HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17 sekä 24-28 voi olla apua. 1. Merkitään A = {x R cos x = e x } ja B = {x R (e x cos x)(x 7 +e 2πx cos x) = 0}. Osoita, että A B. Oletetaan, että b A. Tällöin b R jolle pätee cos b = e b. Näin ollen e b cos b = 0 ja edelleen (e b cos b)(b 7 + e 2πb cos b) = 0. Näin ollen b B. Tämä päättely osoittaa, että A B. 2. Tarkastellaan väitettä "jos A B ja B / C, niin A C ". Osoita, että väite ei päde yleisesti keksimällä esimerkki joukoista A, B ja C joille väite ei päde. Keksi myös esimerkki joukoista A, B ja C joille väite pätee. Olkoon A = C = {1}, B = {{1}}. Tällöin A B ja B / C, mutta A C ei päde, sillä A C. Väite ei siis päde näillä joukoilla. Olkoon A = {1}, B = {{1}} ja C = {2}. Tällöin A B, B / C ja myös A C. Väite siis pätee näillä joukoilla.. Osoita induktiolla, että kaikilla n N pätee Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin n 2 i = 2(2 n 1 i=0 2 ). joten väitee pätee kun n = 0. n 2 i = 2 0 = 1 = 2(1 1 i=0 2 ) = 2(20 1 2 ) = 2(2n 1 2 ), Induktio-askel: oletetaan, että k N ja Tällöin k+1 i=0 2 i = k i=0 k 2 i = 2(2 k 1 i=0 2 ) 2 i +2 k+1 i.o. = 2(2 k 1 2 )+2k+1 = 2(2 k 1 2 )+2 2k = 2(2 k 1 2 +2k ) = 2(2 k+1 1 2 ), joten väite pätee luvulle k + 1. Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N.
4. Osoita induktiolla, että (n n)/ on kokonaisluku kaikilla n N. Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin joten väitee pätee kun n = 0. (n n)/ = (0 0)/ = 0/ = 0 Z, Induktio-askel: oletetaan, että k N ja että on kokonaisluku. Nyt (k + 1) (k + 1) (k k)/ = k + k 2 + k + 1 k 1 Induktio-oletuksen nojalla k k väite pätee luvulle k + 1. = k k + k 2 + k Z, joten myös k k Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät alkion ja osajoukon käsitteisiin = k k +k 2 +k. + k 2 + k Z. Näin ollen 5. Olkoon A = {1, {1, 6}, 4, {, 5}, {6}}. Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta? Mitkä ovat epätosia? Muista perustella omin sanoin. (a) A (b) 4 A (c) {4} A (d) {1, 4, {6}} A (e) A (f) 6 A (g) {6} A (h) {{6}} A. (a) Epätosi, sillä ei ole A:n alkio. (b) Tosi, sillä 4 on A:n alkio. (c) Tosi, sillä 4 on A:n alkio. (d) Tosi, sillä 1,4 ja {6} ovat A:n alkioita. (e) Tosi, sillä on kaikkien joukkojen osajoukko. (f) Epätosi, sillä 6 ei ole A:n alkio. (g) Epätosi, sillä 6 ei ole A:n alkio. (h) Tosi, sillä {6} on A:n alkio. 6. Luettele joukon A kaikki osajoukot, jos (a) A = {0, 1} (b) A = {, 0, 1} (a) Osajoukot ovat:, {0}, {1} sekä A. (b) Osajoukot ovat:, { }, {0}, {1}, {, 0}, {, 1}, {0, 1} sekä A. Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan induktiotodistusta ja summamerkinnän käyttöä. Luentokalvoista 24 voi olla apua.
