b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla A V(G) ja F E(G) pätee, että verkot G A ja G F ovat yhtenäisiä. Siten verkko G on määritelmän perusteella sekä 0-solmuyhtenäinen että 0-särmäyhtenäinen. Toisaalta verkko G on epäyhtenäinen. Lisäksi väittämät V (G) E(G) sekä < 1 pätevät. Verkko G ei ole 1-solmuyhtenäinen eikä 1-särmäyhtenäinen, joten ehdot κ(g) = 0 ja λ(g) = 0 ovat voimassa. b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan myös ääretön. Verkko G on yhtenäinen, joten verkko G on 1-solmuyhtenäinen sekä 1-särmäyhtenäinen. Toisaalta yhtenäisyyden ja tiedon V(G) 2 perusteella verkon G särmäjoukko on epätyhjä, joten voidaan valita alkioksi e jokin verkon G mielivaltainen särmä. Nyt verkko G e on epäyhtenäinen, sillä särmän e päätepisteiden välillä ei ole polkua. Jos nimittäin verkon G e polku P yhdistäisi särmän e päätepisteitä, niin verkko P+e olisi puun G sykli. Verkko G ei siis ole 2-särmäyhtenäinen, joten ehto λ(g) = 1 toteutuu. Väite κ(g) = 1 saadaan tällöin suoraan oletuksen V(G) 2 ja tiedon κ(g) λ(g) seurauksena. c) Olkoon G sellainen äärellinen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 5} ja jonka särmäjoukkona on { } {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. 2 5 3 1 4 Tällöin verkko G on yhtenäinen. Toisaalta verkko G 3 on epäyhtenäinen, joten väite κ(g) = 1 toteutuu. Verkosta G voidaan poistaa mikä tahansa särmä siten, 1

että lopputulos säilyy yhtenäisenä. Väite λ(g) 2 on siis voimassa. Toisaalta havainnon δ(g) = 2 perusteella ehto λ(g) = 2 toteutuu. Todistetaan verkon G olevan pienintä mahdollista kokoa oleva verkko, jolla tehtävänannon ehdot toteutuvat. Oletetaan vastaoletuksena, että on olemassa jokin väitteen κ(h) < λ(h) toteuttava verkko H siten, että joko ehto V(H) < V(G) toteutuu tai että kumpikin ehdoista V(H) V (G) ja E(H) < E(G) toteutuu. Tällöin väite λ(h) 2 on voimassa. Jos nimittäin ehto λ(h) = 1 toteutuisi, niin verkko H olisi yhtenäinen sekä sisältäisi vähintään kaksi solmua, jolloin myös ehto κ(h) 1 olisi ristiriitaisesti voimassa. Toisaalta verkko H ei ole puu, joten yhtenäisyyden nojalla verkossa H on vähintään yksi sykli. Väittämän V(H) 4 havaitaan suoraan olevan voimassa. Tehdään nimittäin vastaoletus, että ehto V(H) = 5 toteutuu. Verkosta H tehdyn oletuksen mukaan ehto E(H) 5 on tällöin voimassa. Edelleen tietojen λ(h) 2 ja λ(h) δ(h) perusteella saadaan tulos 2 E(H) = deg H (x) 6 2 = 12, x V(H) mikä on ristiriidassa oletuksen E(H) 5 kanssa. Jatkossa voidaan siis oletetaan ehdon V(H) 4 olevan voimassa. Verkossa H on vähintään yksi sykli, joten myös väittämä V(H) 3 toteutuu. Ehto V(H) = 3 ei ole voimassa, sillä muutoin verkon H kaikki solmut ja särmät olisivat saman syklin varrella, jolloin ehdot κ(h) = 2 ja λ(h) = 2 toteutuisivat. Kaikki syklit ovat nimittäin 2-yhtenäisiä verkkoja ja kahden särmän poistaminen tekee syklistä epäyhtenäisen. Näin ollen jäljellä on enää se mahdollisuus, että väite V (H) = 4 on voimassa. Verkossa H on virittävä sykli. Oletetaan