Luku 24. Molekyylien liike 1. Molekyylien liike kaasuissa -kineettinen kaasuteoria -törmäykset astian seinämiin ja pintoihin -kaasun effuusio pienestä reiästä -ideaalikaasun kuljetusominaisuudet 2. Molekyylien liike nesteissä -elektrolyyttiliuosten sähkönjohtavuus -ionien liikkuvuus -ion-ioni vuorovaikutukset 3. Diffuusio -termodynaaminen voima - diffuusioyhtälö - diffuusiotodennäköisyydet
Kineettinen kaasuteoria perustuu seuraaviin oletuksiin: 1. Kaasu koostuu molekyyleistä (massa m), jotka liikkuvat satunnaisesti 2. Molekyylit ovat pistemäisiä, ts. niiden koko on hyvin paljon pienempi kuin niiden kulkema vapaa matka törmäysten välillä 3. Molekyylit vuorovaikuttavat vain törmäyksessä. Törmäykset ovat elastisia Elastisessa törmäyksessä translaatioliikkeeseen liittyvä kineettinen energia säilyy x-suuntaisen liikemäärän muutos törmäyksessä seinään on "mv x " mv x = 2mv x
Tarkastellaan laatikkoa, jossa n mol molekyylejä tilavuudessa V Törmäyksessä seinään A, molekyylin x-suuntaisen liikemäärän muutos = 2mv x Tarkastellaan aikaa Δt, jolloin molekyylit, jotka sijaitsevat tilavuudessa v x ΔtA ehtivät osua seinämään. Keskimäärin puolet näistä molekyyleistä liikkuu vastakkaiseen suuntaan. Muilla molekyyleillä ei ole riittävää x-suuntaista nopeutta (eivät ennätä seinälle ajassa Δt). Molekyylien kappaletiheys = nn A /V, jolloin tilavuudessa v x ΔtA on nn A V v "ta liikemäärämuutos = nn Av "t A x x 2V 2mv 2 = nmav 2 "t x x V molekyylien lukumäärä puolet molekyyleistä...
Voima, jolla molekyylit törmäävät seinään saadaan Newtonin mukaan: F = "(mv) "t F = nmav 2 x V Paine = voima/pinta-ala p = nmv 2 x V Kaikilla seinään törmäävillä molekyyleillä ei ole sama nopeus, joten käytämme keskimääräistä nopeuden neliötä <v x2 >: p = nm v 2 x V Molekyyleillä on nopeuskomponentti x,y ja z suunnissa, joten määrittelemme neliöllisen keskinopeuden c = ( 2 2 2 v x + v y + v ) 1/ 2 2 z = 3 v x ( ) 1/ 2 v x 2 = 1 3 c 2
Voimme kirjoittaa lopputuloksen: pv = 1 3 nmc 2 vrt. ideaalikaasun tilanyhtälö kirjoittamalla yhtäsuuruus: pv = 1 3 nmc 2 = nrt saadaan neliölliselle keskinopeudelle lauseke: " c = 3RT % $ ' # M & 1/ 2 Todellisessa kaasunäytteessä molekyylit törmäilevät ja niiden nopeus muuttuu täten jatkuvasti Nopeuksien kuvaamiseen tarvitaan nopeusjakauma f(v) f(v)dv ilmaisee niiden molekyylien osuuden kaikista molekyyleistä, joiden nopeus on välillä v ja v + dv
Lähdetään liikkeelle Boltzmannin jakaumasta, jonka mukaan niiden molekyylien osuus kaikista, joilla on nopeuskomponentit v x, v y, v z on eksponentiaalisesti verrannollinen (translaatio)kineettiseen energiaan E = 1 mv 2 2 x + 1 mv 2 2 y + 1 mv 2 2 z Jakauma voidaan nyt muodostaa: f = Ke "E / kt = Ke "( 1 2 mv x 2 + 1 2 mv y 2 + 1 2 mv z 2 ) = Ke "mv x 2 / 2kT e "mv y 2 / 2kT e "mv z 2 / 2kT K on vakio ja fdv x dv y dv z ilmaiseen niiden molekyylien suhteellisen määrän, joiden nopeuskomponentit ovat välillä v x + dv x, v y + dv y, v z + dv z Nopeudet eri suuntiin voidaan tulkita toisistaan riippumattomiksi f = f (v x ) f (v y ) f (v z ) f (v x ) = K 1/ 3 e "mv x 2 / 2kT