7. Osoita induktiolla, että 4 n + 6n 1 on jaollinen luvulla 9 kaikilla n N. Alkuaskel: Olkoon n = 0. Tällöin joten väitee pätee kun n = 0. 4 n + 6n 1 = 4 0 + 6 0 1 = 1 + 0 1 = 0 = 9 0, Induktio-askel: oletetaan, että k N ja että 4 k + 6k 1 on jaollinen luvulla 9. Tällöin siis 4 k + 6k 1 = 9b, jollakin b Z. Tällöin 4 k+1 +6(k+1) 1 = 4 4 k +6k+5 i.o = 4 (9b 6k+1)+6k+5 = 9 4b 18k+9 = 9(4b 2k+1). Nyt, koska 4b 2k + 1 Z, niin väite pätee luvulla k + 1. Johtopäätös: Induktioperiatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. 8. Laske seuraavat summat: (i) 4 i=1 1 i + (ii) 6 ( 1) m m 2 m= (iii) 100 n=1 99 n 2 + ( k 2 ) k= (i) 4 i=1 1 i + = 1 1 + + 1 2 + + 1 + + 1 4 + = 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 (ii) 6 ( 1) m m 2 = ( 1) 2 + ( 1) 4 4 2 + ( 1) 5 5 2 + ( 1) 6 6 2 = 9 + 16 25 + 6 = 18 m=. (iii) Tehtäväsarja III 100 n=1 n 2 + 99 k= ( k 2 ) = 1 2 + 2 2 + 100 2 = 5 + 100 2 = 10005. Seuraavat tehtävät liittyvät perusjoukon ja komplementin käsitteisiin. Luentokalvoista 55 59 voi olla apua. 9. Olkoon X = { n N n < 10 }. Tarkastellaan joukon X osajoukkoja A = {1, 2, } ja B = {2,, 4, 5}. Määritä joukot (a) A (b) B (c) (A B) (d) A B. (a) A = X \ A = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (b) B = X \ B = {0, 1, 6, 7, 8, 9}. (c) (A B) = {1, 2,, 4, 5} = {0, 6, 7, 8, 9} (d) A B = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {0, 1, 6, 7, 8, 9} = {0, 6, 7, 8, 9}
10. Tarkastellaan joukon Z osajoukkoja A = {1, 2, } ja B = {2,, 4, 5}. Määritä joukot (a) A (b) B (c) (A B) (d) A B. (a) A = Z \ A = {..., 2, 1, 0, 4, 5, 6,...}. (b) B = Z \ B = {..., 2, 1, 0, 1, 6, 7, 8,...}. (c) (A B) = {2, } = {..., 2, 1, 0, 1, 4, 5, 6,...} (d) A B = {..., 2, 1, 0, 1, 4, 5, 6,...} 11. Olkoon A = {1, 2, 5, 7}. Määritä joukko A tai perustele, miksi sitä ei voi määrittää. Tehtävässä ei ole mainittu minkä joukon suhteen komplementti otetaan, joten sitä ei voi määrittää. Tehtäväsarja IV Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 42 54 voi olla apua. 12. Tutki Vennin kaavioiden avulla, kumpi seuraavista yhtälöistä näyttäisi pätevän yleisesti: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C). B A C A (B C) B A C (A B) C B A C
(A B) (A C) Jälkimmäinen yhtälö näyttäisi siis kuvien perusteella pätevän yleisesti. 1. Osoita vastaesimerkin avulla, että toinen tehtävän 12 yhtälöistä ei päde yleisesti. Ensimmäinen yhtälö ei päde kun esimerkiksi A = B = ja C = {1}. Tällöin A (B C) = ( {1}) = {1} = ( ) {1} = (A B) C). 14. Osoita, että toinen tehtävän 6 yhtälöistä pätee yleisesti 1. Oletetaan ensin, että alkio a A (B C). Siis leikkauksen määritelmän mukaan a A ja a B C. Nyt siis yhdisteen määritelmän nojalla a B tai a C. Käydään molemmat tapaukset läpi. Jos a B, niin voidaan päätellä, että a A B, sillä tiedetään, että a A. Sama päättely voidaan tehdä tapauksessa a C. Siis nyt a (A B) (A C). Päätellään sitten sisältyminen vielä toiseen suuntaan. Oletetaan siis, että alkio a (A B) (A C). Siis nyt yhdisteen määritelmän nojalla joko a A B tai a A C. Tarkastellaan molemmat tapaukset erikseen: Oletetaan, että a A B. Siis nyt a A ja a B (leikkauksen määritelmä). Toisaalta tällöin a A ja a B C. Siis a A (B C). Oletetaan, että a A C. Siis nyt a A ja a C (leikkauksen määritelmä). Toisaalta tällöin a A ja a B C. Siis a A (B C). Molemmat päättelyt pätivät mille tahansa joukkojen alkioille, joten päättelyt olivat päteviä. Siis mikä tahansa joukon A (B C) alkio kuuluu joukkoon (A B) (A C) ja toisinpäin. Tehtäväsarja V Seuraavat tehtävät liittyvät komplementtiin. 15. Oletetaan, että X on joukko ja A X. (a) Oletetaan, että X = {z N z < } ja A = {x X x 2 10}. Määritä A. (b) Oletetaan, että A = { 45, 0, 5} ja A = {, 6}. Määritä X. (c) Oletetaan, että X = {π, 19, {0, 1}} ja A = {{0, 1}}. Määritä A. (a) Huomataan, että X = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8} ja A = {4, 5, 6, 7, 8}. Näin ollen A = {0, 1, 2, }. (b) X = A A = { 45, 0,, 5, 6}. (c) A = {π, 19}. 16. Oletetaan, että X on joukko ja A X. Määritä A kun (a) X = N ja A = {x X x = 0 tai x = 1} (b) X = N ja A = {x X x 0 tai x 1} 1 Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin.
