Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I Kirjallisuus (soveltuvin osin): 1) Gravelle & Rees: Microeconomics 2) Estola: Kansantaloustieteen perusteet 3) Chiang: Fundamental methods of Mathematical Economics 4) De Jong: Dimensional Analysis for Economists Sisältö 1 Symbolien merkintätavat 1 2 Teorioiden mitattavuudesta 2 3 Funktion homogeenisuudesta 3 4 Kuluttajan preferenssirelaatio 3 5 Funktion konkaavisuudesta (kuperuudesta) 4 6 Neliömuodoista 5 6.1 Neliömuodot ja funktion konkaavisuus............. 6 7 Komparatiivisen statiikan periaate 7 8 Optimointi yhtälörajoitteilla 7 9 Optimointi epäyhtälörajoitteilla 8 10 Envelope -teoreema 9 10.1 Envelope -teoreeman sovelluksia................. 9 1 Symbolien merkintätavat Vektorit: Symbolilla X = (x 1, x 2,..., x n ) merkitään n-ulotteisen avaruuden alkiota eli vektoria, joka on järjestettyjen n -alkioiden (vektorin komponenttien) joukko. Vektorin X komponentit x i, i = 1, 2,..., n ovat joko reaalilukuja, skalaareja tai skalaariarvoisia funktioita. Merkintä X, Y Ω tarkoittaa, että vektorit X, Y kuuluvat joukkoon Ω. Ilmaisu Ω R n tarkoittaa, että joukko Ω on n-ulotteisen vektoriavaruuden R n osajoukko, n = 1, 2, 3,.... 1

2 Teorioiden mitattavuudesta Yleinen vaatimus fysikaalisten luonnonlakien matemaattisille esitysmuodoille on, että ovat riippumattomia siitä, missä mittayksiköissä yhtälöissä esiintyvät suureet on mitattu. Tällaiset yhtälöt ovat homogeenisia dimensioiden suhteen eli dimensiohomogeenisia, ja ne toteuttavat lisäksi seuraavan aksiooman. Bridgmanin aksiooma (BA) (de Jong 1967) Kahden samandimensioisen suureen suhdeluku ei saa riippua niiden mittayksiköistä. Vain sellaiset (matemaattiset) muunnosoperaatiot (-funktiot) ovat mielekkäitä dimensionaalisilla suureilla (skalaareilla), jotka toteuttavat BA:n. Esim. Olkoon meillä kaksi massaa mitattuina kilogrammoina tuottaen mittaluvut x 1, y 1. Muutetaan nyt mittayksikkö kilogramma a-kertaiseksi, a > 0. Tällöin saamme uudet mittaluvut x 1 /a, y 1 /a. Nyt BA toteutuu, sillä x 1 /a y 1 /a = x 1 y 1. Myös potenssifunktio toteuttaa BA:n, sillä (x 1 /a) b (y 1 /a) = xb 1. b On myös olemassa matemaattisia muunnosfunktioita, jotka eivät toteuta BA:aa. Esimerkiksi kaikki transkendentiaaliset funktiot kuten sin(x), cos(x), e x, log(x) jne. ovat tällaisia. Tarkastellaan esimerkkinä logaritmifunktiota. sillä esimerkiksi y b 1 log(x 1 /a) log(y 1 /a) log(x 1) log(y 1 ), 0.5 log(2) log(4) log(2/2) log(4/2) = 0. Siis kaikki matemaattiseen muotoon kirjoitetut teoriat, jotka sisältävät mittayksiköllisiä suureita, tulisi olla kirjoitetut sellaisessa muodossa, että jos mittayksikkömuunnos tehdään esimerkiksi euro cent tai viikko vuorokausi yhtälö säilyttää alkuperäisen muotonsa. Edelleen kaikkien teorioissa esiintyvien transkendentiaalisten muunnosfunktioiden argumenttien tulisi olla dimensiottomia (mittayksiköttömiä). 2

