Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Ajankohtaista

Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin toinen. Verrattuna lyhyempää polkua kulkiessa tarvittavaan keskimääräiseen voimaan, kulkeaksesi pidempää polkua tarvittava keskimääräinen voima on 1. Nelinkertainen 2. Kolminkertainen 3. Puolikas 4. Sama 5. Riippuu matkaan tarvittavasta ajasta

Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin toinen. Verrattuna lyhyempää polkua kulkiessa tarvittavaan keskimääräiseen voimaan, kulkeaksesi pidempää polkua tarvittava keskimääräinen voima on 1. Nelinkertainen 2. Kolminkertainen 3. Puolikas minkä oletuksen juuri teit? 4. Sama 5. Riippuu matkaan tarvittavasta ajasta

Konseptitesti 2 Kysymys Erääseen kappaleeseen vaikuttaa nettovoima ~ F net 6= 0. Mikä seuraavista suureista voi olla tällöin vakiosuuruinen? 1. Kappaleen kineettinen energia 2. Kappaleen nopeus 3. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus 4. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus eivät voi kumpikaan olla vakioita tässä tilanteessa

Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen, mutta ei voida luoda eikä tuhota Tarkastellaan energian suhdetta suureisiin työ ja teho Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Työn yksikkö Joule ([W ]=J, 1 J = 1Nm= 1 kg m 2 s 1 ) Muuttuva voima siirtää kappaletta rataa ` pitkin ~r 1! ~r 2 W = Z ~r 2 ~r 1 ~ F(~r) d ~`

Skalaari- eli pistetulo ~B ' B A = B cos ' ~A Kahden vektorin A ~ ja B ~ välinen skalaari- eli pistetulo ~A B ~ = A ~ B ~ cos ', missä vektorien välissä kulma ' Merkitään B:n ~ projektiota A:lla ~ BA ~ :lla Toisaalta B A = ~ B cos ', jolloin pistetulo voidaan esittää ~A B ~ = A ~ BA = B ~ AB

Vektorin projektio ja pistetulon laskeminen Projektio ~ B:stä ~ A:lle, ~ BA on pistetulon avulla ~B A = B A ê A, ja B A = ~ B ~ A ~ A = ~ BA ê A xyz-koordinaatisto on suorakulmainen, joten î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 ja î ĵ =...= 0, jolloin pistetulo komponenttimuodossa on ~A B ~ = A x î + A y ĵ + A z ˆk B x î + B y ĵ + B z ˆk = A x B x + A y B y + A z B z = X A n B n n={x,y,z}

Työ käyräviivaisessa liikkeessä Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Oletetaan voimavektori ~ F toistaiseksi vakioksi Voima ja siirtymä ~s eivät yleisessä tapauksessa samansuuntaiset Työ määriteltävä pistetulon kautta (työ skalaarisuure) W = ~ F ~s = Fs cos ' Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, on niiden tekemä työ W = ~ F 1 ~s + ~ F 2 ~s +...= X i ~F i ~s = ~ R ~s

Työ ja nopeuden muutos Kokonaistyö yhteydessä kappaleen nopeuden muutoksiin Kappaleella massa m, liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan Voima F ~ vakio, ja samansuuntainen Newtonin 2. lain mukaan F ~ = m~a, mutta toisaalta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä v 2 2 v 2 1 = 2a(x 2 x 1 ) =) a = v 2 2 v 2 1 2(x 2 x 1 ) a = v 2 2 v 2 1 2s

Kineettinen energia Lasketaan työ vastaavassa tilanteessa W = Fs = m~a ~s = m v 2 2 v1 2 s = 1 2s 2 mv 2 2 1 2 mv 1 2, josta nähdään että voiman tekemä työ on kahden termin erotus Määritellään suure kineettinen energia K = E k = E kin = 1 2 mv 2, josta seuraa että voiman tekemä työ on kineettisen energian muutos W = K 2 K 1 = K

Kineettisen energian ominaisuuksia Skalaarisuure joka aina positiivinen tai nolla. Jos W tot > 0, K kasvaa Nopeudella v kineettinen energia se työ, joka vaaditaan kiihdyttämään kappale levosta ko. nopeuteen Toisaalta kappale voi tehdä saman työn pysähtyessään nopeudesta v lepotilaan Kertoo nopeuden itseisarvon muutoksesta, ei nopeusvektorin suunnasta Johdettiin Newtonin lakien avulla, joten se pätee vain inertiaalikoordinaatistossa

