Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1
Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LOJEN LSKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pintaalojen laskeminen keskeisin osa matematiikasta. Sitä tarvitaan mm: - Kun arvioiaan maalauskohteen ajan- ja materiaalien kulutusta - Kun lasketaan maalaustyöstä, jonka hinta perustuu maalattuun pinta-alaan - Kun lasketaan työntekijän palkkaa silloin kun palkkaan vaikuttaa maalattu pinta-ala - Kun lasketaan pinnoituksessa tarvittavaa sähkövirtaa. Pinta-ala on pituusmitta toisessa potenssissa. Yleisin käytettävä pinta-alan yksikkö on m eli neliömetri. Sitä käytetään mm. - Ilmoitettaessa asuintilojen pinta-aloja - Laskettaessa maalattavia pinta-aloja Muita yleisesti käytettäviä yksiköitä ovat m, cm, mm ja km. Maapinta-aloista käytetään usein myös yksiköitä hehtaari ( ha ) ja aari ( a ). 1 ha = 10000 m ja 1 a = 100 m Yksiulotteisuus Pituusmitta on yksiulotteinen. Esim. kuvan viivan pituus on 0,08 metriä. MONIMUOTOISEN PINNN PINT-L Monimuotoisen pinnan pinta-alaa ei voia laskea laskukaavalla, vaan sen pinta pitää paloitella pieniin osiin ja laskea osien pintaalat yhteen. Esimerkki 1. Kaksiulotteisuus Pinta-ala on kaksiulotteinen. Pinta-alan suuruus riippuu siitä miten ison alan pinta peittää. Esim. kuvan laatikon sivun pinta-ala on 0,00 m. Pinta-ala voiaan laskea vain pienissä osissa, eikä koskaan täysin tarkkaan. Mitä pienempiin osiin ala paloitellaan, sitä tarkempi tulos saaaan. Pinta-ala lasketaan laskemalla yhteen neliöien määrä. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla
Copyright Isto Jokinen 01 SÄÄNNÖNMUKINEN PINT-L Säännönmukaisten pintojen pinta-alat voiaan laskea tarkasti laskukaavojen avulla. Säännönmukaisia pintoja ovat mm: neliö, suorakulmio, kolmio, suunnikas, puolisuunnikas, ympyrä, lieriö, kartio ja pyramii MITTYKSIKÖT PINT- LLSKUISS Piirustuksissa mitat ilmoitetaan millimetreinä ellei toisin ole ilmoitettu. Pinta-alaa laskettaessa on millimetrimitat muutettava ennen pinta-alan laskemista siihen pituusyksikköön jonka neliönä pinta-alan tulos halutaan. Esimerkiksi jos mitat on annettu millimetreinä ja tulos halutaan neliömetreinä, niin millimetrimitat muutetaan ensin metreiksi ja tämän jälkeen pinta-ala lasketaan näistä metrimitoista. Taulukko. Mittayksiköistä toisiksi: MILLIMETREISTÄ METREIKSI 1 m = 1000 mm, joten millimetrimitta muutetaan metrimitaksi jakamalla se tuhannella. Esimerkkejä muunnoksista alla olevassa taulukossa. mm 1000 1800 1500 110000 85,5, 1,8 15, 110 0,85 0,05 0,000 MITTYKSIKÖISTÄ TOISIKSI Pituusyksikköjä cm ja m käytetään yleisesti, vaikka niien käyttöä tulisi pyrkiä välttämään. Taulukossa.yleisimpiä mittayksikköjä muunnettuna metreiksi. m 1 km m m cm mm um 18 10-6 0,18 10-0,0018 0,018 0,18 180 4, 10-0,004 0,04 0,4 4, 400 15 10-0,015 0,15 1,5 15 1500 0, 10-0, 0 00 00000 0,0015 1,5 15 150 1500 1,5 10 6 0,01 1 10 100 1000 1 10 6 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla
Copyright Isto Jokinen 01 NELIÖN PINT-LN LSKEMINEN Neliössä kaikki sivut ovat saman mittaisia ja kulmat suoria. SUORKULMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmiossa kulmat ovat suoria ja sivuparit keskenään samanmittaisia. Neliön pinta-ala lasketaan kaavalla: Suorakulman pinta-ala lasketaan kaavalla: a a Esimerkki. Neliön sivun pituus on, metriä. Mikä on neliön pinta-ala? Esimerkki 5. Suorakulmaisen pihan mitat ovat 1500 8000. Mikä on pihan pinta-ala?,m 10,4m 1,5m 8m 50m Esimerkki. Rakennuspiirustuksessa vaatehuone on neliön muotoinen ja sivujen mitta on 800. Mikä vaatehuoneen pinta-ala on yksikössä m? 0,8m 0,64m KOLMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmaisessa kolmiossa on suorasta kulmasta alkavat kateetit ja niien toisia päitä yhistävä hypotenuusa. Esimerkki 4. Neliönmuotoisen pihavaraston pinta-ala voi olla 9,9 m. Mikä on varaston sivujen pituus? a 9,9m, 146m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 4
Copyright Isto Jokinen 01 Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 6. a Suorakulmaisen kolmion sivujen pituuet ovat 100 ja 800. mikä on kolmion pinta-ala? Suunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 8. a c Suunnikkaan sivujen pituuet ovat: a=180, =60 ja c= 60. Mikä on suunnikkaan pinta-ala? 1,m Esimerkki 7. 0,8m 0,48m 0,18m 0,01m 0,6m 1,m 0,06m Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 18 m ja korkeus 1,5 m. Mikä on kolmion leveys? a a 18m 4m 1,5m PUOLISUUNNIKKN PINT- LN LSKEMINEN Puolisuunnikkaassa sivut a ja c ovat samansuuntaisia. Sivu on suorassa kulmassa sivuihin a ja c nähen. Kuva: Puolisuunnikas SUUNNIKKN PINT-LN LSKEMINEN Suunnikkaassa sivut a ja c ovat keskenään samansuuntaisia. Sivu on sivujen a ja c etäisyys. Puolisuunnikkaan pinta-ala voiaan laskea kaavalla: a tai a c : a Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 5
Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 9. Puolisuunnikkaan mitat ovat: a=1500; =800;c=1000. Mikä on puolisuunnikkaan ala? a c 1500 1000 500 0,8m 0,5m 1,5 m 0,8m 1m YMPYRÄN L Ympyrän pinta-ala voiaan laskea joko ympyrän halkaisijan tai säteen avulla. Ympyrän säe ( r ) on ½ ympyrän halkaisijasta ( ). Esim. 10. Ympyrän halkaisija on 5 m. Mikä on sen pinta-ala? 5m 4 YMPYRÄN PIIRI Ympyrän piiri ( P ) on: P 96m Esim. 11. Ympyrän ala on 10 m. Mikä on sen halkaisija ja piiri? 4 4 10m 4 1.6m tai 4 r r P 8, 8m Esim. 1. Ympyrän piiri on 400m. Mikä on ympyrän pinta-ala, säe ja halkaisija? P P 400m 17, m 17,m r 6, 66m s r 6,66m 17 m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 6
Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LYKSIKKÖJEN MUUNTMINEN Pinta-alaa laskettaessa on laskun tulos annettava siinä yksikössä missä se halutaan. Jos yksikköä ei erikseen mainita annetaan vastaus neliömetreinä. Metallipinnoitustöissä käytetään usein yksikköä m. Muita käytetään hyvin harvoin. Muunnettaessa pinta-alayksikköä pilkku siirtyy aina kahen numeron yli. m m cm mm 0,01,1 10 1 10 0,7 7 700 70 10 1, 10 1000 1, 10 6 45 4500 45 10 4,5 10 6 607 60700 