MAA8 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Määritä a) log 7 b) log ( ) c) log Määritä a), kun log = b) log = 0 b) kantaluku, kun log k = Sievennä logaritmien laskulakeja käyttäen: a)logk y logk y b) log k ab c log k ac b y c) logk z Tiedetään, että lg on likimain 000 Määritä tämän nojalla seuraavien lukujen likiarvot: a) lg 0 b) lg 000 c) lg 000 Huomaa, että järjestelmän kantaluku on nyt 0 Sievennä log log log 8 6 Piirrä pääpiirtein funktion a) y = lg b) y = log½ kuvaajat laskemalla joitain pisteitä teoriatiivistelmässä olevan mallin mukaisesti 7 Olkoon k > Millä :n arvoilla funktio y = logk ( ) on määritelty Millä :n arvoilla kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella 8 Määritä logaritmin avulla, kuinka monta numeroa on luvussa 9 Ratkaise yhtälö lg( 0 0) lg( ) = 0 Ratkaise yhtälö lg( ) = lg( ) (Vast = ) 86 Olkoon m, n nollasta eroavia positiivisia kokonaislukuja ja k > Laske yhteen m n logk ja logk Tee sitten päätelmiä Millaisia lukuja ovat toisiinsa n m nähden m/n ja n/m? Mikä sääntö näyttää vallitsevat yleisesti? (8)
Radioaktiivisen isotoopin puoliintumisajalla tarkoitetaan sitä aikaa, jonka kestäessä ns aktiivisten ytimien lukumäärä putoaa puoleen alkuperäisestä Radioaktiivinen hajoaminen onkin aika eriskummallinen tilastollinen luonnonilmiö, johon ei voida ulkopuolisin keinoin (lämpötila, paine, kemiallinen olomuoto) ollenkaan vaikuttaa Jodin isotoopilla, jonka massaluku on, puoliintumisaika on 8 vrk Jodin sanottua isotooppia on eräällä ajanhetkellä näytteessä 88 mg a) Paljonko on jäljellä vrk kuluttua? b) Paljonko on kulunut aikaa, kun jäljellä on 9 mg? c) Montako % hajoaa vuorokaudessa Terolla on kolme kanaa, joista jokainen munii joka päivä yhden munan Viikon kuluttua on joukossa A kolme kanaa ja joukossa B munaa Onko kyseessä funktio, jos liitetään jokaiseen a) kanaan muna, jonka se muni b) munaan kana, joka sen muni Mikä on funktion määritysjoukko D f, kun a) f() = b) f() = / c) f () = Mitä arvoja näin määritellyt funktiot saavat Piirrä funktion kuvaaja, kun a) f () = b) f () = 6 Piirrä yhtälön y = kuvaaja Onko kyseessä funktio?? Ohje: Poista itseisarvot koordinaatiston neljänneksittäin 7 Henkilöauto tankataan Olkoon y polttoainelaskun loppusumma ja tankattu litramäärä Bensiinin hinta on tällöin /litra Minkä matemaattisen yhtälön mukaan a) y riippuu :stä b) riippuu y:stä c) Mitä arvoja voi periaatteessa saada? d) Piirrä koordinaatistoon kuvaaja y = f() 8 Joukkoon A kuuluu tunnettuja romaaneja ja joukkoon B kuuluisia kirjailijoita (8)
A SOTA JA RAUHA RUTTO LINNA TUNTEMATON SOTILAS ALASTALON SALISSA RAUTATIE OIKEUSJUTTU B LEO TOLSTOI FRANZ KAFKA JUHANI AHO ARTO PAASILINNA ALBERT CAMUS VOLTER KILPI VÄINÖ LINNA Yhdistä romaani nuolella sen kirjoittajaan Onko kyseessä funktio? Onko käänteisfunktiota? Onko kuvaus romaanien joukosta kirjailijain joukkoon surjektio? Onko injektio? 9 Määritä funktion f: f() = käänteisfunktio, kun D f = { R 0} Mikä on käänteisfunktion määrittelyjoukko ja arvojoukko Piirrä samaan koordinaa-tistoon f:n ja f - :n kuvaajat 0 Määritä funktion f käänteisfunktio, kun f() =, ja kun f on määritelty pelkästään niillä :n arvoilla, jotka toteuttavat ehdon 0 < < Piirrä käänteisfunktion kuvaaja Tutki derivaatan avulla, mitkä seuraavista funktioista ovat aidosti monotonisia koko R:ssä Määritä sitten näiden funktioiden käänteisfunktiot a) f() = / b) f() = c) f() = Tiedetään, että y = f() on aidosti kasvava funktio Todista nyt, että funktio y = f() on aidosti vähenevä funktio Olkoon f() = 8 Määritä f () Olkoon f reaalifunktio siten, että f() = Määritä f ( h) f () a) f ( ) b)f (f (0)) c) h Olkoon f reaalifunktio siten, että f () =, a) Määritä f(f()) b) Mikä lisärajoitus on tällöin :lle annettava? 6 Olkoon f() = ja g() = Määritä funktiot f o g, g o f, f o f ja vielä g o g (8)