3 Funktion homogeenisuudesta Funktion f : R n R sanotaan olevan k:nnen asteen homogeeninen, jos sille pätee f(s X) = s k f( X), s R, s X = (sx 1,..., sx n ); muista vektorin kertominen reaaliluvulla! Jos k=0, f on nollannen asteen homogeeninen; jos k = 1, f on ensimmäisen asteen homogeeninen eli lineaarihomogeeninen jne. Jos yrityksen tuotantofunktio f : R n R on homogeeninen astetta 1, kaikkien panosten muuttaminen s kertaisiksi muuttaa tuotantonopeuden s- kertaiseksi. Eulerin tulos lineaarihomogeenisille funktioille: y = f(sx 1,..., sx n ) = sf ( x 1,..., x n ) Derivoimalla yo. yhtälö puolittain s:n suhteen, vasemmasta puolesta saadaan Oikeasta puolesta taas saadaan dy ds = x 1 + + x n = x 1 x n dy ds = f( X). Asettamalla nämä yhtäsuuriksi, saadaan Eulerin tulos: n i=1 x i x i. f( X) = n i=1 x i x i. Jos f : R n R on yrityksen lineaarihomogeeninen tuotantofunktio, Eulerin tulos kertoo, että yrityksen tuotantonopeus voidaan ilmaista sellaisena panoskäyttöjen summana, jossa panoskäyttöjen kertoimet ovat niiden rajatuottavuudet. 4 Kuluttajan preferenssirelaatio Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää kulutusnopeusvektoria X vähintään yhtä hyvänä kuin kulutusnopeusvektoria Y. Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää kulutusnopeusvektoria X parempana kuin kulutusnopeusvektoria Y. Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää 3

kulutusnopeusvektoria X yhtä hyvänä (samanarvoisena) kuin kulutusnopeusvektoria Y. Vastaavasti merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja ei pidä kulutusnopeusvektoria X vähintään yhtä hyvänä kuin kulutusnopeusvektoria Y. Huom! Preferenssirelaatio on eri asia kuin suurempi tai yhtä suuri kuin -relaatio matematiikassa. Yleisesti ottaen, matematiikassa vektoreille ei ole määritelty järjestysrelaatiota. Sen sijaan vektorien erilaiset normit, esimerkiksi Euklidinen normi ja itseisarvonormi, X = n x 2 i, X n I = x i, i=1 reaaliarvoisina kuvauksina R n R ovat järjestysrelaatiollisia. 5 Funktion konkaavisuudesta (kuperuudesta) Funktio f : R n R on konkaavi, jos i=1 af( X) + (1 a)f( Y ) f(a X + (1 a) Y ), missä X, Y R n ja 0 < a < 1. Funktio on siis konkaavi, jos funktion arvo jokaisen avoimen määrittelyvälin a X + (1 a) Y jokaisessa pisteessä on vähintään yhtä suuri kuin sellaisen suoran saama arvo ko. pisteessä, joka kulkee funktion välin päätepisteissä saamien arvojen kautta. Funktio f : R n R on konveksi (kovera), jos af( X) + (1 a)f( Y ) f(a X + (1 a) Y ). Funktio f : R n R on aidosti (strictly) konkaavi tai konveksi, jos yo. määritelmissä merkit ja voidaan korvata merkeullä > ja <. Funktio f : R n R on kvasikonkaavi (näennäis-), jos 0 < a < 1 f( Y ) f( X) f(a X + (1 a) Y ) f( X). Funktion kvasikonkaavisuus merkitsee sitä, että jos lasketaan funktion arvo kahdessa pisteessä siten, että funktion arvo pisteessä Y on vähintään yhtä suuri kuin pisteessä X, niin funktion arvo määrittelyvälin a X + (1 a) Y jokaisessa pisteessä on vähintään yhtä suuri kuin pisteessä X. Funktio f : R n R on kvasikonveksi, jos f( Y ) f( X) f(a X + (1 a) Y ) f( Y ). 4

Harj: Osoita että funktion konkaavisuudesta seuraa kvasi-konkaavisuus. Funktio f : R n R on aidosti (strictly) kvasikonkaavi tai konveksi, jos yllä esitetyissä määritelmissä oikeanpuoleiset epäyhtälömerkit voidaan korvata > ja < merkeillä. Funktio f : R n R on tarkasti (explicitly) kvasikonkaavi, jos f( Y ) > f( X) f(a X + (1 a) Y ) > f( X). Huom! Tarkasti kvasikonkaavi funktio on myös aidosti kvasikonkaavi mutta päinvastainen väite ei päde. Joukko on konveksi, jos se sisältää kaikki joukon kahden pisteen muodostamat kuperat yhdisteet, eli näiden pisteiden yhdistejanan muodostaman pistejoukon. Huom! Älä sekoita konveksia funktiota ja konveksia joukkoa toisiinsa. Niillä ei ole keskenään sinänsä mitään yhteyttä, mutta seuraava väite voidaan kuitenkin todistaa. Väite: Jos f : R n R on kvasikonkaavi, f:n tasokäyrän, eli pisteiden f( X) = c, c vakio ja sitä suurempien funktion arvojen muodostama joukko on konveksi joukko. Differentioituva funktio f : R n R on konkaavi, jos f( Y ) f( X) + n i=1 x i ( X)(y i x i ), missä X, Y R n. Funktio f : R n R on aidosti konkaavi, jos edellisessä määritelmässä -merkki muunnetaan <:ksi. Funktion konveksisuuden määritelmä saadaan kääntämällä epäyhtälöiden merkit. 6 Neliömuodoista Tarkastelemme tässä vain kahden muuttujan tilannetta vaikka tilanne on yleistettävissä n:n muuttujan tapaukseen, missä n on positiivinen kokonaisluku (katso Chiang). Kahden muuttujan x, y lineaarinen muoto on z = ax + by, a, b vakioita. Lineaarimuodossa jokaisen yhteenlaskettavan termin potenssien summa = 1. Kahden muuttujan neliömuoto on z = ax 2 + bxy + cy 2, a, b, c vakioita. 5