6,07 10 6 6,07 10 8 PINT-LN JKMINEN Usein pinta-alaa ei voia laskea suoraan koska se voi muoostua useasta osasta tai sitten ulkomitoista pitää vähentää pinnan osia. Esim. 1. Pinta jaetaan osiin jotka voiaan laskea erikseen. Piirustuksiin merkitään tarpeellinen määrä mittoja, mutta ei kaikkia. nnettujen mittojen avulla voiaan kuitenkin loput mitat laskea. Tässä tapauksessa 1 voiaan laskea suoraan annetuista mitoista. ja :n laskemiseen sen sijaan tarvitaan sivujen mittojen omaa laskemista. :n pystysuoramitta on,m-,8m. :n pystysuoramitta on,m-,8m ja vaakasuoramitta 4,5m-,7m. Lattian pinta-ala on: 1 1,5m,8m 1, 6 4 m,7m 0,4m 1, 08m 1,8 m 0,4m 0, 7m 1,6m 1,08m 0,7m 14,4m OSIEN VÄHENTÄMINEN PINT- LST Maalattavassa tuotteessa voi olla reikiä joita ei maalata. Huoneien seinissä voi olla ovia ja ikkunoita joita ei lasketa maalattavaan pintaalaan. Tällöin on järkevää laskea ulkopintaala ja vähentää siitä pinnat joita ei maalata. Esim. 14. Laske kuvan levyn pinnoitettava pinta-ala. Musta osa on aukko pinnassa. Huoneen lattia jaetaan kolmeen osaan joien pinta-alat voiaan laskea erikseen laskukaavojen avulla. Lopuksi osat summataan yhteen. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 7
Copyright Isto Jokinen 01 ulkomitat aukko ulkmitat 0,m 0,5m 0,075m Esimerkki 15. Laske kuution pinta-ala yksiköissä m ja m kun sen sivun pituus on 600. a) Yksikössä m : aukko 0,1m 0,15m 0,015m 6 0,6m,16m 0,06m 0,075m 6m 0,015m Eellisissä esimerkeissä laskettavat pinta-alat olivat yhessä tasossa ( tasogeometria ). KOLMIULOTTEISET KPPLEET Hyvin usein jouutaan laskemaan pinta-aloja kolmiulotteisista kappaleista. Näitä ovat mm. kuutio, suorakulmainen särmiö, kiila, pyramii, pallo, puolipallo ja lieriö. Pintaaloja lasketaan usein myös profiileista joita ovat mm. lauta, lista, putki ja erilaiset palkit. KUUTION PINT-L Kuutiossa on kuusi pintaa jossa kaikki sivut ovat saman mittaisia: ) Yksikössä m : 6 6m 16m Esimerkki 16. Kuution pinta-ala on 1,15m. Mikä on kuution sivun pituus? kuutio kuutio 6 a a 0, 45m 6 SUORKULMISEN SÄRMIÖN PINT-L Suorakulmaisessa särmiössä on kolme keskenään ienttistä sivuparia ja yhteensä 6 sivua. Kuva. Suorakulmainen särmiö Kuva: Kuutio Suorakulmaisen särmiön sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on. Kuution sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on: 6 a a a c c Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 8
Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 16: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä m. Esimerkki 18. Laske kuvan kiilan sivujen kokonaispinta-ala yksikössä m. 1,5 m (1m 0,4m 1m 0,4m) 5m 1,5 m Esimerkki 17: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä m. Kolmiosärmiö on kuvattu piirustuksessa yhensuuntaisprojektioina. Sivuja vasemmalta, päältä ja alta on kutakin vain yksi. Sivut eestä ja takaa ovat keskenään samanlaisia. lat lasketaan erikseen : vasemmalta m 0,5m 1,5m alta m 0,5m 1m,5m (6m 10m),5m 00m 6m 10m KOLMIOSÄRMIÖN PINT-L Kolmiosärmiöllä tarkoitetaan