8/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO 8: asoristikon savaelementti, osa. LEISÄ Ristikkorakenne koost vain vetoa ja priststa kestävistä savoista. Savat liittvät rakenteen tkipisteisiin ja toisiinsa kitkattomilla nivelillä. Jos rakenteen savat ovat samassa tasossa, se on tasoristikko, mtta mten avarsristikko. Ristikkorakenne on lonteeltaan viivarakenne, sillä todellisen rakenteen geometria mallinnetaan savojen pintakeskiöviivoilla, jotka liittvät toisiinsa ja tkiin nivelien kohdilla. leensä ristikon savat ovat tasapaksja, jolloin poikkipintasreista tarvitaan vain knkin savan poikkileikkaksen ala. Ristikkorakenteen laskentamallissa tehdistä oletksista seraa, että sen kineettinen kormits voi koosta lähinnä niveliin kohdistvista pistevoimista ja kinemaattinen kormits tkien translaatiosiirtmistä. Savoihin kohdistvia kormitksia voivat olla esimerkiksi lämpötilan mtos, esijännits ja esivenmä. asoristikon kaikkien kormitsten on oltava sen omassa tasossa. Laskennan tloksena ristikosta saadaan selville savojen normaalivoimat ja normaalijännitkset sekä nivelien siirtmät. Ristikkorakenne voidaan ratkaista tarkasti kättämällä elementtiverkkoa, jossa solmt sijaitsevat nivelien kohdilla ja elementit ovat niiden väliset savat. Elementit ovat kaksisolmisia savaelementtejä, eivätkä tässä shteessa eroa aksiaalisesta elementistä. Aksiaalista elementtiä ei kitenkaan voi sellaisenaan kättää ristikkorakenteiden elementtimenetelmäratkaisn, sillä solmmittas on soritettava toi, kten seraavassa esitetään. ASORISIKON ELEMENIVERKKO 7 8 4 4 5 9 3 8 5 3 3 5 7 3 5 Kva. asoristikon elementtiverkko ja sen elementti. Aksiaalisen savaelementin kättö on mahdollista vain, jos elementtiverkon kaikki elementit ovat samansntaiset. asoristikolla näin ei ole, sillä verkon solmn liitt aina vähintään kaksi erisntaista elementtiä. Esimerkiksi kvassa olevan tasoristikon elementtiverkon solmn liitt kaksi vaakasntaista, ksi vinossa asennossa oleva ja ksi pstsora elementti. Koska solmsreiden mittasta ei nt voida valita elementtien paikallisten -akseleiden sntaiseksi, sovitaan rakenteelle globaalikoordinaatisto, jonka koordi-
8/ naattiakseleiden shteen kaikkien solmjen solmmittas soritetaan. Kvassa on ristikolle valitt globaali -koordinaatisto siten, että origo on solmssa. Globaalikoordinaatiston lisäksi kllakin elementillä on lokaali -koordinaatisto. Kvassa on esitett mös elementin lokaalikoordinaatisto. Solmmittas tapaht jokaisessa solmssa globaaliakseleiden snnissa ja sisältää translaatiosiirtmät ja solmvoimat - ja -snnissa. asoristikon savaelementin solmn liitt kaksi solmmittassntaa, jolloin solmlla on kaksi vapasastetta ja elementillä neljä vapasastetta. Kvassa on esitett solmjen 3 ja vapasasteet nolismboleilla ja lisäksi ne on nmeroit. Elementin solmmittas sisältää neljä sretta, joten solmsrevektoreiden dimensio on 4 ja elementin jäkksmatriisi on 44-matriisi. Verkon vapasasteiden lkmäärä on kaksi kertaa solmjen määrä. ELEMENIN JÄKKSMARIISI asoristikon tarkasteln elementtimenetelmällä tarvitaan kvan mkainen globaalikoordinaatistoon leisesti sijoittva neljän vapasasteen savaelementti. Klma määrittelee elementin