Normitusvakio K saadaan ratkaistua määrittelemällä ehto: # $ f (v x )dv x =1 ts. kaikilla molekyyleillä on v x välillä - ja + "# * 1 = K 1/ 3 e "mv x 2 / $ 2#kT ' + 2kT dv x = K 1/ 3 & ) % m ( "* K = ( m /2"kT) 3 / 2 = ( M /2"RT) 3 / 2 nopeuden x-komponenttia kuvaa täten jakauma: # M & f (v x ) = % ( $ 2"RT ' 1/ 2 e )Mv x 2 / 2RT 1/ 2 todennäköisyys, että molekyylillä on nopeus välillä v x + dv x, v y + dv y, v z + dv z 3 / 2 # M & f (v x ) f (v y ) f (v z )dv x dv y dv z = % ( e )Mv 2 / 2RT dv $ 2"RT ' x dv y dv z
dv x dv y dv z on itse asissa tilavuuselementti 4πv 2 dv pallossa (pallon kuoren tilavuus), jonka akselit ovat v x, v y, v x Voimme nyt kirjoittaa Maxwellin jakauman molekyylien vauhdille: 3 / 2 # M & f (v) = 4" % ( v 2 e )Mv 2 / 2RT $ 2"RT '
jakauman avulla voidaan laskea kaikki nopeudesta riippuvat suureet molekyylijoukolle esim. niiden molek. määrä, joiden nopeus on välillä v 1 ja v 2 saadaan integroimalla: v 2 " v 1 f (v)dv
Esim. laske N 2 molekyylin keskinopeus lämpötilassa 25 C. * # M & c = + vf (v)dv = 4" % ( $ 2"RT ' 3 / 2 * + v 3 e )Mv 2 / 2RT # taulukosta (Atkins) $ x 3 e "ax 2 dx = 1 2a 2 # M & c = 4" % ( $ 2"RT ' 3 / 2 1# % 2$ 2RT M & ( ' 2 # = 8RT & % ( $ "M ' 1/ 2 sijoittamalla tarvittavat parametrit saadaan keskinopeudeksi 475 m s -1
Nopeusjakaumasta johdettuja suureita c* = todennäköisin nopeus c = keskinopeus c rel = suhteellinen nopeus
Kahden molekyylin suhteellisia nopeuksia eri orientaatioissa: keskimääräinen orientaatio
Yksinkertainen malli molekyylien törmäyksistä d d törmäys kun etäisyys =1/2 d + 1/2 d = d (törmäyshalkaisija) Kuvitellaan tilanne, jossa molekyylijoukossa vain yksi molekyyli liikkuu: Tämän molekyylin rata (ajassa Δt )muodostaa kuvitteellisen törmäyssylinterin, jonka: pituus = c rel "t poikkipinta-ala = πd 2 = σ (törmäyspoikkipinta-ala) liikkuva molekyyli törmää kaikkiin muihin molekyyleihin, jotka sijaitsevat tässä sylinterissä
Molekyylien kappaletiheys määrää sen miten monta molekyyliä tähän kuvitteelliseen törmäyssylinteriin keskimäärin sijoittuu: Kappaletiheys: N = N /V Törmäysten lukumäärä = kappaletiheys x sylinterin tilavuus = N"c rel #t = N V "c rel #t Törmäystaajuus on täten: z = "c rel N Törmäystaajuudella ja kaasun paineella on yhteys toisiinsa. Ideaalikaasulle: N V = nn A V törmäysmallista: = pn A RT = p kt N V = z "c rel z = "c rel p kt riippuu lineaarisesti paineesta
Törmäyspoikkipinta-aloja σ/nm 2 : Bentseeni.88 Hiilidioksidi.52 Helium.21 Typpi (N 2 ).43 Keskimääräinen vapaa matka λ on suure, joka ilmaisee sen matkan minkä molekyylit keskimäärin kulkevat törmäysten välillä: Jos törmäystaajuus = z, niin 1/z on se aika, joka molekyyleillä keskimäärin on törmäysten välissä " = c rel z = kt 2 1/ 2 #p
