MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 + dx k e k k 2 5kx dx 2. Olkoon a k = (k + 3) 2 (k + 4) 2, k =, 2, 3,... lukujono. Laske lukujonosta kolme ensimmäistä termiä, ja määrää lukujonon raja-arvo, jos jono suppenee. 3. Määritellään tehtävän 2 lukujonon avulla uusi lukujono ( n ) n= siten, että n [ n = (k + 3) 2 (k + 4) 2], n =, 2, 3,.... Laske näin määritellyn lukujonon kolme ensimmäistä termiä. Mikä on lauseke termille n? Määrää lukujonon ( n ) n= raja-arvo, jos jono suppenee. Mitä voit sanoa sarjan (k + 3) 2 (k + 4) 2] suppenemisesta? Osaatko laskea [ sarjan summan? 4. Olkoon a R. Tarkastellaan suppenevaa sarjaa (a) = 8a 4 (4k )(4k + 3). Laske sarjan summa (a) ja määrää reaaliluku a siten, että (a) = 54. 5. Tutki tarkasti perustellen seuraavien sarjojen suppenemista: 3 sin(k) + 7 a) k 3, b) e k (e k + ) 2, c), d) 2k + 6. Määrää seuraavien potenssisarjojen suppenemissäde R: a) 5 ( ) k k k + xk, b) 3k + (x + 2)k, c) ( 4) k k k+ xk, d) Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? Opastus: 7. Olkoon a reaaliluku. Määrää potenssisarjan ( ) k 2ka k (x a)k lim k suppenemissäde R a. Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? 8. a) Laske potenssisarjojen avulla raja-arvo lim x x cos(3x) + sinh(3x) 4x x 2 arc tan(x 3. ) b) Määrää potenssisarjojen avulla reaaliluku a siten, että raja-arvo sin(x) xe x2 ax 3 lim x ln( + x 5 ) on olemassa ja äärellinen. Laske myös raja-arvo! 7 5 3 k 3. k 3k k + 2 (x e)k. ( + k ) k = e..,
9. Hahmottele 2π-jaksollisen funktion f(x) = { x, kun x π, 2π x, kun π < x < 2π kuvaaja ja määrää funktion Fourier-sarja (x). Laske tuloksen (π) = f(π) avulla sarjan (2k ) 2 summalle tarkka arvo. Opastus: Osittaisintegroinnilla voidaan johtaa seuraavat kaavat: t cos(kt) dt = k 2 [cos(kt) + kt sin(kt)] +, t sin(kt) dt = k 2 [sin(kt) kt cos(kt)] +.. Määrää seuraavien funktioiden määritysjoukot ja piirrä ne xy- tai xyz-koordinaatistoon: a) f(x, y) = y 2x 2 +, b) f(x, y) = ln(ln( x 2 y 2 )), c) f(x, y, z) = 4 x2 y 2 z, d) f(x, y, z) = y 2 (z + 2)( x 2 z 2 ).. Piirrä xyz-koordinaatistoon seuraavat pinnat: a) x 2 + y 2 + z 2 = 3, b) z x =, c) z = 2 + x 2 + y 2, d) z = 3 x 2 y 2, e) y 2 + z 2 = 4. Mitkä eo. pinnoista ovat kahden muuttujan funktion z = f(x, y) kuvaajia? 2. lueessa {(x, y) R 2 2 x 2, 4 y } erään puuttoman mäen pohjoisrinteen korkeus voidaan esittää funktiona z = h(x, y) = ( 5 y 4. Piirrä xy-koordinaatistoon arvoja.8,,.25 ) x2 ja.5625 vastaavat tasa-arvokäyrät. Hahmottele funktion h kuvaaja xyz-koordinaatistoon tasaarvokäyrien perusteella. x-, y- ja z-koordinaattien yksikkö on metri. 3. Tutki, onko seuraava raja-arvo olemassa: lim (x,y) (,) 5x 2 y 6 x 4 + y 2. alitse lähestymistieksi origon kautta kulkevat suora y = x sekä käyrä y = 3 x. 4. Olkoon z(x, y) = x c e y x, missä c R on vakio. Määrää vakio c siten, että kaikilla (x, y) R + R. z x = y 2 z y 2 + z y 5. Olkoot a ja b reaalilukuja. Tarkastellaan kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota f(x, y) = ax 6 + by 3. a) Laske f(a, b). b) Olkoon u = 4 ı + ȷ suuntavektori. Ratkaise luvut a, b R yhtälöparista { f(a, ) = 6 ı, u f(a, b) =. 6. Olkoon f(u, v) = 3u 2 uv 2 3v kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä pisteessä (, ). a) Laske suunnattu derivaatta vektorin 3 ı 4 ȷ suuntaan. b) Mikä on funktion suunnatun derivaatan suurin arvo? c) Mihin suuntaan funktion arvot vähenevät voimakkaimmin? d) Mihin suuntaan funktion arvot muuttuvat vähiten?
7. Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen f(x, y) = ax 2 y 3 ja g(x, y) = ax 2 + y 3 kahden muuttujan reaaliarvoisia funktiota sekä u = ı 2 ȷ suuntavektori. Määrää reaaliluku a siten, että u f(, 2) = u g(, 2). 8. Kappale liikkuu xy-koordinaatistossa käyrää x(t) = t ı + t ȷ pitkin, missä t kuvaa aikaa sekunneissa ja x- ja y- koordinaattien yksikkö on cm. Kappaleen lämpötila ( ) pisteessä (x, y) R 2 on T (x, y) = 3e 2x2 +y 2. Laske ketjusäännön avulla kappaleen lämpötilan muutosnopeus ( /s) hetkellä t >. Johtopäätös? Millä ajan t hetkellä kappaleen lämpötila on suurin? Missä tason R 2 pisteessä kappale tällöin on? 9. Olkoon f(x, y) = x 4 e 3y kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä x = x(s, t) = 2s 2 2t 2, y = y(s, t) = 3st. Käytä ketjusääntöä ja esitä osittaisderivaatat f s ja f t muuttujien s ja t avulla. 2. a) Määrää funktion f(x, y) = 24xy 4xy 2 2x 3 kaikkien kriittisten pisteiden laatu. b) Olkoot a < ja b reaalilukuja. Määrää kahden muuttujan funktion f(x, y) = ax 3 3ax + e by by kaikkien kriittisten pisteiden laatu. 2. a) Määrää Lagrangen menetelmällä funktion f(x, y, z) = 8x y + 8z suurin arvo lisäehdolla y = 3x 2 + 2z 2. b) Peltisakset ja hitsauspuikko kädessä syntynyt Impi Ikiteekkari suunnittelee itselleen kannetonta, lieriönmuotoista paperikoria, jonka korkeus on h ja pohjaympyrän säde r sekä tilavuus. Impi haluaa määrätä korkeuden ja säteen suhteen niin, että peltiä kuluu paperikoriin mahdollisimman vähän. Määrää Lagrangen menetelmällä suhde h r siten, että paperikorin pinta-ala on mahdollisimman pieni, kun paperikorilla on vakio tilavuus =. Mikä on paperikorin pienin pinta-ala? Opastus: Lieriön pinta-ala on 2πrh ja tilavuus πr 2 h, ympyrän pinta-ala on πr 2. 22. Laske a) 3 3 x 2 x 2 3 24xy dy dx, b) 2 4y Piirrä kuvat tasoalueista, joiden yli integrointi suoritetaan. y 4x 2 e y4 dx dy. 23. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu käyrien y = x 2 ja y = x 2 sekä suorien x = ja x = 3 leikatessa toisensa. Laske 2x(y + 2) 2 d. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = 3x, y = 3x ja y = 3 leikatessa toisensa. Laske 9 (y 2 + 3) 4 d. Piirrä kuvat tasoalueista.
