Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan, mutta monet vastaavuudet päteivät yleisimmille logiikoille ja niitä vastaaville algebroille. Algebrallisen logiikan tutkimus on eräs TTY:n matematiikan laitoksen tutkimuskohteista.
Määritelmä (1.9) Relaatio joukossa A on joukon A A osajoukko. Jos R A A on relaatio, merkitään a R b (a, b) R (jolloin sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa). Joukon A relaatio R on (1) refleksiivinen, jos a R a aina, kun a A, (2) symmetrinen, jos b R a aina, kun a R b, (3) transitiivinen, jos a R c aina, kun a R b ja b R c, (4) antisymmetrinen, jos a = b aina, kun a R b, b R a. (5) Refleksiivinen ja transitiivinen relaatio on esijärjestys. (6) Refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen relaatio on järjestys. (7) Relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio on ekvivalenssirelaatio.
Määritelmä (1.9. jatkoa) Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä ; tällöin merkitään a b. Jos on ekvivalenssirelaatio, niin jokainen joukon A alkio a määrää ekvivalenssiluokan [a] = {b A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään A /, ja sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatiota vastaavaksi A:n tekijäjoukoksi.
Määritelmä (1.9. jatkoa) Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä ; tällöin merkitään a b. Jos on ekvivalenssirelaatio, niin jokainen joukon A alkio a määrää ekvivalenssiluokan [a] = {b A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään A /, ja sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatiota vastaavaksi A:n tekijäjoukoksi. Harjoitustehtävänä 110 on osoittaa seuraava perustulos: joukon A esijärjestys R generoi ekvivalenssin ehdolla x y joss xry ja yrx. Lisäksi tekijäjoukkoon A/ generoituu järjestysrelaatio ehdolla [x] [y] joss xry.
Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b].
Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L.
Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja.
Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja. Jos alkioparin {x, y} ylärajojen joukossa on pienin alkio L, merkitään sitä x y. Vastaavasti jos alkioparin {x, y} alarajojen joukossa on suurin alkio L, merkitään sitä x y.
Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja. Jos alkioparin {x, y} ylärajojen joukossa on pienin alkio L, merkitään sitä x y. Vastaavasti jos alkioparin {x, y} alarajojen joukossa on suurin alkio L, merkitään sitä x y. Hila on sellainen järjestetty joukko (L, ), jonka kaikilla alkiopareilla {x, y} on x y, x y L.
Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa.
Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa. Määritelmä (Boolen algebra) Distributiivinen hila (L,,,, ) on Boolean algebra jos kaikilla alkioilla a L on komplementtialkio a L, toisin sanoen a a = 0 ja a a = 1.
Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa. Määritelmä (Boolen algebra) Distributiivinen hila (L,,,, ) on Boolean algebra jos kaikilla alkioilla a L on komplementtialkio a L, toisin sanoen a a = 0 ja a a = 1. Komplementtialkio on yksikäsitteinen.
Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A.
Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra.
Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra. Klassisen lauselogiikan rakennustiilinä ovat elementaarilauseet p, q, r, s,, joista loogisten konnektiivien ei, ja, tai, imp avulla saadaan lisää (hyvin määriteltyjä) lauseita: elementaarilauseet ovat lauseita ja jos α, β ovat lauseita, niin ei α, αjaβ, αtaiβ sekä αimpβ ovat lauseita. Huomaa, että lauseet ovat äärellisen mitaisia.
Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra. Klassisen lauselogiikan rakennustiilinä ovat elementaarilauseet p, q, r, s,, joista loogisten konnektiivien ei, ja, tai, imp avulla saadaan lisää (hyvin määriteltyjä) lauseita: elementaarilauseet ovat lauseita ja jos α, β ovat lauseita, niin ei α, αjaβ, αtaiβ sekä αimpβ ovat lauseita. Huomaa, että lauseet ovat äärellisen mitaisia. Klassisen lauselogiikan algebralisoinnissa tarvitaan joukko aksioomia ja päättelysäännöt. Sovitaan, että jos jokin lause α on aksiooma tai teoreema eli saatu päätelysäänöjen avulla aksioomista, merkitään α.
Aksioomiksi valitaan kaikki seuraavaa muotoa olevat lauseet 1 (αimpβ)imp[(βimpγ)imp(αimpγ)], 2 (αimp(αtaiβ), 3 (βimp(αtaiβ), 4 (αimpγ)imp[(βimpγ)imp((αtaiβ)impγ)], 5 (αjaβ)impα, 6 (αjaβ)impβ, 7 (γimpα)imp[(γimpβ)imp(γimp(αandβ))] 8 [αimp(βimpγ)]imp[(αjaβ)impγ], 9 [(αjaβ)impγ]imp[αimp(βimpγ)], 10 (αja ei α)impβ, 11 [αimp(αja ei α)]imp ei α, 12 αtai ei α Harjoitustehtävänä 113 on osoittaa, että kaikki aksioomat ovat tautologioita.
Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β.
Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)]
Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα)
Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα) ja edelleen Modus Ponens säännöllä 1 (αimpα)
Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα) ja edelleen Modus Ponens säännöllä 1 (αimpα) Jos siis kaikkien lauseiden joukossa F määritellään relaatio R s.e. αrβ joss (αimpβ), on R refleksiivinen. Käyttämällä Aksiooma (1) ja kaksi kertaa Modus Ponens sääntöä nähdään, että se on myös transitiivinen.
Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ).
Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ).
Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ). Siten tekijäjoukossa voidaan määritellä operaatiot [α] [β] = [αjaβ], [α] [β] = [αtaiβ], [α] = [ei α].
Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ). Siten tekijäjoukossa voidaan määritellä operaatiot [α] [β] = [αjaβ], [α] [β] = [αtaiβ], [α] = [ei α]. Syntynyt algebra (F/,,, ) on Boolen algebra: esim. hilaominaisuudet todistetaan Aksioomien (4), (5) ja (6) sekä Modus Ponens säännön avulla. Alkiona 1 on luokka [αtai ei α], alkiona 0 luokka [αja ei α].
Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa).
Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa). Ideaaleja vastaa algebrallisessa logiikassa eräänlainen duaalinen käsite, nimittäin filtteri: Se on annetun Boolen algebran L epätyhjä osajoukko F, joka on suljettu Modus Ponens säännön suhteen: jos a, a b F, niin b F.
Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa). Ideaaleja vastaa algebrallisessa logiikassa eräänlainen duaalinen käsite, nimittäin filtteri: Se on annetun Boolen algebran L epätyhjä osajoukko F, joka on suljettu Modus Ponens säännön suhteen: jos a, a b F, niin b F. Algebrallista logiikkaa käsitellään tarkemmin kurssilla MAT-42106 Applied Logics. Tervetuloa sinne!