7 7 Aliavaruudet Lieaariset yhtälöryhmät Tässäki luvussa kerrataa ja täydeetää jo kurssilla Laaja matematiikka esiityeitä asioita Erityisesti yhtälöryhmie teoriaa ja ratkaisemisee paeudutaa perusteellisesti Aliavaruudet Havaiollise maailma geometrisia malleia voidaa pitää suoraa, tasoa ja kolmiulotteista avaruutta, jotka ovat koordiaattiavaruuksia R, R ja R 3 Koska sovelluksissa esiityy muuttujia luotevasti "mielivaltaie" määrä, o huomattu edulliseksi tarkastella asioita silloi "-ulotteisessa avaruudessa" R Tämä tarjoaa mahdollisuude kuvitella ilmiöitä havaiollisi geometrisi käsittei, jotka o laiattu, tai 3-ulotteisesta havaitomaailmasta Tiettyje olioide väliset suhteet säilyvät samakaltaisia kaikissa ulottuvuuksissa ja pystymme ymmärtämää iitä paremmi havaiolliste miellekuvie avulla Tästä syystä laiaamme ja yleistämme avaruuksista R, R ja R 3 geometrisia käsitteitä ja siirrämme e yleisee -ulotteisee avaruutee R Tällaisia käsitteitä ovat piste, vektori, suora, taso, pituus, etäisyys, kulma, pistetulo, kohtisuoruus, projektio, ulottuvuus je Kaikki käsitteet eivät yleisty, esimerkiksi vektoritulo eli ristitulo o sellaie, jolla ei ole vastietta yleisessä R :ssä Algebrallisella puolella otamme matriisit käyttöö perusolioia Avaruus R eli -ulotteie euklidie avaruus määritellää tässä kurssissa -matriisie ("vektorie") joukoksi, jossa o matriisialgebrasta periytyvät laskutoimitukset: vektorie yhteelasku ja skalaarilla kertomie, sekä vektorie välie sisätulo R T = { xx = [ x, x,, x], xi R, i=,, } Laskutoimitukset oudattavat seuraavia lakeja, jotka seuraavat jo todeetuista matriisialgebra sääöistä Luettelemme e kuiteki uudestaa tässä, koska saatuje ehtoje kokoelma määrittelee yleisemmä käsittee vektoriavaruus Avaruus R o siis esimerkki vektoriavaruudesta Muita vektoriavaruuksia ovat mm erilaiset fuktioista koostuvat fuktioavaruudet
8 Avaruudessa R toteutuvat seuraavat (reaalise) vektoriavaruude aksioomat: VA Joukossa R o määritelty vektoreide xy, yhteelasku: x + y R x, y R VA ( x + y) + z= x+ ( y + z), x, y R VA3 O olemassa ollavektori: x+ = + x= x, x R VA4 Jokaisella vektorilla o vastavektori: x+ ( x) =, x R VA5 x + y= y+ x, x R VA6 Joukossa R o määritelty skalaarilla kertomie: ax R, x R, a R VA7 a( x + y) = ax + ay, x, y R, a R VA8 ( a+ b) x= ax+ bx, x R, a, b R VA9 ab ( x) = ( ab) x, x R, ab, R VA x= x, x R Nämä otetaa yleisessä tapauksessa siis aksioomiksi vektoriavaruudelle, yt e ovat seurauksia matriisialgebrasta Lisäomiaisuuksia (jotka sitte ovat yleisessä tapauksessa lauseia johdettavissa yllä olevista aksioomista) ovat mm seuraavat: - a=, a R - x=, x R - ax= a= tai x=, x R, a R - ( ) x= x, x R