24. a) Laske integrointijärjestystä vaihtamalla 8 2 3 x 28x(y 7 + 2) 3 dy dx. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon M reaaliluku. Laske integrointijärjestystä vaihtamalla I M = M 2 M 2 y cos(m 2 x 2 ) M 2 dx dy. Määrää lim M I M. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. 25. Laske 48xyz d, missä = {(x, y, z) R 3 x 3, y 9 x 2, z 9 x 2 y 2 }. 26. Laske sen kappaleen tilavuus, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x, y) = 4 x 2 y 2, alhaalta taso z = sekä sivuilta tasot y =, x = ja y = 2 x. Piirrä kuva kappaleesta. 27. a) Laske napakoordinaattien avulla 4 25 x2 y 2 dy dx. 4 6 x 2 Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon se osa xy-tason ympyrärengasta {(x, y) R 2 2 x 2 + y 2 2 2 }, jolle x, y. Laske napakoordinaattien avulla 7x (x 2 + y 2 ) 5 d. 28. Kappaletta rajoittaa ylhäältä paraboloidipinta z = x 2 y 2 + 5 ja alhaalta pallopinta z = 5 x 2 y 2 sekä sivuilta lieriöpinta x 2 + y 2 = 3. Laske sylinterikoordinaattien avulla kappaleen tilavuus. 29. Laske sylinterikoordinaattien avulla 2 x 2 +y 2 + 2 4 x 2 x 2 +y 2 2z x 2 + y 2 dz dy dx. + Hahmottele kuva kappaleesta, jota integrointirajat kuvaavat.
3. a) Olkoon kappale se osa palloa x 2 + y 2 + z 2 ( 2) 2, jolle x, y ja z. Laske pallokoordinaattien avulla x2 + y 2 + z 2 e (x2 +y 2 +z 2 ) 2 4 d. b) Olkoon R > reaaliluku. Olkoon edelleen kappale = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2, x, y, z }. Laske pallokoordinaattien avulla I R = 96z 3 [(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + 3] 3 d. Määrää lim R I R. 3. Tutki seuraavien vektorikenttien lähteettömyys ja pyörteettömyys, kun (x, y, z) R 3 : a) v(x, y, z) = (3yz 2 + 5yz + 4z 2 ) ı + (3xz 2 + 5xz + 7) ȷ + (6xyz + 5xy + 8xz) k, b) v(x, y, z) = 2ze x sin y ı + 8ze x cos y ȷ + 3z 2 e x sin y k. 32. Olkoon F (x, y, z) = P (x, y, z) ı + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k : R 3 R 3 vektorikenttä ja f(x, y, z) : R 3 R funktio. Oletetaan, että funktioiden P, Q, R ja f toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Osoita, että a) vektorikenttä F on lähteetön, b) vektorikenttä f on pyörteetön. 33. Totea, että vektorikenttä F (x, y, z) = (6xy+4) ı+(3x 2 4yz 3 ) ȷ+( 6y 2 z 2 +4z 3 ) k on konservatiivinen. Määrää potentiaalifunktio U(x, y, z). 34. a) Laske käyräintegraali (7x y 2 ) dx + 4xy dy, kun on käyrä y = 3 x pisteestä (, 3) pisteeseen (9, 9). b) Olkoon a > reaaliluku. Olkoon edelleen käyrä y = 3x 3 2 pisteestä (, 2) pisteeseen (a, 3a 3 2). Laske käyräintegraalin 6x(y + 2) dx + (x 2 5) dy arvo. Määrää reaaliluku a > siten, että 6x(y + 2) dx + (x 2 5) dy =.
35. a) Laske käyräintegraali 3x 2 yz dx + z dy y dz, kun on käyrä x(t) = t ı + e t ȷ + e t k, t. b) Olkoon b reaaliluku. Olkoot edelleen a ja c reaalilukuja. Laske käyräintegraali F d x, kun F (x, y, z) = axy ı + byz ȷ + cxz k on vektorikenttä ja on käyrä x(t) = 5t ı + 6t ȷ + t 2 k pisteestä (,, ) pisteeseen (5, 6, ). Jos b =, niin mikä on lukujen c ja a suhde c a, jotta F d x =. 36. Olkoon käyrä x(t) = sin 3 (t) ı + cos(2t) ȷ, t π 2. Laske käyräintegraali (9x 2 4xy 3 ) dx + ( 6x 2 y 2 + 2y 3 ) dy. 37. Laske (6xy + 4) dx + (3x 2 4yz 3 ) dy + ( 6y 2 z 2 + 4z 3 ) dz, kun on käyrä a) x(t) = (2t 3 ) ı + t 2 sin( π 2 t) ȷ + t cos(πt) k, t, b) x(t) = 5 cos(πt) ı + 5 sin(πt) ȷ + 3 k, t 2. 38. a) Laske Greenin lauseen avulla (7x + 2y 3 ) dx 6xy 2 dy, kun muodostuu seuraavasti: pisteestä (, ) pisteeseen (, 2) suora y = 2x, pisteestä (, 2) pisteeseen (, ) suora x =, pisteestä (, ) pisteeseen (, ) suora y = x. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = ja y = x + 2 sekä ympyrän kaaren y = 4 x 2, x, leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske Greenin lauseen avulla (5x 2 + 3xy) dx + (6xy y 5 ) dy. Opastus: Jaa alue kahteen osaan, joista toiseen sovellat napakoordinaatteja. 39. a) Laske pintaintegraali 37 4z d, kun on se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 9 x 2 y 2, joka jää tasoalueen = {(x, y) R 2 x, 2x y } yläpuolelle. b) Laske napakoordinaattien avulla pintaintegraali z 3 36 x 2 y 2 d, kun on se osa pallopintaa z = f(x, y) = 36 x 2 y 2, joka jää ympyrärenkaan osan = {(x, y) R 2 5 x 2 + y 2 7, y, x } yläpuolelle.