Vihje: pohdi ensin mikä joukko A on. (a) Tässä A = {0, 1}, joten A = {2,, 4,...}. (b) Tässä A = N, joten A =. 17. Sama kuin edellinen tehtävä mutta X = R. (a) A = {0, 1}, joten A = R \ {0, 1}. (b) A = R, joten A =. Tehtäväsarja VI Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan "jos..., niin...-tyyppisten väitteiden todistamista sekä väitteen kumoamista vastaesimerkin avulla. Luentojen kalvoista 44 ja 60 voi olla apua. 18. Todista tai kumoa seuraavat väitteet: (a) Jos m, n Z, niin mn > m(n 1) (b) Jos a, b R, niin a 2 + b 2 ab. Vihje b-kohtaan paperin alalaidassa 2. (a) Väite ei päde. Vastaesimerkki: Oletetaan, että m = n = 0. Tällöin m, n Z, mutta mn = 0 0 = m(n 1). (b) Väite pätee. Oletetaan, että a, b R. Tällöin (a b) 2 0, ts. a 2 2ab + b 2 0, eli a 2 + b 2 2ab. Tästä seuraa, että a2 +b 2 2 ab, joten a 2 + b 2 a2 + b 2 2 ab, missä ensimmäinen epäyhtälö pätee koska a 2 + b 2 0. 19. Oletetaan, että a, b R missä a >. Osoita, että jos ab + b < 0, niin b < 0. Päiteekö väite jos oletetaankin, että a? Oletetaan, että ab + b < 0, ts. (a + ) b < 0. Nyt kahden reaaliluvun tulo on negatiivinen jos ja vain jos niillä on eri etumerkki. Nyt a + > + = 0 tehtävänannon oletuksen nojalla (a > ). Näin ollen täytyy päteä b < 0. Väite ei päde jos a <, sillä tällöin a + < + = 0. Tällöin b > 0, joten väite ei päde. 20. Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Osoita, että jos (A \ B) C =, niin A C B. Oletetaan, että (A \ B) C =. Osoitetaan, että A C B. Oletetaan, että x A C. Tällöin x A ja x C. Nyt, jos x / B, niin x A ja x / B sekä x C. Näin ollen x (A \ B) C. Tällöin siis (A \ B) C, joka on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen x B. Tee jompikumpi tehtäväsarjoista Kompleksiluvut ja Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa. 2 (a b) 2
Kompleksiluvut 21. Määritä kompleksiluvun z = i(1 i) (1 i) 2 (a) reaaliosa Re z (b) imaginaariosa Im z (c) itseisarvo eli moduli z (d) liittoluku z. Sievennetään: z = i(1 i) (1 i) 2 = i i 2 (1 2i + i 2 ) = i + 1 1 + 2i + 1 = 1 + i. Näin ollen (a) Re z = 1, (b) Im z =, (c) z = 1 2 + 2 = 10 ja (d) z = 1 i. 22. (a) Oletetaan, että z, w C. Osoita, että z + w = z + w. (b) Millainen kuvio muodostuu kompleksitasoon niistä pisteistä z, jotka toteuttavat yhtälön z + 1 + 2i = z. (a) Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a+bi ja w = x+yi, missä a, b, x, y R. Tällöin ja z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i = (a + x) (b + y)i z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a bi) + (x yi) = (a + x) (b + y)i, mistä nähdään, että z + w = z + w. Ratkaisu 2: Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a+bi ja w = x+yi, missä a, b, x, y R. Tällöin z + w = (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i = (a + x) (b + y)i = (a bi) + (x yi) = (a + bi) + (x + yi) = z + w. (b) Koska z C, niin voidaan merkitä z = a + bi, missä a, b R. Tällöin z + 1 + 2i = a + bi + 1 + 2i = (a + 1) + (b + 2)i = (a + 1) 2 + (b + 2) 2 = a 2 + 2a + 1 + b 2 + 4b + 4 = a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 ja z = a + bi = (a ) + bi = (a ) 2 + b 2 = a 2 6a + 9 + b 2 = a 2 + b 2 6a + 9 Saadaan z + 1 + 2i = z a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 = a 2 + b 2 6a + 9 a 2 + b 2 + 2a + 4b + 5 = a 2 + b 2 6a + 9 2a + 4b + 5 = 6a + 9 b = 2a + 1. Yhtälön toteuttavat pisteet muodostavat siis suoran b = 2a + 1.
2. Määritä ne reaaliluvut a, joilla lauseke (2 + ai)(a i) + (a + i)(a i) on (a) reaalinen. (b) puhtaasti imaginaarinen. Sievennetään: (2 + ai)(a i) + (a+i)(a i) = 2a 6i+a 2 i ai 2 + a 2 i 2 = a 2 + 5a+1+(a 2 6)i (a) Lauseke on reaalinen kun a 2 6 = 0, eli kun a = ± 6. (b) Lauseke on puhtaasti imaginaarinen kun a 2 + 5a + 1 = 0 ja a 2 6 0, eli kun a = 5 ± 21. 2 24. Oletetaan, että z, w C. Osoita, että zw = z w. Koska z, w C, niin voidaan merkitä z = a + bi ja w = x + yi, missä a, b, x, y R. Tällöin zw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi by = ax by + (ay + bx)i = (ax by) (ay + bx)i ja z w = (a + bi) (x + yi) = (a bi)(x yi) = (ax by) (ay + bx)i, mistä nähdään, että zw = z w. 25. Laske (eli sievennä muotoon a + bi, missä a, b R). (a) (4i )(6 2i) (b) i 7 (c) (1 + 6i) 1. (a) (4i )(6 2i) = 24i 8i 2 18 + 6i = 10 + 0i = 10 0i (b) (c) i 7 = (i 2 ) i = ( 1) i = i (1 + 6i) 1 = 1 1 + 6i = 1 6i (1 + 6i)(1 6i) = 1 6i 1 6i = 1 6i 2 7 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa = 1 7 6 7 i 26. Tulkitse seuraavat luonnollisia lukuja koskevat väitteet suomen kielelle ja päättele, ovatko ne tosia vai epätosia. (a) x y(y 2x = 0) (b) y x(y 2x = 0) (c) x y(x 2y = 0) (d) x(x < 10 y(y < x y < 9)).