9 Sisätuloa koskevia omiaisuuksia tarkastelemme myöhemmi ortogoaalisuude yhteydessä Yleisesti vektoriavaruuksia, joissa o määritelty sisätulo, saotaa sisätuloavaruuksiksi, joista R o siis yksi esimerkki Kolmiulotteisessa avaruudessa R 3 o osajoukkoia tasoja ja suoria, jotka muistuttavat geometrisesti hyvi paljo avaruuksia R ja R Jos taso kulkee origo kautta, huomataa, että se vektoreide yhteelasku ja skalaarilla kertomie johtaa vektoreihi, jotka edellee ovat samalla tasolla Siis ämä vektorit toteuttavat vektoriavaruude aksioomat VA ja VA6, ja koska vektorit ovat toisaalta R 3 : vektoreita, laskulait VA-VA5, VA7-VA toteutuvat myös Siis origo kautta kulkeva R 3 : taso o itseki vektoriavaruus Avaruude R osajoukko H o aliavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille xy, ja kaikille skalaareille a: AA xy, H x+ y H AA AA3 a R& x H ax H H Kaksi esimmäistä ehtoa vaativat, että laskutoimituste lopputulos pysyy H:ssa, eli että yhteelasku ja skalaarilla kertomie "eivät vie ulos H:sta" Ehdot AA-AA3 voidaa esittää myös tiivistetyssä muodossa ehtoa: xy, R, ab, R: xy, H a x+ b y H ja lisäksi o vaadittava, että H o epätyhjä Avaruus R itse ja {} ovat triviaaleja aliavaruuksia Tapauksessa R ei muita aliavaruuksia olekaa Tasossa R epätriviaaleja aliavaruuksia ovat origo kautta kulkevat suorat Avaruudessa R 3 epätriviaaleja aliavaruuksia ovat origo kautta kulkevat suorat ja origo kautta kulkevat tasot Yleisessä R :ssä eri tyyppisiä aliavaruuksia o sitte eemmä
Huomattakoo, että esimerkiksi kolmiulotteise avaruude tasot, jotka eivät kulje origo kautta, eivät voi olla aliavaruuksia (vaatimus AA3) Ne voidaa ajatella kuiteki aliavaruuksie siirtoia eli traslaatioia Esim H = x R x + x = o R : aliavaruus { } H = x R x + x = ei ole R : aliavaruus 3 { 4} H = x R x x + x = o R 3 : aliavaruus 3 { 3 3 } Kahde taso leikkaus o suora (kuha tasot eivät ole yhdesuutaisia) ja kulkee origo kautta, jos tasotki tekevät ii Näyttää siis ilmeiseltä, että aliavaruuksie yhteisistä osista muodostuu aliavaruuksia: Aliavaruuksie H, H leikkaus H H o aliavaruus Edellä o ollut moessa kohdi jo puhetta "ulottuvuudesta", mutta käsitettä ei ole vielä tarkasti määritelty Esimerkiksi R 3 o kolmiulotteie, koska sillä o kolme katavektoria i, j, k Mutta mitä tarkoitetaa esimerkiksi edellä oleva aliavaruude H 3 kaalla? Kaalla i, j, k o seuraavat kaksi omiaisuutta ) Vektorit i, j, k "virittävät" koko avaruude R 3 : x 3 x= x = xi+ xj+ x3k, x R x 3 ) Vektoreide i, j, k joukossa ei ole yhtää turhaa, jos yhdeki jättää pois, ii loput eivät eää pysty virittämää koko avaruutta R 3
Tästä saadaa malli yleisee tapauksee Vektori v o vektoreide v, v,, vk lieaarikombiaatio, jos v= cv + c v + + c v k k joillaki kertoimilla (reaaliluvuilla) c, c,, c k Vektorit v, v,, vk virittävät avaruude H, jos jokaie H: vektori v voidaa esittää lieaarikombiaatioa äistä vektoreista joillaki kertoimilla c, c,, c k Esim Vektorit i ja j virittävät R : Vektori v=[,3] T o lieaarikombiaatio v=i+3j Vektorijoukkoa S = { v, v,, vk }, joka virittää H: saotaa avaruude H virittäjistöksi ja merkitää H = spas = spa{ v, v,, v } k Ilmeisesti jokaisee virittäjistöö voidaa lisätä vektoreita, ja äi laajeettu joukkoki o edellee sama tai laajemma avaruude virittäjistö Mutta voidaako virittäjistöstä poistaa vektoreita, ii että joukko säilyy edellee sama avaruude virittäjistöä? Jos voidaa, ii silloi tällaie ylimääräiste vektorie karsita yleesä tehdääki Virittämise kaalta