5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste4y joukko lukuja x 1, x, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre4ömän pitkä (eli N = ) sanotaan summaa sarjaksi (tai joskus sarjan summaksi). Äärellinen lukujonon jäsenten summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymä4ä. Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan, e4ä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan, e4ä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeemsta, geometrista ja Taylorin sarjaa. AritmeeMnen lukujono ja summa a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + d) +... + (a 1 + (n -1)d) n Esim: a = [ a 1 + (N 1)d] N=1 = n a 1 + a n a 3 Kun n, summa on ääretön (paitsi triviaalissa tapauksessa a 1 = d = 0). Aritmee.nen sarja (aritmee.sen sarjan summa) siis hajaantuu aina. a n 1+ + 3+... +100 =100 1+100 = 5050 d = vakio Geometrinen lukujono ja summa a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q 3 +... + a 1 q n-1 a n-1 =! " a 1 q N # $ N=0 = a 1(1 q n ) 1 q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 a n = a 1q n+1 a 1 q n = q a 3 a 4 a n q = vakio Tätä käytetään tesrnä sille onko jokin "tuntematon lukujono tai sarja geometrinen vai ei. 1
Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, summa on äärellinen vain jos q < 1. Tällöin geometrinen sarja siis suppenee, muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on:!a " 1 q N # $ = N=0 Esim: lim N a 1 (1 q N ) = a 1 1 q 1 q ( q <1) 1+ 1 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +... suhdeluku 1 suppenee 1+ + 4 + 8 +16 +... suhdeluku hajaantuu 1+1+1+1+1+1+... suhdeluku 1 hajaantuu Taylorin sarja Jos funkronlla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funkron voi esi4ää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! 1! +... = n=0 + f''(x 0)(x x 0 )! f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n! Esimerkki: alkeisfunkroiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) Taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvi4avat derivaatat: d dx d dx (ex ) = e x, d dx (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d d3 (sin(x))=cos(x), (sin(x))= sin(x), dx dx 3 (ex )= cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f''(x 0)(x x 0 )! 1! + f'''(x 0)(x x 0 ) 3 3! f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )! Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! =1+ x + x + x3 6 sin(x) sin(0) + = x x3 6 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! + e0 (x 0)! cos(0)(x 0)1 + 1! + e0 (x 0) 3 3! -sin(0)(x 0)! -cos(0)(x 0)3 + 3!
Taylorin sarja hyöty x - x3 6 sin(x) Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa analyymnen (eli ääre4ömän monta kertaa derivoituva) funkro ilmaista "lokaalisr" (jonkin pisteen läheisyydessä) likimääräisesr polynomina. Tämä helpo4aa usein laskemista huoma4avasr, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funkroita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten raja- arvojen ja likimääräisten arvojen selvi4ämisessä. Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r Tarkastellaan kahta vierekkäistä saman suuruista mu4a vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys d. Halutaan Retää sähkökentän voimakkuus, kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulo4uvuudessa): kq E = (r d) kq d (r + d) r +q q Muokataan hieman: kq E = (r d) kq r q (r + d) kq kq = r (1 d r ) r (1+ d = kq # r (1 d r ) (1+ d & $ % r ) '( r ) Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja- arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) ja (1 d/r) sarjoiksi muu4ujan d/r suhteen. (1+x) :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) (x 0) (1+ 0) + (1+ 0) 3 3 (1+ 0) 4 (x - 0) + (x - 0) +... 1!! =1 x + 3x +... 1 x d +q 3
