaikilla x [a, b] = b a f (x) dx b a g(x) dx. Tehtävä: perustele yllä oleva lemma geometrisesti. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 107 / 205

Arviointiesimerkki Arvioidaan integraalia 1 0 e x 2 dx. Nyt x 2 2x 1 (koska (x 1) 2 0), joten 1 e x 2 dx 1 0 0 e 2x 1 dx 1.175. Toisaalta 1 e x 2 dx 1 0 0 Todellinen arvo on noin 1.463. e x dx 1.718. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 108 / 205

Edellisen esimerkin funktiot exp(x 2 ) exp(2x 1) exp(x) 0 1 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 109 / 205

Arviointilemma Lemma Olkoon f : [a, b] R integroituva. Tällöin b a b f (x) dx f (x) dx. a Todistus Kaikilla x [a, b] f (x) f (x) f (x). Täten b b b f (x) dx f (x) dx f (x) dx, a a a mistä seuraa väite itseisarvolemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 110 / 205

Kokonaislukupotenssit Määritelmä (Kokonaislukupotenssit) Olkoon x R ja n N. Asetetaan x n = x } x {{ x}. n kpl Lisäksi asetetaan x 0 = 1 ja x n = 1 x n. Kokonaislukupotensseille pätevät laskusäännöt x (n+m) = x n x m x nm = (x n ) m missä x R ja n, m Z. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 111 / 205

Juurifunktiot Olkoon n N. Tällöin funktio f : [0, [ [0, [, f (y) = y n on aidosti kasvava (tämän voi osoittaa esimerkiksi induktiolla n:n suhteen). Aikaisemman lauseen nojalla funktiolla f on käänteisfunktio, joka on myös aidosti kasvava. Määritelmä (Juuret) Olkoot x 0 ja n N. Luvun x n:s juuri on x 1 n = n x = f 1 (x) missä f on funktio f (y) = y n. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 112 / 205

Juurifunktion kuvaaja f (x) = x 2 g(x) = x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 113 / 205

Rationaalilukupotenssit Määritelmä (Rationaalilukupotenssit) Olkoot x > 0, m Z ja n N. Asetetaan x m/n = (x m ) 1/n. Tehtävä: miksi x 2/6 = x 1/3? Kokonaislukupotenssien laskusäännöt laajenevat rationaalilukupotensseille: kun x > 0 ja p, q Q. x (p+q) = x p x q x pq = (x p ) q. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 114 / 205

Reaalilukupotenssit? Edellisen nojalla esimerkiksi 10 x on järkevästi määritelty luku kun x Q. Sen sijaan mitä tarkoittaa kun x on mielivaltainen reaaliluku? 10 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 115 / 205

Funktioajatus Oikeastaan haluamallemme funktiolle on olennaista että 10 x+y = 10 x 10 y. Haluaisimme siis funktion f : R R jolle 1 f (x + y) = f (x)f (y) kaikilla x, y R 2 f (1) = 10. Näistä ominaisuuksista seuraa että kaikkilla rationaaliluvuilla x pätee f (x) = 10 x (esim. f (3) = f (1 + 1 + 1) = f (1) 3 = 10 3 ). Tätä on oikeastaan helpompi lähestyä logaritmifunktion kautta... Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 116 / 205

Logaritmifunktio Määritelmä Määritellään kaikilla x ]0, [ log(x) = x 1 1 t dt. 0 1 2 3 4 1 t t Esimerkiksi log(4) = väritety alueen ala. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 117 / 205

Huomautuksia logaritmifunktiosta Huomautus 1 Jos x > 1, niin log(x) on hyvin määritelty positiivinen reaaliluku: geometrisesti tulkittuna se on funktion f (t) = 1 t kuvaajan ja t-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala välillä [1, x]. 2 Jos 0 < x < 1, niin log(x) < 0 koska ja 1 x x 1 t dt > 0 (koska x < 1). 1 1 1 t dt = 1 x t dt 3 Logaritmi on siis funktio log: ]0, [ R eli sen määrittelyalue on positiivinen reaaliakseli ja maalijoukko reaaliluvut. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 118 / 205

Tehtävä Perustele geometrisesti seuraavat logaritmifunktion ominaisuudet. 1 log(1) = 0 2 Logaritmifunktio on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 119 / 205