tarpeettomia S: vektoreita ovat ilmeisesti sellaiset, jotka ovat itse joideki muide S: vektoreide lieaarikombiaatioita Jos vektorijoukossa S o tällaisia (edes yksi), ii vektorijoukkoa S = { v, v,, vk }saotaa lieaarisesti riippuvaksi (eli se vektoreita v, v,, vk lieaarisesti riippuviksi) Jos vektorit v, v,, vk ovat lieaarisesti riippuvia, ii siis aiaki yksi iistä, esimerkikis v m, o muide lieaarikombiaatio: v = av + + a v + a v + a v m m m m+ m+ k k
Siirtämällä kaikki vasemmalle puolelle saadaa yhtälö cv + + c v =, k k missä kertoimista c i aiaki yksi o ollasta eroava (sillä yt aiaki c = ) Tämä otetaa usei lieaarise riippuvuude määritelmäksi m Edellee voidaa todeta, että vektorijoukko S o lieaarisesti riippuva, jos ja vai jos sillä o sellaie aito osajoukko S', että spa( S') = spa( S) Toivottava omiaisuus virittäjistölle o, että siellä ei ole turhia vektoreita mukaa, eli että se ei ole lieaarisesti riippuva Vektorijoukko S = { v, v,, vk } o lieaarisesti riippumato (eli vektorit v, v,, vk lieaarisesti riippumattomia), jos ja vai jos S ei ole lieaarisesti riippuva Lieaariselle riippumattomuudelle saadaa siis seuraavia karakterisoiteja: Jouko S = { v, v,, v k } vektorit ovat lieaarisesti riippumattomia täsmällee silloi, ku alla olevat keskeää yhtäpitävät ehdot ovat voimassa: - Mikää vektoreista v, v,, vk ei ole muide lieaarikombiaatio - Ehto c v + + c k v k = toteutuu vai kaikkie kertoimie c i ollessa ollia - cv+ + c v = c= = c = k k k - S' S, S' S spa( S') spa( S)
3 Erityisesti ähdää, että -vektori ei voi olla mukaa missää lieaarisesti riippumattomassa vektorijoukossa Koska lieaarista riippumattomuutta pidetää toivottua ilmiöä, o hyvä olla laskeallie keio, jolla riippumattomuus tai riippuvuus voidaa selvittää Tällaise tarjoaa redusoituu riviporrasmuotoo muutamie Ajatellaa vektorit v, v,, vk laitetuksi matriisi A pystyvektoreiksi: Silloi A = v v v k [,,, ] A T = v T T v v T k, joka o muokattavissa vaakarivimuuoksilla Olkoo vektoreista joki, esimerkiksi v m, muide lieaarikombiaatio: v = a v + + a v + a v + a v T T T T T m m m m+ m+ k k T Silloi saadaa muuoksilla Em ( a),, Emk( ak ) rivi v m ollattua Käätäe, jos rref(a T ):ssä o ollarivi, se o saatu aikaa maiitu kaltaisilla muuoksilla, jote kyseie rivi o muide lieaarikombiaatio Siis vektorit v, v,, vk ovat lieaarisesti riippumattomia täsmällee T T silloi, ku matriisi A = [ v, v,, v k ] redusoitu riviporrasmuoto rref(a T ) ei sisällä ollarivejä Jos k matriisissa o k > eli vaakarivejä o eemmä kui pystyrivejä, ii matriisi redusoidussa riviporrasmuodossa o ilmeisesti porrasmaisuude takia pakko olla ollarivejä:
4 Tästä ähdää, että R :ssä jokaie vektorijoukko, jossa o eemmä kui vektoria, o lieaarisesti riippuva Esimerkiksi R 3 :ssa jokaie eljä vektori joukko o lieaarisesti riippuva Esim 3 Tutkitaa, ovatko R 4 : vektorit u=, v =, w = 3 7 4 7 lieaarisesti riippuvia vai riippumattomia A =, 3 7 4 7 T A = 4 3 7 7 4 4 4 7 7 7 7 7 7 3 7 7 T Koska matriisissa rref ( A ) o ollarivi, vektorit ovat siis lieaarisesti riippuvia Ja todella äi o, sillä w = u v