7 Olkoon g() = ja f() = Määritä a) funktion g o f määritysjoukko D g o f ja itse funktion g o f lauseke Mitä arvoja tämä funktio saa Laske g(f()) niin, että lasket ensin, mitä on f() ja sijoitat näin saamasi luvun funktion g lausekkeeseen ja sievennät Totea, että saat saman tuloksen, jos sijoitat suoraan luvun funktion g o f lausekkeeseen b) funktion f o g määritysjoukko D f o g ja itse funktion f o g lauseke Mitä arvoja tämä funktio saa 8 Olkoon (g o f)() = Mikä on sisäfunktio ja mikä on ulkofunktio Millä :n arvoilla a) sisäfunktio, b) ulkofunktio c) itse yhdistetty funktio on määritelty? Mikä on yhdistetyn funktion arvojoukko? d) Mikä on yhdistetyn funktion f o g lauseke (f o g)() Millä :n arvoilla se on määritelty? 9 Olkoon funktio f pariton, ts f ( ) = f () tai f () = f ( ) Osoita, että funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen Ohje: määritä kuvaajan pisteitä (, f()) ja (-, f(-)) yhdistävän janan keskipisteen koordinaatit 0 Sievennä a) b) : c) d) a a e) a : a Huomaa, että jakolaskun merkkinä on kahdessa kohdassa käytetty kaksois-pistettä Sievennä a) 9 b) 8 c)6 d) e) 00 Sievennä a) b) c) d) Kirjoita potenssimuodossa a) b) c) 7 a) Kuinka suuri on sellaisen kuution pinta-ala, jonka tilavuus on 7 m? b) Kuinka suuri on sellaisen pallon tilavuus, jonka pinta-ala on dm? (8)
Ratkaise laskimen avulla yhtälöt ja anna juurien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella: a) = 7 b) y 7 z 9 z 9 = 8 c) = 6 d) = 6z z z 6 Sievennä 7 Päättele eksponenttifunktion ominaisuuksien avulla, siis käyttämättä laskinta, kumpi annetuista kahdesta luvusta on suurempi: a) vai b) vai 8 Kati otti toukokuun lopussa kesäpossun ja syötti sitä hyvin Possun massa kasvoi kesäkuun aikana 88 %, heinäkuussa 77 % ja elokuussa % siitä massasta, mikä sillä kunkin kuukauden alussa oli Kuinka monta prosenttia possu keskimäärin kuukaudessa lihoi? (noin 68 %) 9 Esineen arvo nousee, antiikkia on, ja kaksinkertaistuu 7 vuodessa Missä ajassa esineen arvo kolminkertaistuu? (noin vuotta) 0 Ratkaise yhtälö 9 = ( ) Ratkaise yhtälö = 8 ( ) Hint: Ratkaise ensin Ratkaise yhtälö = Hint: Ratkaise yhtälöstä ensin Joudut toisen asteen yhtälöön Toinen juuri ei sitten kelpaakaan Viime vuosikymmenen alkupuolella tehty autoveron muutos nosti uusien maastohenkilöautojen hinnat pilviin Tämä merkitsi sitä, että ennen verouudistusta käytettyinä hankittujen maastureiden arvo jopa hiukan kohosi vuosien saatossa (8)
Sattui näin Hannele osti tammikuussa 99 käytetyn Toyota maasturin hintaan 000 mk ja myi sen kuusi vuotta myöhemmin hintaan 000 km Heikki osti tammikuussa 99 uuden Cadillacin hintaan 7 000 mk ja myi sen seitsemän vuotta myöhemmin hintaan 000 mk Jos oletetaan sellaisen hypoteettisen mallin pätevän, että Hannelen auton arvo kasvoi vuosittain saman prosenttiluvun mukaan ja vastaavasti Heikin Cadillacin arvo väheni vuosittain oman prosenttilukunsa mukaan, niin milloin suunnilleen autojen arvot olivat yhtä suuret? (luultavasti noin 7 v tammikuusta 