Kuva 208: β on euklidinen ympyrä, l = A L ja B/ L

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 151 lkoon C ympyrän γ keskipiste ja c sen säde. Lauseen 4.1.3 nojalla i(γ) on ympyrä, jonka keskipiste on i(c) jasäde c. Lauseen 4.1.2 nojalla C = i(c)i(), joten C = i(c). Siten (i(c),α)=i(c) 2 1=C 2 1= (C, α) =c 2, missä viimeinen yhtälö seuraa lauseesta 4.1.11. Käyttäen samaa lausetta toiseen suuntaan nähdään, että i(γ) on ortogonaalinen α:n kanssa. Lauseen 4.2.2 nojalla i(l) = i( γ) = i() i(γ) = i(γ), joten i(l) ontyyppiä2oleva-suora. Tapaus b) letetaan, että β on ympyrän α kanssa ortogonaalinen ympyrä. Tässäkin on kaksi eri tapausta; joko l on tyyppiä 1 tai tyyppiä 2. Tapaus b1 ) lkoon l tyyppiä 1. lkoon ympyrän β keskipiste ja b sen säde. lkoon l = L, missä L on :n kautta kulkeva euklidinen suora. Erotetaan vielä kaksi ala-alatapausta: i) L ja ii) / L. i) Lauseen 4.1.5 nojalla i(l {}) =L {}, joten i(l) =i( (L {}) = i() i(l {}) = (L {}) = L = l, joka on -suora. L Kuva 207: β on euklidinen ympyrä, l = L ja L Tässä käytettiin lausetta 4.1.10, jonka mukaan L = (L {}) ja lausetta 4.1.12, jonka mukaan i() =. ii) lkoon / L. i( ) γ i() L Kuva 208: β on euklidinen ympyrä, l = L ja / L Lauseen 4.1.6 nojalla i(l) =γ {}, missä γ on :n kautta kulkeva ympyrä. Tällöin i(l) = i( L) = i() i(l) = γ, joten i(l) on-suora, mikäli γ ja α ovat ortogonaalisia. lkoon j peilaus α:n suhteen. Koska γ α, niin lauseen 3.1.10 nojalla riittää osoittaa, että j() γ. Lauseen 4.1.14 mukaan j() = i(). Koska L, niini() i(l) γ ja asia on selvä. Tapaus b2 ) letetaan, että l on tyyppiä 2, toisin sanoen l = γ, missä γ on α:n kanssa ortogonaalinen ympyrä. lkoot ja C ympyröiden β ja γ keskipisteet ja b ja c niiden säteet. Erotetaan tässäkin kaksi alatapausta: i) γ ja ii) / γ. i) letetaan, että γ.

152 INCRÉN MLLI γ i( ) i() γ i( ) Kuva 209: β on euklidinen ympyrä, l = γ ja γ Lauseen 4.1.7 nojalla i(γ) on suora, josta puuttuu piste, jolloin i(l) = i(γ) on -suora, mikäli i(γ) kulkee :n kautta. lkoon taas j peilaus α:n suhteen, jolloin 4.1.14:n mukaan j() = i(). Koska γ, niin tällöin i() = j() j(γ). Koska α ja γ ovat ortogonaalisia, niin lauseen 4.1.12 nojalla j(γ) =γ ja siten i() γ. Mutta tällöin = i(i()) i(γ). ii) lkoon / γ. Tällöin lauseen 4.1.15 nojalla i(γ) on α:n kanssa ortogonaalinen ympyrä ja i(l) = i( γ) = i() i(γ) = i(γ) on -suora. i( γ ) γ i( ) β Kuva 210: β on euklidinen ympyrä, l = γ ja / γ Lauseen 4.2.5 avulla voidaan nyt todistaa, että oincarén malli toteuttaa aksiooman (H1). LUSE 4.2.6. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H1). Todistus. lkoot ja Q eri -pisteitä. soitetaan, että niiden kautta kulkee tasan yksi -suora. Lauseen 4.2.3 nojalla on olemassa liike i siten, että i( ) =. isteiden i(q)( i( )= ) ja kautta kulkee euklidinen suora L. Tällöin l = L on -suora ja pisteet ja i(q) ovat-suoralla l. Lauseen 4.2.5 nojalla i(l) on -suora ja = i(i( )) = i() jaq = i(i(q)) l.

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 153 =i() i( ) Q i(q) Kuva 211: oincarén malli toteuttaa aksiooman (H1) itää vielä osoittaa -suoran yksikäsitteisyys. lkoon m toinen -suora, joka kulkee :n ja Q:n kautta. Tällöin lauseen 4.2.5 nojalla i(m) on-suora, joka kulkee :n ja i(q):n kautta. Lauseen 4.2.4 nojalla i(m) on tyyppiä 1, siis muotoa i(m) = M, missä M on euklidinen suora. Nyt M ja L kulkevat pisteiden ja i(q) kautta, joten on M = L. Siten i(m) = M = L = l ja edelleen m = i(i(m)) = i(l). LUSE 4.2.7. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H2). Todistus. lkoon l -suora. soitetaan, että l:llä on ainakin kaksi pistettä. Jos l on tyyppiä 1, niin l = L, missä L on origon kautta kulkeva euklidinen suora. L leikkaa origokeskistä 1 2-säteistä ympyrää lauseen 2.6.6 mukaan kahdessa eri pisteessä, jotka ovat -pisteitä jamyös suoran l pisteitä. Jos taas l on tyyppiä 2, niin l = β, missä β on α:n kanssa ortogonaalinen euklidinen ympyrä. lkoot ja Q ortogonaalisten ympyröiden α ja β leikkauspisteet. T U S Q R Kuva 212: oincarén malli toteuttaa aksiooman (H2) Euklidiselta janalta Q voidaan valita eri pisteet R, S (, Q). Lauseen 2.6.5 nojalla R ja S ovat ympyrän α sisällä. Lauseen 2.6.2 nojalla R ja S leikkaavat ympyrää β pisteissä T ja U, joilla T R ja U S. Lauseen 2.6.5 nojalla U ja T ovat -pisteitä, välttämättä eri pisteitä jau ja T ovat -suoralla l. LUSE 4.2.8. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H3). Todistus. Etsitään oincarén mallista kolme pistettä, jotka eivät ole samalla - suoralla. Yhdeksi pisteeksi otetaan keskipiste. Muut valitaan näin: lkoon β-keskinen 1 2-säteinen ympyrä jal jokin :n kautta kulkeva euklidinen suora.

154 INCRÉN MLLI Lauseen 2.6.6 nojalla L leikkaa β:aa pisteessä ja on -piste. lkoon M pisteen kautta kulkeva L:n normaali. Se leikkaa myös β:aa; olkoon leikkauspiste Q, joka on -piste. M Q L Kuva 213: oincarén malli toteuttaa aksiooman (H3) Nyt pisteiden, ja Q kautta ei kulje mitään -suoraa, sillä 4.2.4:n nojalla sen tulisi olla tyyppiä 1,mikä ei ole mahdollista, sillä, ja Q eivät ole samalla euklidisella suoralla. Huomautus 43. Lauseesta 4.2.6 seuraa välittömästi, että pisteiden ja hyperbolinen etäisyys on yksikäsitteisesti määritelty. Lisäksi d(, ) = d(, ), sillä d(, ) = Q log Q = log 1 Q Q = Q log Q = d(,). Näin myös hyperboliseen etäisyyteen perustuvat välissäolon ja yhtenevyyden määritelmät ovat järkeviä. Tämän huomion jälkeen voidaan lähteä todistamaan seuraavia aksioomia. (H4) on helppo: LUSE 4.2.9. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H4). Todistus. lkoon C. Määritelmän mukaan, ja C ovat samalla suoralla ja d(, )+d(,c) =d(, C). Tällöin myös d(c, )+d(,) =d(c, ) eli C. Muut välissäoloaksioomat ovat vähän vaikeampia verifioitavia. Ne todistetaan siirtämällä tarkastelu tyyppiä 1 olevalle suoralle. Tätä varten todistetaan ensin pari aputulosta. LUSE 4.2.10. Jos l on tyyppiä 1oleva-suora ja,, C l,niin C oincarén mallin mielessä,jos ja vain jos C euklidisessa mielessä. Todistus. Käytetään tässä selvyyden vuoksi merkintää C, kun on :n ja C:n välissä oincarén mallin mielessä, so., kun d(, )+d(,c) =d(, C). lkoot ja Q -suoran l päätepisteet eli α:n ja L:n leikkauspisteet, missä l = L.