5 Huomattakoo vielä, että kaksi ollasta eroavaa vektoria uv, R ovat lieaarisesti riippuvia täsmällee silloi, ku toie saadaa toisesta vakiolla kertomalla: uv, lieaarisesti riippuvia c R: u= cv Vektorijoukko S o avaruude H kata, jos S o H: lieaarisesti riippumato virittäjistö Silloi siis H = spa(s) ja S: vektorit ovat lieaarisesti riippumattomia eli siellä ei ole tarpeettomia vektoreita mukaa Jokaisella avaruude H vektorilla v o silloi yksikäsitteie esitysmuoto kaassa S= { v, v,, vk }: v = c v + + c k v k Jos imittäi olisi v = cv+ + ckvk = c' v+ + c' k vk, ii siirtämällä kaikki vasemmalle puolelle saataisii ( c c' ) v+ + ( ck c ' k) vk =, josta seuraa vektoreide lieaarise riippumattomuude ojalla ( c c' ) = = ( ck c ' k) = eli c = c ',, c = c ' k k Nämä yksikäsitteiset luvut c i ovat vektori v koordiaatit kaassa S Silloi vektori v voidaa esittää koordiaattivektoria c c v= v S = ck S, missä S korostaa, että o kyse kaasta S Koska vektori v o tässä kurssissa aia myös joki R : vektori, sillä o oletusarvoa esitys R : luoollisessa kaassa { e,, e }:
6 v v v ve v e v = = + missä e =,, e = Avaruude H jokaisessa kaassa o yhtä mota vektoria Tämä seuraa siitä, että jos jossaki kaassa o k vektoria, ii jokaie joukko, jossa o eemmä kui k vektoria, o lieaarisesti riippuva Päättely o sama kui R : yhteydessä tehtii redusoidu riviporrasmuodo avulla Nyt matriisi rakeetaa kyseise kaa koordiaattivektoreista Kaa alkioide lukumäärä o siis avaruudelle omiaie vakio Avaruude H ulottuvuus eli dimesio dim(h) o kaa vektorie lukumäärä Avaruude R dimesio o siis Triviaali avaruude {} dimesioksi sovitaa (Se o sikäli luotevaa, että {} o aioa avaruus, jolla ei ole kataa, koska -vektori o lieaarisesti riippuva Siis katavektoreide lukumäärä o ) Tasot avaruudessa R 3 ovat -ulotteisia ja suorat -ulotteisia aliavaruuksia (silloi ku kulkevat : kautta) Oheisessa kuvassa taso kaa muodostavat vektorit v, v ja iide avulla tasolle muodostuu koordiaatisto
7 Katoja o avaruudella erilaisia, ääretö määrä Jokaie lieaarisesti riippumato vektorijoukko, jossa o dimesio ilmoittama määrä vektoreita, käy kaaksi: Jos dimh = k, ii jokaie k: vektori lieaarisesti riippumato H: osajoukko kelpaa H: kaaksi Tämä todistamiseksi oletetaa, että U = { u,, u k } o H: lieaarisesti riippumato osajoukko Kaa vaatimuksista lieaarie riippumattomuus o siis jo kuossa, jote o äytettävä vielä, että U virittää H: Olkoo v mielivaltaie H: vektori Silloi joukko {, vu,, u k } o lieaarisesti riippuva, koska siiä o alkioita eemmä kui k kappaletta Siis o olemassa sellaiset kertoimet c, c,, ck, että c v+ cu + + c u =, ja kertoimet eivät kaikki ole ollia Myöskää ei voi olla k k c =, koska vektorit ui ovat lieaarisesti riippumattomia Siis c ck v = u uk, jote v o esitettävissä U: vektoreide c c lieaarikombiaatioa