99) n Lähtien tiedosta lim = e voidaan todistaa, ettei tässä raja-arvossa n n tarvitse rajoittua kokonaislukumuuttujaan, vaan se voidaan korvata reaalimuuttujalla; toisin sanoen myös vaikka leikillä, että a) lim n n lim kana n b) kana lim lim kana (Vastaukset satunnaisessa järjestyksessä: = e Voidaan todeta = e Määritä tämän nojalla c) lim n, e ja e ) Derivoi: a) f() = ( )ln b) g() = ln c) h() = ln Ilmoita, millä :n arvoilla kukin funktio on määritelty Ilmoita myös, onko kullakin derivaatalla sama määritysjoukko kuin itse funktiollakin on 6 Funktion y = ln kuvaajalle asetetaan sellainen tangentti, joka kulkee origon kautta Mihin kuvaajan pisteeseen se on asetettu?? 7 Funktion y = ln kuvaajalle asetetaan pisteeseen ( 0,ln 0) sekä tangentti, että normaali Nämä suorat rajoittavat y-akselin kanssa kolmion Muodosta kolmion pinta-alan lauseke 0 : n funktiona Tutki, onko tämän kolmion pinta-alalla ääriarvoa tai onko ala kenties aidosti kasvava funktio 0 : n kasvaessa Mihin kuvaajan (y = ln ) pisteeseen tangentti ja normaali on asetettu, jos kolmion ala on yksi pinnan yksikkö? n n 6(8)
8 Derivoi (ln ) a) f () = (ln ) b) g() = 9 Olkoon f() = e Määritä f (), f () ja f () Mikä näyttäisi intuition mukaan olevan funktion f n:s derivaatta? 0 Osoita, että funktiolla f: f() = ln, > 0, on käänteisfunktio Määritä sitten (f ) () (Olisikohan derivaatta = /) f Derivoi yhdistetyn funktion derivoimissäännön nojalla a) ln(a) b) ln(ln) c) ln Millä :n arvolla kukin funktio on määritelty? Derivoi a) f() =, > / b) g() = Milloin g() on määritelty? Entä milloin g ()? Derivoi a a) f () = e b) g() = lg(a ) c) h() = Milloin funktiot ovat määritellyt? Entä derivaatat? (a ) Funktio y = on aidosti kasvava, mutta yhdistetty funktio y = [ f ()] ei välttämättä olekaan Osoita, että funktiolla f: f() = ( 6) on täsmälleen yksi paikallinen ääriarvo Määritä tämä ja sen laatu Mitä arvoja funktio f saa määritysjoukossaan R, Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön tilavuus on V Merkitse särmiön pohjaneliön särmä = a ja särmiön korkeus = h a) Kirjoita tilavuuden lauseke a:n ja h:n funktiona V(a, h) b) Kirjoita särmiön kokonaispinta-alan lauseke a:n ja h:n funktiona A(a, h) c) Lausu a)-kohdan lauseketta hyväksi käyttäen särmiön kokonaispinta-ala pelkästään a:n funktiona A(a) ja tutki sitten derivaatan avulla, millainen on se suorakulmainen särmiö, jonka kokonaispinta-ala on pienin 6 Puoliympyrän sisään asetetaan suorakulmio siten, että yksi sivu 7(8)
on halkaisijalla ja kaksi kärkeä kehällä Määritä suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala, kun puoliympyrän säteen pituus on R Mikä on alan lukuarvo, kun R = m? (A ma =R ) 7 Räystäällä roikkuva jääpuikko on nurin niskoin oleva suora ympyräkartio, jonka korkeus h = 6R On sen verran lämmintä, että jääpuikko sulaa ja sen tilavuus pienenee tunnin aikana yhden kuutiosenttimetrin Oletetaan, että sulava puikko pysyy yhdenmuotoisena alkuperäisen kanssa Millä vauhdilla pienenee kartion pohjaympyrän säde ja millä vauhdilla kartion korkeus sillä hetkellä, kun puikon tilavuus on 0 kuutiosenttimetriä? (dr/dt 0 mm/h) 8 Auto ajetaan illalla klo 00 talliin, jonka lämpötila on 0 C Moottorin sammutushetkestä lukien jäähdytysnesteen (ja moottorin) lämpötila T 6 h seurailee eksponenttifunktiota T(t) = 8e Määritä a) jäähdytysnesteen lämpötila ja b) sen jäähtymisvauhti aamulla klo 600 (T 0 C, dt/dt C/h) t 8(8)