Eksponenttifunktio Koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, niin sillä on aiemman tuloksen mukaan aidosti kasvava käänteisfunktio. Määritelmä Eksponenttifunktio exp: R ]0, [ on funktion log: ]0, [ R käänteisfunktio. Koska eksponentti ja logaritmi ovat toistensa käänteisfunktioita, niin exp(log x) = x kun x > 0 ja log(exp(x)) = x kaikilla x R. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 120 / 205

Neperin luku Määritelmä Lukua e = exp(1) kutsutaan Neperin luvuksi. Lause Kaikilla x Q pätee exp(x) = e x. Neperin luku voidaan esittää myös raja-arvona ( e = lim 1 + 1 ) n. n n Luku e on irrationaaliluku, jonka likiarvo on 2.71828. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 121 / 205

Yleiset potenssit Määritelmä Olkoon a > 0 ja x R. Määritellään a x = exp(x log(a)). Huomautus Aiemmin määritellyt rationaalilukupotenssit yhtyvät edelliseen määritelmään. Esimerkiksi 2 2 2 = exp(3 log(2)). (Todistus vaatii seuraavaa logaritmifunktion ominaisuutta, kohta 2.) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 122 / 205

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia Lause 1 log 1 = 0 2 log(xy) = log(x) + log(y) kaikilla x, y > 0 3 log(x y ) = y log x kaikilla x > 0, y R 4 Funktio log x on aidosti kasvava. Lause 1 exp(0) = 1 2 exp(x + y) = exp(x) exp(y) kaikilla x, y R 3 exp(xy) = exp(x) y kaikilla x, y R 4 exp(x) > 0 kaikilla x R 5 Funktio exp(x) on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 123 / 205

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden kuvaajat exp(x) log x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 124 / 205

Esimerkki Ratkaise epäyhtälö e x 2 +1 > e 2x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 125 / 205

Derivaatan määritelmä Olkoon f funktio joka on määritelty (ainakin) välillä ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Määritelmä Funktio f on derivoituva pisteessä x 0 jos raja-arvo f (x 0 ) := lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 on olemassa. Tällöin lukua f (x 0 ) kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 126 / 205

Geometrinen tulkinta Erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on pisteiden (x 0, f (x 0 )) ja (x, f (x)) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan f :n kuvaajan pisteeseen (x 0, f (x 0 )) piirretyn tangentin kulmakerroin. f (3) f (1) (1, f (1)) 3 1 (3, f (3)) f (x) = 1 x Derivaatta kertoo kuvaajan jyrkkyyden kyseisessä pisteessä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 127 / 205

Fysikaalinen tulkinta Olkoon f kappaleen paikka ajanhetkellä x. Tällöin erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on kappaleen keskimääräinen nopeus välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ] jos x 0 > x). Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan kappaleen nopeus ajanhetkellä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 128 / 205

Funktion derivaattafunktio Määritelmä Funktio f on derivoituva välillä ]a, b[ mikäli se on derivoituva jokaisessa pisteessä x 0 ]a, b[. Tällöin f voidaan ajatella funktioksi ]a, b[ R. Aiempi derivaatan kaava voidaan kirjoittaa toiseen muotoon (asettamalla x 0 = x ja x x 0 = h): f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Tämä on yhtäpitävä kaava derivaatan määritelmän kanssa, mutta tämän kaavan hyöty on siinä, että nyt f on helpompi mieltää kuvaukseksi, jonka muuttuja on x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 129 / 205

Huomautuksia Huomautus Vaihtoehtoisia merkintöjä: Lause f (x 0 ) = (Df )(x 0 ) = df dx (x 0). Jos funktio f on derivoituva pisteessä x 0, niin f on myös jatkuva pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 130 / 205

Esimerkkejä Esimerkki Laske funktion f (x) = c derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = cx derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = x 2 derivaatta. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 131 / 205

Esimerkkejä Esimerkki Tutki funktion f (x) = x derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x 2 sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 132 / 205

Derivaatta origossa? ( x sin 1 x ) ( x 2 sin 1 x ) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 133 / 205

Derivaatan laskusääntöjä Lause Olkoot f ja g funktioita jotka ovat derivoituvia pisteessä x ja c R vakio. Tällöin 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 (cf ) (x) = cf (x) 3 (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( f ) (x) f (x)g(x) f (x)g (x) 4 = g g(x) 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 134 / 205