8 Lieaariset yhtälöryhmät Matriisilaskea keskeisimpiä käyttökohteita ovat lieaariset yhtälöryhmät Sellaisia esiityy sovelluksissa rusaasti, esimerkiksi elemettimeetelmä (FEM) ja reuaelemettimeetelmä (BEM) lujuus-, virtaus-, akustiikka- ja mageettikettälaskeassa palauttavat lasketaogelmat lopulta suurte lieaariste yhtälöryhmie umeerisee ratkaisemisee Myös tilastotieteessä ja optimoiissa käytetää paljo lieaarisia yhtälöryhmiä Jopa epälieaariste yhtälöryhmie umeerie ratkaisu perustuu lieaariste yhtälöryhmie iteroitii Lieaarise yhtälöryhmä yleie muoto o ax + ax + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b m m m m missä muuttujat ovat x,, x ja kertoimet a,, am ja sekä oikea puole luvut b,, b m Muuttujie lukumäärällä ja yhtälöide lukumäärällä m osoittautuu jatkossa oleva tärkeä rooli Matriisimuodossa lieaarie yhtälöryhmä o Ax = b,, missä kerroimatriisi o A = muuttujavektori x = x x x a a a a a a a a a m m, b b bm m, ja oikea puoli b =
9 Yhtälöryhmä Ax = b o homogeeie, jos b = ja epähomogeeie, jos b Tarkastellaa esi lieaariste yhtälöryhmie geometriaa Aluksi todetaa, että homogeeise yhtälöryhmä ratkaisuje joukko V={ x R Ax= } o avaruude R aliavaruus: AA xy, V A( x+ y) = Ax+ Ay= + = x+ y V AA a R& x V A( ax) = aa( x) = a= ax V AA3 V Tätä aliavaruutta saotaa matriisi A olla-avaruudeksi ja merkitää N(A) tai N A : N(A) = { x R Ax= } Voidaa osoittaa, että muita aliavaruuksia ei sitte olekaa: Avaruude R aliavaruuksia ovat m -matriisie olla-avaruudet (m=,, 3, ) ja vai e Epähomogeeise yhtälö Ax = b, missä siis b, ratkaisujoukko ei ole aliavaruus, koska ei kuulu siihe Mutta se voidaa ajatella ollaavaruude N(A) siirroksi eli traslaatioksi vektori x p verra: { x R Ax= b} = N( A) + x p, missä x p o joki epähomogeeise yhtälö ratkaisujouko piste eli joki yksityisratkaisu Jos siis x h o homogeeise yhtälö yleie ratkaisu, ii epähomogeeise yhtälö yleie ratkaisu x o x= x + x h p
3 Esim 4 Lieaarise yhtälö x x = ratkaisujoukko eli matriisi A=[ -] olla-avaruus o R : suora x = x Epähomogeeise yhtälö x x = ratkaisujoukko o suora x = + x Vektorimuodossa esitettyä: xh = t, p, t x = = + x Toie matriisii A liittyvä avaruus o se arvoavaruus eli kuvaavaruus eli sarakeavaruus R(A): m RA ( ) = { y R y = Ax, x R } Se koostuu siis imesä mukaisesti arvoista Ax ku x käy läpi kaikki R : vektorit Arvoavaruus o avaruude R m aliavaruus, kute helposti todetaa Nimitys sarakeavaruus selittyy yhteydellä x x y= Ax y= [ a, a,, a ] = xa + x a + + x a x Tästä äkyy, että matriisi A sarakkeet virittävät arvoavaruude R(A): RA= ( ) spa{ a, a,, a} Lieaarisella yhtälöllä Ax = b o siis olemassa ratkaisuja täsmällee silloi, ku b RA ( ) eli ku o olemassa sellaiset luvut x i, että xa + x a + + x a b= Sarakeavaruude dimesio o tärkeä matriisii liittyvä luku: Matriisi A aste eli ragi o rak( A) = dim RA ( )
3 Matriisi aste rak(a) kertoo se, kuika mota lieaarisesti riippumatota saraketta A:lla o Jos esimerkiksi rak(a)=k<, ii joukosta { a, a,, a} löytyy k: vektori osajoukko, joka riittää virittämää R(A): ja käy siis se kaaksi Voidaa osoittaa, että aste ilmoittaa myös lieaarisesti riippumattomie vaakarivie lukumäärä Siis m -matriisi A asteelle pätee rak(a) m ja rak(a) Esimerkiksi 3 5-matriisi aste voi olla korkeitaa 3 Matriisi aste rak(a) ähdää redusoidusta riviporrasmuodosta rref(a) ollasta