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 155 Q C L Kuva 214: C oincarén mallin mielessä 1 : letetaan aluksi C. Tämä merkitsee, että d(, )+d(,c) =d(, C) eli ( ) Q log Q + CQ log QC = CQ log Q C. Muuttamalla tarvittaessa merkintöjä ( Q) voidaan olettaa, että Q C, CQ jolloin C ja siten CQ > Q ja > C. Tällöin > 1 ja siis Q C log > 0, joten CQ Q C CQ log Q C ( ) CQ Q =log Q C = log CQ = log Q QC Q Q +log CQ QC. Siksi ( ) voi toteutua ainoastaan, mikäli alemmassa kaavassa kaikki yhteenlaskettavat ovat positiivisia eli kun Q Q > 1ja CQ QC > 1. lemme todistamassa, että C. Tälle riittää lauseen 2.3.4 nojalla, että Q ja Q C. Koska ja ovat ympyrän γ sisäpuolellaja Q γ, niin joko Q tai Q. Jos olisi Q, niin ja Q < Q ja Q Q > ja tällöin olisi < 1, ja näinhän ei ole. n siis oltava Q. Vastaavasti päätellään, että onq C ja siis todella C. 2 : letetaan seuraavaksi, että C. Kuten edellisessä tarkastelussa nähdään nytkin, että (kunq C) kaavan( ) logaritmit ovat positiivisia, joten ( ) pätee suoraan logaritmin ominaisuuden log(xy) = log x +logy nojalla ja siten C. Seuraava lause sanoo, että liikkeet ovat oincarén mallin isometrisia isomorfismeja, toisin sanoen että ne säilyttävät pisteiden väliset etäisyydet. Tämä on hyvin merkityksellistä, koska välissäolo ja yhtenevyyskäsitteet on määritelty etäisyyden avulla ja nekin siis säilyvät liikkeissä. LUSE 4.2.11. lkoon i liike ja,, C eri -pisteitä. Tällöin d(, ) =d(i(),i()).

156 INCRÉN MLLI Lisäksi pätee C,jos ja vain jos i() i() i(c). Todistus. lkoon l pisteiden ja kautta kulkeva -suora, l = β, missä β on euklidinen suora tai ympyrä. lkoot ja Q suoran l päätepisteet, so. {, Q} = α β, jolloin i( ) jai(q) ovat samassa mielessä i(l):n päätepisteet. lkoon i peilaus γ:n suhteen. Jos γ on suora, niin lauseen 4.1.2 nojalla i säilyttää euklidisten janojen pituudet, joten tietenkin i()i( ) i()i(q) i() i(q) i()i( ) = Q Q eli d(i(),i()) = d(, ). Voidaan siis olettaa, että γ on ympyrää α vastaan ortogonaalinen ympyrä, sen keskipiste C ja säde c. soitetaan, että ( ) i()i( )= c 2 C C. Tässä on kaksi mahdollisuutta: joko a) C, ja ovat samalla euklidisella suoralla tai b) ne eivät ole. Tapaus a) Jos tutkittavat pisteet ovat samalla euklidisella suoralla, niin joko C tai sitten C, sillä tapaus C ei tule kysymykseen, koska jana on ympyrän α sisällä, mutta C sen ulkopulella. α i() i( ) i() C γ Kuva 215: Tapaus a) C Tapauksessa C saadaan C i( ) i() ja kaava ( ) saadaan siis laskemalla i()i( )=Ci() Ci( )= c2 C c2 C = c2 ( ) C C = C C c 2 C C. Tapauksessa C toimii vastaava päättely, merkkejä vaihtamalla. Tapaus b) Kun C, ja eivät ole samalla suoralla, niin C on kolmio, samoin i( )Ci(), ja kulmat C ja i( )Ci() ovatyhtenevät.

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 157 i() α i() i( ) γ C Kuva 216: Tapaus b) C on kolmio Koska Ci() = b2 b2 Ci() ja Ci( )=, niin = C. Tästä voidaan päätellä C C Ci( ) C kosinilauseen avulla kuten lauseen 4.1.15 todistuksessa, että kolmiot C ja i( )Ci() ovat samanmuotoiset. Tällöin on 3.1.10:n nojalla i()i( ) = c 2 C C, joten i()i( )= c 2 C C, eli kaava ( ) pätee myös tapauksessa b). nalogisesti kaavan ( ) kanssa saadaan vastaavanlaiset kaavat i( )C C = i()i(q) = i()i( )= i()i(q) = c2 CCQ Q, c2 CC c2 CCQ Q. ja Varsinainen väite d(i(),i()) = d(, ) saadaan yhdistämällä nämä: i()i( ) i()i(q) i()i(q) i()i( ) = C C Q CCQ Q CCQ CC = Q Q. Lauseen lisäväite seuraa nyt suoraan välissäolon määritelmästä ja lauseesta 4.2.5. LUSE 4.2.12. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H5). Todistus. lkoot ja eri -pisteitä ja l niiden kautta kulkeva -suora. itää osoittaa, että l:ltä löytyy pisteet C, D ja E siten, että C, D ja E. Lauseen 4.2.3 nojalla on olemassa liike i siten, että i() =. Lauseen 4.2.5 mukaan i(l) on -suora ja lauseen 4.2.4 mukaan tyyppiä 1, eli i(l) = L,

158 INCRÉN MLLI missä L on euklidinen suora. lkoot, Q α L siten, että i() ja i() Q euklidisessa mielessä. Valitaan pisteet R, S ja T siten, että R, S i() jai() T Q. Tällöin R, S ja T ovat -pisteitä ja ne toteuttavat ehdot R i() ja i() T. Lauseen 4.2.10 nojalla R i(), S i() ja i() T myös -mielessä. Tällöin lauseen 4.2.11 mukaan i(r) i() i(i()), i() i(s) i(i()) ja i() i(i()) i(t ). Koska i(i()) = ja i() =, niin i(r), i(s) jai(t ) kelpaavat haetuiksi pisteiksi C, D ja E. LUSE 4.2.13. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H6). Todistus. lkoot, ja C eri -pisteitä -suoralla l. Kuten lauseen 4.2.12 todistuksessa valitaan liike i s.e. i() =, jolloin i(l) ontyyppiä 1 oleva -suora. Tällöin täsmälleen yksi ehdoista i() i() i(c), i() i() i(c)jai() i(c) i() on voimassa euklidisessa mielessä ja siten lauseen 4.2.10 nojalla myös -mielessä. Lauseen 4.2.11 nojalla siis -mielessä täsmälleen yksi ehdoista C, C ja C on voimassa. ksiooman (H7) todistamiseksi tarvitaan aputulos. LUSE 4.2.14. lkoon l = L tyyppiä 1 oleva -suora. Tällöin -pisteet, / l ovat samalla puolella suoraa l -mielessä,jos ja vain jos ne ovat samalla puolella euklidista suoraa L euklidisessa mielessä. L α Kuva 217: Samalla puolella 1. tyypin -suoraa l Todistus. 1 : lkoot ja samalla puolella l:ää -mielessä, ts. oletetaan, että :n ja :n välinen hyperbolinen eli -jana ei leikkaa suoraa l. itää osoittaa, että :n ja :n välinen euklidinen jana ei leikkaa L:ää. lkoon m pisteiden ja kautta kulkeva -suora ja pisteiden ja välinen euklidinen jana. ntiteesi: leikkaa L:ää jasiismyös l:ää pisteessä C. Josm on tyyppiä 1, niin lauseen 4.2.10 nojalla on myös :n ja :n välinen -jana, joten joudutaan ristiriitaan oletuksen kanssa. Voidaan siis olettaa, että m on tyyppiä 2: m = β, missä β on α:a vastaan ortogonaalinen ympyrä. n osoitettava, että m ja l leikkaavat toisensa. Teemme sen seuraavasti:

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 159 m L D C Kuva 218: m ja l leikkaavat Lauseesta 2.6.5 seuraa, että C on β:n sisäpuolella, joten 2.6.6:n nojalla suora L leikkaa β:aa kahdessa pisteessä ja Q. Ei voi olla α, sillä silloin 4.1.9:n nojalla L olisi β:n tangentti ja leikkauspisteitä olisi siis vain yksi. Siis / α. Jos merkitään peilausta α:n suhteen j:llä, niin 4.1.12:n mukaan j( ) β ja joko tai j( ). Siten joko tai j( )onl:n ja m:n leikkauspiste, jollainen siis on olemassa. Merkitään l:n ja m:n leikkauspistettä D:llä. Koska m on tyyppiä 2, niin lauseen 4.2.4 nojalla D. Tällöin lauseen 4.2.3 mukaisesti on olemassa liike i siten, että i(d) =. Tällöin sekä i(l) että i(m) kulkevat :n kautta ja ovat siten 4.2.4:n ja 4.2.5:n mukaisesti tyyppiä 1 olevia suoria. Tämä on 4.1.3:n nojalla mahdollista vain, kun i on ympyräpeilaus ja 4.1.6:n mukaan peilausympyrän keskipiste R sisältyy suoraan L. Koska i() R, niin i()l euklidisessa mielessä ja vastaavasti i()l. ntiteesin nojalla L, joten i()li() eli i():n ja i():n välinen euklidinen jana leikkaa suoraa L. i(m) m i() D R L =i( ) 0=i(D) i() Kuva 2191: Leikkauspiste on Toisaalta i(), i() i(m), joka on tyyppiä 2, joten i():n ja i():n välinen - jana on sama kuin euklidinen (4.2.10), joten tämä -jana leikkaa L : ää. inoa mahdollinen leikkauspiste on eli i(d). Siten i() i(d) i() on totta -mielessä. Tällöin 4.2.11:n nojalla D pätee -mielessä jakoskad l, niin l olisi totta -mielessä, mikä on ristiriita. 2 : lkoot ja euklidisessa mielessä samalla puolella suoraa L. ntiteesi: :n ja :n välinen -jana leikkaa l:ää pisteessä D. Valitaan taas liike i siten, että i(d) = 0, jolloin taasi on ympyräpeilaus ja peilausympyrän keskipiste

160 INCRÉN MLLI R L. Taas i()l ja i()l, joten nyt oletuksen nojalla i()i()l. Koska D -mielessä, niin i() i(d) i() -mielessä jamyös euklidisessa mielessä, koska i(m) on taas tyyppiä 1. Koska i(d) = L, niintällöin i()li(), ja on taas saatu ristiriita. LUSE 4.2.15. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H7). Todistus. Valitaan (H7):n oletusten suoralta l jokin piste ja kuvataan se sopivalla liikkeellä i origoon, jolloin i(l) on tyyppiä 1. Väite seuraa nyt suoraan lauseesta 4.2.14, sillä 4.2.11:n nojalla l, jos ja vain jos i()i()i(l). Yhtenevyysaksioomia varten todistetaan taas aputulos: LUSE 4.2.16. lkoon -puolisuora ja C -piste. Tällöin on olemassa kuvaus f,joka on yhdistetty kuvaus liikkeistä s.e. f( ) = C,missä C on -puolisuora. α C C Kuva 220: -puolisuoran siirto origosta alkavaksi Todistus. Lauseen 2.3.5 nojalla on olemassa liike i siten, että i() =. uomilauseen 2.3.11 mukaan i( ) = i()i() = i(). Nyt sekä -suora C että -suora i() ovattyyppiä 1, joten -puolisuora C on joukko C E, missä C E on euklidinen puolisuora ja vastaavasti i() = i() E. a) Jos nyt i() C, niini() = C lauseen 2.3.8 nojalla ja asia on selvä; voidaan asettaa f = i. b) Jos i() C, niin yhdistetään liikkeeseen i peilaus j:n kautta kulkevan C E :n normaalin suhteen, jolloin j on liike, ja asettamalla f = j i saadaan f() C, mistä väite taas seuraa. c) Muussa tapauksessa i()c on (euklidinen) kulma. i() f() C

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 161 Kuva 221: Kulman peilaus puolittajan suhteen vaihtaa kyljet lkoon sen puolittaja ja L = sekä j peilaus L:n suhteen. settamalla f = j i saadaan taas f() C; tämähän seuraa SKS- säännöstä. Väite seuraa! LUSE 4.2.17. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H8). Todistus. lkoot ja olkoon Q puolisuora. itää osoittaa, että on olemassa yksikäsitteinen R Q { } siten, että = R. Valitaan liike i siten, että i( ) =. Lauseen 4.2.16 nojalla on olemassa liikkeiden yhdistelmä f siten, että f( ) = i(q). Määritellään g = i f, jolloin g( ) =i( i(q)) = i( i( )i(q)) = i(i( Q)) = Q. Q α i(q) =i() i(q) Kuva 222: Lauseen 4.2.17 todistus Lauseen 4.2.11 nojalla g säilyttää hyperboliset etäisyydet, joten d(, ) = d(g(),g()) = d(, g()), joten g() Q on haettu piste R, sillä = g() määritelmän mukaan. Toista tällaista pistettä R Q ei voi olla. Jos nimittäin R g() olisi sellainen, niin d(, ) = d(,r), joten lauseen 4.2.11 nojalla d(,i(r)) = d(,f()). Toisaalta mielivaltaisen pisteen S hyperbolinen etäisyys :sta osataan laskea. Jos nimittäin T ja U ovat tyyppiä 1 olevan -suoran S päätepisteet, T S, S U, niin d(, S) = T SU log U ST = 1 (1 S) log 1 (1 + S) = log 1 S 1+S. Soveltamalla tätä lauseketta saa ehto d(i(r)) = d(, f()) muodon log 1 i(r) 1+i(R) = log 1 f() 1+f(), josta edelleen i(r) = f(). Koska i(r) jaf() kuuluvat samalle euklidiselle puolisuoralle i(q) täytyy olla i(r) = f(), koska euklidinen malli toteuttaa Hilbertin aksiooman (H8). Tällöin kuitenkin R = i(i(r)) = i(f()) = g(), mikä antaa ristiriidan.

162 INCRÉN MLLI %pagebreak LUSE 4.2.18. oincarén malli toteuttaa aksioomat (H9) ja (H10). Todistus. Nämä aksioomat ovat suora seuraus määritelmästä. ksioomia (H11) (H13) varten kiinnitetään ensin seuraavat merkinnät: lkoon K -piste. -suora K on tyyppiä 1 ja se jakaa -pisteet kahteen puolitasoon H 1 ja H 2, jotka ovat lauseen 4.2.14 perusteella joukkoja H 1 ja H 2, missä H 1 ja H 2 ovat euklidisen suoran L, jolla K = L, määräämät puolitasot. H H 1 2 K L Kuva 223: -puolitasot LUSE 4.2.19. Liike säilyttää -kulmat,ts. jos i on liike ja C on -kulma, niin i()i()i(c) = C. Todistus. lkoon i()i(), Q i()i(c), R R, S C siten, että i() = R ja i()q = S. Lauseen 4.2.11 nojalla R = i()i(r) ja i(r) i( ) = i()i(). Nyt myös i()i() jai() = i()i(r). ksiooman (H8) voimassaolon ilmaisevan lauseen 4.2.17 yksikäsitteisyyspuolen nojalla täytyy olla = i(r). Vastaavasti on oltava Q = i(s). Tällöin Q = i(r)i(s). Lauseen 4.2.11 mukaan i(r)i(s) = RS, joten Q = RS ja väite seuraa määritelmän mukaisesti. i(c) Q i() S C i() R Kuva 224: Liike säilyttää kulmat Määritelmä 4.6.Sanotaan, että { d(, ) = p}, missä on -piste ja p positiiviluku, on -ympyrä. on sen -keskipiste ja p sen -säde. LUSE 4.2.20. Jokainen -ympyrä on euklidinen ympyrä. -keskipiste ei kuitenkaan ole välttämättä sama kuin euklidinen. Tarkemmin: (1) Jos β on -ympyrä,jonka -keskipiste on ja -säde p,niin β on myös euklidinen ympyrä,jonka euklidinen keskipiste on ja säde ep 1 e p +1.