Neliömuodossa yhteenlaskettavien termien potenssien summa = 2. Funktion z = f(x, y) toisen kertaluvun differentiaali neliömuotona: Ensimmäisen kertaluvun differentiaali on Toisen kertaluvun differentiaali on dz = f x dx + f y dy. d 2 z = f xx (dx) 2 +f yx dxdy+f xy dydx+f yy (dy) 2 = f xx (dx) 2 +2f xy dxdy+f yy (dy) 2, sillä jatkuvien osittaisderivaattafunktioiden tapauksessa voidaan osoittaa, että f xy = f yx. Toisen kertaluvun differentiaali voidaan tulkita neliömuodoksi muunnoksilla dx = u, dy = v f xx = a, f xy = b, f yy = c; ( ) ( ) a b u d 2 z = au 2 + 2buv + cv 2 = (u, v) = Z b c v H Z T, missä Z = (u, v) ja yläindeksillä T merkitään matriisin transpoosia. Neliömuoto A = X H X T on positiivisesti määritelty kun positiivisesti puolimääritelty kun negatiivisesti määritelty kun A > 0 A 0 A < 0 negatiivisesti puolimääritelty kun A 0, missä sana määritelty vastaa englanninkielistä termiä definite ja puoli vastaa termiä semi. Edellä esitetty neliömuoto d 2 z on positiivisesti määritelty, jos ( ) ( ) fxx f H = xy a b = b c f yx f yy on positiivisesti määritelty matriisi, eli f xx > 0 ja f xx f yy f 2 xy > 0. Huom! Tällöin myös f yy > 0. Vastaavasti neliömuoto d 2 z on negatiivisesti määritelty, jos H on negatiivisesti määritelty matriisi, eli f xx < 0 ja f xx f yy f 2 xy > 0 (Chiang: Quadratic forms etc, väite voidaan todistaa esim. neliöön täydentämällä). 6.1 Neliömuodot ja funktion konkaavisuus Kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio f : R n R, z = f( X), X R n on konkaavi (konveksi), jos ja vain jos d 2 z on kaikkialla negatiivisesti (positiivisesti) puolimääritelty neliömuoto. Funktio f on aidosti konkaavi (konveksi), jos d 2 z on kaikkialla negatiivisesti (positiivisesti) määritelty neliömuoto. 6

7 Komparatiivisen statiikan periaate Tarkastelemme tässä vain kahden muuttujan tilannetta, mutta tulokset voidaan yleistää n:n muuttujan tapaukseen. Muodostetaan seuraavasta yhtälöryhmästä matriisiesitys: ax + by = c kx + hy = m ( ) ( ) a b x = k h y ( ) c. m Ratkaistaan yo. yhtälöryhmä esim. Cramerin säännöllä tai ratkaisemalla toisesta yhtälöstä x tai y ja sijoittamalla toiseen yhtälöön: x = ch bm ah bk, y = am ck ah bk. Oletus: a = 2, b = 3, c = 4, k = 5, h = 6, m = 10. Tällöin systeemin ratkaisu on x = 2 ja y = 0. Oletetaan seuraavaksi, että a muuttuu 2 2.4. Tällöin systeemin ratkaisu on x = 10 ja y = 6.7. Jos taas a muuttuu 2 3. Tällöin ratkaisu on x = 2 ja y = 10/3. Nyt x a = x a hx (ah bk), = 4, a=2 y a y a = kx ja (ah bk) = 10 3 = 31 3. a=2 Koska x / a > y / a kun a = 2, voidaan päätellä, että a:n muutos aiheuttaa absoluuttisesti suuremman muutoksen x:n tasapainoarvoon kuin y:n. Tällaisia vertailuja kutsutaan komparatiiviseksi statiikaksi, eli systeemin tasapainotilojen vertailuksi. Yllä lasketuista tuloksista voidaan päätellä, että a:n marginaalinen kasvu kasvattaa x :ä ja pienentää y :ä. Tämä nähdään myös yllä lasketuista tasapainoarvojen muutoksista kun a : 2 2, 4. Jos kuitenkin a kasvaa enemmän kuin marginaalisesti, yllä johdetut osittaisderivaatat voivat ennustaa väärin muuttujien tasapainoarvojen muutossuunnat. Tämä nähdään tuloksista a : 2 3. 8 Optimointi yhtälörajoitteilla Maksimoidaan funktiota f : R n R eli f( X) R, X R n rajoitteilla b j = g j ( X), b j R, j = 1,..., m, X = (x1,..., x n ). Merk. λ = (λ 1,..., λ n ). 7

