76P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä. välikoks, sl 8 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä äistä saa laskuharjoituspistitä. Laskut o tarkoitttu laskttaviksi alkutuutoroitiryhmissä, itsks, kavriporukalla tai Fysiika tuutortuvassa. Laskuj ratkaisuja i tul ttii, mutta lopputulokst ovat matriaali lopussa. PERUSTEHTÄVIÄ (Nämä asiat o hallittava kui osaa ratkaista tttithtäviä.). Drivoi suraavat fuktiot: 5 a) f ( ) + 5 b) f ( ) c) f ( ) 5 d) f ( ) ( ) ) g) f ( ) f) f ( α) ta( kα ), missä k o vakio + f ( ) h) f ( ) l( + ) y i) f ( y) arcsi j) y f ( ). Määritä itgraalifuktiot: 5 a) ( 5 ) c) ( ) + d d b) 5 d d) si( ) d ) si cos d f) d g) d d h) + d i) + j) d
. Vktorit A ja B määritllää suraavasti: A iˆ + 5 ˆj + kˆ ja B iˆ ˆj. Lask a) A B b) A + B c) A B d) A B ) vktorid A ja B väli kulma.. Sivä: a) i b) ( + i)( i) c) 5 i i LASKUHARJOITUSTYYPPISIÄ TEHTÄVIÄ 5. Lask suraavi fuktioid drivaatta lähti drivaata määritlmästä: a) f ( ) b) f ) ( c) f ( ) cos d) f ( ) 6. Etsi fuktio f ( ) + + paikallist miimi- ja maksimiarvot. 7. Kahd positiivis luvu summa o. Mikä o pii mahdolli arvo simmäis luvu kuutio ja tois luvu liö summall? 8. Etsi käyrä y + yhtälö? tagti kulmakrroi pistssä. Mikä o tagti 9. Sovlla l Hôpitali säätöä ja lask suraavat raja-arvot: a) lim si lim b) c) si t lim t t. Muodosta implisiittissti dy/d yhtälöistä a) + y b) y si + cos y c) + y 8 y. Lask f + f yy + f zz ku y+ z ( y + ) a) f (, y, z) ( + ) b) f (, y, z) z y. Muodosta kokoaisdiffrtiaali lausk df, ku f + (, y, z) + y z
. Lask itgraalifuktiot a) cos d b) l d c) * d. Lask itgraalifuktiot + a) + d b) d c) * d 5. Lask itgraalifuktiot: a) d Vihj: Kokil sijoitusta t. b) + d Vihj: Kokil sijoitusta t +. 6. Lask määrätyt itgraalit: a / a) a + d T b) si t dt T T Vihj: cos α si α (Tämä ataa siiä kaavakokolmassa, joka jataa ttissä.) + a si c) d a Vihj: Tuloks ät itgroimatta. 7. Suora kulk pistid (,,) ja (,5,6) kautta. a) Määritä vktori iˆ ˆj + kˆ projktio tällä suoralla. b) Määritä suora suutai yksikkövktori. 8. Suora kulk pistid (,,) ja (,5,6) kautta. Mikä o pist (,,) lyhi täisyys tästä suorasta? 9. Khitä Taylori sarjaksi suraavat fuktiot ja lask suppmissätt: a) + b) si c) l( + )
. Mitkä ovat suraavi lukuj apakoordiaattisitykst a) i b) + i c) 6 i ( iφ ) ( iθ 5 ). Kirjoita luku θ 5. i( φ + θ ) raali- ja imagiääriosi avulla, ku φ 5 ja Huomaa: Thtävä puuttuu! VANHOJA TENTTITEHTÄVIÄ, OSA TAVALLISTA VAIKEAMPIA. Määrää raja-arvo si lim. si ( + ). Lask raja-arvo lim 5. Muodosta fuktio f (, y, z) + y + z kokoaisdiffrtiaali df. Lask myös tois krtaluvu osittaisdrivaattoj summa f + f yy + f zz. 6. Lask fuktio f (, y) y + kaikki osittaisdrivaatat tois krtalukuu saakka. Määrää myös kokoaisdiffrtiaali df. 7. Tarkastllaa fuktiota f (, y) si( y) + y +. Muodosta fuktio kokoaisdiffrtiaali df. 8. Tarkastllaa fuktiota f (, y) si( y) + y +. Yhtälö f (, y) määrää muuttuja y implisiittissti muuttuja fuktioa. Mikä o tämä käyrä y y() drivaatta dy/d li tagti kulmakrroi pistssä, jossa s likkaa y-aksli? (voit käyttää moistssa sitttyä drivaata muodostamistapaa tai drivoida suoraa muista, ttä y y().)