Palataan takaisin tarkastelemaan molekyylien törmäyksiä kuvitteelliseen seinämään A Totesimme, että molekyylit jotka sijaitsevat etäisyyden v x Δt päässä seinästä, ehtivät törmätä seinään Olemme myöhemmin oppineet, että molekyylivauhti ei ole vakio vaan sitä kuvaa jakauma f(v x ) törmäysten lukumäärä seinään = NA"t v x f (v x )dx Määrittelemme törmäysvuon: Z W = N v x f (v x )dx Maxwellin jakauma antaa integraalin arvoksi: " # # $ törmäysten lukumäärä/ pinta-ala aika * + # m & v x f (v x )dx = % ( $ 2"kT ' 1/ 2 * v x e )mv x 2 / # + 2kT dv x = kt & % ( $ 2"m' 1/ 2
# Saamme siis törmäysvuolle: Z W = N kt & % ( $ 2"m' 1/ 2 Johdimme lausekkeen keskinopeudelle: # c = 8kT & % ( $ "m ' 1/ 2 Z W = 1 4 c N Törmäysvuo saadaan liitetty paineeseen kun merkitään: N = nn A /V = p /kt Z W = p ( 2"mkT) 1/ 2 tyypillisille arvoilla: p = 1 kpa, T= 3 K, N 2 molekyyli: Z W = 3 x 1 23 cm -2 s -1
Törmäysvuon lauseketta voidaan soveltaa esim. kun arvioidaan kaasun effuusionopeutta tyhjiöön kaasusylinteri (effuusiokammio), jossa paine p pieni reikä (pinta-ala A ) Effuusionopeus riippuu törmäysten taajuudesta reikään effuusionopeus = Z W A = pa ( 2"mkT) 1/ 2 Effuusionopeuden avulla voidaan määrittää huonosti höyrystyvien aineiden höyrynpaineet
Tarkastellaan paineen alenemaa effuusiokammiossa effuusion aikana olettamalla kaasu ideaaliseksi, ts. pv = NkT koska p N, voidaan paineen muutos yhdistää molek. lukumäärän muutokseen kun kaasua effundoituu ulos kammiosta: dp dt = kt V dn dt dn/dt on effuusionopeus reiästä, joten voimme kirjoittaa: dn dt = "Z A = " pa W 2#mkT ( ) 1/ 2 dp dt = " $ kt ' & ) % 2#m( 1/ 2 pa V dp p = " $ kt ' & ) % 2#m( 1/ 2 A p " V dt p dp p = # % kt ( ' * & 2$m) 1/ 2 t A V " dt p = p e "t /# " = & 2#m $ % kt ' ) ( 1/ 2 V A
Esimerkki. Cesiumin höyrynpainetta (kiehumispiste 686 C) tutkittiin effuusion avulla, jolloin kammio lämmitettiin lämpötilaan 5 C. Effuusioreiän halkaisija oli.5 mm. Ajan 1 s kuluttua havaittiin kammiossa olevan cesiumin massan pienentyneen 385 mg. Mikä on cesiumin höyrynpaine lämpötilassa 5 C? Massan muutos liittyy suoraan törmäysvuohon: "m = Z W A m"t Z W = "m A m"t = p ( 2#MRT) 1/ 2 # p = 2"RT & % ( $ M ' 1/ 2 )m A )t sijoittamalla arvot saadaan höyrynpaineeksi p = 11 kpa = 83 Torr
Kuljetusominaisuudet (transport properties) Yhteistä: Vaste (responssi) = - kuljetuskerroin x pakote A Vuo (flux) = J = suureenvirtaus A [ ][ aika] J(massa) = "D dn dz J(energia) = "# dt dz konsentraatiogradientti lämpötilagradientti J(liikem.x " komp) = "# dv x dz nopeusgradientti D = diffuusiokerroin; κ = lämmönjohtavuuskerroin; η = viskositeettikerroin
massavuo konsentraatiogradientissa, ts. molekyylit siirtyvät kohti harvempaa ainetta x-suuntaisen liikemäärän siirtyminen laminaarisessa eli newtoniaalisessa virtauksessa
Ideaalikaasun kuljetusominaisuudet: Diffuusio = massan kuljetus D = 1 3 "c ; m 2 s -1 Lämmön johtuminen = energian kuljetus Viskositeetti = liikemäärän kuljetus " = 1 #c C A 3 V,m[ ] = " = 1 3 #c mn = mc (3 2)$ c C V,m (3 2)$N A ; kg m -1 s -1 ; J K -1 m -1 s -1
