Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on kaksijakoinen eli että ehto χ(g) = 2 toteutuu. Kaksijakoisten verkkojen kaikki syklit ovat parillista pituutta, joten verkossa G ei ole sellaista sykliä, jossa on täsmälleen viisi solmua. Toisaalta kuvan perusteella havaitaan, kuinka verkossa H on sykli C siten, että syklissä C on yhteensä viisi solmua. äin ollen verkot G ja H eivät ole isomorfiset. G Tehdään tämän näyttämiseksi vastaoletus, että jokin kuvaus f : V(H) V(G) on verkkojen G ja H välinen isomorfismi. yt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari ( } } } f () : V (C)} ), f (r), f (s) : r, s E(C) on viidestä solmusta koostuva verkon G sykli. Saadaan siis ristiriita sen kanssa, että verkossa G ei ole sellaista sykliä, jossa on tasan viisi solmua. Verkot G ja H eivät tällöin ole keskenään isomorfisia. Tehtävä 9 : 2 Olkoot ensin A ja B sellaisia solmujoukolla 1,..., 5} varustettuja verkkoja, että joukko 1, 2}, 1, 3} } on verkon A särmäjoukko ja että joukko 1, 2}, 3, 4} } 1
on verkon B särmäjoukko. Olkoon G jokin sellainen tasan viisi solmua sisältävä verkko, jossa on yhteensä kahdeksan särmää. Joukossa [ V(G) ] 2 ( on 10 ) 2 alkiota, joten verkon G komplementtiverkossa G on tasan kaksi särmää. Oletetaan ensin verkon G jollakin solmulla a ehdon deg G (a) = 2 toteutuvan. Olkoot nyt b ja c solmun a naapurisolmut verkossa G sekä olkoot r ja s verkon G solmujoukossa joukon a, b, c} ulkopuolella olevat solmut. Tällöin kuvaus } (a, 1), (b, 2), (c, 3), (r, 4), (s, 5) on verkkojen G ja A välinen isomorfismi. Kyseinen kuvaus on siis myös verkon G ja verkon A komplementtiverkon A välinen isomorfismi. Oletetaan seuraavaksi, että verkon G jokaisesta solmusta lähtee korkeintaan yksi särmä. Verkossa G on tällöin kaksi täydellisen verkon K 2 kanssa isomorfista komponenttia sekä yksi erakkosolmu. Verkolla B on vastaava määrä kutakin eri isomorfialuokkaa edustavia komponentteja, joten verkot G ja B ovat isomorfiset. Siten verkko G on isomorfinen verkon B komplementtiverkon B kanssa. äin ollen jokainen tasan viisi solmua ja kahdeksan särmää sisältävä verkko on isomorfinen verkon A tai verkon B kanssa. Verkot A ja B eivät kuitenkaan ole keskenään isomorfisia. imittäin verkon A solmusta a lähtee tasan kahdeksan särmää, mutta verkon B jokaisesta solmusta lähtee vähintään yhdeksän särmää. Siten on olemassa täsmälleen kaksi sellaista keskenään epäisomorfista verkkoa, joissa on viisi solmua ja kahdeksan särmää. Tehdään vielä eräs lyhyt havainto, jota voidaan soveltaa tehtävän 5 ratkaisussa. Verkoissa A ja B on molemmissa virittävä sykli, jonka särmäjoukkona on } 1, 4}, 4, 2}, 2, 3}, 3, 5}, 5, 1}. Jokainen viisi solmua ja kahdeksan särmää sisältävä verkko on isomorfinen joko verkon A tai verkon B kanssa ja siten sisältää myös virittävän syklin. 2