vastaoletuksena verkon H kooltaan suurimman syklin sisältävän kolme solmua. Tällöin verkon H jokin solmu a ei ole millään syklillä, jolloin väite deg H (a) 1 on voimassa. Nimittäin kolme muuta verkon H solmua muodostavat syklin, jolloin solmusta a voi lähteä enintään yksi särmä ilman neljän solmun syklin muodostumista. Väittämä δ(h) < λ(h) on siis ristiriitaisesti voimassa. Nyt verkon H kaikki solmut ovat saman syklin varrella, joten ehto κ(h) 2 on 2

voimassa. Siten myös väite λ(h) 3 pätee, jolloin verkon H jokaisella solmulla on ainakin kolme eri naapuria. Verkko H on siis neljän solmun täydellinen verkko, jolloin väittämät κ(h) = 3 ja λ(h) = 3 toteutuvat vastoin oletusta. Näin ollen on osoitettu, että verkko G toteuttaa kaikki tehtävänannossa asetetut ehdot. Tehtävä 7 : 2 Olkoot A ja B kaksi täydellistä verkko, joissa kummassakin on yhteensä l + 1 solmua ja joilla ei ole yhtään yhteistä solmua. Olkoon a jokin verkon A solmu ja olkoon b verkon B solmu. Olkoon G sellainen verkko, joka saadaan verkosta (V (A) V(B), E(A) E(B) { {a, b} }) särmän {a, b} kutistamisella. Olkoon lisäksi u alkio, joka syntyy särmän {a, b} kutistamisessa. Tällöin väite V(G) \ {u } = ( V (A) V(B) ) \ {a, b} on voimassa. Ehdot V (A) \ {a} V(G) sekä V (B) \ {b} V(G) toteutuvat. Käytetään jatkossa merkintää H A verkon G ( V (B) \ {b} ) merkitsemiseen ja vastaavasti merkintää H B verkon G ( V(A)\{a} ) merkitsemiseen. Tällöin ehdot V (H A ) = V(A) {u } ja V(H B ) = V (B) {u } ovat voimassa. Näytetään aluksi verkkojen H A ja H B olevan täydellisiä verkkoja. Olkoon R {A, B} sekä olkoon r yksiön {a, b} R sisältämä alkio. Olkoon lisäksi joukon V (H R ) \ {u } solmu v mielivaltainen. Nyt väite v V(R) toteutuu. Jos verkon H R solmulla w ehto w / {v, u } toteutuu, niin ehto {v, w} E(H R ) on voimassa verkon R täydellisyyden nojalla. Toisaalta ehto {v, r} E(R) pätee, jolloin väite {v, u } toteutuu. Verkko H R on siis täydellinen verkko. Edellisen päättelyn perusteella verkon G jokaisesta solmusta on solmuun u vievä polku, joten verkko G on yhtenäinen. Verkossa G on ainakin kolme solmua, joten ehto κ(g) 1 pätee. Toisaalta verkko G u on epäyhtenäinen. Nimittäin jokaisen ehdon u / e toteuttavan verkon G särmän e päätepisteet ovat molemmat joko joukon V (A) \ {a} alkiota tai joukon V (B) \ {b} alkiota. Verkolta G haluttu ehto κ(g) = 1 siis toteutuu. Verkot H A ja H B ovat täydellisiä, jolloin niiden jokainen indusoitu aliverkko on yhtenäinen. Verkoissa H A ja H B on kummassakin yhteensä l + 1 alkiota, joten 3

ehdot κ(h A ) l ja κ(h B ) l ovat voimassa. Toisaalta tällöin verkot H A ja H B ovat myös l-särmäyhtenäisiä, sillä niissä molemmissa on ainakin kaksi solmua. Osoitetaan ehdon λ(g) = l olevan voimassa. Olkoon F E(G) sellainen, että ehto F < l toteutuu. Edellisten havaintojen perusteella verkot H A ( F E(H A ) ) ja H B ( F E(H B ) ) ovat yhtenäisiä, jolloin solmusta u on verkossa G F polku joukon V(G) jokaiseen solmuun. Verkko G F on siis yhtenäinen ja ehto λ(g) l on voimassa. Toisaalta