Alkeisfunktioiden derivaattoja Seuraavaan listaan on kerätty alkeisfunktioiden derivaattoja (x on muuttuja). 1 Dc = 0 kun c R on vakio (eli vakiofunktion derivaatta on 0) 2 Dx = 1 3 Dx n = nx n 1 kun n N 4 D x = 1 2 x 5 Dx r = rx r 1 kun r R (tämä kattaa edelliset säännöt) 6 De x = e x 7 D log x = 1 x 8 Da x = a x log a kun a > 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 135 / 205

Alkeisfunktioiden derivaattoja 2 9 D sin x = cos x 10 D cos x = sin x 11 D tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 12 D cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x 13 D arcsin x = 1 1 x 2 14 D arccos x = 1 1 x 2 15 D arctan x = 1 1 + x 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 136 / 205

Ketjusääntö Lause Olkoon f derivoituva pisteessä x 0 ja g derivoituva pisteessä f (x 0 ). Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) on derivoituva pisteessä x 0 ja (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Esimerkki Olkoon g(x) = sin x ja f (x) = x 2. Tällöin g f (x) = sin(x 2 ) ja (g f ) (x) = cos(x 2 ) (2x). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 137 / 205

Käänteisfunktion derivaatta Lause Olkoon f jatkuvasti derivoituva (eli derivaatta f on jatkuva funktio) ja f (x 0 ) 0. Tällöin funktiolla f on olemassa derivoituva käänteisfunktio f 1 pisteen y 0 = f (x 0 ) ympäristössä ja (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f ( f 1 (y 0 ) ) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 138 / 205

Perustelu käänteisfunktion derivaattakaavalle Seuraava lasku ei todista edellistä lausetta mutta perustelee annetun kaavan. Jos f 1 on funktion f käänteisfunktio niin f 1( f (x) ) = x. Derivoimalla tämä yhtälö käyttäen ketjusääntöä saadaan (f 1 ) ( f (x) ) f (x) = 1. Kun x = x 0 ja merkitään y 0 = f (x 0 ) saadaan edellisestä yhtälöstä ratkaistua (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 139 / 205

Arkustangentin derivaatta Esimerkki Olkoon f (x) = tan x jolloin f 1 (y) = arctan y. Kaavan mukaan D arctan y = kun y = f (x) = tan x. Täten 1 D tan x = 1 1 + tan 2 x, D arctan y = 1 1 + y 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 140 / 205

Integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteys 1 Lause (Analyysin peruslause, versio 1) Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio. Funktion f kertymäfunktio on F (x) = x a f (t) dt, x [a, b]. Tällöin funktio F on jatkuva ja F (x) = f (x) kaikilla x ]a, b[. a F (x) f (x) x x + h F (x + h) F (x) = oranssi ala f (x)h (f jatkuva) F (x + h) F (x) = f (x) h = F (x) = f (x) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 141 / 205

Logaritmifunktion derivaatta Aiemmin määriteltiin logaritmifunktio kaavalla log(x) = x 1 1 dt, x > 0. t Tästä seuraa Analyysin peruslauseen nojalla, että log on derivoituva ja sen derivaatta on D log x = 1 x, x > 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 142 / 205

Eksponenttifunktion derivaatta Eksponenttifunktion derivaatta voidaan laskea käänteisfunktion derivaattakaavan avulla, koska logaritmifunktion derivaatta tunnetaan. Olkoon f (x) = log x jolloin f 1 (x) = exp(x). Käänteisfunktion derivaatta saadaan kaavalla (f 1 ) 1 (x) = f (f 1 (x)). Nyt f (x) = x 1, joten eksponenttifunktion derivaatta on D exp(x) = 1 = exp(x). exp(x) 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 143 / 205

Dierentiaalilaskennan väliarvolause Lause (Väliarvolause) Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f (b) f (a) = f (c)(b a). Tulkinta: Tarkasteluvälillä hetkellinen nopeus on jollain hetkellä sama kuin keskimääräinen nopeus. a c b Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 144 / 205

Seuraus Jos f (x) = 0 jollain välillä, niin f on vakiofunktio kyseisellä välillä. Seuraus Jos jollain välillä f (x) = g (x) jokaisessa pisteessä x, niin on olemassa sellainen vakio C, että f (x) = g(x) + C jokaisessa välin pisteessä x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 145 / 205

Integraalifunktio eli anti-derivaatta Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio mikäli F (x) = f (x) kaikilla x. Tehtävä: mitkä seuraavista funktioista ovat funktion f (x) = x 3 integraalifunktioita? 1 F (x) = x 4 4 2 F (x) = x 4 4 + 2 3 F (x) = x 4 4 F (x) = x 4 4 + C missä C on vakio Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 146 / 205