suorakulmaista särmiötä joka on puolitettu kahteen osaan niin, että sivusta katsottuna se näyttää kolmiolta. Sillä on viisi pintaa, joista kolme on suorakulmion muotoisia ja kaksi kolmion muotoisia. Jos kolmion hypotenuusan mittaa ei ole annettu on se laskettava Pythagoraan - lauseen avulla, jotta yhen suorakulmio pinta saaaan laskettua. Kahen muun suorakulmion ja kolmioien pinta-alat saaaan laskettua suoraan. eestä takaa m m 6m päältä on hankalampi laskea, koska se on c 0,5 m. Mittaa c ei ole annettu. Se voiaan laske ainoastaan Pythagoraan lauseen avulla, joka on: c:ksi saaaan: c a c m m 1m, 6m päältä,6m 0,5m 1, 8m yhteensä ( 1,5 1 6 1,8) m 10,m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 9
Copyright Isto Jokinen 01 LIERIÖN PINT-L Kuva: Lieriö Vaipan pinta-ala lasketaan kaavalla: r h Esimerkki 0. Mikä on kartion vaipan pintaala kun sen halkaisija on 85 cm ja korkeus 1,15 m. 0,45m 1,15m 1,54m PLLON PINT-L Kuva: Pallo h Lieriön pituuen symolina käytetään usein myös l:ää ja s:ää. Putken pinta-ala on sama kuin lieriön pinta-ala. Esimerkki 19. Putken ulkohalkaisija on 150 ja pituus 1 metriä. Mikä on putken pinta-ala? 0,15m 1m 5,65m Pallon pinta-ala lasketaan kaavalla: KRTION PINT-L 4 r Kuva. Kartio Esimerkki 1. Mikä on pallon pinta-ala kun sen halkaisija on 1 m? 4 0,5m,14m Esimerkki. Mikä on pallon säe jos sen pinta-ala on 00 m :ä? 4 r Kartiolla on vaippa ja pohja. Pohjan pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alana ( = r ). 00m r, 99m 4 4 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 10
Copyright Isto Jokinen 01 PROFIILIEN PINT-LT Profiilien pinta-ala lasketaan kertomalla niien piiri profiilin pituuella. Usein piiri on annettu yksikössä mm ja pituus yksikössä m. Profiileilla on myös päät, joilla on oma pintaalansa. Päien pinta-ala on kuitenkin sivuihin nähen niin pieni ettei sitä tarvitse laskea ellei erikseen pyyetä. Esimerkki. Kuvan lautoja on 5 kpl. Mikä on lautojen pinta-ala? Päitä ei tarvitse laskea. a = 50, = 00, c = 8 P 0,5m 0,08m 0, 556m lauta 0,556 m,m 1,848 m I-PLKIN PINT-L Kuva: I-palkki I-palkin piiri voiaan laskea kaavalla: P 4 a Laskutapa ei anna aivan tarkkaa tulosta, koska se ei ota huomioon palkin seinämän paksuutta. Jos tuloksesta vähennetään kertaa palkin seinämän paksuus on tulos tarkka. Yleensä eellinen laskukaava antaa maalaustai pinnoituspinta-alojen laskentaan riittävän tarkan tuloksen. Esimerkki 6. I-palkin korkeus on 00, leveys 150 ja pituus 6m. Mikä on palkin ala? Päien alaa ei huomioia. P 4 0,15m 0,m 1m kok 5 1,848 m 45,9m 1m 6m 6m Esimerkki 4. Putken ulkohalkaisija on 14 mm ja pituus 1 m. Mikä on putken pinta-ala yksikössä m? 0,14m 10m 5,8m U-PLKIN PINT-L Kuva: U-palkki Esimerkki 5. Putken pinta-ala on 10m ja sen pituus on 50 metriä. Mikä on putken halkaisija? putki putki l l 10m 50m 6,7 mm U-palkin piiri voiaan laskea kaavalla: P a 4 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 11