tiedon λ(g) δ(g) perusteella väite λ(g) = l toteutuu. Verkossa G on nimittäin oletuksen mukaan vähintään kolme solmua ja jokaisella joukon V (G) \ {u } solmulla v on väite deg G (v) = l voimassa. Tehtävä 7 : 3 Jokaisen äärellisen verkon solmujoukolta on jokin injektio joukon R osajoukolle. Toisaalta joukolta R on olemassa bijektio joukon R 3 osajoukolle { (r, r 2, r 3) : r R}. Merkitään kyseistä joukkoa kirjaimella K ja osoitetaan, että joukon K mitkään neljä eri pistettä eivät ole samalla avaruuden R 3 tasolla. Olkoon T mielivaltainen avaruuden R 3 taso. Tällöin on tunnetusti olemassa kerroinjono (a, b, c, d) R 4 siten, että ehto {a, b, c} {0} pätee ja että jokaisella joukon R 3 alkiolla (x, y, z) on voimassa väite (x, y, z) T ax + by + cz + d = 0. Siten jokaisella luvulla r R joukon K alkio (r, r 2, r 3 ) on tason T piste täsmälleen silloin, kun ehto ar + br 2 + cr 3 + d = 0 toteutuu. Jokaisella korkeintaan kolmatta astetta olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat joukon R alkiota, on enintään kolme joukkoon R kuuluvaa juurta. Siten on olemassa korkeintaan kolme sellaista joukon K pistettä, jotka ovat myös tason T pisteitä. Esitettyjen havaintojen perusteella jokainen äärellinen verkko voidaan esittää joukon R 3 avaruusverkkona siten, että verkon solmut asetetaan joukon K pisteiksi jollakin injektiolla sekä särmät näiden pisteiden välisiksi yhdysjanoiksi. Verkon 4

eri särmiä vastaavat yhdysjanat leikkaavat tällöin toisiaan vain verkon solmuja vastaavissa joukon K pisteissä. Muussa tapauksessa kaksi eri yhdysjanaa määräisi avaruuden R 3 tason, jolla olisi vähintään neljä joukon K pistettä. Tehtävä 7 : 4 a) Olkoon G A kuvan mukaista tasoon piirrettyä verkkoa A vastaava tasoverkko sekä olkoon G B jokin tasoon piirrettyä verkkoa B vastaava tasoverkko. Näytetään, että tällöin verkko G A on isomorfinen verkon K 5 e kanssa ja että verkko G B on isomorfinen verkon K 3,3 e kanssa. B A Verkon G A komplementtiverkossa ja verkon K 5 e komplementtiverkossa on kummassakin kolme erakkosolmua sekä kahden solmun muodostama yhtenäinen komponentti. Komplementtiverkoilla on sama lukumäärä keskenään isomorfisia komponentteja, joten verkot G A ja K 5 e ovat isomorfisia. Verkko K 5 e on näin ollen erityisesti tasoverkko. Verkon G B komplementtiverkossa on kaksi sellaista kolme solmua sisältävää sykliä, joilla ei ole yhteisiä solmuja ja jotka liittyvät toisiinsa tasan yhden särmän välityksellä. Verkon K 3,3 e komplementtiverkolla on vastaavanlainen rakenne. Verkkojen G B ja K 3,3 e komplementtiverkkojen välille voidaan kahdeksalla eri tavalla määritellä jokin kyseisen rakenteen säilyttävä isomorfismi. Verkot G B ja K 3,3 e ovat keskenään isomorfiset, joten verkko K 3,3 e on tasoverkko. b) Todistetaan aluksi eräitä havaintoja verkon ja sen mielivaltaisen topologisen minorin välisestä yhteydestä. Kyseiset havainnot riittävät käsittelemään tilanteen, 5