eroavie rivie lukumäärää eli siis johtavie ykköste lukumäärää Esim 5 Matriisi M 3 = 4 5 6 7 8 9 aste rak(m)= Jos A o eliömatriisi kokoa, ii se ragi o täysi eli täsmällee silloi, ku deta eli ku se o käätyvä Lieaarise yhtälöryhmä Ax=b ratkaisemie perustuu kokoaismatriisi [A b] käsittelyy Kute yllä todettii, yhtälöllä o olemassa ratkaisu(ja) täsmällee silloi, ku oikea puoli b kuuluu sarakeavaruutee Kokoaismatriisi o sarakkeittai esitettyä [ A b] = [ a, a,, a b] Jos siis b kuuluu sarakeavaruutee, se o vektoreide a, a,, a lieaarikombiaatio, eikä lieaarisesti riippumattomie sarakkeide lukumäärä kasva siitä, mitä se o A:ssa Siis rak[a b]=raka Jos taas b ei kuluu sarakeavaruutee, se o lieaarisesti riippumato A: sarakkeista, ja ragi kasvaa yhdellä Lieaarisella yhtälöryhmällä Ax = b o olemassa ratkaisuja, jos ja vai jos rak[a b]=raka
3 Tätä ehtoa saotaa myös lyhyesti "ragiehdoksi" Tarkastellaa sitte ratkaisuje hakemista, homogeeie ja epähomogeeie tapaus eriksee Homogeeise yhtälö ratkaisemie Ragiehdosta ähdää heti, että homogeeisella yhtälöryhmällä o aia ratkaisu, sillä ei pysty muuttamaa ragia Tämä o tietysti itsestää selvää, koska triviaali ratkaisu eli o aia homogeeise yhtälö ratkaisu Vaakarivimuuokset kokoaismatriisii [A ] eivät ilmeisesti muuta yhtälöryhmä ratkaisuje joukkoa, toisi saoe yhtälöryhmillä Ax= ja (rrefa)x= o samat ratkaisut Jos raka=, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o vai triviaali ratkaisu Tämä seuraa siitä, että silloi A: sarakkeet ovat lieaarisesti riippumattomia, jote yhtälö Ax= eli xa+ xa+ + xa= ei voi toteutua kui muuttujie xi ollessa= Redusoidusta riviporrasmuodosta katsomalla asia o myös selvä: rref [A ]=, joka vastaa yhtälöä x = x = x3 = Koska eliömatriisi tapauksessa täyde ragi tilae voidaa ilmaista determiatilla, saadaa: Jos A o eliömatriisi ja deta, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o vai triviaali ratkaisu
33 Tämä ähdää myös kääteismatriisilla kertomalla: A A A A A x= & käätyvä x= x= = Redusoitu riviporrasmuoto o yt seuraavaäköie: Jos sitte raka <, ii matriisi A sarakkeet ovat lieaarisesti riippuvia, jote yhtälö xa+ xa+ + xa= toteutuu ollasta eroavillaki kertoimilla Koska yhtälö voidaa kertoa mielivaltaisella luvulla, ratkaisuja o siis ääretö määrä Koska redusoidussa riviporrasmuodossa o johtavia ykkösiä raka=k kappaletta, voidaa iitä vastaavat muuttujat ratkaista muide ollessa parametreia Näitä vapaita parametreja o silloi -k kappaletta Jos raka=k<, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o äärettömä mota ratkaisua Ratkaisujoukossa o -k vapaata parametria Erityisesti äi käy aia, ku m< Jos m< eli yhtälöitä o vähemmä kui muuttujia, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o äärettömä mota ratkaisua
