Maatalous metsätieteellisen tieekunnan valintakoe.6.009 Ympäristöekonomia mallivastaukset matematiikan valintakoekysymyksiin: 1. Markkinat ovat tasapainossa, kun hyöykkeen kysyntä ja tarjonta ovat yhtä suuret. Erään markkinan kysyntä ja tarjontakäyriä voiaan kuvata suoran yhtälöillä. Kysyntäkäyrä voiaan ilmasta hinnan p ja kysytyn määrän Q avulla seuraavasti: p =18 Q. Tarjontakäyrää kuvaa puolestaan yhtälö p = 10+ Q, missä Q s on tarjottu määrä hyöykettä. s (a) Ratkaise markkinatasapaino, eli se hinta määrä yhistelmä ( p*, Q*), jolla hyöykkeen * kysyntä on yhtä suuri kuin tarjonta, Q = Q = Qs. (1,5 p) (b) Piirrä kysyntä ja tarjontakäyrät kuvaan, jossa pystyakselilla on hyöykkeen hinta ja vaakaakselilla on hyöykkeen määrä. Merkitse kummankin suoran leikkauspisteet sekä markkinatasapaino kuvan akseleille. Ota huomioon, että määrä ja hinta eivät voi olla negatiivisia, joten rajoita kuvaajasi positiivisiin arvoihin. (1,5 p) (yhteensä p) Ratkaisu (a) Markkinatasapaino muoostuu tasapainohinnasta p* ja määrästä Q*. Tasapainossa täytyy olla niin, että tarjottu määrä on yhtä suuri kuin kysytty määrä, eli Q = Q. s Tarjontakäyrän yhtälöstä saaaan tarjottu määrä Kysyntäkäyrän yhtälöstä saaaan kysytty määrä p 10 p = 10+ Qs Qs = p 10 Qs = p = 18 Q Q = 18 p Tästä yhtälöjärjestelmästä saaaan tasapainohinta Q s = Q 10 Q = p s Q = 18 p joista seuraa p 10 18 p = p 10 4 54+ 10 4 64 64 p + = 18+ p = p = p = = 16. 4 Tasapainohinta on siis p* = 16.
Sijoitetaan tasapainohinta joko yhtälöön 16 10 6 Q* = 18 16 = tai yhtälöön Q* = = = Q =18 p tai yhtälöön 10 Q = p s, niin saaaan Markkinatasapaino on (Q*, p*) = (,16). (b) Kuvaaja 18 16 (Q*, p*) = (, 16) 18. Kilpailullisen yrityksen voitto voiaan ilmasta tuotetun hyöykkeen hinnan ja määrän avulla. Erään yrityksen voittoa voiaan kuvata kolmannen asteen polynomifunktiolla seuraavasti: π = 10Q ( Q Q + Q), missä π on yrityksen voitto ja Q tuotettu määrä. Yrityksen voitto maksimoituu, kun polynomifunktio saa suurimman arvonsa. (a) Määritä voittofunktion ensimmäinen erivaatta tuotetun määrän suhteen. (1 p) (b) Ratkaise ne tuotetut määrät, joilla erivaatta on nolla. Hyöynnä toisen asteen yhtälön ax + bx + c = 0 ratkaisukaavaa x b ± b 4ac a = (1 p) (c) Tarkista merkki ja kulkukaavion tai toisen erivaatan testin avulla onko (b) kohassa saatu määrä se, joka maksimoi yrityksen voiton. (1 p)
() Piirrä voittofunktion kuvaaja, kun pystyakselilla kuvataan voittoa ja vaaka akselilla tuotettua määrää. Määritä ne pisteet, joissa voittofunktio leikkaa akselit; merkitse myös yrityksen maksimivoitto. Ota huomioon, että tuotettu määrä ei voi olla negatiivinen. (1 p) (yhteensä 4 p) Ratkaisu (a) Voittofunktio on muotoa π = 10Q ( Q Q + Q) Ensimmäisen kertaluvun ehto maksimivoitolle saaaan laskemalla voittofunktion ensimmäinen erivaatta ja asettamalla se nollaksi eli Voittofunktioerivaatta on π = 10 Q + 4Q Q (b) Ensimmäisen kertaluvun ehto maksimille on Q + 4Q + 7 = 0 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö 4 ± Q = 4 4( )(7) ( ) 4 ± 16 + 84 = 6 4 ± = 100 6 4 ± 10 = = 14 1 7 6 = 6 Koska tuotettu määrä ei voi olla negatiivinen, tarkistetaan pelkästään positiivinen ratkaisu Q = 7/ (c) Toisen erivaatan avulla Lasketaan toisen kertaluvun ehto, eli lasketaan voittofunktion toinen erivaatta. Ensimmäinen π erivaatta oli π = Q + 4Q + 7. Toinen erivaatta on = 6Q + 4. Q Q Toisen riittävän kertaluvun ehon mukaan maksimivoitto on Q arvolla, jolla toisen erivaatan merkki on negatiivinen ja ensimmäinen erivaatta on nolla. Sijoitetaan Q = 7/ toiseen erivaattaan.