jossa verkoista K 5 ja K 3,3 poistetaan kummastakin yksi särmä. Lemma. Olkoon H mielivaltainen verkko ja olkoon X sen topologinen minori. Tällöin väitteet V(X) V(H) ja E(X) E(H) ovat voimassa. Jos verkko X on epätyhjä, niin myös väite (X) (H) toteutuu. Todistus. Verkko X on verkon H topologinen minori, joten on olemassa injektio f : V(X) V(H) ja kokoelma { P h : h E(H) } verkon G riippumattomia polkuja siten, että jokaisella g E(H) polku P g on särmän g päätepisteiden kuvapisteiden välinen polku kuvauksen f suhteen. Erityisesti kuvaus f on injektio, joten väite V (X) V(H) toteutuu. Toisaalta jokaisella särmällä g E(H) polussa P g on ainakin yksi särmä ja mikään polun P g särmistä ei ole mihinkään muuhun verkon H särmään liittyvän polun varrella. Siten ehto E(X) E(H) on voimassa. Olkoon jatkossa solmu a V (X) sellainen, että ehto deg X (a) = (X) toteutuu. Jokaista solmusta a lähtevää särmää vastaa yksikäsitteinen solmusta f (a) lähtevä verkon H polku siten, että solmusta a lähteviä eri särmiä vastaavilla poluilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä. Tällöin solmusta f (a) lähtee solmuun a verrattuna vähintään yhtä monta särmää. Siten väite (X) (H) pätee. Verkossa K 5 e on vain viisi solmua, joten kuusi solmua sisältävä verkko K 3,3 ei ole sen topologinen minori. Toisaalta verkossa K 5 e on yhdeksän särmää, joten kymmenen särmää sisältävä verkko K 5 ei myöskään voi olla sen topologinen minori. Siten verkko K 5 e on tasoverkko Kuratowskin lauseen nojalla. Vastaavasti verkossa K 3,3 e on kahdeksan särmää, joten yhdeksän särmää sisältävä verkko K 3,3 ei voi olla sen topologinen minori. Ehdot (K 3,3 e ) = 3 sekä (K 5 ) = 4 ovat toisaalta voimassa, joten verkko K 5 ei ole verkon K 3,3 e topologinen minori. Verkko K 3,3 e on siis tasoverkko. Tehtävä 7 : 5 Väitteen käsittely voidaan tehdä kurssikirjan lauseen 2.4.4 avulla. Kyseistä tulosta ei ole mainittu luennoilla, joten esitetään siitä tarvittavalle osalle todistus. Ensin kuitenkin käsitellään eräs todistuksessa tarvittava havainto. 6

Lemma. Olkoon H verkko ja olkoon F joidenkin verkon H virittävien alimetsien muodostama äärellinen joukko. Olkoon joukon E(H) osajoukko D sellainen, että eräs särmä e D ei ole mukana joukon F metsissä ja että eräs särmä e 0 D voidaan lisätä johonkin joukon F jäseneen niin, että tuloksena on verkon H metsä. Olkoon q bijektio joukolta D\{e } joukkoon D\{e 0 } sekä olkoon h jokin kuvaus joukolta D \ {e } joukon F metsien sisältämien polkujen kokoelmalle. Oletetaan lisäksi, että jokaisella särmällä e D \ {e } ehto e E ( h(e) ) on voimassa ja pätee, että verkko h(e)+q(e) on verkon H sykli. Tällöin on olemassa enintään F alkiota sisältävä joukko verkon H virittäviä alimetsiä, jotka sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F alimetsät. Todistus. Todistetaan väite induktiolla tarkasteltavan särmäjoukon koon suhteen kiinnittämättä verkon H alimetsien muodostamaa kokoelmaa. Oletetaan induktion alkuaskelta varten, että verkon H joidenkin virittävien alimetsien muodostama kokoelma F on sellainen, että jokin verkon H särmä e ei ole