Tehtävä 9 : 3 Olkoon luku n Z + kiinnitetty. Käytetään nyt merkintää D n jostakin sellaisesta dominopalikoiden joukosta, jonka jokaisen palikan molemmissa päissä on pisteitä jokin määrä joukosta 0,..., n} ja joka sisältää tasan yhden kappaleen jokaisesta kyseisen ehdon toteuttavasta palikasta. Olkoon lisäksi D n se joukon D n osajoukko, jonka jokaisen palikan päissä on eri määrä pisteitä. Havaitaan aluksi, että joukon D n palikat voidaan järjestää sellaiseksi suljetuksi renkaaksi, jossa palikoiden toisiaan koskettavissa päissä on sama määrä pisteitä, täsmälleen siinä tapauksessa, että joukon D n palikat voidaan järjestää renkaaksi vastaavalla tavalla. Tällaisesta joukon D n palikoiden renkaasta voidaan nimittäin poistaa joukon D n \ D n kaikki palikat. Toisaalta joukon D n palikoiden renkaaseen voidaan lisätä joukon D n \ D n palikat sellaisten palikoiden väliin, joiden toisiaan koskettavissa päissä on sama määrä pisteitä. Olkoon K n+1 täydellinen verkko solmujoukon 0,..., n} suhteen. Huomataan seuraavaksi, että joukon D n palikat voidaan järjestää suljetuksi renkaaksi halutulla tavalla tasan silloin, kun verkossa K n+1 on Eulerin kierros. Jos nimittäin verkossa K n+1 on Eulerin kierros, niin kyseinen kierros sisältää täsmälleen kerran jokaisen sellaisen särmän, jonka päätepisteet ovat joukon 0,..., n} eri alkioita. Lisäksi kierroksen varrella ei ole muunlaisia särmiä. Jos vuorostaan joukon D n palikat voidaan järjestää halutut ehdot toteuttavaksi renkaaksi, niin tulkitsemalla palikat verkon K n+1 särmiksi voidaan muodostaa Eulerin kierros. Täydellinen verkko K n+1 on yhtenäinen, joten siinä on Eulerin kierros tasan silloin, kun jokaisen solmun aste on parillinen. Verkon K n+1 jokaisella solmulla on yhteensä n eri naapuria, jolloin verkossa K n+1 on Eulerin kierros täsmälleen silloin, kun luku n on parillinen. äin ollen joukon D n palikat voidaan halutulla tavalla järjestää suljetuksi renkaaksi juuri silloin, kun luku n on parillinen. 3
Tehtävä 9 : 4 Todistetaan aluksi eräs aputulos, joka soveltuu tehtävän ratkaisun yleistämiseen. Tuloksen käsittelyssä käytetään tehtäväpaperissa annettua verkon dominoivan eli hallitsevan joukon määritelmää. Lemma. Olkoon H mielivaltainen verkko. Verkon H komplementtiverkko H on yhtenäinen täsmälleen silloin, kun verkon H jokaisen hallitsevan kaksion solmuja yhdistää jokin verkon H komplementtiverkon H polku. Todistus. Oletetaan aluksi verkon H olevan yhtenäinen. Joukon V (H) jokaisen kaksion sisältämien solmujen välillä on tällöin jokin verkon H polku. äin ollen väitteen ensimmäinen suunta on käsitelty. Oletetaan seuraavaksi kääntäen, että verkon H jokaisen hallitsevan kaksion solmuja yhdistää jokin verkon H polku. Olkoot r ja s joukon V(H) kaksi alkiota. Jos kaksio r, s} on verkon H hallitseva joukko, niin solmuja r ja s yhdistää jokin verkon H polku. Voidaan siis olettaa, että kaksio r, s} ei ole verkon H hallitseva joukko. Tällöin on olemassa joukkoon V (H) \ r, s} kuuluva solmu siten, että verkossa H kumpikaan solmuista r ja s ei ole solmun naapuri. Verkossa H solmut r ja s voidaan