Tarkastellaan diffuusiota kuvan mukaisessa laatikossa, jossa on konsentraatiogradientti. Tarkastelun kohteena on molekyylien siirtyminen kohti matalampaa tiheyttä etäisyydeltä - λ kuvitteellisen tason () läpi etäisyydelle λ. Tarvitsemme molek. kappaletiheydet N(- λ ), N(), N(λ )
N Mikäli tarkastelupisteet -λ,, λ lähekkäin, voimme aproksimoida kaarevaa konsentraatioprofiilia lineaarisesti. Oletamme, että λ vastaa yhtä vapaata matkaa N(- λ) tan" = y N (%#) % N!" $ # # &, N (%#) = %#( dn ' dz ) + * & = %( dn ' dz + N () ) + * y α λ N() N(λ) vastaavasti # N (") = "% dn $ dz & ( ' + N () -λ λ z
Keskimääräinen törmäysten lukumäärä kuvitteelliseen tasoon A ajassa Δt voidaan laskea törmäysvuon avulla: Z W = 1 4 Nc Voimme nyt kirjoittaa molekyylivuot vasemmalta oikealle J(L R) ja oikealta vasemmalle J(R L): J(L " R) = 1 A 4 N (#$)c%t A %t J(L " R) = 1 A 4 N (#)c $t A $t = 1 4 N (#$)c = 1 4 N (#)c Nettovuo 2 J z = J(L " R) # J(L $ R) = 1 c 4, N () # % & dn 4 3. ( 54 -. ' dz = # 1 c % & dn 2 ( ' dz ) + * (positiivinen) ) + * / 1 1 #, N () + % &. ( dn -. ' dz ) + * / 64 17 1 84
Jos otetaan huomioon, että molekyylit eivät liiku kohtisuoraan kuvitteellista tasoa A kohti: J z = " 1 c # $ dn 3 & % dz ' ) ( Fickin 1. diffuusiolaki D = 1 3 "c diffuusiokerroin
Lämmönjohtuminen tarkoittaa energian kuljettamista lämpötilagradientissa Molekyylin keskimääräinen terminen energia lämpötilassa T: " = #kt kerroin ν (~ 1) riippuu molekyylistä. Monoatomiselle kaasulle ν=3/2 Koska nyt molekyylien kappaletiheys on vakio tarkastelemme suuretta Nε eri paikoissa (-λ,, λ):
T y Nε(- λ) α λ N ε() N ε(λ) lämpötila pisteessä -λ, & "(#$) = %k T() # $ dt ) - ( +. ' dz *, & "($) = %k T() + $ dt ) - ( +. ' dz * Vastaavat energiavuot: / 1 lämpötila pisteessä λ / 1 -λ λ z J(L " R) = 1 4 c N#($%) J(L & R) = $ 1 4 c N#(%) Kokonaisenergiavuo voidaan lausua summana: J z = J( L " R) + J( L # R) = $ 1 2 ' dt * %k&c N ), ( dz +
Jos otamme taas huomioon, että molekyylit eivät välttämättä liiku suoraviivaisesti kohti kuvitteellista tasoa (vrt. diffuusio): J z = " 1 #k$c N % 3 ' & dt dz ( * ) Määrittelemme lämmönjohtuvuuskertoimen: " = 1 3 #k$c N Ideaalikaasun lämpökapasiteetti: C V,m = "kn A N = N /V = nn A /V = N A [ A] " = 1 #c C 3 V,m[ A]
Tarkastellaan viimeisenä kuljetussuureena kaasun viskositeettia laminaarisessa eli Newtoniaalisessa virtatuksessa mv x jos molek. siirtyy virauskerroksesta toiseen (z-suunnassa) siirtää se liikemääränsä (x-suuntaisen) tähän kerrokseen. z
mv x Newtoniaalisessa viratuksessa liikemäärä muuttuu lineaarisesti seinämältä poispäin, ts. liikemäärän gradientti on vakio # mv x (") = mv x () + m" dv & x % ( $ dz ' # mv x ()") = mv x () ) m" dv & x % ( $ dz ' -λ λ z x-suuntaisen liikemäärän nettovuo z-suunnassa: J z = 1 Nc ) mv () + m" # dv &, ) # x 4 + x % (. / mv * $ dz ' x () / m" dv &, 3 x 1 + % (. 4 2 - * $ dz '- 5 = + 1 Nm"c # dv & x 2 % ( $ dz '
