Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti. + 8,4 8,4 tn3 4 tn3 4 4,404... ( m) tn3 73,44 ± 73,44 Vrjo on m pitkä. 8,5697... 8,6 : Kteetti on 8,6 j kulmt 46 j 44
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 09 603 ) Rtkistn yhtälöstä tn5 45 604 Merkitään tskylkisen kolmion korkeutt h:ll j kntkulmi :ll j huippukulmn puolikst β :llä. Rtkistn kntkulm. 45 tn5 Leijn etäisyys mnpinnst on +, 6 45 tn 5 +, 6 59,9... 59 b) Leijn etäisyys Lurist on y. Rtkistn yhtälö,9 cos 6, cos,9 6, 7,545... 7 β 6, cos5 45 y Kulmksi β sdn siten β 90 7,8455...,9 y cos5 45 45 y cos5 y 73,09... 73 j kolmion huippukulmksi β 35,690... 36 kntkulmt ovt 7 j huippukulm on 36 ) Leijn etäisyys mnpinnst on 59 m b) Leijn etäisyys Lurist on 73 m
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 0 605 606 Rtkistn korkeus h (m). Toinen kteetti on sin 66 h 57 h 57 sin 66 h 5,07... Pint-l on siten 57 h 5 tn30 6 6 tn30 3 6 6 3 6 3 3 3 3 30 y 6 A,5 5,07... A knt korkeus 6509,0... 6500 A 6500 m 65 suunniks Hypotenuus on 6 cos30 y 6 y cos30 65 ri 3 6 3 y 4 3 3 3 3 Toinen kteetti on 3 j hypotenuus 4 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 607 Rtkistn korkeus h. h sin 60 0 h 0sin60 3 h 0 h 5 3 Al on 0 30 + 0 A 5 3 5 3 608 0 Merkitään knnn puolikst :llä. h 60 Rtkistn. 30 30 5 tn30 5 tn30 5 5 3 3 Knt on siten 0 3 5 5 3 Kolmion pint-l on 0 3 5 A 5 3 5 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 609 60 y,5,0 Rtkistn yhtälöstä sin,5 sin,5 0,765... 00 7 Kun mäen kltevuus on 7%, niin edettäessä 00 yksikköä vksuorn noustn 7 yksikköä ylöspäin. Rtkistn kltevuuskulm yhtälöstä 0,8 Rtkistn y yhtälöstä cos,5 y 7 tn 00 tn 0,07 4,004... y cos,5,847... 4 y,8 ( km) Kltevuuskulm on 4 0,8 km itään j,8 km etelään.
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 3 6 C 6 Rtkistn kulmt j β suorkulmisest kolmiost ABD. 0 50 30 D A B 6,5 cos 9,8 6,5 D β C Kolmiost DAC sdn sin30 0 cos 6,5 9,8 48,450... 48,5 A 9,8 B 0 sin30 Kulmksi β sdn 0 β 90 4,549... 4,5 0 : 48,5 j 4,5 AC 0
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 4 63 ) Rtkistn ensin kteetti. sin 0 Toislt 0 Kteetit ovt 5 j 4 5. b) y cos 0 sin 5 joten sdn yhtälö 0 5 y cos cos 4 5 0 5 5 5 0 5) 0 5 0 5 5 5 : ) 5 j 4 5 b) 5 5 Rtkistn kteetti y. + y 0 y y y 00 5 00 4 5 80 y ± 80 y 4 5
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 5 64 ) Kulmsekunti on, joten 0,75. 3600 3600 Sdn yhtälö M 8,5 0 Aurinko,5 0 sin sin,5 0 8 8 8,5 0 sin 8,5 0 0,75 sin 3600 Alf Centuri b) Kulmsekunti vstv etäisyys on 3600,5 0 sin 3600 y 8,5 0 y sin 3600 8 y 3 3,093 0 (km) Tämä etäisyys vst siis yhtä prseki ( pc). Siten Alf Centurin etäisyys Mst prsekein on,33...,3 (pc) y. : ) 3 4, 0 km b),3 pc 3 3 4,5 0 4, 0 (km)
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 6 65 c b 90 c sin cos( 90 ) ) sin j cos( 90 ) Kun on suorkulmisen kolmion terävä kulm, niin toinen terävä kulm on 90. Merkitään kolmion sivuj kuvn mukisesti., joten c 66 5 β 3 A β γ 5 m Suorkulmisen kolmion ABC terävä kulm D C y B z b b, joten c c cos sin( 90 ) b) cos j sin( 90 ) γ β 3 5 7. Suorkulmisest kolmiost ABC rtkistn j y. c) sin c tn j c, joten b cos b c b b c sin tn cos cos7 5 5cos7 4,888...
