Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4
Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen tai yleisessä muodossa
Ideaalinen tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli 1 C y Bu A ], [ ],, [ 1 h y u f
Todellinen ohinainen tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli 1 v C y w Bu A ], [ ],, [ 1 v h y w u f
Kohina Kohinaomponentit äsitellään usein nollaesiarvoisina, ja niiden ovarianssit oletetaan tunnetuisi Ellei todellisia ovariansseja tunneta, äytetään ovarianssimatriiseja viritysparametreina
Varianssi Kuvaa yhden satunnaismuuttujan vaihtelua Nollaseiarvoisen muuttujan varianssi lasetaan muuttujan arvojen neliöiden esiarvona var e E e [ ] 2
Kovarianssi Kuvaa useamman muuttujan vaihtelua Muuttujat pystyvetorissa Nollaesiarvoisen muuttujan ovarianssi lasetaan muuttujavetorin ja sen transpoosin esiarvona cov e [ ] T e e Diagonaalielementit unin muuttujan variansseja Muut elementit uvaavat muuttujien esinäisiä ovariansseja E
Kalman-suodin Estimoi prosessin sisäistä tilaa Ennaoi prosessin tilaa perustuen malliin Korjaa ennaoitua estimaattia perustuen mittauseen Mittausen ja estimaatin esinäinen paino riippuu mittausten, prosessimallin ja estimaatin ovariansseista
Laajennettu Kalman-suodin Kalman-suotimen perusversio toimii vain lineaarisilla tilamalleilla Laajennettua Kalman-suodinta voidaan äyttää myös epälineaaristen prosessien anssa
Laajennettu Kalman-suodin Prosessin tilamalli yleisessä muodossa Kohinatermien w ja v ovarianssit ], [ ],, [ 1 v h y w u f var var R v Q w
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Laajennettu Kalman-suodin syöte u u Prosessi y y u-1-1 -1 ^ A-prioriestimaatti ennaointi -1 ^ - A-posterioriestimaatti orjaus ^
Indesien merintä A-priori estimaatti: ennaointi ^ 1 Ajanheti, johon asti on olemassa mittausdataa Tarasteltava ajanheti A-posteriori estimaatti: orjaus ^ ^ tai 1 1
Vahvistusmatriisi K Kuvaa mallin taruutta Jos jotin osat mallissa ovat epätaroja, painotetaan mittausia enemmän uin mallia Lineaarisessa ja staattisessa tapausessa K- matriisia voidaan pitää vaiona Epälineaarisessa tapausessa K pitää lasea joaisella ierrosella uudelleen
Vahvistusmatriisi K K lasetaan äyttäen hyväsi estimaatille estimoitua ovarianssia P P:lle lasetaan a-priori- ja a-posterioriestimaatit P:n ja K:n lasemisessa tarvitaan lineaarisen mallin matriiseja A ja C ^
A-ja C-matriisien linearisoiminen Lasetaan Jaobin matriisi jaobiaani Derivoidaan f:n uin omponentti :n omponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan äyttää A:n paialla Derivoidaan h:n uin omponentti :n omponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan äyttää C:n paialla
Esimeri Tilavetorissa on 2 elementtiä: 1, 2 f on vetori, jossa on 2 elementtiä: f 1, f 2 A on 22 ooinen A:n orvaava matriisi: 2 2 1 2 2 1 1 1 f f f f A
Esimeri Mittausvetorissa y on 1 elementti h on vetori, jossa on 1 elementti C on 12 ooinen C:n orvaava matriisi: C h h 1 2
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 1/7 Tilan ennaointi seuraavaan mittausheteen ˆ 1 f[ˆ 1 1, u 1, 1]
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 2/7 A:n orvaava derivaatta A[ˆ 1 1] f[ˆ 1 1, u 1, ˆ 1 1 1]
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 3/7 Tilan estimointivirheen ovarianssi ennaointi seuraavaan mittausheteen P 1 A[ˆ 1 1] P 1 1...... A T [ˆ 1 1] Q 1
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 4/7 C:n orvaava derivaatta C[ˆ 1] h[ˆ 1, ] ˆ 1
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 5/7 Estimoinnin vahvistusen K lasenta K P 1 C T [ˆ 1]...... T C[ˆ 1] P 1 C [ˆ 1] R 1
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 6/7 Tilan päivitys mittausella ˆ y h[ˆ 1] ˆ 1 K
Laajennetun Kalman-suotimen aavat 7/7 Tilan estimointivirheen ovarianssin päivitys P P 1 K C[ ˆ 1] P 1
Reursio Siirrytään seuraavaan ajanheteen 1 ^ ^-1-1 P P-1-1 Palaataan Kalman-suotimen vaiheeseen 1