Jos otamme huomioon, että N = N /V = nn A /V = N A [ A] N A m = M ja että molekyylien radat eivät välttämättä ole kohtisuorassa kuvitteellista tasoa kohtaan J z = 1 3 M"c A # [ ] dv x % $ dz Määrittelemme viskositeettikertoimen: & ( ' " = 1 M#c A 3 [ ] " # 1 p [ A] # p viskositeetti on paineesta riippumaton " #T c #T 1/ 2 " #T 3 / 2
Molekyylien liikkumista nesteissä voidaan helpoimmin ymmärtää tarkastelemalla elektrolyyttiliuosten sähkönjohtavuutta Sähkönjohtavuutta kuvaava suure on konduktanssi eli johtavuus G = "A l yksikkö Ω -1 = S (Siemens) A l κ = johtokyky (S m -1 ) + - Elektrolyyttiliuoksille ilmoitetaan yleensä molaarinen johtokyky: " m = # c Vahvalle elektrolyytille Λ m riippuu vain vähän konsentraatiosta Heikolle elektrolyytille Λ m riippuu voimakkaasti konsentraatiosta
" m " m vahva elektrolyytti heikko elektrolyytti
Vahva elektrolyytti on täysin ionisoituneena liuoksessa. Molaariselle johtokyvylle pätee ns. Kohlrauschin laki: " m = " m # Kc 1/ 2 " m = molaarinen rajajohtokyky (c ) " m voidaan jakaa ionien vapaan kulun lain mukaan lausua kationin ja anionin molaaristen rajajohtokykyjen avulla: " m = # + $ + + # % $ % " ± = ionin stoikiometrinen kerroin elektrolyytissä λ/ms m 2 mol -1 H + 34.96 OH - 19.91 Na + 5.1 Cl - 7.63 K + 7.35 Br - 7.81 Zn 2+ 1.56 SO 2-4 16.
Heikko elektrolyytti on vain osittain ionisoitunut, joten ionisoitumistasapaino (tai protolyysitasapaino jos kyseessä happo) on huomioitava: HA(aq) + H 2 O(l) H 3 O + (aq) + A - (aq) K a = a H 3 O + a A " a HA [ H 3 O + ] = "c [ A # ] = "c [ HA] = (1#")c K a = " 2 c 1#" " = K a 2c *, # 1+ 4c & + % ( -, $ K a ' 1/ 2., )1/, Heikko elektrolyytti on täysin ionisoituneena vain kun c Molaarinen rajajohtokyky riippuu ionisaatioasteesta α: " m = #" m
Palataan takaisin tasapainolausekkeeseen: K a = " 2 c 1#" " 2 c + "K a = K a "("c + K a ) = K a 1 "c =1+ " K a Sijoittamalla yhtäsuuruus: " = # m # m Voimme kirjoittaa Ostwaldin laimennuslain: 1 = 1 + " m " m " m c K a (" m ) 2
Tarkastellaan ionien liikkuvuutta sähkökentässä E l Jos elektrodien välille kytketään potentiaaliero Δφ syntyy sähkökenttä - + E = "# l + - potentiaaliero Δφ sähkökenttä aiheuttaa voiman ioneihin: F = zee = ze"# l Voima aiheuttaa ioneille kiihtyvyyden Vastustava voima aiheutuu mikroskooppisesta kitkasta : F fric = fs f = 6πηa = kitkakerroin ; s = ajautumisnopeus
Ajautumisnopeus on se nopeus joka saavutetaan kun ioniin vaikuttava nettovoima = F = F fric s = zee f = ze 6"#a E määrittelemme ionin liikkuvuuden (mobility): u = ze 6"#a u/1-8 m 2 s -1 V -1 S H + 36.23 OH - 2.64 Na + 5.19 Cl - 7.91 K + 7.62 Br - 8.9 Zn 2+ 5.47 SO 2-4 8.29
Ionin molaarinen johtokyky riippuu liikkuvuudesta: " = zuf F = Faradayn vakio eli se varaus, joka on moolilla elektroneja Elektrolyytin molaarinen rajajohtokyky voidaan nyt kirjoittaa: " m = ( z + u + # + + z $ u $ # $ )F Kuljetusluku määrittelee minkä osan kokonaissähkövirrasta kukin ioni kuljettaa: t ± = I ± I ( t + + t " =1) Rajakuljetusluku (c ) voidaan lausua liikkuvuuksien avulla: t ± = z ± " ± u ± z + " + u + + z # " # u # elektrolyytin kokonaisvaraus = ts. z + v + = z " # " t ± = u ± u + + u "