7 6 ( ) + 4 = 14+ 4 = 10 < 0. Kun tuotanto on Q = 7/, voitto maksimoituu. tai Merkki ja kulkukaavion avulla 1 7/ f ' _ + _ f min max () Kuvaaja 7 7 7 7 9 Maksimi voitto on π = 10 ( + ) = 14.5. 7
14,5 7/,8 Leikkauspisteet vaaka akseliin 10Q ( Q Q + Q) = 0 Q(10 Q Q + ) = 0 Q = 0; Q = 1.8, Q =.8 Koska määrä ei voi olla negatiivinen mutta voitto voi, kuvaajassa näytetään vain voittofunktio positiivisilla Q arvoilla.
. Erään hyöykkeen markkinat ovat tasapainossa, kun hyöykkeen hinta on 0 ja tuotettu sekä kysytty määrä on 40. Hyöykkeen kysyntäfunktiota kuvaa suora q = 100 p, missä q on kysytty määrä ja p on hyöykkeen hinta. Määritä kysynnän hintajousto markkinatasapainossa. (1 p) Ratkaisu q Kysyntäfunktiosta saaaan =, joten p ε = q q p p q = p p q 0 ε = = 1,5. 40 4. Kuvissa 1 4 esitetään neljä erivaattafunktiota ja kuvissa a puolestaan neljä alkuperäistä funktiota, joista erivaattafunktiot on johettu. Kerro mitä alkuperäisen funktiota kunkin erivaattafunktio vastaa (laai vastauspaperille alla olevan kaltainen taulukko ja täyennä se). ( p) Alkuperäinen funktio a b c Derivaattafunktio Ratkaisu: Alkuperäinen funktio Derivaattafunktio a b 1 c 4
Funktioien kuvaajat a b c
Funktioien erivaattafunktioien kuvaajat 1 4
Miljöekonomi moellsvar till frågorna (matematik) i inträesprovet: 1. Marknaen är i jämvikt när efterfrågan och utbuet på en vara är lika stora. Efterfråge och utbuskurvorna på en markna kan beskrivas me ekvationen för en rät linje. Efterfrågekurvan för en viss vara kan uttryckas me hjälp av priset p och en efterfrågae mängen Q me sambanet: p =18 Q. Utbuskurvan igen beskrivs av ekvationen p = 10+ Qs, är Q s är en utbjuna mängen av varan. (a) Bestäm marknasjämvikten, vs. en pris mäng kombination ( p*, Q*), för vilken * efterfrågan på varan är lika stor som utbuet, Q = Q = Qs. (1,5 p) (b) Rita efterfråge och utbuskurvorna i en graf, vars orinata (loräta koorinataxel) anger varans pris och abskissa (vågräta koorinataxel) mängen av varan. Ange varera räta linjes skärningspunkter me axlarna samt marknasjämvikten på koorinataxlarna. Beakta, att mängen och priset inte kan vara negativa, så begränsa in graf till positiva vären. (1,5 p) (Sammanlagt p) Lösning (a) Marknasjämvikten bestäms av jämviktspriset p* och jämviktsmängen Q*. Vi jämvikt måste en utbjuna mängen vara lika stor som en efterfrågae mängen, vs. Q = Q. s Den utbjuna mängen fås ur ekvationen för utbuskurvan p 10 p = 10+ Qs Qs = p 10 Qs = Den efterfrågae mängen fås ur ekvationen för efterfrågekurvan p = 18 Q Q = 18 p Ur etta ekvationssystem bestäms jämviktspriset Q s = Q 10 Q = p s Q = 18 p vilket ger p 10 18 p = p 10 4 54+ 10 4 64 64 p + = 18+ p = p = p = = 16. 4 Jämviktspriset är alltså p* = 16.