Copyright Isto Jokinen 01 TILVUUSLSKENT Esineet ovat aina kolmiulotteisia. Kolmiulotteisuuesta johtuen niillä on tilavuus. Yksinkertaisten muotoisten esineien tilavuus voiaan laskea laskukaavojen avulla. Monimuotoisten tilavuutta ei voia suoraan laskea. Tilavuuen yksiköt ovat pituusmittoja kolmannessa potenssissa; esim. m, m, cm ja mm. Tilavuusyksikköjä jouutaan usein muuntamaan. Muunnoksissa pilkku siirtyy aina askelta. Esimerkiksi 00 m on 0, m ja myös 00000cm. Kolmiulotteisia muotoja KUUTION TILVUUS Kuution tilavuus: V = a. Esimerkki 6. Kuution sivun pituus on 100. Mikä on sen tilavuus yksikössä m? Vastaus: Pituusmitta muutetaan yksikköön metri, jolloin vastaus saaaan suoraan yksikössä m. V=(1,m) =,197m Esimerkki 7. Kuution tilavuus on 400 litraa. Mikä on kuution sivun pituus. a 400m 7, 7m Tilavuusmittojen muuntaminen m 0,0015 m ( l ) 000 1,5 cm ( ml ) 000000 1500 mm ( µl ) 0000000 00 1500000 SUORKULMISEN SÄRMIÖN TILVUUS 0,000004 9 0,0049 4,9 4900 Yleisimmin käytettyjä yksiköitä ovat m, l ja ml. Suorakulmaisen särmiön tilavuus lasketaan kertomalla sivujen pituuet keskenään, eli V a c Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1
Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 8. Laske suorakulmaisen särmiön tilavuus kun: a = 100, = 600 ja c = 800 V 1,m 0,6m 0,8m 0,576m KOLMIOSÄRMIÖN TILVUUS Esimerkki 0. Lieriön korkeus on 800 ja halkaisija 400. Mikä on sen tilavuus yksikössä litra ( m )? r h V m; 8m 100,5m m 100l 8m Kolmiosärmiön tilavuus lasketaan kaavalla: V L h Esimerkki 9. Kuvan kolmiosärmiön mitat ovat: L = 0000, = 8000,h = 4000 Mikä on sen tilavuus? V 0m 8m 4m LIERIÖN TILVUUS 0m PLLON TILVUUS Pallon tilavuus lasketaan kaavalla: V pallo tai V pallo 4 6 r Esimerkki 1. Pallon halkaisija on 50 mm. Mikä on sen tilavuus litroina? V pallo 0,5m 6 0,065m Esimerkki. Pallon tilavuus on 100 l. Mikä on sen halkaisija? Lieriön tilavuus lasketaan kaavalla V r h V pallo 6 V 6 100m 6 5,76m 576mm Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1
Copyright Isto Jokinen 01 KRTION TILVUUS Esimerkki 5. Lattian pinta-ala on 8 m. Lattian päälle levitetään mm tasoitetta. Mikä on tasoitteen tilavuus litroina? V 8m 0,00m 0,04m 4l Laskettaessa tasoitteien kulutusta voiaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus ( mm ) Kartion tilavuus saaaan laskukaavalla: V kartio 1 Esimerkki. Kartion korkeus on 800 ja halkaisija 600. mikä on sen tilavuus litroina? 6m 8m V kartio 75, 4m 1 Esimerkki 4. Kartion tilavuus on 10 litraa ja halkaisija 0 cm. Mikä on sen korkeus? V kartio h h V 1 h 1 10m 1 h 4,4m 44mm m Esimerkki 6. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 4,5 mm. Paljonko tasoitetta kuluu litroina? V 1m 4,5mm 54l MLIKLVON TILVUUS Pinnassa olevan maalikalvon tai metallipinnoitteen tilavuus on sen peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuuella. Esimerkki 7. Teräslevyjen pinta-ala on 80 m. Niien päälle levitetään 0 µm sinkkiä. Mikä on sinkin tilavuus litroina? V 80m 0,0000m 0,004m Laskettaessa maalien ja metallipinnoitteien kulutusta voiaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus (µm )/1000 Esimerkki 8. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 150 µm maalikerros. Paljonko maalia kuluu litroina? PINNOTTEIDEN TILVUUS Pinnassa olevan pinnoitteen tilavuus on sen peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuuella. 1m 10 m V 1, 44l 1000 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 14