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 163 (2) Jos taas β:n -keskipiste on,niin β on euklidinen ympyrä,jonka keskipiste E on puolisuoralla siten,että E = (1 r2 ) 1 2 r 2 ja säde missä r = ep 1 e p +1. b = r(1 2 ) 1 2 r 2, Huomautus 44. Jollei ole mallia edustavan ympyrän α keskipiste, niine<, joten E. Lisäksi, kun 1 eli kun lähestyy mallia edustavan ympyrän α kehää, niin E 1eliE lähestyy myös α:n kehää jab 0. Siis jos -ympyrän β keskipiste on lähellä ympyrän α kehää, niin -ympyrä on euklidisessa mielessä pieni ympyrä. E ==E E Kuva 225: Samasäteisiä -ympyröitä Lauseen 4.2.20 todistus lkoon aluksi β:n keskipiste. lkoon S jokin -piste ja, Q α -suoran S päätepisteet siten, että S ja S Q S Q i( ) E C Keskipiste Keskipisteen siirto Kuva 226: Lauseen 4.2.20 todistus Tällöin = Q =1jaS = +S =1+S ja SQ = Q S =1 S. Siten d(, S) = SQ log Q S = log 1 S 1+S 1+S = log 1 S.

164 INCRÉN MLLI Nyt saadaan S β d(, S) =p log 1+S = p 1+S = 1 S 1 S ep S = ep 1 e p +1, joten β = {S S = ep 1 e p +1 },jatämä on-keskinen euklidinen ympyrä, jonka säde on r = ep 1 e p +1. lkoon seuraavaksi β:n keskipiste 0,β = { d(,) =p}. Lauseen 4.2.3 nojalla voidaan valita liike i siten, että i(β) = ja itse asiassa nimenomaan i:ksi kelpaa ympyräpeilaus γ:n suhteen, missä γ:n keskipiste C on puolisuoralla. Koska i säilyttää hyperboliset etäisyydet, pätee kaikille β d(i( )),)=d(i( ),i()) = d(, ) =p, ja kääntäen, jos d(q, ) = p, niin d(i(q),) = d(i(q),i()) = d(q, ) = p, joten i(q) β ja siten Q = i(i(q)) i(β). Yllätodetusta seuraa, että i(β) on -keskinen, p-säteinen -ympyrä. rigokeskisyyden nojalla i(β) on-keskinen r-säteinen euklidinen ympyrä. Koska r < 1 ja koska lauseen 4.1.10 nojalla γ:n keskipiste C on α:n ulkopuolella, niin C on i(β):n ulkopuolella. Koska β = i(i(β)), niin lauseen 4.1.7 nojalla β on euklidinen ympyrä, jonka euklidiselle keskipisteelle E pätee E. ituuden E ja säteen määrääminen jätetään harjoitustehtäväksi. Ne saa laskettua lauseen 4.1.7 avulla; C ja γ:n säde löytyvät lauseesta 4.2.3. LUSE 4.2.21. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H11). Todistus. lkoon C -kulma, DE -puolisuora ja piste siten, että / DE. n etsittävä -puolisuora DF siten, että FDE ja C = FDE. Merkitään taas oincarén malliympyrän α keskipistettä, valitaan jokin -piste K ja merkitään tyypin 1 -suoran määräämiä -puolitasoja H 1 ja H 2. Lauseen 4.2.16 nojalla on olemassa liikkeiden yhdistelmä f siten, että f( C) = K. Nyt joko Jos f() H 2, niin lisätään f:ään peilaus K:n f() H 1 tai f() H 2. suhteen, jolloin f() H 1. Siis voidaan olettaa, että f( C) = K ja f() H 1. Vastaavasti löydetään liikkeiden yhdistelmä g siten, että g( DE) = K ja g( ) H 1. α C f g() H1 H2 f() g f(c) g(e) K =f() =g(d) D -1 g (f()) g -1 (f(c)) α E α Kuva 227: oincarén malli toteuttaa aksiooman (H11)

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 165 Tällöin (g 1 f)() =g 1 (f()) = g 1 () =D ja (g 1 f)(c) g 1 ( K) = DE. Lauseen 4.2.19 nojalla (g 1 f)()(g 1 f)()(g 1 f)(c) = C. Koska f(c) K, niin siis D(g 1 f)() on haettu puolisuora, mikäli (g 1 f)() ja ovat samalla puolella suoraa DE. Näin asia onkin, sillä f() jag( )ovat puolitasossa H 1, joten f()g( ) K ja siten g 1 f()g 1 (g( ))g 1 ( K) eli (g 1 f)() DE. Näin on olemassaolo todistettu. Yksikäsitteisyys tarkastetaan seuraavasti: lkoot f ja g kuten edellä ja DR ja DS puolisuoria siten, että EDR = C ja EDC = C sekä R DE. n osoitettava, että DR = DS. Riittää näyttää, että g(r) = RS inakin g(r) jag(s) ovat puolitasossa H 1.Lisäksi g(r)k = g(r)g(d)g(e) = RDE = C = SDE = g(s)g(d)g(e) = g(s)k, DE ja g(s). joten g(r)k = g(s)k. (Huom: Tässä kohdassa käytettiin kulmien yhtenevyyden transitiivisuutta, joka todistetaan vasta seuraavana lauseena. Siinä todistuksessa ei kuitenkaan käytetä tätä tulosta, joten kiertopäättelyä ei tule. Voimme jatkaa päättelyä:) β E T U K γ T' Kuva 228: ksiooman (H11) yksikäsitteisyyspuoli Valitaan T g(r) {} ja U g(s) {} siten, että T = U, jolloin U, T H 1 ja, koska g(r)k = g(s)k, niin kolmiot g(r)k ja g(s)k ovat yhtenevät ja siis erityisesti UK = TK. Merkitään p = d(u, K) =d(t,k) ja q = d(u, ) =d(t,), jolloin siis U, T β, missä β on -keskinen q-säteinen -ympyrä. ja U, T γ, missä γ on K-keskinen ja p-säteinen -ympyrä. Lauseen 4.2.20 nojalla β on -keskinen euklidinen ympyrä jaγ on E-keskinen euklidinen ympyrä, missä E K {}. Lauseen 2.6.11 mukaan β ja γ leikkaavat korkeintaan kahdessa pisteessä. Nyt T on β:n ja γ:n leikkauspiste ja T / E. Kuten lauseen 2.6.12 todistuksessa nähdään nytkin, että tällöin β ja γ leikkaavat myös pisteessä T, joka on T :n peilauspiste euklidisen suoran E suhteen. Mutta tällöin T H 2, joten T U. Ympyröillä β ja γ on siis leikkauspisteet T ja T ja U ja tiedämme, että T U. n siis oltava T = U. Tällöin g(r) = g(s) ja siten DR = DS eli yksikäsitteisyyskin on todistettu.

166 INCRÉN MLLI LUSE 4.2.22. oincarén malli toteuttaa aksiooman (H12). Todistus. oincarén mallissa kulmien yhtenevyysrelaation refleksiivisyys ja symmetrisyys ovat ilmeisiä, mutta transitiivisuus vaatii pienen perustelun. lkoot siis C = DEF ja DEF = GHI sekä, Q C, R HG, S HI siten, että = HR ja Q = HS. itää osoittaa, että Q = RS. D G T R Q C E U F H S I Kuva 229: oincarén malli toteuttaa aksiooman (H12) Koska (H8) pätee, niin voidaan valita T ED siten, että ET =, jolloin aksiooman (H9) nojalla myös ET HR. Vastaavasti voidaan valita U EF siten, että EU = Q ja EU = HS. Koska nyt ET = ja EU = Q ja C = DEF, niin määritelmän mukaan Q = TU. Vastaavasti päätellään, että RS = TU.Tällöin (H9):n nojalla Q = RS. LUSE 4.2.23. oincarén malli toteuttaa SKS-aksiooman (H13). Todistus. lkoot C ja DEF -kolmioita siten, että = E ja = DE sekä C = EF. n osoitettava, että C = DEF. Suoraan kulmien yhtenevyyden nojalla on C = DF, joten vastinsivut ovat yhteneviä ja riittää siis todistaa, että vastinkulmat ovat yhteneviä. letuksen mukaan = E, joten riittää todistaa, että C = F ja = D. (Käytettävissä on nyt siis oletus SSS, itse asiassa peräti SSSK.) C α f =f(c) =g(f) f() g(d) =f() =g(e) K α g F E D α Kuva 230: oincarén malli toteuttaa SKS-aksiooman (H13) Kuten lauseen 4.2.21 todistuksessa on nytkin olemassa liikkeiden yhdistelmä f siten, että f( C) = K ja f() H 1 ja vastaavasti myös liikkeiden yhdistelmä g siten, että g( FE) = K ja g(d) H 1. Koska oletusten mukaan lisäksi f() = f(c)f() = C = FE = g(f )g(e) = g(e), niin f() =

