1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja käteistalletukset: setelit, kolikot, sekkitilit ja postisiirtotilit) (2 p) + yleisön määräaikaistalletukset (1 p) (Oikea vastaus s. 270) b) Toiseksi paras vaihtoehto, josta joudutaan luopumaan (2 pistettä) esim. (1 p) (Oikea vastaus s. 19)
2. Duopolin markkinatilannetta kuvastaa oheinen pelimatriisi. Yrityksillä on valittavanaan kaksi vaihtoehtoa: matala tai korkea tuotanto. Taulukon alkiot kuvaavat yritysten voittoja. Esim. jos yritys A valitsee matalan tuotannon ja yritys B korkean tuotannon, yrityksen A voitto on 1 (miljoonaa) euroa ja yrityksen B 5 (miljoonaa) euroa. Yrityksen B tuotanto matala korkea Yrityksen A tuotanto Matala (2,2) (1,5) Korkea (3,0) (2,1) Mikä on pelin Nash-tasapaino, ja miksi? Perustele vastauksesi täsmällisesti. (8 p) Vastaus: Tasapaino on (korkea, korkea) (2 p.). Kummankaan yrityksen ei kannata yksipuolisesti vaihtaa strategiaansa (4 p.), koska tällöin ne menettäisivät rahaa 1 miljoonaa euroa (2 p.). (Oikea vastaus s. 87)
Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkyviin. Älä ylitä annettua vastaustilaa! 3. Suunnistaja ja uimari ovat ympyränmuotoisen järven reunalla kohdassa A. He kilpailevat siitä, kumpi on nopeammin järven reunan kohdassa B, kun uimari ui nopeudella 2 metriä sekunnissa ja suunnistaja juoksee tarkasti järven reunaa myötäillen nopeudella 3 metriä sekunnissa. Järven ympärysmitta on 1000 metriä ja kohtien A ja B etäisyys rantaa pitkin on 400 metriä. Kumpi on aikaisemmin perillä? (5 p) Merkitään suunnistajalta matkaan kuluvaa aikaa. Koska suunnistajan nopeus on 3 metriä sekunnissa ja kaaren A:sta B:hen pituus on 400 metriä, kuluu suunnistajalta matkaan. Siis Uimarin ajan selvittämiseksi täytyy laskea jänteen AB pituus. Olkoon ympyrän keskipiste O. Jänteen AB pituus saadaan selvittämällä ympyrän säde, kulma BOA (merkitään sitä kirjaimella ) ja käyttämällä sinifunktion määritelmää sekä kertolaskua. Ympyrän säde,, on. Kulma saadaan yhtälöstä Jänteen AB puolikas saadaan sinifunktion määritelmän avulla, eli Jänteen AB pituus on. ja uimarin matkaan kulunut aika on siten Siis, joten suunnistaja on perillä ensin.
4. Sinulla on käytössäsi 100 metriä aitaa, josta tulee rakentaa suorakulmion muotoinen aitaus maanviljelijälle. Viljelijä aikoo kasvattaa kesän ajan aitauksessa lampaita. Yksi lammas tarvitsee tilaa 25 m 2 ja maksaa 75 euroa. Viljelijä saa kesän lopussa yhdestä lampaasta 95 euroa. Kuinka suuren tulon viljelijä voi suurimmillaan saada kesän lopussa? (Rahan arvon alenemista ei tarvitse ottaa huomioon.) (5 p) Yhdestä lampaasta saatava tulo on, joten maanviljelijä haluaa saada mahdollisimman monta lammasta aitaukseen. Aitaa on vain 100 metriä, joten selvitetään pinta-alaltaan suurin mahdollinen aitaus, jonka muoto on suorakulmio. Olkoot sivujen pituudet ja. Tällöin eli. Koska suorakulmion pinta-ala on funktiona, saadaan pinta-ala kirjoitettua vain muuttujan. Etsitään tämän funktion maksimiarvo. Derivoimalla saadaan Tämän nollakohta on, jolloin ja maksimiala on siten neliömetriä. Aitaukseen mahtuu lammasta, jolloin maksimitulo on
Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkyviin. Älä ylitä annettua vastaustilaa! 5. a) Kymmenen identtistä rengasta laitetaan sylinterin sisälle kuvan mukaisesti siten, että jokainen renkaista koskettaa toisiaan. Sylinterin säde on 4 cm. Mikä on tällöin renkaiden säde (cm)? (Vinkki: sinilause) (4 p) Piirretään suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on 4 - r ja lyhyemmän kateetin pituus r. Lisäksi piirretään kulma α. r 4-r α Tehtävänä on ratkaista kolmion sivun r pituus. Trigonometrisen sinilauseen mukaan: r sin 4 r 360 20 4*sin r 0,944 1 sin Renkaiden säde on noin 0,944 cm.
Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkyviin. Älä ylitä annettua vastaustilaa! 5. b) A-kohdan renkaiden keskelle asetetaan vielä yksi rengas. Mikä on renkaan suurin mahdollinen säde (cm)? (1 p) 4 2r Suurimman mahdollisen säteen pituus on 4 cm 2r eli 4 cm 2 0,944 cm 2,111 cm. Keskelle mahtuisi rengas, jonka säde on noin 2,111 cm.