Konseptitesti 3 Tarkastellaan oheisia kytkettyjä kappaleita. Köyden ja väkipyörän massa oletetaan merkityksettömän pieniksi. Kun kappaleesta m 1 päästetään irti, se liukuu alas tasoa, samalla kun massa m 2 nousee ylöspäin. Kun kappaleet ovat liikkuneet matkan d, massalle m 1 tehty kokonaistyö on m 1 m 2 1. Suurempi kuin massalle m 2 tehty kokonaistyö 2. Yhtä suuri kuin massalle m 2 tehty kokonaistyö 3. Pienempi kuin massalle m 2 tehty kokonaistyö 4. Annettu informaatio ei riitä ratkaisemiseen

Harjoitus 1 Traktori vetää 20 m matkan voimalla 5000 N kelkkaa, jonka paino on 14 700 N. Traktori on kiinnitetty kelkkaan ketjulla, joka muodostaa 36.9 kulman vaakatason kanssa. Kelkkaan vaikuttaa lisäksi kitkavoima 3500 N. 1. Mikä on jokaisen kelkkaan vaikuttavan voiman tekemä työ ja kokonaistyö? 2. Mikä on kelkan loppunopeus, jos alkunopeus on v 1 = 2.0ms 1?

Ratkaisu y ~N ~T x ~w 1. ~s = 20 mî =) W w = ~w ~s = 0, W N = N ~ ~s = 0, Wf = ~ f ~s = fs = 70 kj ja W T = T ~ ~s = Ts cos = 80 kj =) Wtot = 10 kj. (Toisaalta W tot = R ~ ~s =(T cos f )=10 kj.) 2. W tot = K 2 K 1, K 1 = 1 2 mv 1 2 = 3.0 kj, jolloin q 2K K 2 = W tot + K 1 = 13 kj =) v 2 = 2 m = 4.2ms 1.

Muuttuva voima Tarkastellaan suoraviivaista liikettä, jossa voiman suuruus ei ole vakio matkalla x 1! x 2 Jaetaan matka s = x 2 x 1 osaväleihin x i Approksimoidaan voimaa kullakin välillä vakiovoimalla Tällöin voiman tekemä työ on noin W = X i F i x i Pienennetään välit nollaan, jolloin W = X lim x!0 i F i x i = Z x 2 x 1 F(x)dx.

Jousen venymä Esimerkki muuttuvan voiman tekemästä työstä on jousen venytys Hooken lain mukaan jousen venymä x on suoraan verrannollinen venyttävään voimaan F = kx, missä k on jousivakio (spring constant). Kun jousta venytetään siten, että sen toinen pää liikkuu x 1! x 2, tehdään työtä W = Z x 2 x 1 Fdx = Z x 2 x 1 kxdx = 1 2 kx 2 2 1 2 kx 2 1

Muuttuva voima: kineettinen energia Työn ja kineettisen energian välinen yhteys muuttuvan voiman tapauksessa Ilmaistaan kiihtyvyys muodossa a = dv dt = dv dx dx dt jolloin hiukkaseen vaikuttava nettovoima tekee työn = dv dx v, W tot = Z x2 x 1 F net dx = Z x 2 x 1 madx = Z x 2 x 1 dv mv dx dx = Z v 2 v 1 mvdv = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 1 = K

Käyräviivainen liike Jaetaan reitti differentiaalisiin siirtymiin d ~` Voiman F tekemä työ matkalla d ~` on dw = F T d` = F cos 'd` = F ~ d ~`, Kokonaistyö välilä [P 1, P 2 ] on W tot = Z P 2 P 1 ~ F d ~` Viivaintegraali