Äsken saarin: (1+ x) 1 x (kun x 0) Jolloin (1+ d r ) 1 d r Ja edelleen ja (1 d r ) 1+ d r E = kq # r (1 d r ) (1+ d & $ % r ) '( kq d d (1+ (1- r r r )) = 4kqd r 3 Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.) r q d +q Taylorin sarja kemiassa: esim Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteem aallonpituudella λ kappaaleen lämpörlan ollessa T): p(λ)= 8πhc hc λkt (e 1) 1 λ 5 Miltä p(λ) näy4ää, kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään ekspontenmfunkro Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. hc 8πhc (e λkt 1) 1 = 8πhc (e x 1) 1 λ 5 λ 5 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) +... 1) 1 λ 5 1!! hc 8πhc (e λkt 1) 1 = 8πhc (e x 1) 1 λ 5 λ 5 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) +... 1) 1 λ 5 1!! = 8πhc (1+x+ x λ 5 +... 1) 1 = 8πhc λ 5 (x+ x +...) 1 Jos x on rii4ävän pieni, x, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta ja jä4ää vain lineaarinen termi p(λ)= 8πhc λ 5 (x) 1 = 8πhc λkt λ 5 hc = 8πkT, λ 4 mikä sa4uu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos 6. Vektorit Vektori on n- dimensioinen olio (useimmissa sovelluksissa = tai 3), jolla on suunta ja pituus. Vektoria kuvataan usein nuolella, joka kulkee kahden pisteen välillä. B( 1,5, 3) A(,3,4) vektori AB = (-1- )i + (5-3)j + (-3-4)k = -3i + j - 7k missä i, j ja k ovat yksikkövektoreita 4
Yksikkövektorit Vektorin pituus Vektorin pituus lasketaan Pyhtagoran lauseen perusteella. Äskeiselle esimerkkivektorille: vektorin AB = -3 i+j-7k pituus: AB = ( 3) + () + ( 7) = 6 7,9 YleisesR mille tahansa vektorille X = ai + bj + ck pätee: X = a + b + c Vastaavanlainen kaava pätee myös ulo4uvuuksien määrän ollessa pienempi tai suurempi kuin 3. Otetaan toinen vektori joka kulkee pisteestä A pisteeseen C. C(,4,5) θ B( 1,5, 3) A(,3,4) vektori AC = (-) i+(4-3)j+(5-4)k=j+k AC = 0 +1 +1 = 1, 4 Olkoon vektorien AB ja AC välinen kulma θ. Kulman voi laskea pistetulon avulla. AB AC AB AC = AB AC cos(θ) cos(θ) = AB AC Pistetulo Kahden vektorin pistetulo lasketaan seuraavasr: olkoon P = a p i + b p j + c p k ja Q = a q i + b q j + c q k P Q = a p a q + b p b q + c p c q Äskeisille esimerkkivektoreille siis AB = 3i + j - 7k ja AC = j + k AB AC = (-3) 0 + 1+ (-7) 1 = -5 cos(θ) = θ = arccos( 5 AB AC = 5 6 ) 117 5 6 5
Esimerkki Ammoniakin NH 3 atomien karteesisiksi koordinaateksi on laskennallisen kemian ohjelmalla saatu (yksikkönä Ångström): N 0.0000 0.0000 0.1166 H 1 0.0010 0.9399 0.71 H 0.8135 0.4708 0.71 H 3 0.8144 0.4691 0.71 Laske H 1 N H sidoskulma. Ratkaisu: muodostetaan vektorit NH 1 ja NH. vektori NH 1 = ( 0,0010 0,0) i + (0,9399 0,0)j + (0,71 0,1166)k = 0,0010 i + 0,9399j + 0,3887k vektori NH = ( 0,8315 0,0) i + ( 0,4708 0,0)j + (0,71 0,1166)k = 0,8135i 0,4708j + 0.3887k Sidoskulma saadaan nyt pistetulon avulla: cos(θ)= NH 1 NH NH 1 NH = 0,0010 0,8135 + 0,9399 0,4708 + 0,3887 0,887 (0,0010 + 0,9399 +0,3887 ) (0,8135 +0,4708 +0,3887 ) = 0, 8096 θ = arccos( 0, 8096) 106,3, mikä on noin puolitoista aste4a pienempi kuin todellinen mita4u sidoskulma. 7. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjeste4y "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x x + 5 = 0 x = ± ( ) 4 1 5 = ± 16 1 = ± 1 4 = ± 4i =1± i Merkitään juuria Z 1 = 1 + i, Z = 1 i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z ) = 1 Im(Z 1 ) = Im(Z ) = 6
Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z = x + y i Yhteenlasku: Z 1 + Z = (x 1 + x ) + (y 1 + y )i Kompleksiluvun lii:oluku eli kompleksikonjugaa. Merkitään Z* tai Z Z = x + yi Z* = x yi Huomaa e4ä kompleksiluku kerro4una lii4oluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x + y Kompleksiluvun jakolasku Kertolasku: Z 1 Z = (x 1 + y 1 i)(x + y i) = x 1 x + x 1 y i + x y 1 i + y 1 y i = x 1 x + (x 1 y + x y 1 )i y 1 y = x 1 x y 1 y + (x 1 y + x y 1 )i Z 1 = x + y i 1 1 Z x + y i = (x + y i)(x y i) 1 1 (x + y i)(x y i) = (x 1 x x 1 y i + x y 1 i y 1 y i ) x + x y i x y i - y i = x 1 x + y 1 y + (x y 1 - x 1 y )i x + y Kerrotaan molemmat puolet Z *:lla Kompleksiluvun pituus ja argumenm Kompleksiluvun pituus ja argumenm Kompleksiluku voidaan esi4ää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) y Z = x + iy (x,y) (x,y) Kompleksiluku voidaan esi4ää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) y Z = x + iy (x,y) r (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja akselin välinen kulma θ x x 7