4. a) Olkoon se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 25 x 2 y 2, joka on tasoalueen = {(x, y) R 2 x, y 3x} yläpuolella. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske vektorikentän F (x, y, z) = (3x + 5y) ı + (7x + 3y) ȷ + (6z 5) k vuo pinnan läpi. b) Laske napakoordinaattien avulla vektorikentän F (x, y, z) = (6y 7yz) ı + ( 6x + 7xz) ȷ + (8xy + 5(z 5) 3 ) k vuo sen kartiopinnan z = f(x, y) = 5 + x 2 + y 2 osan läpi, joka rajoittuu tasojen z = 6 ja z = 8 väliin. 4. a) Olkoon F (x, y, z) = (6x 5) ı + yz 2 ȷ (2z + 3) k vektorikenttä. Olkoon edelleen pinta se osa funktiopintaa z = f(x, y) = xy, joka on kolmion = {(x, y) R 2 x, y 6x} yläpuolella ja jonka ulkoinen yksikkönormaalivektori on n = ( y, x, ) x2 + y 2 +. Olkoon edelleen pinnan suljettu reunakäyrä. Laske käyräintegraalin F d x = (6x 5) dx + yz 2 dy (2z + 3) dz arvo tokesin lauseen avulla. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu ympyrän kaarten y = x 2, x, ja y = 9 x 2, x, sekä suorien x = ja y = leikatessa toisensa. Olkoon edelleen pinta se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 6 x 2 y 2, joka on tasoalueen yläpuolella. Pinnan suljettu reunakäyrä olkoon. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske käyräintegraalin 4x dx + z 2 dy + 7yz dz arvo tokesin lauseen sekä napakoordinaattien avulla. 42. a) Olkoon suljettu kappale, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x, y) = 4 x 2 y 2 ja alhaalta pallopinta z = g(x, y) = 4 x 2 y 2. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (5x 6xy 2 ) ı + (2y 3 + 7y) ȷ + (3xy + 6z 2 ) k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä sylinterikoordinaatteja! b) Olkoon suljettu kappale, jota alhaalta rajoittaa taso z = sekä ylhäältä ja sivuilta pallopinta z = f(x, y) = 9 x 2 y 2. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (2x 3xz + 5) ı + (6 2y + 3yz) ȷ + (2x 2 z 2 + 2y 2 z 2 7) k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä pallokoordinaatteja!
