Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

1 päätösmuuttujat (x 1,x 2,...) tavoitefunktio (z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...) rajoitteet (a i1 x 1 + a i2 x 2 + b i ) Mallin Formaatti käypä alue Optimipisteen määritys Vastaus

2 Diskonttaus ja prolongointi Diskonttaus ja prolongointi 1 + i a = e ρ K t = (1 + i a ) t K 0 = e ρt K 0 K 0 = K 0 (1 + i a ) t = e ρt K 0 vakiotulovirran NPV = k ρ

Integrointi, integraalifunktio 3 Integraalifunktio f (x)dx on se funktio F (x), jolle F (x) = f (x).

Integrointi, integraalifunktio 4 Integraalifunktio f (x)dx on se funktio F (x), jolle F (x) = f (x). Tämä on osattava ajatella läpi polynomifunktion tapauksessa. esim. f (x) = 5x 2 + 2x + 3

Integrointi, integraalifunktio 5 Integraalifunktio f (x)dx on se funktio F (x), jolle F (x) = f (x). Tämä on osattava ajatella läpi polynomifunktion tapauksessa. esim. f (x) = 5x 2 + 2x + 3 f (x)dx = 5 2 + 1 x2+1 + 2 1 + 1 x1+1 + 3 0 + 1 x0+1 + C

Integrointi, integraalifunktio 6 Integraalifunktio f (x)dx on se funktio F (x), jolle F (x) = f (x). Tämä on osattava ajatella läpi polynomifunktion tapauksessa. esim. f (x) = 5x 2 + 2x + 3 f (x)dx = 5 2 + 1 x2+1 + 2 1 + 1 x1+1 + 3 0 + 1 x0+1 + C = 5 3 x3 + x 2 + 3x + C

Integrointi, integraalifunktio 7 Integraalifunktio f (x)dx on se funktio F (x), jolle F (x) = f (x). Tämä on osattava ajatella läpi polynomifunktion tapauksessa. esim. f (x) = 5x 2 + 2x + 3 f (x)dx = 5 2 + 1 x2+1 + 2 1 + 1 x1+1 + 3 0 + 1 x0+1 + C = 5 3 x3 + x 2 + 3x + C Tarkistus ( ) d 5 dx 3 x3 + x 2 + 3x + C = 5x 2 + 2x + 3

Integrointi, määrätty integraali 8 Määrätty integraali b a f (x)dx on integraalifunktion arvo ylärajalla miinus integraalifunktion arvo alarajalla. b a f (x)dx = F (b) F (a)

Integrointi, määrätty integraali 9 Määrätty integraali b a f (x)dx on integraalifunktion arvo ylärajalla miinus integraalifunktion arvo alarajalla. esim. 3 2 b (5x 2 + 2x + 3)dx = a f (x)dx = F (b) F (a) = / ( ) 3 5 2 3 x3 + x 2 + 3x ( ) 5 3 33 + 3 2 + 3 3 = (45 + 9 + 9) = 39 2 3 39,67 ( 5 ( 40 3 + 4 + 6 ) 3 23 + 2 2 + 3 2 )

10 Olkoon f (t) jatkuva kassavirta (yksikkönä e/aikayksikkö).

10 Olkoon f (t) jatkuva kassavirta (yksikkönä e/aikayksikkö). F (t) = f (t)dt on kassaan kertynyt pääoma hetkellä t. (vakiotermi C on pohjakassa hetkellä t = 0.)

10 Olkoon f (t) jatkuva kassavirta (yksikkönä e/aikayksikkö). F (t) = f (t)dt on kassaan kertynyt pääoma hetkellä t. (vakiotermi C on pohjakassa hetkellä t = 0.) t2 t 1 f (t)dt = F (t 2 ) F (t 1 ) on kassaan aikavälillä [t 1,t 2 ] kertynyt pääoma (siis kassan muutos, kassa hetkellä t 2 - kassa hetkellä t 1 ).

10 Olkoon f (t) jatkuva kassavirta (yksikkönä e/aikayksikkö). F (t) = f (t)dt on kassaan kertynyt pääoma hetkellä t. (vakiotermi C on pohjakassa hetkellä t = 0.) t2 t 1 f (t)dt = F (t 2 ) F (t 1 ) on kassaan aikavälillä [t 1,t 2 ] kertynyt pääoma (siis kassan muutos, kassa hetkellä t 2 - kassa hetkellä t 1 ). t2 t 1 e t 0 t f (t)dt on kassaan aikavälillä [t 1,t 2 ] tulevan hetkeen t 0 diskontattu arvo.

11 Rivioperaatiot, pivotointi Kolmiomuodossa olevan yhtälöryhmän ratkaiseminen Milloin Rj = /0 Milloin ratkaisuja on monta Homogeeninen yhtälöryhmä

12 Määritelmä Mitä tarkoittaa: paikka ij Mitä tarkoittaa m n -matriisi Yhteen- ja kertolasku Järjestyksellä on väliä. Yleensä AB BA. Transponointi ((AB) T = B T A T ) Käänteismatriisin määritelmä ((AB) 1 = B 1 A 1 ) rivioperaatioiden avulla

13 Määritelmä Ominaisuudet Minori Determinantin laskeminen Cramerin kaavat

14 Rivioperaatioiden avulla Kofaktori Adjungaatti A 1 1 = Det(A) Adj(A)

15 Vertailuvuosi t vs. perusvuosi t 0 Perusvuoden indeksi on X t0,t 0 = 100 X t0,t = p t p t0 100 vuodesta t 1 vuoteen t 2 keskimääräinen hintatason kasvutekijä (geometric mean) on r = (X t0,t 2 /X t0,t 1 ) 1/(t 2 t 1 ) Inflaatiokorko = (1 r) 100%

Tuoteryhmä-indeksit, hintaindeksi 16 Vertailuvuosi t vs. perusvuosi t 0 Perusvuoden indeksi on P t0,t 0 = 100 Hintaindeksi P t0,t = k w k p k,t k w k p k,t0 100 Laspeyresin indeksissä painokertoimet ovat perusvuoden määrät w k = q k,t0. Paaschenin indeksissä painokertoimet ovat vertailuvuoden määrät w k = q k,t. Fisherin hintaindeksi on edellisten keskiverto Pt F 0,t = Pt L 0,t Pt p 0,t

Tuoteryhmä-indeksit, volyymi-indeksi 17 Volyymi-indeksi Q t0,t = k w k q k,t k w k q k,t0 100 Laspeyresin indeksissä painokertoimet ovat perusvuoden hinnat w k = p k,t0. Paaschenin indeksissä painokertoimet ovat vertailuvuoden hinnat w k = p k,t. Fisherin hintaindeksi on edellisten keskiverto Qt F 0,t = Qt L 0,t Qt p 0,t