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 167 g(e). Merkitään = f() = g(e). soitetaan, että f() = g(d): Koska f() =f(c)f() = C = FD = g(f )g(d) =g(d), niin f() jag(d) ovat ainakin samalla -keskisellä -ympyrällä. Koska f() =f()f() = = ED = g(e)g(d) =g(d), niin f() jaf(d) ovatmyös samalla -keskisellä - ympyrällä. Koska lisäksi f() jaf(d) ovat puolitasossa H 1, niin aivan samoin kuin lauseen 4.2.21 todistuksessa nähdään nytkin, että tämä on mahdollista vain, kun f() =g(d). Koska kulmat säilyvät liikkeissä, on siis C = f()f(c)f() = g(d) = g(d)g(f )g(e) = DFE, eli C = F. Samalla tavalla saadaan = D. LUSE 4.2.24. oincarén malli toteuttaa Dedekindin aksiooman. Todistus. Todistus perustuu luonnolliseti siihen, että pohjana oleva euklidinen malli toteuttaa Dedekindin aksiooman. Koska liikkeet säilyttävät välissäolon ja jokainen suora on liikkeellä kuvattavissa tyyppiä 1 olevaksi suoraksi, niin riittää osoittaa, että Dedekindin aksiooma toimii tyypin 1 suoralla l. lkoon siis l = L, missä L on :n kautta kulkeva euklidinen suora. D D 2 1 L E E2 1 Kuva 231: oincarén malli toteuttaa Dedekindin aksiooman lkoot D 1, D 2 l siten, että Dedekindin ehdot ovat voimassa. Määritellään E 1 = D 1 { L Q D2,R D 1 s.e. Q R } ja E 2 = L E 1. Tarkastelemalla eri vaihtoehtoja nähdään helposti, mutta aika työläästi, että E 1 ja E 2 toteuttavat Dedekindin ehdot euklidisessa mielessä suoralla L. Koska euklidinen malli toteuttaa Dedekindin aksiooman, niin on olemassa piste L, joka on E 1 :n ja E 2 :n välissä aksiooman mielessä. Tällöin nähdään helposti, että l ja on D 1 :n ja D 2 :n välissä oincarén mallin mielessä. Näin on todistettu, että Dedekindin aksiooma pätee tässäkin mallissa. Nyt on todettu, että oincarén malli toteuttaa kaikki muut aksioomat, paitsi paralleeliaksiooman. rkhimedeen aksioomaahan ei tarvitse tässä verifioida, koska se lauseen 2.6.13 mukaan seuraa jo todistamistamme. Koska aksioomat toteutuvat, voidaan malliin konstruoida jana- ja kulmamitta kuten aikaisemmin on esitetty. Minkälaisia nämä ovat? Janamitta riippuu tietenkin valitusta yksikköjanasta. Jos käytetään yksikköjanana janaa I, missä on α:n keskipiste ja I valittu niin, että d(, I) =1,eliI = e 1 e+1, niin hyperbolinen etäisyys toteuttaa lauseen 2.5.10 ehdot ja lauseen 2.5.10 mukaisesti tällöinjanamitta on yhtä suuri kuin hyperbolinen etäisyys.

168 INCRÉN MLLI Kulmamitalle vastaava asia ei ole aivan yhtä selvä. Työtä aiheuttaa mm. se seikka, että lauseen 2.5.10 vastinetta kulmille ei ole todistettu edellä, vaikka se voitaisiin toki tehdä. Tulos on kuitenkin seuraava: oincarén mallissa kulmamitta on tangenttien välisen kulman euklidinen mitta. Kuva 232: oincarén kulmamitta LUSE 4.2.25. oincarén malli ei toteuta paralleeliaksioomaa. Todistus. erustelu on sopiva harjoitustehtävä. 4.3. Hyperbolista geometriaa. Yritykset todistaa paralleeliaksiooma jatkuivat 1800-luvun lopulle asti. 1800- luvun alkupuolella kuitenkin kolme matemaatikkoa toisistaan riippumatta alkoivat miettiä, mitä tapahtuisi, jos paralleeliaksiooman sijasta oletettaiiin sen looginen negaatio, eli että suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkisi useampia sen suuntaisia suoria. Nämä matemaatikot olivat unkarilainen Janos olyai (1802 1860), saksalainen Carl FrierichGauss (1777 1856) ja venäläinen Nikolai Ivanovits Lobatševski (1792 1856). He kehittivät tämän uuden ns. hyperbolisen aksiooman pohjalta geometrian, joka herätti ihmetystä. Gauss huomasi näennäisen paradoksin takaa seuraavaa: letus, että kolmion kulmien summa on alle 180, johtaa merkilliseen geometriaan, aivan erilaiseen kuin omamme [euklidinen], kuitenkin täysin ristiriidattomaan. len tyydytyksekseni kehittänyt sitä niin pitkälle, että pystyn ratkaisemaan siinä kaikki ongelmat, poikkeuksena eräs vakio, jota ei voi määrätä a priori. Mitä suuremmaksi tämän vakion valitsee, sitä lähemmäs tulee euklidista geometriaa, ja kun se valitaan äärettömän suureksi, geometriat yhtyvät. Tämän geometrian teoreemat vaikuttavat paradoksaalisilta ja asiaan vihkiytymättömästä absurdedeilta; mutta hätäilemätön perusteellinen ajattelu paljastaa, että ne eivät sisällä yhtään mitään mahdotonta. Esimerkiksi kolmion kolme kulmaa tulevat miten pieniksi vain halutaan, kunhan sivut valitaan tarpeeksi suuriksi, mutta kolmion ala ei koskaan voi ylittää tiettyä raja-arvoa, riippumatta siitä, kuinka pitkiksi sivut valitaan, eikä edes koskaan saavuta tuota rajaa. Kaikki yritykseni löytää ristiriita tästä epäeuklidisesta geometriasta ovat epäonnistuneet, ja ainoa asia, jonka suhteen se on havaintojemme vastainen on se, että jos se olisi tosi, niin avaruudessa olisi olemassa itsestään määräytynyt lineaarinen suuruus [luonnollinen mittayksikkö], (jota me emme tunne). Mutta minusta näyttää sitä, että huolimatta metafyysikkojen mitäänsanomattomasta sanahelinästä tiedämme liian vähän avaruuden todellisesta luonteesta voidaksemme pitää täysin