Mikä ihmeen viivaintegraali? Z C ~F d ~` Integraali jossa integroitavan funktion ~ F arvoa lasketaan jotain käyrää C pitkin Taustaa ja kivoja kuvia Wikipediassa http://en.wikipedia.org/wiki/line_integral Esiintyy fysiikassa mm. mekaniikassa työn määritelmässä ja sähkömagnetiikassa Maxwellin lakien yhteydessä Vektorikentillä viivaintegraalin arvo on summa käyrän C differentiaalisen suuntavektorin d ~` ja vektorikentän ~ F pistetulon arvoista käyrän jokaisessa pisteessä

Esimerkki Tarkastellaan voimaa ~ F = yî + xĵ, joka vaikuttaa hiukkaseen. Laske voiman tekemä työ, kun hiukkanen siirtyy tasossa pisteestä (0, 0) pisteeseen (2, 2) a) koordinaattiakselien suuntaisesti pisteen (0, 2) kautta ja b) suoraviivaisesti y P 1 C 1 C 2 P 2 x

Ratkaisu Ratkaistavana integraali Nyt d ~` riippuu valitusta reitistä Differentiaali d ~` = dxî + dyĵ josta W = Z P 2 W = Z P 2 P 1 yî + xĵ dxî + dyĵ = P 1 ~ F d ~` Z P 2 P 1 ydx + xdy = Z P 2 P 1 ydx + Z P 2 P 1 xdy

Ratkaisu jatkuu Ensimmäinen reitti (0,0)! (0,2) x = 0 =) dx = 0 =) W 1 = 0 (0,2)! (2,2) y = 2 =) dy = 0 =) W 2 = Z (2,2) y dx = 4 =) W = W 1 + W 2 = 4 (0,2) Toinen reitti Reitillä y = x =) dy = dx, joten Z P 2 Z P 2 Z P 2 Z P 2 W = ydx + xdy = x dx + y dy = 2x dx = 4 P 1 P 1 P 1 P 1

Yleisempi ratkaisutapa: reitin parametrisointi

Kineettinen energia yleisessä tapauksessa Hiukkaseen vaikuttava (mielivaltainen, mutta tunnettu) nettovoima ~ F tekee työn hiukkasen kulkiessa pisteestä P 1! P 2 W tot = = Z P 2 P 1 ~ F d ~ l = Z P 2 P 1 = 1 2 mv 2 2 Z P 2 dv m dt ds = P 1 F T ds = Z P 2 P 1 1 2 mv 2 1 = K Z P 2 P 1 ma T ds ds dv m dt ds ds = Z v 2 v 1 mvdv = Työn ja kineettisen energian välinen yhteys on edelleen voimassa samassa muodossa!

Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärä ~p = m~v ja kineettinen energia K = mv 2 /2 riippuvat molemmat hiukkasen nopeudesta Tarkastellaan hiukkasta, johon kohdistuu vakiovoima ~ F net Voiman impulssi (vektorisuure): ~ J = ~ F net (t 2 t 1 )=~ F net t N-II: kun ~ F net on vakio, niin myös d~p/dt on vakio, joten ~ J = ~ F net t = d~p dt t = ~p t t = ~p 2 ~p 1

Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärän muutos riippuu voiman vaikutusajasta Jos hiukkasen lähtee levosta liikkeelle (eli ~p 1 = 0), niin ~ J = ~p2 ~p 1 =) ~p 2 = ~p 1 + ~ J = ~ J eli liikemäärä on se impulssi, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseksi levosta kyseiseen nopeuteen Kineettinen energia on se työ, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseen levosta kyseiseen nopeuteen Työ riippuu voiman vaikutusmatkasta Impulssi voiman vaikutusajasta

Tehon määritelmä Työ määritelty siirtymän kautta Ei ota kantaa siirtymään käytettyyn aikaan Määritellään tätä varten teho (power) Keskimääräinen teho on tehty työ jaettuna kuluneella ajalla P ave = W t Hetkellinen teho Tehon yksikkö on watti 1 W = 1Js 1 P = lim t!0 W t = dw dt Teho

Teho voiman funktiona Kun voima F ~ vaikuttaa kappaleeseen sen siirtyessä lyhyen matkan keskimääräinen teho tällä matkalla P ave = F T s, t s, niin missä F T on radan tangentin suuntainen ~ F :n komponentti Hetkellinen teho P = lim t!0 F T s t = F T lim t!0 s t = F T v = ~ F ~v = P