Im(Z) (x,y) Olkon Z = x + iy. Tällöin = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus (= moduli, itseisarvo), merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = + Im(Z) = x + y θ = kompleksiluvun argumenm, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos > 0 Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos < 0 r θ Yhteys napakoordinaa4eihin = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Im(Z) Z = r (cos(θ) + i sin(θ)) r θ (x,y) Im(Z) (x,y) Olkon Z = x + iy. Tällöin = x ja Im(Z) = y. θ = kompleksiluvun argumenm, merkitään Arg(Z): r θ ArkustangenMfunkRon käytös +90 Arctan(x) arctan( Im(Z) ) jos > 0 Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos < 0 on vaaka- akseli, eli π (= 180 ) lisätään silloin kun ollaan pystyakselin vasemmalla puolella. 90 x 8
Yksikköympyrä kompleksitasossa y=im(z) r=1 θ x= ArkustangenMfunkRon käytös ArkustangenM palau4aa kulmia 90 ja +90 asteen ( π/ ja π/ radiaanin) väliltä. Halutaan kuitenkin yleensä antaa argumenm kulmana 0 ja 360 väliltä! Jos y/x < 0, arctan(y/x) antaa tuloksena negarivisen kulman Jos y/x > 0, arctan(y/x) antaa tuloksena posirivisen kulman Minkä merkkinen Im(Z)/ on? Minkä merkkinen Im(Z)/ on? [0...90 ] [90...180 ] y posirivinen negarivinen y arctan(y/x) x x arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) Arctan antaa oikean kulman. Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 Arctan antaa negarivisen & väärän kulman, pitää lisätä 180. 9
Minkä merkkinen Im(Z)/ on? Minkä merkkinen Im(Z)/ on? Arctan antaa negarivisen joskin sinänsä oikean kulman. Jos halutaan rajata kulma 0...360 välille, pitää lisätä 360. x arctan(y/x) x [180...70 ] posirivinen Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 y Arctan antaa posirivisen mu4a väärän kulman, pitää lisätä 180. Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) (+360 ) y negarivinen arctan(y/x) [70...360 ] Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argumenm ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = + Im(Z) = 1 +1 = b) Z = 0.5 ( 3/)i Ratkaisu: Z = + Im(Z) = (- 1 3 ) + (- ) =1 Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 = arctan( 3 ) +180 = 40 1 Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) = arctan(1 1 ) = 45 45 40 1 10
Eulerin kaava Eulerin kaavan sovelluksia Z = + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen.funkeon ja trigonometriset funkeot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu. KonjugaaM: Kertolasku Jakolasku Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Z 1 = r 1 e iθ 1, Z = r eiθ Z 1 Z = r 1 e iθ 1 r eiθ = r 1 r eiθ 1+iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) Z 1 = r 1 eiθ1 = r 1 e i(θ 1 θ ) Z r e iθ r Eulerin kaava helpo4aa kompleksilukujen kertolaskua (ja jakolaskua) huoma4avasr Z 1 Z = r 1 r e i(θ 1+θ ) Kompleksilukujen tulo graafisesr pituudet kerrotaan, kulmat summataan Z 1 Z r 1 r Tulon itseisarvo: Z 1 Z = r 1 r θ 1 Z 1 Z = r 1 r e i(θ 1+θ ) θ r 1 r Tulon argumenm: Arg(Z 1 Z ) =θ 1 +θ θ 1 +θ 11