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 7 y sin 7 5 y 5sin 7 y,88... Rtkistn z suorkulmisest kolmiost ACD. 67 C tn Puun korkeus on z z tn z 5cos7 tn 5 z 6,94... y+ z,88... + 6,94... 8,770... 8,8 (m) 8,8 m A,7 8, Suorkulmisest kolmiost ADC sdn tn,7 h h tn,7 Suorkulmisest kolmiost DBC sdn tn8, h y h D 50 y B y h tn8,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Kosk + y 50, sdn h rtkistu yhtälöstä 68 h h + 50 tn,7 tn8, h + 50 tn,7 tn8, 50 h + tn,7 tn8, h 44,0... 44 h 68 5,8,8 : 44 m korkemmll +5 Suorkulmisist kolmioist sdn yhtälöt tn 68 h h tn 68 h tn5 + 5 h ( + 5)tn5
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Etäisyys sdn rtkistu yhtälöstä Sdn tn 68 ( + 5)tn5 tn 68 tn5 + 5tn5 tn 68 tn5 5tn5 (tn 68 tn5 ) 5tn5 5tn5 tn 68 tn5 6,064... h tn 68 6,064...tn 68 39,760... 40 (m) Tornin korkeus on siten h +,8 39, 760... +,8 4,560... 4, 6 Tornin korkeus on 4,6 m. 69 AL 0 km R 6400 km Lsketn näkyvyyslue, eli kren AB pituus b. Keskuskulm sdn yhtälöstä R cos R + 0 6400 cos 640 3,00... 3, Kren AB pituus on b π R 360 3, π 6400 360 357,538... < 400 joten Priisi ei ole krell AB, eikä lentokoneest voi nähdä Priisi. Ei voi.
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 0 60 6 Lsketn kulm. R cos R + 8 6400 cos 6400 + 0,008 0,0905... siten 0,8... L E P I H O b 7,4 4,5 3000 A 00 00 B 00 Kren pituus on V s π 6400 0,3... 0 ( km) 360 tn4,5 b OBH tn7,4 OAH btn4,5 tn7,4 0 km etäisyydellä toisistn mnpint pitkin mitttun b tn4,5 tn7,4 b 3,8667 3,90
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu B 6 b 3000 O A b + 3000 3,8667 3,90 + 3000 3,8667 3,90 3000 3000 3,8667 3,90 ± 3000 3,8667 3,90 373,77 ( m) HV + 00 573,77 ( m) 570 m sin 45 sin 60 3 b 3 3 b 3 6 sin 45 3 3 3 6 6 6 6 sin 60 3 3 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu tn 45 c 3 c 3 3 3 tn 45 63 Piirretään tssivuinen kolmio j siihen korkeusjn. Pythgorn luseen mukn h + ( ) tn 60 c 3 c 3) 3 3 3 3 tn60 3 3 6 h 4 h 3 h ± 3 Siis c c+ c 3 + 6 ) sin30 AC 6, BC 6, AB 3 + 6 cos30 tn30 h 3 3 h 3 3 3 sin30, cos30, tn30 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 3 b) sin 60 h 3 3 65 cos60 h 3 tn60 3 3 sin 60, cos60, tn 60 3 Kosiniluseen mukn 5 8 + 8 cos 5 64 + 76cos 64 4 9 Rtkistn kosiniluseell. 4 + 9 4 9 cos00 09,50... ± 09,50... 76cos 60 60 cos 76 4,6 60 76 cos 4,6997... 4,6 0 0,464... 0
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 4 66 67 00 50 700 30 Kosiniluseell sdn 00 + 700 00 700 cos50 3,3849... 0 6 ± 3,3849... 0 839,85... 800 800 m 6 Kosiniluseell sdn 7 + cos60 7 4+ 4 3 0 ± ( ) 4 ( 3) ± 4 3 ti ( kelp) ( ei kelp) 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 5 68 69 Kolmion l on A 4sin6 9,448... 9,4 9,4 Pint-l on 56, joten sdn yhtälö 56 4 sin 45 56 7 56 8 7 8
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 6 630 63 Siniluseen mukn sin30 0,3 sin75 sin75 0,3 sin30 Kolmion l on 8, joten sdn yhtälö 4 7 sin 8 4sin 8 8 sin 4 sin 8 4 34,849... 35 Suplementtikulmien sinit ovt yhtä suuret, joten kulmksi kelp myös 80 34,849... 45,50... 45 5,3 0,3 sin30 sin75 5,336... 5,3 35 ti 45
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 7 63 Siniluseen mukn 633 8,7 cm 0 sin sin 65 0 sin sin 65 sin 65 sin 0 sin 0,9969... 85,55... ti 80 85,55... 86 ti 94 86 ti 94 ) Siniluseen mukn 8,7 3, sin sin0 3, sin 8,7 sin0 sin 0,570789... 34,805... ti 80 34,805... 45,947... Kosk 34,805... + 0 < 80 j 45,947... + 0 > 80, niin vin 34,805... kelp. Siis 35 b) Sivu voidn rtkist joko -kohdn tulost hyödyntäen käyttäen joko sini- ti kosinilusett (tp) ti sitten ilmn - kohdss lskettu kulm käyttäen kosinilusett (tp ).