siis yhdistää särmien r, } ja, s} muodostamalla polulla. a) Olkoon G jokin mielivaltainen epäyhtenäinen verkko. Osoitetaan verkon G komplementtiverkon G toteuttavan halutut ehdot eli olevan yhtenäinen. Olkoon a, b} jokin verkon G hallitseva kaksio. Joukon V(G) jokaisesta solmusta on jokin joukkoon a, b} vievä polku, jossa on korkeintaan yksi särmä. Tällöin väittämä a, b} / E(G) toteutuu, sillä muussa tapauksessa verkon G jokaisesta solmusta olisi solmuun a vievä polku, jolloin verkko G olisi yhtenäinen. Siten verkossa G solmujen a ja b välillä on yhden särmän pituinen polku. Aputuloksen perusteella verkko G on yhtenäinen verkko, jonka komplementtiverkko on epäyhtenäinen. Kaikki vähintään kaksi solmua sisältävät täydelliset verkot ovat esimerkkejä yhtenäisistä verkoista, joiden komplementtiverkot ovat epäyhtenäisiä. imittäin täydellisen verkon komplementtiverkon särmäjoukko on tyhjä joukko. Toisaalta muun muassa neljän solmun syklien komplementtiverkot ovat epäyhtenäisiä. 4
b) Edellisen aputuloksen perusteella kaikki yhtenäiset verkot, joiden jokaisessa hallitsevassa joukossa on vähintään kolme eri solmua, ovat esimerkkejä sellaisista yhtenäisistä verkoista, joiden komplementtiverkot ovat myös yhtenäisiä. Tällaisia ovat esimerkiksi tehtävissä 1 ja 6 käsiteltävät verkot sekä kaikki enemmän kuin kuusi solmua sisältävät polut ja syklit. Lisäksi muun muassa korkeintaan yhden solmun sisältävät verkot ja niiden komplementtiverkot ovat yhtenäisiä. Olkoon toisaalta T jokin sellainen puu, jonka mikään solmu ei ole kaikkien muiden solmujen naapuri. äytetään puun T komplementtiverkon T olevan tällöin yhtenäinen. Olkoon a, b} jokin puun T hallitseva kaksio. Jos ehto a, b} / E(T ) toteutuu, niin verkossa T solmujen a ja b välillä on särmä. Oletetaan jatkossa ehdon a, b} E(T ) toteutuvan. Puun T mikään solmu ei ole jokaisen muun solmun naapuri, joten on olemassa joukon V(T ) solmut v ja w siten, että ehdot v / T (a) a} sekä w / T (b) b} ovat voimassa. Oletuksen a, b} E(T ) perusteella myös väitteet v b ja w a toteutuvat. Toisaalta kaksio a, b} on puun T hallitseva joukko, joten solmut a ja w ovat toistensa naapureita. Vastaavasti solmut b ja v ovat toistensa naapureita. Lisäksi ehto v, w} / E(T ) on voimassa. Jos nimittäin väite v, w} E(T ) toteutuisi, niin ristiriitaisesti särmäjoukko } a, b}, b, v}, v, w}, w, a} virittäisi puun T syklin. Särmä v, w} on siis verkon T särmäjoukossa. Kyseinen särmä voidaan oletusten a, v} / E(T ) ja b, w} / E(T ) nojalla jatkaa solmuja a ja b yhdistäväksi verkon T poluksi. äin ollen puun T komplementtiverkko on osoitettu yhtenäiseksi. Tehtävä 9 : 5 Todistetaan ennen varsinaisen tehtävän käsittelyä eräs aputulos. Kyseinen tulos on vahvempi kuin tehtävässä tarvitaan, mutta se soveltuu käyttöön myös yleisessä tilanteessa. Tulos on muokattu versio todistuksesta, jonka Heikki Junnila esittää Verkot-kurssille laatimassaan luentomonisteessa. 5