Minimointiongelmat jätetään tarkastelematta, sillä f( X):n maksimointi tuottaa saman ratkaisun kuin f( X):n minimointi. Muodostetaan seuraava Lagrangen funktio: max X, λ L( X, λ) = f( X) + m λ j [b j g j ( X)]. Välttämättömät ehdot sidotun ääriarvotehtävän maksimille ovat L = 0 m g j λ j = 0, i = 1,..., n, x i x i x i j=1 j=1 L λ j = 0 b j g j ( X) = 0, j = 1,... m. Yo. yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti: m g j = λ j, i = 1,..., n, x i x i j=1 b j = g j ( X), j = 1,..., m. Optimointiongelma määrittelee funktion f optimaalisen arvon f( X ) kun X = (x 1,..., x n) on sidotun ääriarvotehtävän ratkaisu. 9 Optimointi epäyhtälörajoitteilla Maksimoidaan f : R n R, f( X) rajoitteilla g j ( X) b j x i 0, b j R, i = 1,... n, j = 1,..., m. Muodostetaan Lagrangen funktio: L( X, λ) = f( X) m + λ j [b j g j ( X)]. max X, λ Maksimin välttämättömät ehdot ovat: L 0 m g j λ j 0, x i x i x i j=1 j=1 x i 0 ja x i L x i = 0, i = 1,... n L 0 b j g j ( λ L X) 0, λ j 0 ja λ j = 0, j = 1,... m. j λ j Jomman kumman suureista L x i tai x i on siten oltava nollan suuruinen, samoin toisen suureista L λ j ja λ j on oltava nollan suuruinen. Näitä kutsutaan Kuhnin ja Tuckerin välttämättömiksi ehdoiksi maksimipisteelle. Minimointiongelma muodostetaan vastaavasti, mutta tarkkana pitää olla epäyhtälöiden merkkien kanssa. 8

10 Envelope -teoreema Merkitään y = f(x, a) ja valitaan x funktiota f optimoiden (minimoiden tai maksimoiden), eli ratkaistaan x:n arvo seuraavasti: x = 0 x = g(a). Määritellään nyt seuraava funktio y = f ( g(a), a ), jossa x valitaan aina funktion f arvoa optimoiden. Funktio y on siis y:n optimaalinen arvofunktio. Tällöin pätee dy da = x g (a) + a = a sillä x = 0. Tätä kutsutaan envelope -teoreemaksi mikä kertoo sen, että systeemin eksogeenisen muuttujan a muutos muuttaa alkuperäisen funktion y arvoa saman verran kuin optimaalisenkin funktion y arvoa. Ehtona on, että endogeenisen muuttujan x arvo valitaan aina optimaalisesti. Tätä tulosta voidaan hyödyntää kansantaloustieteessä komparatiivisen statiikan yhteydessä. 10.1 Envelope -teoreeman sovelluksia Täydellisen kilpailun markkinatilanteen yrityksen voittofunktio on Π = pq C(q), missä C(q) = a(q)q ja a(q) = a + bq; a(q) ovat yksikkökustannukset, q tuotantonopeus ja p tuotteen yksikköhinta. Voittofunktio on tällöin: ja voiton maksimoinnin ehto on: Π = pq aq bq 2, Π q = 0 p C (q) = 0 p = a + 2bq q = p a 2b. Määritellään voittofunktio, jossa tuotantonopeus valitaan aina optimaalisesti: ( ) 2 Π = pq aq bq 2 (p a)2 p a = b. 2b 2b Tällöin saadaan ( ) dπ p a dp = 2 2b (p a) 2b = p a 2b = q. Johdetaan sama tulos yleisessä muodossa esitetylle voittofunktiolle, jossa tuotantonopeus valitaan aina optimaalisesti Π = pq (p) C ( q (p) ) ; 9

dπ dp = q (p) + p q p C ( q q p = q (p) + p C ) q q p = q (p). Tulos saatiin olettamalla p = C/ q, mikä on ehto sille, että tuotantonopeus q valitaan optimaalisesti. 10