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 169 mahdottomana sellaista, mikä näyttää meistä luonnottomalta. Jos tämä epäeuklidinen geometria olisi todellista, ja jos olisi mahdollista verrata mainitsemaani vakiota niihin suuruuksiin, joita kohtaamme mittauksissamme maan päällä ja avaruudessa, niin se voitaisiin määrätä a posteriori. Siksi olen joskus leikilläni toivonut, että euklidinen geometria ei pätisi, koska meillä silloin olisi absoluuttinen standardipituusmitta. olyai, Gauss ja Lobatševski eivät tietenkään tunteneet oincarén mallia; itse asiassa he eivät tunteneet minkäänlaista mallia, joka osoittaisi, että hyperbolinen aksiooma ei johda ristiriitaan. Ensimmäisen tällainen mallin on keksinyt Eugenio eltrami 25 v. 1868 ja ensimmäisenä tällaisen mallin on täysin oikeaksi todistanut Felix Klein 26 v.1871. Hyperbolisen geometrian koko struktuuri, kaikki lauseet jne. olivat siis aluksi tyhjän päällä ristiriidan löytyminen olisi romuttanut kaiken (mutta viimeinkin todistanut paralleeliaksiooman)! Siksi Gauss ei julkaissutkaan konstruktioitaan. Ristiriitaa ei kuitenkaan löytynyt (eikä koskaan löydy!), ja niinpä mekin tässä tutustumme joihinkin hyperbolisen geometrian perusasioihin. setetaan ensin perusta: (HY) Hyperbolinen aksiooma n olemassa suora l ja piste suoran l ulkopuolella siten, että :n kautta kulkee ainakin kaksi eri l:n suuntaista suoraa. soitetaan tämän avulla ensin, että jokaisen kolmion defekti on aidosti positiivinen, eli kulmien summan asteluku aidosti alle 180. Todistetaan ensin kuitenkin Saccherin ja Legendre in lauseen avulla aputulos, jossa ei tarvita hyperbolista aksioomaa. putulos pätee siis myös euklidisessa geometriassa. LUSE 4.3.1. lkoon C suora kulma ja a > 0 positiivinen reaaliluku. Tällöin puolisuoralla C on piste R siten,että ( R) <a. C R Kuva 233: putulos Todistus. Konstruoidaan jono (R n ) N N puolisuoran C pisteitä seuraavalla tavalla: valitaan ensin R 1 C siten, että = R ja siten, kun R n on valittu jatketaan valitsemalla R n+1 C siten, että R n R n+1 ja R n R n+1 = Rn, jolloin kolmio R n+1 R n on tasakylkinen. R R R n n+1 Kuva 234: putuloksen todistus 25 Eugenio eltrami 1835 1900, Italia 26 Felix Christian Klein 1849 1925. Saksa

170 HYERLIST GEMETRI soittaan induktiolla, että ( R n ) 2 n 90: Kun n = 1, niin lauseen 2.4.1 nojalla 2( ) = ( R1 ). Koska ( ) = 90, niin Saccherin ja Legendren lauseen nojalla 2 ( R 1 ) +90 180, joten (R 1 ) 2 1 90, eli väite pätee tapauksessa n = 1. lkoon sitten väite tosi n:lle. Koska R n R n+1, niin (R n ) +( R n R n+1 ) = 180, jolloin induktio-oletuksen nojalla ( ) ( R n R n+1 ) 180 2 n 90. Lauseen 2.4.1 nojalla ( R n R n+1 ) = ( R n+1 R n ), joten Saccherin ja Legendren lauseen mukaan 2( R n+1 R n ) 180 ( R n R n+1 ), joten ( ):n mukaan ( R n+1 R n ) 90 1 ( 180 2 n 90 ) =2 (n+1) 90. 2 Koska R n+1 R n = R n+1, niin induktioväite (n + 1):lle pätee. Valitaan lopuksi n 0 N niin suureksi, että 2 n 90 <a, jolloin ( R n0 ) 2 n 90 <aja voidaan valita R = R n0. LUSE 4.3.2. Jokaisen kolmion defekti on hyperbolisessa geometriassa aidosti positiivinen. Todistus. Lauseen 2.5.26 nojalla riittää löytää yksitällainen kolmio. Hyperbolisen aksiooman nojalla on olemassa suora l ja piste / l siten, että :n kautta kulkee ainakin kaksi l:n suuntaista suoraa. lkoon Q l siten, että Q l ja S sellainen piste, että S Q, jolloin S l. m C S Q D R Kuva 235: inakin yhden kolmion defekti on aidosti positiivinen Nyt siis :n kautta kulkee jokin toinen suora m l, m S. Valitaan m { }. Jos SQ, niin valitaan piste siten, että. Jos taaas Q S, niin asetetaan =. Kummassakin tapauksessa m { } ja Q S. Vastaavalla tavalla voidaan valita C S { } siten, että C Qja D l {Q} siten, että DQ. Merkitään a =( C), jolloin a>0. Lauseen 4.3.1 nojalla voidaan valita R QD siten, että ( ) ( RQ) <a.

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 171 Nyt R on kulman Q sisällä. Tämän voi perustella seuraavasti: DRQ ja DQ, joten RQ ja riittää osoittaa, että RQ eli RQm. Näin on, koska m l ja siten m ei voi leikata edes suoraa RQ saati sitten janaa RQ. Koska siis R todella on kulman Q sisällä, niin Q R < Q eli ( ) ( Q R) < ( Q ). Toisaalta, koska Q C ja C Q, niin on kulman Q C sisällä ja silloin 90=( Q C) =( Q ) +( C) =( Q ) + a. Kolmiossa QR saadaan tällöin ( ) :n ja( ):n nojalla def( QR) = 180 ( QR) ( QR ) ( R Q) > 180 90 a ( Q ) =90 (a +( Q ) )=90 90=0. Hyperbolinen aksiooma takaa, että on olemassa ainakin yksi suora l ja suoran l ulkopuolella piste, jonka kautta kulkee useampia l:n suuntaista suoria. Itse asiassa näin on asianlaita jokaiselle suoralle ja sen ulkopuolella olevalle pisteelle: LUSE 4.3.3. lkoon l mielivaltainen suora ja sen ulkopuolinen piste. Tällöin :n kautta kulkee ainakain kaksi l:n suuntaista suoraa. Todistus. Valitaan Q l siten, että Q l ja olkoon m pisteen kautta kulkeva Q:n normaali. Tällöin m l. m S? t Q R Kuva 236: Hyperbolinen aksiooma pätee kaikkialla Valitaan R l {Q} ja olkoon t pisteen R kautta kulkeva l:n normaali. Valitaan S t siten, että S t. Koska / l, niin S R. Koska S ja l ovat t:n normaaleja, ne ovat yhdensuuntaisia. Väitteen todistamiseksi riittää nyt osoittaa, että S m, jatähän taas riittää se, että S / m. Tehdään antiteesi: S m. Tällöin QRS on suorakulmio, mikä lauseen 2.5.26 mukaan merkitsee sitä, että jokaisen kolmion defekti on nolla, mikä taas on vastoin lausetta 4.3.2 ja siis mahdotonta. Seuraava lause sanoo, että hyperbolisessa geometriassa kolmiot ovat yhtenevät, jos niillä on yhtenevät kulmat. Ei siis ole muita samanmuotoisia kolmioita kuin yhteneväiset.

172 HYERLIST GEMETRI LUSE 4.3.4. (KKK-sääntö). lkoot C ja DEF kolmioita,joilla C DEF. Tällöin C = DEF. Todistus. ntiteesi: Kolmiot C ja DEF eivät olekaan yhteneviä. KSKsäännön nojalla DE, C EF ja C FD. Kussakin näisstä on siis joko < tai >. Vaihtamalla tarvittaessa merkintöjä ( D, E ja C F ) voidaan saada aikaan, että ainakin kahdessa em. epäyhtälöistä esiintyy merkki <. Vaihtamalla vielä merkintöjä voidaan olettaa, että < DE ja C < DF ja C EF. Tällöin voidaan valita ja Q siten, että D E, D Q F, = D ja C = DQ. C F Q E R D Kuva 237: KKK-sääntö SKS-säännön nojalla C = DQ. letuksen nojalla E = DQ ja F = DQ. Jos valitaan R siten, että Q R, niin ristikulmille pätee ER = Q D. Koska FQED ja QEDR, niin F EDR ja FE = ER, jolloin lauseen 2.4.15 nojalla EF Q. Tällöin FQE on nelikulmio, jolla on ainakin yksi pari yhdensuuntaisia vastakkaisia sivuja, eli puolisuunnikas. Jätämme harjoitustehtäväksi todistaa, että tästä seuraa, että Q on kulman E sisällä jae on kulman FQ sisällä. Tällöin ( FEQ) +( QE ) =( E) ja ( FQE) +( EQ ) =( FQ). Tästä saadaan def( FQE)+def( EQ ) = 360 ( F ) ( E) ( EQ) ( FQ). Koska E D ja F Q D, niin ( EQ) = 180 ( Q D) ja ( FQ) = 180 ( QD). Toisaalta ( Q D) =( E) ja ( QD) =( F ), joten saadaan def( FQE)+def( EQ ) = 360 ( F ) ( E) (180 ( E) ) (180 ( F ) )=0. Tämä on mahdotonta lauseen 4.3.2 nojalla. Euklidisessa geometriassa pätee lauseen 3.1.5 nojalla seuraava tulos: Jos l m, niin kaikki l:n normaalit ovat myös m:n normaaleja. Erityisesti l:llä ja m:llä