Lemma. Olkoon H äärellinen verkko, jolla on ainakin kolme eri solmua ja jonka solmujoukon jokaisella ehdon a, b} / E(H) toteuttavalla kaksiolla a, b} on ehto deg H (a) + deg H (b) V(H) voimassa. Tällöin verkossa H on virittävä sykli. Todistus. äytetään verkossa H olevan virittävä sykli. Oletetaan vastaoletuksena, että verkon H mikään sykli ei sisällä verkon H kaikkia solmuja. Olkoon m joukon [ V(H) ] 2 \ E(H) alkioiden lukumäärää sekä olkoon v1,..., v m } jokin kyseisen joukon numerointi. Määritellään verkkojen jono (H 0,..., H m ) siten, että alkuehto H 0 = H toteutuu ja että jokaisella i 1,..., m} on ehto H i = H i 1 +v i voimassa. Tällöin jokaisella i 0,..., m} erityisesti väite V(H i ) = V(H) toteutuu. Verkko H m on täydellinen verkko, sillä väite E(H m ) = E(H) v 1,..., v m } on voimassa. Siten verkon H m kaikki solmut ovat jonkin polun varrella ja lisäksi tiedon V(H m ) 3 perusteella kyseinen polku voidaan yhden särmän lisäämisellä täydentää verkon H m virittäväksi sykliksi. Valitaan luvuksi k joukon 1,..., m} pienin alkio, jolla verkossa H k on virittävä sykli. Olkoon edelleen C jokin verkon H k virittävä sykli. Luvun k valinnan nojalla verkossa H k 1 ei ole virittävää sykliä, joten sykli C ei ole verkon H k 1 aliverkko. imittäin väite V (C) = V (H k 1 ) pätee. Toisaalta tiedon H k = H k 1 +v k perusteella väitteet v k E(C) ja E(C v k ) E(H k 1 ) ovat voimassa. Tällöin verkko C v k on verkon H k 1 virittävä polku. Olkoon n polun C v k solmujen lukumäärä sekä olkoon 1,..., n } joukon V (C v k ) numerointi siten, että jokaisella luvulla i 1,..., n 1} ehto i, i+1 } E(C v k ) toteutuu. Väitteet 1, n } = v k ja 1, n } / E(H k 1 ) ovat voimassa. Olkoon solmu y Hk 1 ( 1 ) mielivaltainen. Polku C v k on eräs verkon H k 1 virittävä aliverkko, joten jollakin yksikäsitteisellä alkiolla j 2,..., n} on väite j = y voimassa. Osoitetaan ehdon j 1 / Hk 1 ( n ) olevan voimassa. Oletetaan vastaoletuksena, että väite j 1 Hk 1 ( n ) toteutuu. Tällöin verkolla H k 1 on sellainen aliverkko, jonka solmujoukko on V(H k 1 ) ja jonka särmäjoukko on } 1, j }, j, j+1 },..., n 1, n }, n, j 1 }, j 1, j 2 },..., 2, 1 }, Kyseinen verkko on vastoin oletusta verkon H k 1 virittävä sykli, mikä osoittaa halutun ehdon j 1 / Hk 1 ( n ) toteutuvan. Siis väite y / Hk 1 ( n ) pätee. 6
Edellisen päättelyn perusteella joukossa V(H k 1 ) on ainakin luvun Hk 1 ( 1 ) verran sellaisia solmuja, jotka eivät ole joukon Hk 1 ( n ) alkioita. Tällöin tietojen 1, n } / E(H k 1 ) ja n / Hk 1 ( n ) nojalla saadaan tulos V(H k 1 ) Hk 1 ( 1 ) + Hk 1 ( n ) + n. Verkko H on verkon H k 1 aliverkko, jolloin väittämät H ( 1 ) Hk 1 ( 1 ) sekä H ( n ) Hk 1 ( n ) ovat voimassa. äin ollen saadaan tulos V(H) deg H ( 1 ) + deg H ( n ) + 1, mikä on kuitenkin ristiriidassa tiedon 1, n } / E(H) sekä verkosta H tehdyn oletuksen kanssa. Verkolla H on siis jokin virittävä sykli. Palataan varsinaisen tehtävän käsittelyyn. Olkoon G sellainen kuusi solmua sisältävä verkko, jonka