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Tp Sivun vstinen kulm β on 80 0 5,947... Siniluseen mukn 8,7 sin34,805... sin 5,947... sin34,805... 8,7 sin 5,947... 6,48847... 634 Kulm γ 80 7 49 59 Rtkistn sivut j y siniluseell. 5 sin 59 sin 49 sin 59 5sin 49 5sin 49 sin 59 45,784... 46 (m) y C γ 6,5 ( cm) Tp Kosiniluseen mukn 3, + 8,7 8,7 cos0 + 8,7 98,55 0 8,7 8,7 4 98,55 ± ) 35 8,7 ± 469,89 5,88... ti 6,488... 6,5 ( ei kelp) ( kelp) b) 6,5 cm 5 y sin 59 sin 7 y sin 59 5sin 7 5sin 7 A y sin 59 y 57,6957... 58 (m) Pint-l on 49 7 5 A 5 57,6957...sin 49 3,3... 00 (m : BC 46 m, AC 58 m j l on ri ) B
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 9 635 Kosiniluseell sdn 636 33 + 35 33 35 cos35 76 6,47... 49,7... 40 ( km) 45 Kosiniluseell sdn 6 40 km 6 + 6 cos45 36 + 4 4 44 4 0 ± 0 5 Pint-l on A 6 sin 45 6 6 : 5, 6
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 30 637 Lsketn suurin kulm 638 3,4 7,5 + 0,8 7,5 0,8 cos 79,56 56,5 + 6,64 6cos 6cos 6,67 6,67 cos 6 9,35... 9 Lsketn pienin kulm 7,5 3,4 + 0,8 3,4 0,8 cos 89,44cosγ 39,95 39,95 cosγ 89,44 Kolms kulm on γ 34,00... 34 80 9,35... 34,00... 53,64... 54 Kolmion kulmt ovt 34, 54 j 9 γ Tp sin 6 sin 47 sin 6 sin 47 sin 7 sin 47 0,034... sin6 sin 7 siniluse sin 47 sin 7 9,5 ( m ) sin6 9,5 m
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 3 Tp tn 7 639 tn 7 : tn7 tn 47 tn 7 b b btn 47 : tn 47 b tn 47 Kolmiost ABD sdn lävistäjä BD kosiniluseell BD BD 07 + 48 07 48 cos53 757,56... Kosk + b, sdn yhtälö BD ± 757,56... + tn 7 tn 47 tn 7 tn 47 tn 47 + tn 7 tn 7 tn 47 tn 47 + tn 7 tn 7 tn 47 tn 7 tn 47 tn 47 + tn7 9,5 ( m) 9,5 m BD 87,0... 87 ( m) Lävistäjä AC sdn kolmiost ABC kosiniluseell AC AC 07 + 48 07 48 cos7 9934,84... m AC ± 9934,84... AC 4,9... 4 ( m)
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 3 Suunnikkn l on kksi kert kolmion ABD l A 07 48 sin 53 40,79... A 40,79... m 400 m 0, 4 h Lävistäjät ovt 87 m j 4 m. Pint-l on 0,4 h. b + 4,6 4,8 4,8 4,6 + 4,8 4,8 3 cos30 + 4,8 3+,88 0 3 4,8 3 ± 4,8 3 4,88,4 3±,4 3 4,88 640 Yksikkönä on senttimetri. ±,4 3,4 3,88 6 0,8 4,8 b 4,6 ±,4 3,4 3,88 <,4 3, 4 3,88 0,3... 0,8 ei kelp Kosiniluseell sdn +,4 3,4 3,88 8,08 kelp Välien määrä on 0,0... 0 0,8 Vsemmll puolell on yhteensä kurke, joten johtjkurjen jälkeen on 0 kurke. 0 kurke.