snnan ja se mitataan -snnasta positiivisen snnan ollessa vastapäivään. Lisäksi on tnnettava savan josivaki- 4 on laskemiseen tarvittavat sreet E, A sekä L tai pitden sijasta solmjen koordinaatit. Solmjen vapasasteiden lokaalinmerointi 3 otetaan solmittain eteneväksi niin, että vaakasnta nmeroidaan en. Elementin solmsiirtmävektori { } sisältää solmjen glo- baaliakseleiden sntaiset siirtmäkomponentit ja solmvoimavektori { } elementin Kva. Savaelementti. päihin vaikttavat vaaka- ja pstsntaiset voimakomponentit ja ne ovat E, A, L { } { } e { } { } () k k 3 L L N k k k k 4 Kva 3. kkössiirtmävektori { } { } Savaelementin normaalivoimaa ei siis saada välittömästi, mtta on selvää, että N voidaan laskea vektorin { } komponenteista. Oletksista seraa mös, että savaelementille ei tle vektorin {} komponenteista leikkasvoimaa Q. asoristikon käsittel elementtimenetelmällä sj aksiaalisen rakenteen tapaan. ällöin tarvitaan solmsiirtmävektorin { } ja solmvoimavektorin { } välinen htes eli elementin
8/3 3 k 4 jäkksmatriisi [ k ]. Se voidaan johtaa esimerkiksi kkössiirtmämenetelmällä. Jäkksmatrii ensimmäinen sarake on vektoria { } { } vastaava voimavektori {} { k k k } kvan 3 mkaisesti. Vektorin { } komponenttien määrits onnist ljsopin perskaavojen avlla. Kirjoitetaan alksi kvan 3 elementin staattiset tasapainohtälöt. Koska tarkasteltavat siirtmät ovat pieniä, tasapainohtälöt voidaan kirjoittaa alktilan geometrian mkaisesti, jolloin saadaan + k + k L k L () k 4 k 3 k Kvan 3 mkaan elementin normaalivoima N ja pitden mtos L ovat ' N k k L L L (3) Edellä olevista htälöistä tlee pitden mtokselle laseke NL (k k + / )L L (4) josta seraa jäkksmatrii ensimmäisen sarakkeen alkioille tlokset k (5) L L k3 k k 4 Sorittamalla samankaltaiset tarkastelt millekin kkössiirtmävektoreille saadaan kvan 3 savaelementin jäkksmatrii mt sarakkeet. Lopptloksena on jäkksmatriisi [ k] L () Kaavasta () näk, että tasoristikon savaelementin jäkksmatrii laskemiseksi on tnnettava sen josivakio ja asentoklma globaalikoordinaatistossa. Elementin pershtä- k on nt motoa lö [ ]{ } { } c cs L c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s (7)
8/4 missä on kätett merkintöjä c ja s. Elementin jäkksmatriisi () sovelt tasapaksn savan tarkasteln. Sitä voidaan soveltaa likimääräisesti mös mttvan poikkileikkaksen omaavaan savaan kättämällä sopivaa keskimääräistä poikkipinnan alaa. Mttvan poikkileikkaksen omaavalle savaelementille on mös mahdollista johtaa tarkka jäkksmatrii kaava, mikäli poikkipinnan vaihtel on riittävän kkertainen, kten esimerkiksi lineaarinen. KOORDINAAISON KIERO Elementtimenetelmää sovellettaessa tarvitaan elementin jäkksmatriisi. Viivarakenteilla se on kkertaita johtaa elementin lokaalikoordinaatiston solmmittasta kättäen. Kätännössä tarvitaan kitenkin globaalikoordinaatiston solmmittakseen liittvä jäkksmatriisi. Näiden kahden jäkksmatrii välillä on sora htes. Lokaalikoordinaatisto on kiertnt tiettn asentoon globaalikoordinaatistoon nähden, joten näissä koordinaatistoissa esitettjen sreiden väliset htedet saadaan koordinaatiston kiertokaavoilla. tsttaan koordinaatiston kiertomenetelmään johtamalla sen avlla