solmujoukko on 1,..., 6} ja jonka särmäjoukko on } } k, l} : (k, l) 1, 6} 2,..., 5} 1, 6}. Tällöin verkossa G on yhdeksän särmää ja ei yhtään erakkosolmua. Solmujoukko 2,..., 5} sisältää neljä alkiota. Toisaalta joukko 1, 6} on sen koko naapurusto ja sisältää vain kaksi solmua. Siten verkon G jokainen pariutus peittää korkeintaan kaksi kappaletta joukon 2,..., 5} alkioista. Verkolla G ei siis ole solmujoukon kokonaan peittävää pariutusta. Osoitetaan seuraavaksi, että mikään enemmän kuin yhdeksän särmää sisältävä verkko ei toteuta kaikkia haluttuja ehtoja. Oletetaan vastaoletuksena kuusi solmua ja vähintään kymmenen särmää sisältävän verkon H olevan sellainen, että sillä ei ole erakkosolmuja eikä koko solmujoukon pariutusta. äytetään ensin, että verkon H jollakin solmulla on korkeintaan kaksi naapuria. Oletetaan vastaoletuksen verkon H jokaisella solmulla olevan ainakin kolme eri naapuria. Tällöin jokaisella verkon H kaksiolla a, b} pätee deg H (a) + deg H (b) 3 + 3 = 6 = V(H), joten edellisen aputuloksen perusteella verkossa H on virittävä sykli. Valitsemalla joka toinen särmä joltakin tällaiselta kuusi solmua sisältävältä sykliltä saadaan 7
ristiriitaisesti koko verkon H solmujoukon pariutus. Siten on olemassa verkon H solmu u siten, että solmulla u on korkeintaan kaksi naapuria. Verkossa H ei ole erakkosolmuja, jolloin jokin solmu w V (H) on kuitenkin solmun u naapuri. yt verkossa H u on viisi solmua ja vähintään kahdeksan särmää. Olkoon tällöin R jokin verkon H u aliverkko, jolla on viisi solmua ja tasan kahdeksan särmää. Tehtävän 2 ratkaisun yhteydessä esitetyn havainnon mukaan verkossa R on virittävä sykli. Merkitään kirjaimella C verkon R jotakin virittävää sykliä. Sykli C on suoraan myös verkon H aliverkko. Toisaalta C w on verkon H polku, jossa on neljä solmua. Valitaan nyt polun C w varrelta ne kaksi särmää, jotka sisältävät polun C w päätepisteet. Yhdessä särmän u, w} kanssa nämä kaksi särmää muodostavat vastoin oletusta verkon H solmujoukon pariutuksen. Tehtävänannossa kysytyllä luvulla s on näin ollen ehto s = 9 voimassa. Tehtävä 9 : 6 Käymällä kaikki vaihtoehdot läpi voidaan huomata, että jokainen laudan B solmu, josta on verkossa (B, R) särmä johonkin sellaiseen solmuun, joka on oheisessa kuvassa ilmoitettu merkintää käyttäen, ei ole verkon (B, R) särmää mihinkään muuhun merkinnällä varustettuun solmuun. äin ollen verkon (B, R) jokaisessa hallitsevassa joukossa D on vähintään yksi sellainen solmu, josta on särmä tasan yhteen merkillä varustettuun solmuun, jolloin ehto D 12 toteutuu. 8
Olkoon K sellainen kaksitoista alkiota sisältävä joukon B osajoukko, jonka alkiot vastaavat kuvassa merkinnällä varustettuja solmuja. Joukon B\K kaikilla solmuilla on verkossa (B, R) vähintään yksi joukkoon K kuuluva naapuri, jolloin joukko K on eräs kyseisen verkon hallitsevista joukoista. Kooltaan pienimmissä verkon (B, R) hallitsevissa joukoissa on siis tasan kaksitoista alkiota. 9