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 173 on äärettömän monta yhteistä normaalia. Hyperbolisessa geometriassa kaikki on toisin. LUSE 4.3.5. lkoot l ja m yhdensuuntaisia suoria. Tällöin l:llä jam:llä on korkeintaan yksi yhteinen normaali. Todistus. ntiteesi: lkoot n ja t suorien l ja m yhteisiä normaaleja, mutta eri suoria. Tällöin leikkauspisteet muodostavat suorakulmion, mikä on lauseiden 2.5.26 ja 4.3.2 nojalla mahdotonta. Yhdensuuntaisilla suorilla on siis yksi tai ei yhtään yhteistä normaalia. Standardikonstruktiolla (kuten esimerkiksi lauseessa 2.4.17) saadaan aikaan yhdensuuntaisia, joilla on yhteinen normaali, mutta voidaan kysyä, onko yhdensuuntaisilla aina yhteistä normaalia. Vastaus on kuin onkin kielteinen: n olemassa yhdensuuntaisia, joilla ei ole yhteistä normaalia lainkaan. Tämä näkyy oincarén mallissa ja todistetaan myöhemmin lauseenakin Useimmilla mitä se sitten tarkoittaakin yhdensuuntaisilla on yhteinen normaali. Jos näin on, sanotaan, että kyseiset suorat ovat normaalisti yhdensuuntaisia, muussa tapauksessa eli silloin, kun yhteistä normaalia ei ole, sanotaan, että neovatasymptoottisesti yhdensuuntaisia. Nimitys asymptoottinen selittyy myöhemmin, ks. huom. 45. siaan liitty likeisesti käsite pisteen etäisyys suorasta : lkoon l suora ja / l piste, sekä m pisten kautta kulkeva l:n normaali ja Ql:n ja normaalin m leikkauspiste. Sanotaan, että pisteen etäisyys suorasta l, d(, l), on janan Q pituus, d(, l) =Q. Tältä asiat näyttävät oincarén mallissa: n d(, ) Q m Kuva 238: Yhdensuuntaisia oincarén mallissa Kuvassa l ja n ovat normaalisti yhdensuuntaisia, l ja m asymptoottisesti yhdensuuntaisia. Huomaa, että tämä ei ole mitenkään itsestäänselvää! Jos euklidisessa geometriassa l ja m ovat yhdensuuntaisia ja, R m, niin d(, l) = d(r, l). Tämä seuraa suoraan siitä, että euklidisessa geometriassa suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtenevät. Euklidisessa geometriassa voidaan täten määritellä yhdensuuntaisten suorien l ja m etäisyys asettamalla d(l, m) = d(, l), mielivaltainen m.

174 HYERLIST GEMETRI m R Kuva 239: Euklidiset yhdensuuntaiset Hyperbolisessa geometriassa ei näin voi menetellä. ätee näet seuraava lause. LUSE 4.3.6. lkoot l ja m yhdensuuntaisia suoria. Tällöin d(, l) =d(r, l) korkeintaan kahdella eri pisteellä, R m. Todistus. ntiteesi: lkoot, R, S m eri pisteitä, joille pätee d(, l) = d(r, l) =d(s, l). Voidaan olettaa, että R S. lkoot,, C l siten, että l, R l ja CS l, jolloin C. m R S C Kuva 240: Normaalit hyperboliset yhdensuuntaiset ienenä harjoitustehtävänä voi osoittaa, että R = R, S = CS ja RS = CSR. Tällöin, koska Q R, kulma R on yhtenevä täydennyskulmansa RS kanssa ja siten R on suora. Tällöin myös E on suora ja siten R on suorakulmio, mikä hyperbolisessa geometriassa on mahdotonta. Jos siis a>0, niin 4.3.6:n nojalla on olemassa korkeintaan kaksi eri pistettä, R m, s.e. d(, l) = d(r, l) = a. Voi sattua, että tällaisia pisteitä on vain yksi tai ei yhtään. Jos niitä on kaksi, niin pätee seuraavaa: LUSE 4.3.7. lkoot l ja m yhdensuuntaisia suoria ja ja R m eri pisteitä s.e. d(, l) =d(r, l) =a. Tällöin l ja m ovat normaalisti yhdensuuntaisia. Todistus. lkoot, l siten, että l ja R l. m R Kuva 241: Kaksi yhtä kaukaista pistettä tuottavat yhteisen normaalin

IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 175 ienenä harjoitustehtävänä voi osoittaa, että :n keskinormaali on R:n keskinormaali ja siten l:n ja m:n yhteinen normaali. Jos l ja m ovat asymptoottisesti yhdensuuntaisia, niin lauseen 4.3.7. nojalla, R md(, l) d(r, l) = a aina, kun, R m ovat eri pisteitä. ätee enemmänkin: LUSE 4.3.8. lkoot l ja m asymptoottisesti yhdensuuntaisia suoria ja ja a > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen m siten,että d(, l) =a. Todistus sivuutetaan, koska se on mutkikas, varsinkin olemassaolopuoli. Katsotaan kuitenkin mallia: m Kuva 242: symptoottisesti yhdensuuntaiset Huomautus 45. oincarén mallissa tilanne on seuraava: Jos ja ovat m:n (euklidiset) päätepisteet, kuten kuvassa, niin d(, l), kun ja d(, l) 0, kun. Vastaava tilanne syntyy 4.3.8:n nojalla yleensäkin, erityisesti siis d(, l) 0, kun lähestyy suoran toista päätä euklidisessa mielessä. (Tämän voisi tietysti ilmaista täsmällisemminkin). Tämä selittää nimen asymptoottisesti yhdensuuntaiset. Jos l ja m ovat normaalisti yhdensuuntaiset ja a > 0, niin suurille a löytyy sellainen m, itse asiassa kaksikin sellaista, että d(,l) = a, mutta pienille a ei. Tämä näkyy seuraavasta: LUSE 4.3.9. lkoot l ja m normaalisti yhdensuuntaisia ja n niiden yhteinen normaali. lkoon m:n ja n:n sekä Q suorien l ja n yhteinen piste. Tällöin Q = min{d(r, l) R m}. m R n Q S Kuva 243: Lause 4.3.9

176 HYERLIST GEMETRI Todistus. Suoraan määritelmän mukaan on Q = d(, l), joten riittää osoittaa, että d(r, l) Q kaikilla R l { }. lkoon S l siten, että RS l, jolloin RS = d(r, l). ienenä harjoitustehtävänä voi todeta, että ( R) 90, ja koska hyperbolisessa geometriassa ei ole suorakulmioita, niin siis ( R) < 90. Harjoitustehtäväksi jää myös osoittaa, että tällöin Q < RS. oincarén mallissa normaali yhdensuuntaisuus ja lyhimmän etäisyyden kohta näyttävät siis tältä: m Q n Kuva 244: Lyhin etäisyys isteessä m minimoituu etäisyys d(, l), missä m jopa aidosti, kuten lauseen 4.3.9 todistuksesta näkyy. Muotoillaan lopuksi vielä lause, joka kertoo, että asymptoottisia yhdensuuntaisia on todella olemassa hyperbolisessa geometriassa. LUSE 4.3.10. lkoon l suora ja piste sen ulkopuolella. Tällöin :n kautta kulkee täsmälleen kaksi suoraa,jotka ovat l:n kanssa asymptoottisesti yhdensuuntaisia. Kaikki muut :n kautta kulkevat l:n kanssa yhdensuuntaiset suorat joita on äärettömän monta ovat normaalisti yhdensuuntaisia. Dedekindin aksioomaan perustuva todistus sivuutetaan tekstin päättyessätä- hän, vaikka päättely ei ole kovin hankala. Viimeisessä kuvassamme m ja n ovat l:n kanssa asymptoottisesti yhdensuuntaiset ja p ja q ovat l:n kanssa normaalisti yhdensuuntaiset. q p n m Kuva 245: Suoria oincarén mallissa

4.4. Lopuksi. IV LIIKKEET J INCRÉN MLLI 177 Jos oletamme, että reaalilukujen järjestelmä on ristiriidaton eikä joukko-opissa eikä logiikassakaan ole ristiririitaa, niin koordinaattigeometria on olemassa ja on siis malli euklidiselle geometrialle, joka täten on ristiriidaton. oincarén malli osoittaa tällöin, että myös hyperbolinen geometria on ristiriidaton, niin merkilliseltä kuin se aluksi saattaa vaikuttaakin. n edelleen helppoa konstruoida malli reaaliluvuille lähtemällä hyperbolisen geometrian suorasta. Siten olemme viime kädessä todistaneet, että nämä kaikki kolme järjestelmää ovat joko ristiriidattomia tai sitten ristiriitaisia. Ristiriitaa ei ainakaan vielä ole löytynyt.