tasoristikon sa- vaelementin jäkksmatriisi. Lähdetään liikkeelle kvan 4 lokaalikoordinaatiston sntaisesta solmmittaksesta. Siinä on aksiaaliseen solmmittakseen lisätt poikittais- sntaiset mittakset. Koska sava ei ota vastaan leikkasvoimaa, ovat vapasasteisiin Kva 4. Savaelementin lokaalimittas. ja 4 liittvät solmvoimat nollia. Ele- mentin pershtälöstä seraa tällöin, että elementin jäkksmatrii. ja 4. rivin ja smmetrian takia mös. ja 4. sarakkeen alkiot ovat nollia. Jäljelle jäävät neljä jäkksmatrii. ja 3. sarakkeen alkiota saadaan aksiaalisen elementin jäkksmatriisista. Kvan 4 lokaalimittakseen liittvä elementin jäkksmatriisi on näin ollen k (8) L [ ] Lokaalikoordinaatiston mkaiset solmsiirtmävektori { } ja solmvoimavektori { } ovat { } { } { } { } Elementin pershtälö lokaalikoordinaatistossa on [ ]{ } {} E, A, L e 4 3 (9) k ()
8/5 Kmmankin solmn lokaali mittasjärjestelmä kvassa 4 saadaan kiertämällä sen kvassa olevaa globaalia mittasjärjestelmää klma vastapäivään. ällöin eri järjestelmissä mitattjen solmsrevektoreiden välisen hteden antaa kiertomatrii [ ], joka on [ ] () Solmjen ja eri järjestelmissä mitatille solmsiirtmä- ja solmvoimavektoreille voidaan kirjoittaa htedet () (3) Kaavat () ja (3) voidaan hdistää koko elementtiä koskeviksi htälöiksi (4) (5) iiviimmin kirjoitettna llä olevat htälöt ovat motoa { } [ ]{ } {} [ ]{} () jossa matriisia [ ] sanotaan kinemaattiseksi matriisiksi. Koska [ ] on ortogonaalinen matriisi eli [ ] [ ], on mös [ ] [ ]. Kn kaavaan () sijoitetaan { } ja { } kaavasta () ja tlosta kerrotaan vasemmalta matriisilla [ ], saadaan [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{} { } k (7)
8/ ästä nähdään elementin jäkksmatrii määritelmän persteella globaali- ja lokaalikoordinaatiston jäkksmatriisien välinen htes [ k] [ ] [ k][ ] (8) jota sanotaan kongrenssimnnokseksi. Mnnoksen määrää siis kinemaattinen matriisi [ ], joka polestaan riipp vain klmasta. Kn htälöön (8) sijoitetaan matriisit [ ] ja k, päädtään matriisien kertolaskjen jälkeen jälleen jäkksmatriisiin (). [ ] Kaavaa () voidaan hödntää normaalivoimien laskennassa, sillä ilmeisesti on N N (9) Koordinaatiston kiertomenetelmän kättömahdolliss ei rajoit vain tasoristikon savaelementtiin, vaan sitä voidaan soveltaa leisesti, knhan vain tarkasteltavissa mittasjärjestelmissä on htä monta vapasastetta. EKVIVALENISE SOLMUKUORMIUKSE Koska tasoristikon savaelementti ei ota vastaan taivts- eikä leikkasrasitsta, on elementin aleella sijaitsevien kormitsten oltava savan lokaalin -akselin sntaisia eli session FES7 kvassa 4 olevien tapasten tppisiä. Kätännössä ksmkseen voi tlla lähinnä savan lämpötilan mtos ja pitdenmtos δ. Ekvivalenttiset solmkormitkset lokaalikoordinaatistossa saadaan selville esimerkiksi session FES7 kvasta 4, mtta ne on vielä mnnettava globaalikoordinaatistoon. Mnnokseen voidaan kättää kaavaa (), josta seraa {} r [ ]{} r {} r [ ] { r} r globaalikoordinaatiston ekvivalenttinen solm- jossa {} kormitsvektori. () r on lokaalikoordinaatiston ja { } Esimerkiksi lämpötilan mtokselle tlee lokaalikoordinaatistossa {} r { } () josta seraa kaavan () avlla globaalikoordinaatiston komponentit {} { } r ()