34 Redusoidusta riviporrasmuodosta katsottua (raka==k<=3, -k=) a b, eli x x ax =, josta + bx = 3 3 x = at x = bt x3 = t a eli x = t b, t R Tapaus m< (m=, =3): a b, eli sama ratkaisu kui yllä Edellä maiittu parametrie lukumäärä tarkoittaa myös sitä, että yhtälöryhmä kerroimatriisi A olla-avaruude dimesio o -k Tämä tosiasia tuetaa imellä Dimesiolause: Jos A o m -matriisi, ii se olla-avaruude dimesio ja astee summa o : dim N( A) + rak( A) = Epähomogeeise yhtälöryhmä ratkaisemie Nytki ratkaisemie perustuu kokoaismatriisi [A b] käsittelyy Vaakarivimuuokset eivät muuta ratkaisujoukkoa, jote yhtälöillä Ax=b ja (rrefa)x=b o samat ratkaisut Tässä b o kokoaismatriisi redusoidu riviporrasmuodo rref[a b] viimeie sarake eli se vektori, joksi b o muuttuut (Tässä kohtaa o eroa homogeeisee yhtälöö, siellähä oikea puoli o eikä muutu vaakarivimuuoksissa) Ragiehdo mukaisesti saadaa: Jos raka<rak[a b], ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b ei ole ratkaisua
35 Redusoidu riviporrasmuodo kautta tilae o esimerkiksi seuraava: a b rref[a b]=[rrefa b ]= c d, eli äkyy x ax3 = b x + cx3 = d x3 = josta ristiriita = Geometrisesti tilae o oheise kuva kaltaie Kuki taso edustaa yhtä ryhmä yhtälöä, ja tasoilla ei ole yhteistä pistettä Toie mahdollisuus o, että b ei osta ragia, eli että raka=rak[a b] Silloi ratkaisuja siis o olemassa, ja tilae jakaatuu kahtee eri tapauksee: ratkaisuja o tasa yksi tai sitte ratkaisuja o äärettömä mota (Lieaarisilla yhtälöryhmillä ei siis voi esiityä tilateita, joissa ratkaisuja olisi esimerkiksi tai 3 Tämä o yksi huomattava ero lieaariste ja epälieaariste yhtälöide välillä) Jos raka=rak[a b]=, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o täsmällee yksi ratkaisu
36 Sillä A: pystyrivit ovat yt kaikki lieaarisesti riippumattomia, jote e muodostavat R : kaa, jossa b: esitys xa+ xa+ + xa=b o yksikäsitteie Redusoidu riviporrasmuodo avulla: Tapaus, jossa m>: a b rref[a b]=[rrefa b ]=, eli c x = a x = b x3 = c Tapaus, jossa m=: a rref[a b]=[rrefa b ]= b, eli c x = a x = b x3 = c Geometrisesti: Tasot leikkaavat yhdessä pisteessä:
37 Jos A o eliömatriisi eli m=, ii silloi raka= merkitsee, että deta eli matriisi o käätyvä Silloi yllä oleva lause voidaa ilmaista myös seuraavasti: Jos A o eliömatriisi ja deta, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o täsmällee yksi ratkaisu x= A b Jäljellä o tapaus, jossa raka=rak[a b]< Silloi b o matriisi A sarakkeista lieaarisesti riippuva, mutta ämä sarakkeet a, a,, a eivät ole lieaarisesti riippumattomia Siis esitys b= x a + x a + + x a ei ole yksikäsitteie Jos raka=k<, ii A:lla o k lieaarisesti riippumatota saraketta, jolloi loput ovat äide lieaarikombiaatioita Esimerkiksi jos A=[ a, a, a 3 ] ja a3 = a+ a, ii b= xa+ xa + x3( a+ a) = ( x+ x3) a+ ( x+ x3) a = b a + b a Tässä b ja b ovat yksikäsitteisiä Siis jos x3 otetaa parametriksi t, ii yhtälö ratkaisuja ovat kaikki vektorit x, joilla x = b t, x = b t, t R Helpommi ratkaisuje äärettömä määrä äkee homogeeise yhtälö kautta Tapauksessa raka< homogeeisella yhtälöryhmällä o äärettömä mota ratkaisua Silloi myös vastaavalla epähomogeeisella o, koska x= xh + x p o epähomogeeise yhtälö ratkaisu aia, ku x h o homogeeise yhtälö ratkaisu ja x p o epähomogeeise yhtälö ratkaisu: Ax= A( x + x ) = A( x ) + A( x ) = + b= b h p h h O siis voimassa: Jos raka=rak[a b]=k<, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o äärettömä mota ratkaisua Ratkaisujoukossa o -k vapaata parametria