Totesimme, että " = zuf u = " zu voimme nyt kirjoittaa ionin rajakuljetusluvun molaarisen johtokyvyn avulla: " t ± = ± # ± = " ±# ± " + # + + " $ # $ % m
Diffuusio dµ Termodynaaminen syy sille, että ainetta siirtyy paikasta toiseen: Kemiallinen potentiaali riippuu kemiallisesta ympäristöstä aine kulkeutuu kohti matalampaa kemiallista potentiaalia µ Kemiallisen potentiaalin muutos kun aine liikkuu matkan dx: # dµ = "µ & % ( dx $ "x ' p,t dx x määrittelimme, että dµ on maksimaalinen ei-tilavuudenmuutostyö # dw = dµ = "µ & % ( dx $ "x ' p,t työ = -voima x matka: $ termodynaaminen voima: F = " #µ ' & ) %#x ( p,t
Liuenneen aineen kemiallinen potentiaali: µ = µ + RT ln a Jos aktiivisuus riippuu paikasta termodynaaminen voima $ F = "RT # lna ' & ) % #x ( p,t = " RT a $ #a' & ) %#x ( p,t Ideaaliselle liuokselle: F = " RT c $ #c' & ) %#x( p,t Määrittelimme diffuusioon liittyvän massavuon J: J = "D dc dx = sc A s = ajautumisnopeus
Ajautumisnopeus s voidaan lausua: Jos tunnetaan voima ja D s s = J c = " D c dc dx = DF RT Jos elektrolyyttiliuokseen asetetaan elektrodit joiden välillä on sähköinen potentiaaliero niin voima aiheutuu sähkökentästä: F = eze F = zfe (voima yhtä ionia kohti) ( voima mooli kohti) ionin ajautumisnopeus sähkökentässä E riippuu liikkuvuudesta s = ue = zfed RT Einsteinin määritelmä ionin diffuusiokertoimelle: D = urt zf u = zfd RT
Nyt olemme valmiita yhdistämään elektrolyytin sähkönjohtokyvyn ionien diffuusioon liuoksessa: " ± = zu ± F = z2 DF 2 RT Elektrolyytin molaarinen rajajohtokyky jaettiin kationista ja anionista aiheutuviin osiin: " m = # + $ + + # % $ % " m = (# + z 2 + D + + # $ z 2 $ D $ ) F 2 RT Nernstin ja Einsteinin yhtälö D/ 1-9 m 2 s -1 H + vedessä 9.31 I 2 heksaanissa 4.5 Na + vedessä 1.33 sukroosi vedessä.522
Tarkastellaan massavuota kuvan mukaisessa tilanteessa Kuvitellaan laatikon sisälle kotelo x, x + l Kotelon tilavuus A x l Merkitään vuo kotelon sisään = J(x) vuo ulos kotelosta = -J(x+l) c Konsentraation kasvu kotelossa: "c "t = JAdt Aldt = J l Molekyylien poistuminen toisesta päästä: "c' "t x = # J' Adt Aldt x + l = # J' l
nettomuutos kotelossa: "c tot "t = J # J' l Diffuusiossa pakotteena on konsentraatiogradientti, joka muuttuu kotelossa etäisyyden funktiona: " 2 c "x 2 "c "x x x + l Jos tunnetaan konsentraatiogradientti pisteessä x (merkitään sitä "c ) "x Voidaan gradientti ennustaa pisteessä x + l: #"c & % ( $ "x ' x= x +l = "c "x + l # " 2 c & % ( $ "x 2 ' Nyt voimme kirjoittaa vuot: J = "D #c #x J'= "D # $ & #x c + dc % #x l ' ) ( J " J'= Dl # 2 c "c 2 #x 2 "t = D" c "x 2 Diffuusioyhtälö
Diffuusioyhtälön mukaan konsentraation muutosnopeus riippuu konsentraation etäisyysriippuvuuden toisesta derivaatasta "c 2 "t = D" c "x 2 Atkins: There is a natural tendency for the wrinkles in a distribution to disappear Tiettyjä reunaehtoja noudattaen diffuusioyhtälö voidaan ratkaista: c(x,t) = n 2 / 4 Dt e#x 1/ 2 A("Dt)