astauksia harjoitustehtäviin kevät 26. a) hajaantuu b) suppenee, raja-arvo = c) suppenee, raja-arvo = π 2 arc tan(3) d) suppenee, raja-arvo = 2 e) suppenee, raja-arvo = f) suppenee, raja-arvo = 2. suppenee, raja-arvo = 3. n = 6 (n+4), sarja suppenee, sarjan summa = 2 6 4. (a) = 2a4 3, a = ±3 5. a) suppenee b) suppenee c) hajaantuu d) hajaantuu 6. a) R = 5, 5 < x < 5 b) R =, 3 < x < c) R =, < x < d) R =, x = e 7. R a = 2 a, 2 a + a < x < 2 a + a 8. a) 5 2 5 b) a = 59 6, raja-arvo = 2 9. (x) = π 2 4 π(2k ) cos[(2k )x], 2 (2k ) = π2 2 8. a) {(x, y) R 2 y 2x 2 } b) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 3 2 } c) {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < 2 2 } d) {(x, y, z) R 3 z 2 ja x 2 + z 2 2 }. pinnat b), c), d) 2. tasa-arvokäyrät: y = x 2 +, missä = +,,, 2 3. raja-arvo ei ole olemassa 4. c = 5. a) f(a, b) = 6a 6 ı + 3b 3 ȷ b) a = ± ja b = 2 6. a) 3 4 5 b) 26 c) 5 ı + ȷ d) ±( ı + 5 ȷ) 7. a = 4 7 dt 8. dt = ( 2t + +t, 3)e 2t2 kappale lämpenee, kun s < t <.25 s, kappale jäähtyy, kun t >.25 s, lämpötila suurin, kun t =.25 s, tason piste (.25 cm,.5 cm) 9. f s = 8(s 2 t 2 ) 3 e 9st (8s 2 t + 6s 8t 3 ), f t = 8(s 2 t 2 ) 3 e 9st (8s 3 8st 2 6t) 2. a) (, ) ja (, 6) satulapisteitä, ( 6, 3) paikallinen maksimipiste, ( 6, 3) paikallinen minimipiste b) (, ) paikallinen minimipiste, (, ) satulapiste 2. a) suurin arvo f(3, 35, 2) = 35 a) suhde h r =, pienin pinta-ala f( 3 π, 3 π ) = 3 3 π 2 22. a) 27 b) 2(e 6 ) 23. a) ln 5 b) 7 92 24. a) 2 9 28 b) sin(m 6 ) 2M, raja-arvo = 6 2 25. 729 26. 7 3 27. a) π 5 (25 5 9 3) b) 27 28 28. π 6 (63 + 2 5 8 2) 29. 2π arc tan 2 3. a) π 8 ( e 4 ) b) I R = π( 9 (R 6 +3) 2 ), raja-arvo = π 9 3. a) ei lähteetön, pyörteetön b) lähteetön, ei pyörteetön 33. U(x, y, z) = 3x 2 y + 4x 2y 2 z 3 + z 4 + 34. a) 64 b) käyräintegraalin arvo = 27 5 a5 5a 3, a = 2 3 35. a) b) 5a + 9b + 2c, c a = 25 36. U(x, y) = 3x 3 2x 2 y 3 + 5y 4 +, käyräintegraalin arvo = 5 37. a) 4 b) 38. a) 9 b) 28 39. a) 5 2 3 b) 3π 5 (96 3 84 29) 4. a) 27 b) 484π 4. a) 8 b) 278 42. a) 24π b) 458π
x y z KKOKOELM ÄLI- J LOPPUKOKEIIIN cos x = sin x = e x = cosh x = sinh x = ln( + x) = arc tan x = a = π 2π x k k! = + x + x2 2! + x3 3! +, x R ( ) k x 2k (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! = x2 2! + x4 4! x6 6! +, x R = x x3 3! + x5 5! x7 7! +, x R x 2k (2k)! = + x2 2! + x4 4! + x6 6! +, x R x 2k+ (2k + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! +, x R x = x k = + x + x 2 + x 3 +, x < ( ) k x k+ f(t) dt k + ( ) k x 2k+ 2k + = x x2 2 + x3 3 x4 4 +, x < = x x3 3 + x5 5 x7 7 +, x < (x) = a 2 + [a k cos(kx) + b k sin(kx)] a k = π 2π f(t) cos(kt) dt b k = π 2π f(t) sin(kt) dt D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) [f xy (x, y)] 2 = ρ sin θ cos φ ( = ρ sin θ sin φ (x, y, z) (ρ, θ, φ) = ρ2 sin θ Q P dx + Q dy = x P ) d y = ρ cos θ F (x, y, z) d = F (x, y, f(x, y)) + [f x (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 d F d x = F n d D( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) g (x)f(x) [g(x)] 2 F n d = F d D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Dx n = nx n D([f(x)] n ) = n[f(x)] n f (x) De f(x) = e f(x) f (x) D ln f(x) = f (x) f(x) D arc tan x = + x 2 D sin x = cos x D cos x = sin x x n dx = xn+ + (n ) n + f (x)[f(x)] n dx = [f(x)]n+ + (n ) n + f (x)e f(x) dx = e f(x) + sin x dx = cos x + dx = ln x + x f (x) dx = ln f(x) + f(x) dx = arc tan x + + x2 cos x dx = sin x +