(a) Kaikilla luonnollisilla luvuilla x on olemassa luonnollinen luku y siten, että y 2x = 0. Väite pätee: olkoon x N. Valitsemalla y = 2x huomataan, että y N, ja y 2x = 2x 2x = 0. (b) On olemassa y N siten, että kaikilla x N pätee y 2x = 0. Väite ei päde: oletetaan, että väite pätee jollakin luvulla y N. Tällöin yhtälö pätee luvuilla x = 0 ja x = 1, ts. y 0 = 0 ja y 2 = 0. Tästä seuraa, että y = 0 ja y = 2 mikä ei voi pitää paikkansa. (c) Kaikilla x N on olemassa y N siten, että x 2y = 0. Väite ei pidä paikkansa: Jos x = 1, niin tällöin ainut luku y joka toteuttaa yhtälön x 2y = 0 on y = 1 2, joka ei ole luonnollinen luku. (d) Kaikilla x N pätee, että jos x < 10, niin kaikilla y N pätee väite: "jos y < x, niin y < 9". Väite pitää paikkansa: jos x < 10, niin silloin x 9. Tällöin jos y < x, niin y < 9. 27. Tässä tehtävässä K(x) tarkoittaa "x tekee kotitehtäviä"ja L(x) tarkoittaa "x lukee luentomuistiinpanoja". Kirjoita seuraavat kurssin opiskelijoita koskevat väitteet kvanttorien ja loogisten konnektiivien avulla. (a) Joku tekee kotitehtäviä ja lukee luentomuistiinpanoja. (b) Kukaan ei tee kotitehtäviä eikä lue luentomuistiinpanoja. (c) Kaikki tekee kotitehtäviä mutta kukaan ei lue luentomuistiinpanoja. (d) Kaikki ne jotka eivät lue muistiinpanoja eivät myöskään tee kotitehtäviä. (a) x(k(x) L(x)). (b) x( K(x) L(x)) (c) x(k(x) L(x)) (d) x( L(x) K(x)) 28. Muodosta seuraavien väitteiden negaation kanssa loogisesti ekvivalentit väitteet, joissa ei esiinny negaatiosymbolia. Muita konnektiiveja sekä symboleita ja / saa käyttää. Kumpi on tosi, väite vai sen negaatio? (a) 0 N 1 R (b) 1/2 N 1/2 Q (c) 1/2 N 1/2 Q (d) 2 N π Q (a) Negaatio: 0 / N 1 / R. Alkuperäinen väite on tosi, sillä 0 N on tosi väite. (b) Negaatio: 1/2 / N 1/2 / Q. Negaatio on tosi, sillä 1/2 / N on tosi väite. (c) Negaatio: 1/2 N 1/2 / Q. Alkuperäinen väite on tosi, sillä 1/2 N on epätosi väite, jolloin implikaatio on tosi. (d) Negaatio: 2 N π / Q. Alkuperäinen väite on tosi, sillä ekvivalenssin molemmilla puolilla olevat väitteet ovat epätosia, jolloin ekvivalenssi on tosi.
29. Tämän tehtävän väitteet koskevat kokonaislukuja. Muodosta niiden negaatioiden kanssa loogisesti ekvivalentit väitteet, joissa ei esiinny negaatiosymbolia. Kumpi on tosi, väite vai sen negaatio? (a) x( x > 0) (b) x(x = 1 x < 0) (c) x y(xy = 1 x = 0) (d) x y(x y = 0) (a) Negaatio: x( x 0). Negaatio on tosi, sillä sulkujen sisällä oleva väite on tosi kun x = 0. (b) Negaatio: x(x = 1 x 0). Alkuperäinen väite on tosi, sillä arvolle x = 0 väite x = 1 ei päde jolloin implikaatio sulkujen sisällä on tosi. (c) Negaatio: x y(xy 1 x 0). Alkuperäinen väite on tosi, sillä sulkujen sisällä oleva väite on tosi kun x = 0 ja kun x 0, niin valitsemalla y = 1/x huomataan, että väite on myös tällöin tosi. (d) Negaatio: x y(x y 0). Negaatio on tosi, sillä kaikilla x Z voidaan valita esim. y = x 1, jolloin x y = x (x 1) = 1 0. 0. Tässä tehtävässä T(x, y) tarkoittaa "x tuntee y:n". Kirjoita seuraavat kurssin opiskelijoita koskevat väitteet kvanttorien ja loogisten konnektiivien avulla (tarvitset ehkä myös merkkiä ). (a) Kaikki opiskelijat tuntevat jonkun opiskelijan. (b) Kukaan opiskelija ei tunne kaikkia opiskelijoita. (c) Joku opiskelijoista ei tunne ketään muuta opiskelijaa. (d) Kaksi eri opiskelijaa tuntevat kaikki opiskelijat. (a) x y(t(x, y)). (b) x y( T(x, y)). (c) x y(x y T(x, y)) (d) x y(x y z(t(x, z) T(y, z))