Insättning av jämviktspriset antingen i ekvationen = p 10 16 10 6 Q s, ger Q* = 18 16 = eller Q* = = = Marknasjämvikten är (Q*, p*) = (,16). (b) Grafen Q = 18 p eller i ekvationen 18 16 (Q*, p*) = (, 16) 18. Ett konkurrensmässigt företags vinst kan uttryckas me hjälp av en proucerae varans pris och mäng. Ett visst företags vinst kan beskrivas me en trejegras polynomfunktion på följane sätt: π = 10Q ( Q Q + Q), är π är företagets vinst och Q en proucerae mängen. Företagets vinst maximeras när polynomfunktionen antar sitt största väre. (a) Bestäm vinstfunktionens första erivata me avseene på en proucerae mängen. (1 p) (b) Bestäm e proucerae mänger för vilka erivatan är noll. Utnyttja formeln x b ± b 4ac a = för lösningen till en ekvation av anra graen ax + bx + c = 0. (1 p) (c) Avgör på basen av hur erivata funktionens förtecken föränras eller me hjälp av anra erivatan om mängen som fåtts i (b) uppgiften är en som maximerar företagets vinst. (1 p) () Rita vinstfunktionens graf me vinsten som orinata (lorät axel) och en proucerae
mängen som abskissa (vågrät axel). Bestäm e punkter är vinstfunktionen skär axlarna; ange även företagets maximala vinst. Beakta att en proucerae mängen inte kan vara negativ. (1 p) (sammanlagt 4 p) Lösning (a) Vinstfunktionen ges av π = 10Q ( Q Q + Q) Första orningens villkor för maximivinsten fås genom att beräkna vinstfunktionens första erivata och sätta en lika me noll. Vinstfunktionens erivata är π = 10 Q + 4Q Q (b) Första orningens villkor för maximet är Q + 4Q + 7 = 0 Lösningen till anragras ekvationen är 4 ± Q = 4 4( )(7) ( ) 4 ± 16 + 84 = 6 4 ± = 100 6 4 ± 10 = = 14 1 7 6 = 6 Eftersom en proucerae mängen inte kan vara negativ unersöker vi enast en positiva lösningen Q = 7/ (c) Me hjälp av en anra erivatan Vi beräknar villkoret av en anra orningen, vs. vi beräknar vinstfunktionens anra erivata. π Den första erivatan var π = Q + 4Q + 7. Den anra erivatan är = 6Q + 4. Q Q
Det tillräckliga villkoret av anra orningen är att maximivinsten ges av väret Q för vilket en anra erivatans förtecken är negativt och en första erivatan noll. Insättning av Q = 7/ i anra erivatan ger 7 6 ( ) + 4 = 14+ 4 = 10 < 0. Då prouktionen är Q = 7/ maximeras vinsten. eller me hjälp av förtecknets föränringsschema. 1 7/ f ' _ + _ f min max () Grafen 7 7 7 7 9 Maximivinsten är π = 10 ( + ) = 14.5. 7
14,5 7/,8 Skärningspunkterna me abskissan 10Q ( Q Q + Q) = 0 Q(10 Q Q + ) = 0 Q = 0; Q = 1.8, Q =.8 Eftersom mängen inte kan vara negativ visas vinstfunktionens graf enast för positiva vären på Q.. Marknaen för en vara är i jämvikt å varans pris är 0 och en proucerae och efterfrågae mängen är 40. Efterfrågan på varan beskrivs av en räta linjen q = 100 p, är q är en efterfrågae mängen och p varans pris. Bestäm efterfrågans priselasticitet q q q p ε = = när et råer marknasjämvikt. (1 p) p p q p
Lösning q Ur efterfrågefunktionen kan vi bestämma =, vilket ger p 0 ε = = 1,5. 40 4. I figurerna 1 4 visas fyra erivata funktioner och i figurerna a fyra ursprungliga funktioner, på basen av vilka erivata funktionerna har beräknats. Ange vilken erivata funktion som beräknats ur vilken ursprunglig funktion. (gör upp en tabell enligt neanståene exempel i itt svarspapper och fyll i en. ( p) Ursprunglig funktion a b c Derivata funktion Lösning: Ursprunglig funktion Derivata funktion a b 1 c 4
Funktionernas grafer a b c
Funktionernas erivata funktioners grafer 1 4