mukana joukon F metsissä ja että lisäksi jollakin F F verkko F + e on metsä. Tällöin virittävien alimetsien kokoelma ( F \{F} ) {F +e } sisältää enintään F alkiota. Kyseisen kokoelman metsät sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F metsät. Oletetaan seuraavaksi luvun k Z + olevan sellainen, että haluttu lopputulos on voimassa jokaisella verkon H virittävien alimetsien muodostamalla äärellisellä joukolla sekä jokaisella asetetut ehdot toteuttavalla ja tasan k alkiota sisältävällä verkon H särmistä koostuvalla joukolla. Olkoot nyt joukot F ja D sekä näihin liittyvät kuvaukset ja särmät sellaisia kuin väitteen muotoilussa siten, että lisäksi oletetaan joukossa D olevan tasan k + 1 alkiota ja ehdon e e 0 toteutuvan. Olkoon oletuksen mukaisesti kokoelmaan F sisältyvä metsä F sellainen, että verkko F + e 0 on metsä. Olkoon toisaalta F F sellainen, että polku h(e 0 ) on metsän F polku. Oletusten e e 0 ja e 0 E ( h(e 0 ) ) mukaan sykli h(e 0 ) + q(e 0 ) on verkon F +q(e 0 ) sykli. Kyseinen sykli on lisäksi verkon F +q(e 0 ) ainoa sykli. Jos nimittäin verkossa F + q(e 0 ) olisi kaksi eri sykliä, niin särmä q(e 0 ) sisältyisi kumpaankin niistä, jolloin syklien kaarista saataisiin ristiriitaisesti yhdistettyä eräs metsän F sykli. Tiedon e 0 E ( h(e 0 ) ) perusteella verkossa ( F + q(e 0 ) ) e 0 ei ole yhtään sykliä. Näin ollen särmän q(e 0 ) lisääminen metsään F e 0 säilyttää 7

syklittömyyden. Kokoelma ( F \ {F, F } ) {F + e 0, F e 0 } toteuttaa tällöin induktio-oletuksen ehdot joukon D \ {e 0 } ja uutena aloituksena toimivan särmän q(e 0 ) sekä kuvausten q ja h rajoittumien kohdalla. Kyseisessä kokoelmassa on lisäksi korkeintaan yhtä monta alkiota kuin joukossa F ja siihen sisältyvät täsmälleen samat särmät joukon F metsien kanssa. Haluttu tulos seuraa nyt induktio-oletuksesta. Tavoiteltu väite pätee induktioperiaatteen nojalla. Edellistä aputulosta hyödyntäen voidaan nyt todistaa kurssikirjan lauseen 2.4.4 sisältämä osuus, jota tarvitaan tehtävän ratkaisemisessa. Sovelletaan kurssikirjan todistusta hieman eri merkinnöin sekä rajoittumalla tavanomaisiin verkkoihin. Lause. Olkoon H jokin äärellinen verkko ja olkoon luku r Z + sellainen, että verkon H jokaisessa epätyhjässä aliverkossa U on korkeintaan r ( V (U) 1 ) särmää. Tällöin on olemassa r kappaletta verkon H virittäviä alimetsiä siten, että niillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja että verkon H jokainen särmä on mukana jossakin näistä metsistä. Kyseisistä metsistä osa voi olla keskenään samoja. Todistus. Olkoon jatkossa F jokin sellainen enintään r jäsentä sisältävä kokoelma verkon H virittäviä alimetsiä, että kokoelman F metsillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja että mahdollisimman suuri määrä verkon H särmistä on mukana joukon F metsissä. Näytetään verkon H jokaisen särmän kuuluvan tällöin kokoelman F johonkin metsään. Oletetaan vastaoletuksena, että verkon H jokin särmä e ei ole mukana missään joukon F metsässä. Väittämä F = r toteutuu, sillä