Copyright Isto Jokinen 01 PROSENTTILSKENT Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,4 4 0,01 1, 1,00 100, 1/5 100/5=4 /45 51,1 Tarkista laskimella tulos 51,1 %. PROSENTTIRVON LSKEMINEN Esimerkki 41. Laske prosenttia luvusta 640. 100 640 04,8 Esimerkki 4. Paljonko on 14 %:a 0 kg:sta? 14 0kg 44, 8kg 100 PROSENTTILUVUN LSKEMINEN Esimerkki 4. Kuinka monta prosenttia 55 kg on 790 kg:sta? 55kg 790kg 100% 6,96% Esimerkki 44. Kuinka monta prosenttia 75 mm on 65 cm:stä? Ennen laskutoimitusta yksiköt on muutettava samoiksi. 75mm 650mm 100% 11,54% Tulos olisi sama jos yksiköt olisivat olleet cm:nä. PERUSRVON LSKEMINEN Esimerkki 45. Mistä rahamäärästä 15 %:a on 8 euroa? 8e 5, e 0,15 LISÄTTY RVO Esimerkki 46 Lisää 0 kg:aan 1 %:a. 0kg 0kg 0,1 57, 6kg Lisäys voiaan laskea myös seuraavasti: 0 kg 1,1 57, 6kg Eellisessä kertoimen 1,1 luku 1 vastaa alkuperäistä arvoa ja 0,1 lisäystä. Esimerkki 47. Lisää 860 euroon 4 %:a. 860 e 1,4 1066, 4e Esimerkki 48. Lisää 45 grammaan 140 %:a 45 g,4 108g tai toisella laskutavalla: 45 g 45g 1,4 108g Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 15
Copyright Isto Jokinen 01 Käytä sitä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. VÄHENNETTY RVO Esimerkki 49. Vähennä 480 eurosta 4%:a. 480 e 480e 0,4 64, 8e Toisella tavalla: 480 e 0,76 64, 8e Eellisessä tavassa kerroin 0,76 on saatu vähentämällä luvusta yksi luku 0,4. Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. Jos vähennetystä arvosta halutaan laskea alkuperäinen arvo, saaaan se jakamalla vähennetty arvo vähennyskertoimella. Esimerkki 50. lkuperäisestä massasta on vähennetty 64 %:a jolloin on saatu tulos 100 kg. Mikä on ollut alkuperäinen massa? 100kg 611, 1kg 1 0,64 tai 100kg 611, 1kg 0,6 Käytä laskutapaa joka tuntuu helpommalta. Laskiessa on tärkeää ymmärtää kysymyksen muoosta mikä on alkuperäinen arvo. Esimerkki 51. uton hinta laski omistuksen aikana ostohinnasta 14000 e myyntihintaan 8500 e. Paljonko auton arvo laski prosentteina? 14000e 8500e 14000e 100% 9,8% Esimerkki 5. Kunnostettavan huonekalun ostohinta oli 45 e ja myyntihinta oli 80 e. Paljonko huonekalun arvo nousi prosentteina? 80e 45e 45e 100% 77,8% Esimerkki 5. Pekan palkka on 14,5 e tunnilta ja Hilkan palkka 1,75 e tunnilta. Montako prosenttia Pekan palkka on suurempi kuin Hilkan palkka? 14,5e 1,75e 1,75e 100% 11,76% Entä montako prosenttia Hilkan palkka on pienempi kuin Pekan palkka? 14,5e 1,75e 14,5e 100% 10,5% Entä montako prosenttia Hilkan palkka on Pekan palkasta? MUUTOS J VERTILU Prosentuaalista muutos lasketaan: 1,75 14,5 100% 89,47% muutos alkuperäinen_ arvo 100% Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 16