a+ 9. Millä vakio a arvolla itgraali ( + + ) d aa piimmä arvosa?. Lask itgraalit: a) + d a b) si d. Kolmio kärkipistt ovat (, -, ), (, -, -) ja (, -,). Mikä o kolmio pitaala?. Määrää pist (,,-) kautta kulkva ja vktoria iˆ ˆj kˆ vastaa kohtisuorassa olva taso yhtälö.. Määrää fuktio f ( ) + 6si 6 Taylori sarja.. Khitä Taylori sarjaksi a fuktio si. (Vihj: Käytä hyväksi kaavakokolmassa attua fuktio si attua sarjakhitlmää.) Määrää myös suppmissäd. + 5. Etsi fuktio Taylori sarja muodossa a sarja suppmissäd? origo ympäristössä. Mikä o 6. Placki sätilylaki ataa musta kappal sätilmä sähkömagttis sätily kuki taajuud ν itsitti I tityssä lämpötilassa T, I T 8hν ( ν ). hν / kbt c Tässä h, c ka k B ovat luoovakioita. Osoita, ttä sätilykvati rgia hν ollssa paljo lämpörgiaa k B T pimpi (hν << k B T ), o itsittti atussa lämpötilassa approksimatiivissti vrraolli taajuud liöö, I T ν. (Rohkaisu: thtävä o hlpompi kui miltä vaikuttaa, yksi välivaih riittää! Kokil rohkasti ri lähstymistapoja.)
VASTAUKSET FYSIIKAN MATEMATIIKAN. KERTAUSHARJOITUKSIIN 5.a) + b) c) d) 5 ) ( + ) k y + f) g) h) i) cos kα + y ( y ) y j) 6 5. a) + + C b) C + 5 c) + C d) cos + C ) si + C f) l + C g) + C h) + + C i) arcta + C j) arcsi + C. a) iˆ + 7 ˆj + kˆ b) 8 + 5 c) -7 d) iˆ + ˆj kˆ ),5 o. a) b) 9 + 7i c) 7 i 5. a) b) c) si d) 6. Paikalli maksimi kohdassa f ( ) Paikalli miimi kohdassa f ( ) 7 7. 7, 8. Kulmakrroi: - Tagti yhtälö: y - + 9. a) b) 6 c). a) b) y y cos si si y c) + y + y + y + + y. a) ( y + y + 6y z ( z y ) y+ z ( + ) b). d + ydy + zdz + z + z )
. a) si + cos + C b) l + C 6. a) + l( + ) arcta + C c) + + C b) + l + C c) l + + l + C + 5. a) arcsi( ) + C b) ( ) + C 6. a) a b) c) 7. a) 7 65 b) i ˆ + 5 ˆj + 6kˆ ± 65 8.,9 9. a)! R b) ( ) + ( + )! R c) ( ) ( + ). a) [ cos i ] si Sarja supp, ku - < < c) i si b) [ cos5.7 i si 5.7 ] 6. 5 + i 5.. ½ 5. ( + y + z ) d y( + y + z ) dy z( + y + z ) dz f f + f + yy zz y+ y+ 6. (( + ) ) d+ ( )dy
7. ( y cos y ) d + ( cos y + ) dy y cos y 8. - cos y + 9. a - a) b) ( si cos ) + C. 65. y z. ( ) + 6 ( + )!. ( ) 5.! + + ( + )! R R 6. I 8hk BT ( ν ) ν c h T