Huomautus Seuraavat 7 kalvoa (joiden otsikossa on * - merkki) ovat kemisrllekin hyödyllisiä tuloksia ja työkaluja, mu4a ne eivät ole väl4ämä4ömiä tämän kurssin suori4amiselle. TenRssä saa4aa tulla vastaan yhtälöitä tai integraaleja joiden laskeminen on helpompaa Eulerin kaavan avulla, mu4a ne onnistuvat myös muilla menetelmillä. * - merkityt kalvot ovat tässä mielessä ekstraa. Eulerin kaavan sovelluksia* Kompleksiluvun potenssi: Z n = (re iθ ) n = r n e inθ = r n (cos(nθ)+ isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Tämä tunnetaan De Moivren kaavana, ja se on hyödyllinen paitsi kompleksilukujen potenssien laskemisessa, myös trigonometristen funkroiden potenssien ja moninkertaisten tai murtolukukulmien idenrteemen laskemisessa. Trigonometristen idenrteemen johtaminen Eulerin & de Moivren avulla* Äsken saarin: r n (cos(nθ)+ isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Olkoon r = 1 ja n =. Saadaan: cos(θ)+ isin(θ) = (cos θ + isin θ) Lasketaan oikea puoli auki: cos(θ)+isin(θ) = (cosθ +isinθ)(cosθ +isinθ) cos(θ)+ isin(θ) = cos θ + cosθ isinθ + i sin θ cos(θ)+ isin(θ) = cos θ sin θ + icosθ sinθ Jo4a yhtälö voi päteä, reaali ja imaginääriosien tulee olla yhtä suuret, ts: cos(θ) = cos θ sin θ ja sin(θ) = cosθ sinθ Eulerin kaavan sovelluksia* Trigonometristen funkroiden ilmaiseminen eksponenmfunkroiden avulla: e iθ = cos θ + isin θ (1) e iθ = cos θ isin θ () lasketaan yhtälöt 1 ja yhteen: e iθ + e iθ = cos θ cos θ = eiθ + e iθ vähennetään yhtälö yhtälöstä 1: e iθ e iθ = isin θ isin θ sin θ = eiθ e iθ i 1
Eulerin kaava & integroinrtehtävät* Esimerkki: laske cos(θ)sin (3θ)dθ Ratkaisu: käytetään Eulerin kaavasta johde4ua lauseke4a sini- ja kosinifunkroille: cos(θ)sin (3θ)dθ = ( eiθ + e iθ )( ei3θ e i3θ ) dθ i = 1 8 (eiθ + e iθ )(e i3θ e i3θ )(e i3θ e i3θ )dθ = 1 8 (eiθ + e iθ )(e i6θ e iθ (3 3) + e i6θ ) dθ = 1 8 (ei8θ e iθ + e i4θ + e i4θ e iθ + e i8θ ) dθ cos(θ)sin (3θ)dθ = 1 8 (ei8θ e iθ + e i4θ + e i4θ e iθ + e i8θ ) dθ = 1 8 ((ei8θ + e i8θ )+ (e i4θ + e i4θ ) (e iθ + e iθ ) dθ = 1 8 cos(8θ)+ cos(4θ) 4cos(θ)) dθ = 1 8 (sin(8θ) 8 = sin(8θ) 3 sin(4θ) 16 + sin(4θ) 4 4sin(θ) )+ C + sin(θ) + C 4 Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit?* Mitä kompleksiluvulle tapahtuu, kun se kerrotaan imaginääriyksiköllä (a + bi)i = ai + bi = b + ai a + bi vastaa tason vektoria (a,b) b + ai vastaa tason vektoria ( b,a) Lasketaan vektorien välinen kulma: Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit?* Im(Z) a b Imaginääriluvulle kertominen on helppo tapa kiertää kompleksivektoria 90. Kiertoja on muutenkin helpompi kuvata kompleksiluvuilla. a + bi cos(θ) = θ = 90 (a,b) ( b,a) -ab + ba = (a,b) (b,a) (a,b) (b,a) = 0 b a 13
Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvanmkemian operaa4oreissa, näistä on jo tava4u esim: - Liikemäärän operaa4ori: - ImpulssimomenMoperaa4ori: (huom: saman näköiset!) ˆp x = -i d dx = i Ĵ z = i φ d dx Myös aaltofunkroissa on usein kompleksilukutermejä. Esimerkki: kvanmmekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. r m Systeemin Schrödingerin yhtälö: m d ψ I = 1 m (r I dθ = Eψ 1 + r ) m 1 +m (hitausmomen0) r 1 θ m 1 Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce iaθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaarmalla e4ä aaltofunkro on sama kulmalle θ ja θ + π: ψ(θ) = ψ(θ + π ) Ce iaθ = Ce ia(θ+π ) = e iaπ Ce iaθ, mistä nähdään e4ä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaa4orilla anne4uun funkroon: I d ψ(θ) = dθ I d d dθ Ceiaθ = I dθ Ceiaθ ia = I Ceiaθ (ia) = a I Ceiaθ Äsken saarin d ψ(θ) = a I dθ I Ceiaθ = a I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön d ψ I dθ = Eψ nähdään her e4ä E = a I missä edelleen a = {0, ±1, ±...}. (Vain Retyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energiarlat ovat siis mahdollisia; sanotaan e4ä pyörivän kappaleen energiarlat ovat kvan34uneet.) 14
Esimerkki: vetyatomin aaltofunkron kulmaosat Vetyatomin aaltofunkrossa on kolme ns kvanmlukua, n l ja m. ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( r )L l+1 n l 1 ( r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvanmluku l = 1 ja magneemnen kvanmluku m = ± 1, kulmaosa, joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin yrmestä, on palloharmoninen funkro johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponenm: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali- ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla. 15