38 Parametrie lukumäärä ja ratkaisu rakee selviää redusoidusta riviporrasmuodosta: a b c d rref[a b ]=, eli x + ax3 = b x + cx3 = d eli x = b at x = c dt, josta saadaa x3 = t b a x = c + t d, t R (Kyseessä o siis suora avaruudessa R 3 ) Geometrisesti tilae äyttää seuraavakaltaiselta: Tasoilla o yhteiseä leikkauksea suora Esim 6 Yhtälöryhmä o x+ x = x+ x = 3x+ 3x = 3 3 3 3 3 3
39 Viimeisestä matriisista ähdää jo, että yhtälöryhmä o ristiriitaie, koska toie ja kolmas rivi vastaavat yhtälöitä -3x = ja -3x = Siis ratkaisua ei ole (Redusoituu riviporrasmuotoo laittamie voitii myös keskeyttää) Esim 7 x+ y = x + y + z = 3x y + z = 3 /3 /3 3 4 4 /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 / / Siis yksikäsitteie ratkaisu o x=-3/, y=3/, z=/ Esim 8 x x3 = x 3x3 = x 3x3 = 3 3, jota vastaa yhtälöryhmä 3 x x3 = x 3x3 = x = + t Siis ratkaisu o x = + 3t x3 = t Kyseessä suora eli vektorimuodossa x = + t 3, t parametri
4 Esim 9 3 4 5 6 3 4 5 Ax = b, A= 3, b = 4 3 3 4 6 8 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 3 4 5 3 4 4 6 8 3 3 3 4 6 8 3 4 3 4 5 4 3 =rref[a b] 3 3 Tästä ähdää, että yhtälö voidaa esittää muodossa x - x3 x5 = x + x3 x5 = 4 x4 + x5 = 3 Siis x 3 ja x 5 voidaa ottaa parametreiksi ja loput ratkeavat iide avulla Siitä ähdää ratkaisu myös vektorimuodossa x = + s -t x = -4 - s + t x3 = s x4 = 3 - t x5 = t x = 4 3 + s + t, s,t R
4 Lopuksi yhteeveto, jossa eri tapaukset o luokiteltu muuttujie lukumäärä ja yhtälöide lukumäärä m mukaisesti: Lieaarise yhtälöryhmä ratkaisuje lukumäärä: yhteeveto Lieaarie yhtälöryhmä Ax = b, A = a a am a a a m a a a m x b x b, x =, b = x b m o homogeeie, jos b = ja epähomogeeie, jos b Ratkaisuje lukumäärät määräytyvät silloi oheise tauluko mukaisesti muuttujie lukumäärä ja yhtälöide lukumäärä m perusteella Neliömatriisi tapauksessa ( = m) ehto rak(a) = voidaa ilmaista determiattiehdolla det(a) ja vastaavasti rak(a) < ehdolla det(a) = Ku ratkaisuja o määrä, e riippuvat vapaista muuttujista (parametreista), joide lukumäärä o - rak(a) Homogeeie yhtälöryhmä Muuttujat yhtälöt Ragiehto Ratkaisuje lukumäärä < m rak(a) = < m rak(a) < 3 = m rak(a) = 4 = m rak(a) < 5 > m (ei ehtoa) Yllä ratkaisuje lukumäärä tarkoittaa, että yhtälöllä o vai triviaali ratkaisu x =
4 Epähomogeeie yhtälöryhmä Muuttujat yhtälöt Ragiehto Ratkaisuje lukumäärä 6 < m rak(a) < rak[a b] 7 < m rak(a) = rak[a b] = 8 < m rak(a) = rak[a b] < 9 = m rak(a) = rak[a b] = = m rak(a) = rak[a b] < = m rak(a) < rak[a b] > m rak(a) = rak[a b] 3 > m rak(a) < rak[a b] Yllä ratkaisuje lukumäärä tarkoittaa, että yhtälöllä o täsmällee yksi eli yksikäsitteie ratkaisu Harjoitustehtävä Mihi tapauksii sivuilla -3 lasketut esimerkit -4 kuuluvat?
43 Esimerkkitilateet jokaisesta tapauksesta -3: Homogeeise yhtälö tapauksissa oletetaa kaoie muoto rref(a) lasketuksi (oikea puole ollasaraketta ei ole merkitty) 3 4 5 Epähomogeeise yhtälö tapauksissa oletetaa rref [A b] lasketuksi: 6 7 8 9 4 3 3 4 3 4 3 4