Määräämätön integraali Funktion f (x) integraalifunktiota merkitään f (x) dx tai lyhemmin f. Jos F 1 ja F 2 ovat funktion f integraalifunktioita, niin F 1(x) = f (x) = F 2(x) kaikilla x M f. Mikäli funktion f määrittelyalue on väli, niin dierentiaalilaskennan väliarvolauseen seurauksen nojalla F 1 (x) = F 2 (x) + C. Siis funktiot F 1 ja F 2 ovat vakiotermiä C lukuunottamatta samat. Usein kirjoitetaan esimerkiksi x 3 dx = x 4 4 + C, mikä korostaa sitä, että funktion f (x) = x 3 (x R) kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F (x) = x 4 + C missä C on mikä tahansa 4 reaaliluku. Kun määrittelyalue on väli, niin riittää keksiä yksi integraalifunktio ja muut saadaan lisäämällä tähän vakio. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 147 / 205

Esimerkki Esimerkki Laske sin x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 148 / 205

Integraaleja Derivoimissäännöistä saadaan integroimissääntöjä. Seuraavat kaavat pätevät väleillä, joilla funtiot ovat hyvin määriteltyjä. 1 x r dx = x r+1 r + 1 + C kun r R, r 1 2 e x dx = e x + C 3 4 5 6 7 1 dx = log x + C x sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 dx = arcsin x + C 1 x 2 1 dx = arctan x + C 1 + x 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 149 / 205

Integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteys 2 Lause (Analyysin peruslause, versio 2) Olkoot f, F : [a, b] R sellaisia jatkuvia funktioita, että f (x) = F (x) kaikilla x ]a, b[. Tällöin b a f (x) dx = F (b) F (a). Jos siis F on funktion f jokin integraalifunktio, niin määrätty integraali voidaan laskea sijoituksella funktioon F : b a f = / b a F. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 150 / 205

Esimerkki Esimerkki Laske 5π/6 sin x 1 2 dx. π/6 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 151 / 205

Integraalin lineaarisuus Derivaatan ominaisuuksista (f + g) = f + g ja (cf ) = cf seuraa, että (f ) (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx ja cf (x) dx = c f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 152 / 205

Sisäfunktion huomiointi Ketjusäännön nojalla (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x), joten f ( g(x) ) g (x) dx = (f g)(x) + C. Huomaa että esimerkiksi integraalin e x 2 dx laskeminen ei onnistu, koska sisäfunktion x 2 derivaattaa puuttuu. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 153 / 205

Esimerkkejä Esimerkki Integroi xe x 2 dx. Esimerkki Integroi x x 2 + 1 dx. Esimerkki Integroi sin x cos x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 154 / 205

Lisäkalvo: Funktiolla e x 2 on kuitenkin integraalifunktio... Määritellään funktio F : R R asettamalla F (x) = x 0 e t2 dt, x R. Analyysin peruslauseen nojalla F on derivoituva ja F (x) = e x 2. Siis funktiolla e x 2 on olemassa integraalifunktio F, vaikka emme osaakaan esittää sitä alkeisfunktioiden avulla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 155 / 205

Trigonometrisia integraaleja Trigonometriset kaavat ovat hyödyllisiä integraaleja laskettaessa. Erityisesti cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x. Esimerkki Laske sin 2 x dx. Esimerkki Laske sin 2 x cos 2 x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 156 / 205

Funktion kulun tutkiminen derivaatan avulla Lause Jos f (x) > 0 jollain välillä, niin f on aidosti kasvava kyseisellä välillä. Jos taas f (x) < 0 jollain välillä, niin f on aidosti vähenevä kyseisellä välillä. h > 0 f (x + h) f (x) f (x + h) f (x) > 0 x x + h f f (x + h) f (x) (x) = lim > 0 h 0+ h Vasemmanpuoleinen raja-arvo vastaavasti. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 157 / 205

Esimerkki Esimerkki Funktion f (x) = x 3 3 x 2 1 f (x) = x 2 2x derivaatta on f (x) = x 2 2x = x(x 2). Huomaa, että f (x) = 0 kun x {0, 2}, f (x) < 0 kun 0 < x < 2 ja muulloin f (x) > 0. f (x) = x 3 3 x 2 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta 2016 158 / 205