muutoin joukkoon F voitaisiin lisätä sellainen virittävä alimetsä, joka ei sisällä särmän e lisäksi muita verkon H särmiä. Otetaan käyttöön eräitä merkintöjä. Jokaisella metsällä F F kokoelma E F olkoon kaikkien sellaisten metsän F särmien joukko, joiden päätepisteitä yhdistää jokin verkon F polku. Tällöin jokaisella metsällä F F ja särmällä e E F pätee, että verkossa F on tasan yksi polku särmän e päätepisteiden välillä, sillä muutoin verkossa F olisi sykli. Jokaisella kokoelman F metsällä F voidaan siis määritellä 8

sellainen injektio P F joukolta E F metsän F polkujen kokoelmaan, että jokaisella särmällä e E F polku P F (e) yhdistää särmän e päätepisteitä. Määritellään kuvaus A joukolta N verkon H aliverkkojen kokoelmaan siten, että verkoksi A(0) asetetaan verkko ( e, {e } ) ja että jokaisella luvulla k N verkko A(k + 1) saadaan lisäämällä verkkoon A(k) kaikki polut joukosta { P F (e) : F F e E F E ( A(k) )}. Tällöin jokaisella k N verkko A(k) on verkon A(k + 1) aliverkko. Verkko H on äärellinen, joten sillä on vain äärellinen määrä aliverkkoja. Näin ollen on olemassa jokin verkon H aliverkko U ja luku k U N siten, että jokaisella ehdon k k U toteuttavalla luvulla k N on väite A(k) = U voimassa. Tavoitteena on näyttää, että jokaisella F F verkon U virittämä metsän F aliverkko on yhtenäinen. Voidaan määritellä kuvaus q: E(U) E(U) ja kuvaus h joukolta E(U)\{e } kokoelman F metsien sisältämille poluille siten, että ehto q(e ) = e toteutuu ja että jokaisella särmällä e E(U) \ {e } valitaan ensin pienin mahdollinen ehdon e E ( A(k) ) toteuttava luku k Z + ja asetetaan arvoksi q(e) verkon A(k 1) eräs särmä e ja arvoksi h(e) eräs polku P siten, että jollakin F F ehdot P = P F (e ) ja e E(P) ovat voimassa. Jokaisella särmällä e E(U)\{e } verkko h(e)+q(e) on tällöin verkon H sykli. Osoitetaan seuraavaksi kuvausten q ja h avulla, että kuvauksen A määritelmää voidaan pelkistää siltä osin, että jokaisella luvulla k N ja metsällä F F ehto E ( A(k) ) E F on voimassa. Oletetaan vastaoletuksena, että jollakin luvulla l N ja jollakin metsällä L F verkon A(l) särmäjoukko ei ole joukon E L osajoukko. Olkoon särmä e 0 joukon A(l)\E L alkio. Tällöin verkko L +e 0 on metsä. Muutoin särmä e 0 olisi jollakin verkon L + e 0 syklillä, jolloin ristiriitaisesti olisi olemassa jokin metsän L polku, joka yhdistäisi särmän e 0 päätepisteet. Väittämän e 0 = e toteutuminen on mahdollista. Olkoon D sisältymisen suhteen pienin mahdollinen joukon E(U) osajoukko, joka sisältää särmän e 0 ja jonka jokaisella alkiolla e on väite q(e) D voimassa. Tällöin joukkoon D \ {e } rajoitettuna kuvaus q on injektio, sillä joukon D \ {e } jokaisella särmällä e on olemassa luku k N siten, että ehdot e / E ( A(k) ) sekä q(e) E ( A(k) ) toteutuvat. Toisaalta joukossa D on vain äärellinen määrä särmiä, 9