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 33 64 Kolmion pint-l on A bsinγ. Huippukulmn γ lskemiseksi sdn yhtälö ) Jos kulm γ 50, niin 50 DCA 75 CAD 90 75 5 88sin γ 6 sinγ γ 30 ti γ 50 ) Jos kulm γ 30, niin 30 BCD 5 DBC 90 5 75 Merkitään DB. cos75 8 Suplementtikulmien sinit ovt yhtä suuret Merkitään AD. cos5 8 8cos5 7,77... AB 5,454... AB 5,5 ( cm) 8cos75,070... AB 4,4... AB 4, ( cm) Huippukulm on 30 j knt on 4, cm ti huippukulm on 50 j knt 5,5 cm.
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 34 64 TK 800 m 0,8 km 643 Kolmion l on TA 500 m,5 km ATK 80 70 0 Kosiniluse 0,8 +,5 0,8,5cos0 3,70... ±,96... ( km) Siniluse sin0,5 sin,5 sin0 sin 0,73...,96... 47,03... 47 kelp ti 80 47,03... 3,96... 33 33 ei kelp, sillä 0 + 33 > 80 A 45sin5 0sin 5 4,6... Määritetään kulm niin, että l on,a. 45sin,0sin5 sin,sin 5 sin 0,507... 30,473... ti 49,56... Molemmt kulmt kelpvt, sillä + 5 < 80. Kulm on siis ksvtettv 30,473... 5 5,473... 5 49,56... 5 4,56... 5 47 5 ti 5
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 35 644 c b b + cosγ c ( ± ) + b b cosγ c ± + 3,5 6,0 3,5 6,0cosγ ti γ 08,57... γ,4... 3,5 6,0 siniluse sin 5 sin β 3,5 sin β 6,0 sin 5 6,0 sin 5 sin β 3,5 suplementtikulmt! β 46,4... ti β 80 46,4... 33,57... γ 08,57... ti γ,4... c 7,85... ( cm ) ti c 3,0... ( cm) Kolmion l sdn kvll A bcsin c 7,85... A 6,0 c sin 5 ti c 3,0... A 9,95... cm ti A 3,83... cm Sivu c voidn lske joko sini- ti kosiniluseell: c 7,9 cm c 3,0 cm β 46 β 34 ti γ 09 γ A 0,0 cm A 3,8 cm
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 36 645 Vuorelt ktsottun piste A on pohjoisess j piste B koillisess, joten kulm AVB 45 j edelleen kulm VBA 80 70 45 65. Sovelletn sinilusett kolmioon VBA. 4,00 sin 65 sin 45 4,00sin 65 sin 45 Kolmiost VAH sdn h tn5 h tn5 4,00sin 65 h tn5 sin 45 h,3737... h,37 ( km) 646 Kosiniluse 6,0 9,4 + 4,6 9,4 4,6cos 9,4 4,6cos 9,4 + 4,6 6,0 9,4 + 4,6 6,0 cos 0,850... 9,44,6 3,77... Siten kulmksi β sdn β 80 3,77... 48,... Siniluse 4,6 sin β sin Huipun korkeus on 370 m 4,6 sin48,...,64... ( km) sin km
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 37 647 + b b cos 40 kosiniluse Lsketn ensin j b. 500 sin50 sin 7 40,733... b 500 sin5 sin 47 b 69,609... Siis ± + cos40 b b 404,7... siniluse siniluse 40,733... b 69,609... 648 Olkoon r ympyrän säde. 30 kehäkulm vstv keskuskulm on 60. Kolmiot AOD j DOC ovt siten tssivuisi j AD DC r. Kolmioist ADB j DCB sdn yhtälöpri r + 6 6 cos30 r + 8 8 cos30 ( ) 3 r + 6 6 3 r 8 + 8 0 8+ 3 3 8 : 3 8 4 4 3 3 3 3 400 ( m) 400 m Jänne on 4 3 3
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 38 649 700 sin ' r r sin 700 r r 700 sin 700 sin 40,535... Kyseinen piste on kolmion keskinormlien leikkuspiste. Tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Tehtävänä on siis määrittää ympyrän säde. r 538,5... r 500 ( m) Rtkistn kulm. 700 500 + 000 500 000 cos 500 000cos 500 + 000 700 500 + 000 700 cos 0,76 500 000 40,535... Sm krt vstvt kehäkulmt ovt yhtä suuret. Siirretään kolmion kärkeä A niin, että A' C on ympyrän hlkisij. Tällöin kulm ' j kulm A' BC on puoliympyrää vstvn kehäkulmn 90. Suorkulmisest kolmiost A' BC sdn Kokoomrsti on 500 metrin päässä rsteist.