178 HYERLIST GEMETRI Hilbertin tasogeometrioiden aksioomat (H1) Jos ja Q ovat eri pisteitä, niin on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä :n että Q:n kautta. (H2) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä. (H3) n olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta. (H4) Jos C, niin, ja C ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja C. (H5) Jos ja ovat eri pisteitä, niin suoralla on pisteet C, D ja E siten, että C, D ja E. (H6) Jos, ja C ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa: C, C tai C. (H7) lkoot l suora sekä, ja C pisteitä, joiden kautta suora l ei kulje. Tällöin on voimassa: (i) jos l ja Cl, niin Cl: (ii) jos l ja lc, niin Cl. (H8) Jos ja ovat eri pisteitä jaq on mielivaltainen puolisuora, niin on olemassa yksi ja vain yksi piste R Q siten, että = R. (H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio eli: (i) = (relaatio on refleksiivinen). (ii) Jos = CD,niinCD = (relaatio on symmetrinen). (iii) Jos = CD ja CD = EF, niin = EF (relaatio on transitiivinen). (H10) Jos C, C, = ja C = C, niin C = C. (H11) lkoon C kulma, DE puolisuora ja piste, joka ei sisälly suoraan DE. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora DF siten, että FDE ja C = FDE. (H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. (H13) (SKS) lkoot C ja DEF kolmioita siten, että = D, = DE ja C = DF. Tällöin C = DEF. () ( rkhimedeen aksiooma.) lkoot ja CD janoja. Tällöin on olemassa n N ja piste E siten, että C D E ja CE = n. (D) (Dedekindin aksiooma.) lkoon l suora, L = { sisältyy suoraan l} sen kaikkien pisteiden joukko ja D 1 ja D 2 L siten, että D 1 ja D 2 toteuttavat Dedekindin ehdot. Tällöin on olemassa tasan yksi piste L siten, että kaikille Q, R L pätee Q R, jos ja vain jos Q D 1 ja R D 2 tai Q D 2 ja R D 1. Toinen seuraavista. (R) (Euklidinen aksiooma) Jos l on suora ja piste, joka ei sisälly suoraan, niin :n kautta kulkee korkeintaan yksi l:n kanssa yhdensuuntainen suora. (HY) (Hyperbolinen aksiooma) n olemassa suora l ja piste suoran l ulkopuolella siten, että :n kautta kulkee ainakin kaksi eri l:n suuntaista suoraa.

HKEMIST 179 HKEMIST additiivisuus 46, 55, 61, 105 aksiomaattinen esitystapa 2 aksiooma 2, 8 rkhimedes 43 astemitta 54 asymptoottisesti yhdensuuntaisia 173 eltrami, Eugenio 169 olyai, Janos 84 Ceva, Giovanni 105 Dedekind, Julius Wihelm Richard 68 Dedekindin aksiooma 68 Dedekindin ehdot 68 defekti60 ekvivalenssirelaatio 16 elliptinen paralleeliominaisuus 11 eripuolilla suoraa 15 etäisyys, hyperbolinen 147 etäisyys, pisteen suorasta 17 etäisyys, yhdensuuntaisten suorien 173 Eukleides 2 euklidinen geometria 86 euklidinen paralleeliominaisuus 11 Euler, Leonhard 118 Eulerin suora 118 Gauss, Carl Friedrich 84 geometria 2, 86, 146 Grundlagen der Geometrie 7 Heron 109 Hilbert, David 7 Hilbertin aksioomajärjestelmä 7 hyperbolinen aksiooma 168 hyperbolinen etäisyys 147 hyperbolinen geometria 146 hyperbolinen paralleeliominaisuus 11 jana 3, 14 janan keskipiste 43 janan monikerta 27 janan pituus 43 janat yhteneviä 25 janamitta 50, 168 kehäkulma 113 kehäkulmalause 100 kehäkulmalause, käänteinen 113 keskijana 107 keskinormaali 75 keskipiste 3, 43 keskipiste, janan 43 Klein, Felix Christian 169 kolmio 19 kolmioepäyhtälö 49 kolmion sisäpuoli23 kolmion sisään piirretty ympyrä 99 kolmion sivu 19 kolmion ympäri piirretty ympyrä 96 koordinaattigeometrian piste 10 koordinaattigeometrian suora 10 korkeusjana 104 kosini 94 KSK -sääntö 33, 40 kulkea pisteen kautta 25 kulma 4, 60, 94 kulman astemitta 54 kulman monikerta 43, 51 kulman puolittaja 51 kulman kylki19 kulman sisäpuoli21 kulmamitta 51, 168 kulmapoikkeama 60 kulmat ovat yhteneviä 25 kylki4, 19 kärki4, 19, 60 Lambert, Johann Heinrich 2 Legendre, drien-marie 5 Lehmus, Daniel Christian Ludolph 1780 1863. 111 Leibniz, Gottfried Wilhelm von 8 liike 148 Lindemann, Carl Louis Ferdinand von 2 Lobatševski, Nikolai Ivanovitš 84 lyhyempijana 30 mahdollinen maailma 8 malli8 minimaalinen 9 monikerta 27, 43, 51 nelikulmio 61 normaali32 normaalisti yhdensuuntaiset 173 ortogonaalisuus 137

180 HKEMIST ortokeskus 115, 118 ortokolmio 115 -keskipiste 162 -säde 162 -ympyrä 162 painopiste 107 appus 28 paralleeliaksiooma 4, 5, 84 asch, Moritz 20 aschin lause 20 peilaus eli inversio ympyrän suhteen 125 peilaus suoran suhteen 121 peruskäsite 9 pienempi kulma 35 pinta-ala 105 piste 9, 10, 16 piste -suoralla 147 pisteen etäisyys suorasta 173 pisteen potenssi ympyrän suhteen 135 pisteiden välinen jana 14 pisteiden välissä 25 pituus 43, 45 pituus, janan 43 laton 2 oincaré, Jules Henri146 roclus Diadochus 5 puolisuora 3,14 puolisuunnikas 172 puolittaja 51 puomilause 22 ythagoraan lause 2 ythagoras 2 reaalilukujen täydellisyysaksiooma 45 ristiriidaton 8 Saccheri, Giovanni Girolamo 58 Saccherin ja Legendre in lause 59 samalla puolella suoraa 15 samanmuotoisuus 91 selviö 8 sini 94 sisäpuoli21, 68 sivu 60 SKK -sääntö 40 SKS -sääntö 28, 40, 46 SSS -sääntö 35,40 Steiner, Jakob 111 Stoikheia 2 suora 9, 10, 16 suora kulma 4, 30 suora kulkee pisteen kautta 9, 10, 25 suorakulmio 60 suoran rajoittama puolitaso 17 suunnikas 87 säde 3 tangentti74 terävä kulma 94 Thaleen lause 100 Thaleen lause, käänteinen 111 Thales 2 tylppä kulma 94 täydellisyysaksiooma 45 täydennyskulma 4, 30 ulkokulma 39,60 ulkopuoli2, 68 vastakkaiset puolisuorat 4, 15 vuorokulmalause 37 vuorokulmalause, käänteinen 86 välissä 12, 22, 148 välissäoloaksioomat 12 yhdensuuntaisten suorien etäisyys 173 yhdensuuntaisuus 5, 10 yhteneviä kolmioita 28 yhtenevät janat ja kulmat 25, 28, 148 ympyrä 3,67 ympyrän sisäpuoli68 ympyrän ulkopuoli68