joten särmä e on myös joukon D alkio. Nyt joukko D \ {e 0 } on kyseessä olevan rajoittuman arvojoukko. Edellisen aputuloksen perusteella on olemassa sellainen enintään F jäsentä sisältävä kokoelma verkon H virittäviä alimetsiä, jotka sisältävät yhden särmän enemmän kuin joukon F metsät. Kyseisen kokoelman metsistä voidaan poistaa särmiä siten, että tuloksena olevilla metsillä ei pareittain ole yhteisiä särmiä, mutta aputuloksen todistuksen etenemisen mukaan tälle ei tosin ole tarvetta. Näin ollen saadaan ristiriita joukon F valinnan kanssa. Jokaisella luvulla k N ja metsällä F F siis väite E ( A(k) ) E F toteutuu. Olkoon x särmän e toinen päätepiste. Osoitetaan induktiolla luvun k N suhteen, että verkon A(k) jokaisella solmulla v on joukon F jokaisella metsällä jokin kyseisen metsän ja verkon A(k + 1) yhteinen polku solmujen v ja x välillä ja että vuorostaan jokaisella verkon A(k + 1) solmulla w on joukon F jollakin metsällä olemassa polku, joka yhdistää solmut w ja x kyseisessä metsässä ja joka on myös verkon A(k + 1) polku. Joukon F jokaisella jäsenellä F joukko E F sisältää verkon A(0) särmäjoukon, jolloin särmän e kummastakin päätepisteestä on solmuun x jokin verkkojen F ja A(1) yhteinen polku. Olkoon toisaalta w jokin verkon A(1) solmu. Tällöin on olemassa verkon A(1) sellainen polku, että solmu w on sen varrella ja että kyseinen polku on joukon F jonkin metsän polku. Induktion alkuaskel toteutuu. Oletetaan induktio-oletuksena luvun k N olevan sellainen, että se toteuttaa väitteen muotoilussa asetetut ehdot. Olkoon ensin v jokin verkon A(k +1) solmu ja olkoon F F mielivaltainen. Oletuksen perusteella on olemassa verkon A(k + 1) polku Q niin, että polku Q yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä on kokoelman F jonkin jäsenen polku. Muodostetaan polusta Q halutut ehdot toteuttava polku. Olkoon verkkojen F ja Q yhdisteeseen sisältyvä verkon A(k + 2) polku P v nyt sellainen, että se yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä sisältää mahdollisimman pienen määrän polun Q särmistä. Näytetään polun P v olevan metsän F aliverkko tekemällä vastaoletus, että jokin sen särmä e v ei ole metsän F särmä. Särmä e v on näin ollen polun Q ja verkon A(k+1) särmä. Tiedon E ( A(k+1) ) E F perusteella jokin metsän F polku yhdistää särmän e v päätepisteet ja on eräs verkon A(k + 2) 10

poluista. Tällaisen polun avulla voidaan kiertää särmä e v ja muodostaa samalla sellainen verkkojen F ja Q yhdisteeseen sisältyvä verkon A(k + 2) polku, joka yhdistää solmut v ja x toisiinsa sekä sisältää ainakin yhden särmän vähemmän polusta Q kuin polku P v sisältää. Saatu ristiriita osoittaa polun P v olevan metsän F aliverkko. Induktioaskeleen ensimmäinen osa on käsitelty. Olkoon seuraavaksi w jokin verkon A(k + 2) solmu. Jos w on verkon A(k + 1) solmu, niin induktio-oletuksen perusteella jokin verkon A(k + 1) polku yhdistää solmut w ja x toisiinsa sekä sisältyy aliverkkona kokoelman F johonkin jäseneen. Jokainen verkon A(k + 1) polku on myös verkon A(k + 2) polku, joten voidaan olettaa, että alkio w ei ole verkon A(k + 1) solmu. Nyt jossakin metsässä F w F on verkon A(k + 1) särmä e w siten, että solmu w on polun P Fw (e w ) varrella. Särmän e w päätepisteet ovat verkon A(k + 1) solmuja, joten induktioaskeleen ensimmäisen osan perusteella ne voidaan yhdistää solmuun x joillakin verkkojen F w ja A(k + 2) yhteisillä poluilla. Näistä poluista saadaan polun P Fw (e w ) avulla muodostettua sellainen verkkojen F w ja A(k + 2) yhteinen polku, joka yhdistää solmut w ja x toisiinsa. Näin ollen induktioaskel on käsitelty ja haluttu väite seuraa yleisestä induktioperiaatteesta. Jokaisella jäsenellä F F pätee, että verkon A(k U ) jokaisesta solmusta on jokin sellainen solmuun x vievä polku, joka sisältyy verkkojen A(k U + 1) ja F leikkaukseen. Tietojen A(k U ) = U ja A(k U + 1) = U perusteella jokaisella F F verkon U virittämä metsän F aliverkko on näin ollen yhtenäinen sekä edelleen metsän F syklittömyyden nojalla myös puu. Tasan r alkiota sisältävän joukon F jäsenet ovat verkon H virittäviä alimetsiä, joilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä ja joihin särmä e ei kuulu, joten verkon U virittämässä verkon H aliverkossa on vähintään r ( V(U) 1 ) +1 särmää. Saatu tulos on ristiriidassa verkosta H tehdyn oletuksen kanssa. Näin ollen kokoelman F metsät sisältävät verkon H jokaisen särmän. Palataan varsinaisen tehtävän käsittelyyn. Olkoon G mielivaltainen äärellinen tasoverkko sekä olkoon pari (W, A) jokin sitä vastaava tasoon piirretty verkko. Olkoon pariin (W, A) liittyen kuvaus f : V (G) W jokin verkon G piirtämistä tasoon vastaava bijektio. 11

Olkoon U jokin verkon H epätyhjä aliverkko ja olkoon U verkon U virittämä verkon G aliverkko. Verkko U on tasoverkko, sillä sitä vastaa tasoon piirretty verkko, jonka solmujoukko on f (U ) ja jonka särmäjoukon muodostavat kaikki ne joukon A murtoviivat, jotka yhdistävät joukon W solmuja x ja y siten, että solmujen f 1 (x) ja f 1 (y) välinen särmä kuuluu verkon U särmäjoukkoon. Jos verkossa U on enintään kaksi solmua, niin ehto E(U ) 3 ( V(U ) 1 ) on voimassa. Verkko U on tasoverkko, joten tapauksessa V(U ) 3 se sisältää kurssikirjan korollaarin 4.2.10 mukaan korkeintaan 3 V(U ) 6 särmää. Tiedon V (U) = V (U ) mukaan siis erityisesti väite E(U ) 3 ( V(U) 1 ) toteutuu. Siten verkon G esittämiseen tarvitaan enintään kolme sellaista verkon G virittävää alimetsää, joilla ei pareittain ole yhteisiä särmiä. Verkko G voidaan siis esittää kolmen metsän yhdisteenä. Tehtävä 7 : 6 Olkoon G jokin äärellinen 6-yhtenäinen verkko. Erityisesti verkko G sisältää siis enemmän kuin yhden solmun. Tällöin tiedon κ(g) δ(g) perusteella verkon G jokaisesta solmusta lähtee vähintään kuusi särmää, jolloin saadaan tulos E(G) = 1 2 x V(G) deg G (x) 1 6 V(G) = 3 V(G). 2 Toisaalta kurssikirjan korollaarin 4.2.10 nojalla jokaisessa tasan V(G) solmua sisältävässä tasoverkossa on enintään 3 V (G) 6 särmää. Siten verkko G ei voi olla tasoverkko. Näin ollen 6-yhtenäisiä tasoverkkoja ei ole olemassa. Toisaalta samalla idealla saadaan vahvempi tulos, että jokaisessa epätyhjässä tasoverkossa on jokin solmu, jolla on korkeintaan viisi naapuria. 12