Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan, ks. http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/misc/index.shtml. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi

Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta

Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta Kurssi poikkeaa sekä lukion matematiikan kursseista (asioita ihan oikeasti todistetaan), että muista yliopiston matematiikan kursseista (aikaa käytetään lukion asioiden kertaamiseen). - Kannattaa hankkia lukion matematiikan kirjat saataville, sillä niitä tarvitaan!

Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta Kurssi poikkeaa sekä lukion matematiikan kursseista (asioita ihan oikeasti todistetaan), että muista yliopiston matematiikan kursseista (aikaa käytetään lukion asioiden kertaamiseen). - Kannattaa hankkia lukion matematiikan kirjat saataville, sillä niitä tarvitaan! Luennoilla asiat esitellään ensimmäisen kerran, eikä ole mahdollista, että ne oppisi heti. Tätä varten on laskuharjoitukset, joihin kannattaa panostaa.

Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta Kurssi poikkeaa sekä lukion matematiikan kursseista (asioita ihan oikeasti todistetaan), että muista yliopiston matematiikan kursseista (aikaa käytetään lukion asioiden kertaamiseen). - Kannattaa hankkia lukion matematiikan kirjat saataville, sillä niitä tarvitaan! Luennoilla asiat esitellään ensimmäisen kerran, eikä ole mahdollista, että ne oppisi heti. Tätä varten on laskuharjoitukset, joihin kannattaa panostaa. Hyväksi koettu menetelmä on kerrata luennon asiat niin pian kuin mahdollista luennon jälkeen. Myös opiskelukavereiden kanssa kannattaa keskustella luennon asioista.

Tämän kurssin sisällöstä ja luonteesta Kurssi poikkeaa sekä lukion matematiikan kursseista (asioita ihan oikeasti todistetaan), että muista yliopiston matematiikan kursseista (aikaa käytetään lukion asioiden kertaamiseen). - Kannattaa hankkia lukion matematiikan kirjat saataville, sillä niitä tarvitaan! Luennoilla asiat esitellään ensimmäisen kerran, eikä ole mahdollista, että ne oppisi heti. Tätä varten on laskuharjoitukset, joihin kannattaa panostaa. Hyväksi koettu menetelmä on kerrata luennon asiat niin pian kuin mahdollista luennon jälkeen. Myös opiskelukavereiden kanssa kannattaa keskustella luennon asioista. Jos matematiikka lukiossa tuntui helpolta, niin siihen tunteeseen ei kannata tuudittautua täällä.

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen)

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant)

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert)

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert) 5 Matematiikka perustuu matemaattiseen logiikkaan, joka poikkeaa arkipäivän logiikasta

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert) 5 Matematiikka perustuu matemaattiseen logiikkaan, joka poikkeaa arkipäivän logiikasta 6 Matemattisia tuloksia syntyy tänään enemmän kuin koskaan ennen historiassa

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert) 5 Matematiikka perustuu matemaattiseen logiikkaan, joka poikkeaa arkipäivän logiikasta 6 Matemattisia tuloksia syntyy tänään enemmän kuin koskaan ennen historiassa 7 Matemattinen lahjakkuus on verrattavissa taiteelliseen ja musikaaliseen lahjakkuuteen

Teoreema (Teesejä matematiikasta selityksineen) 1 Matematiikka on tieteistä vanhin 2 Matematiikka on tieteen kuningatar 3 Matematiikka on puhtaan järjen tuote (I. Kant) 4 Matematiikassa ei tiedetä mistä siinä puhutaan (D. Hilbert) 5 Matematiikka perustuu matemaattiseen logiikkaan, joka poikkeaa arkipäivän logiikasta 6 Matemattisia tuloksia syntyy tänään enemmän kuin koskaan ennen historiassa 7 Matemattinen lahjakkuus on verrattavissa taiteelliseen ja musikaaliseen lahjakkuuteen 8 Matematiikkaa voi oppia jokainen terveellä järjellä varustettu ihminen - matematiikan kurssit koetaan TTY:n vaikeimpina

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Rationaalilukujen joukko: Q = { m n m, n N, n 0}.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Rationaalilukujen joukko: Q = { m n m, n N, n 0}. Reaalilukujen joukko: R. Q R, esim. π, e, 2 R, mutta π, e, 2 Q, joten ne ovat irrationaalilukuja.

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Rationaalilukujen joukko: Q = { m n m, n N, n 0}. Reaalilukujen joukko: R. Q R, esim. π, e, 2 R, mutta π, e, 2 Q, joten ne ovat irrationaalilukuja. merkinnät n i=1 a i = a 1 + + a n,

Oletetaan tunnetuksi seuraavat käsitteet ja merkinnät joukko ja sen alkio: x A, voidaan merkitä esimerkiksi A = {x x toteuttaa jonkin ehdon}, erityisesti tyhjä joukko, osajoukko A B, aito osajoukko A B ja joukkojen samuus A = B jos A B ja B A. Joukkojen A ja B leikkaus: A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B unioni: A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B erotus: A \ B = {x x A, x B}. Luonnollisten lukujen joukko: N = {1, 2, 3, }. Kokonaislukujen joukko: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Rationaalilukujen joukko: Q = { m n m, n N, n 0}. Reaalilukujen joukko: R. Q R, esim. π, e, 2 R, mutta π, e, 2 Q, joten ne ovat irrationaalilukuja. merkinnät n i=1 a i = a 1 + + a n, i=1 a i = a 1 + a 2 +. Ks. Fitzpatric, Advanced Caclulus: Preliminaries ja Chapter 1

64=65

64=65 3 8

64=65 3 3 8 5 5 3

64=65 5 5 8 3 3 8 5 5

Johdantoa matemaattiseen logiikkaan Tarkastellaan seuraavia ongelmia: (1) Nainen kysyi mieheltä: Kenen kuvaa katselet? Mies vastasi: Minulla ei ole sisaria eikä veljiä, mutta kuvassa olevan miehen isä on isäni poika. Kenen kuvaa mies siis katseli?

Johdantoa matemaattiseen logiikkaan Tarkastellaan seuraavia ongelmia: (1) Nainen kysyi mieheltä: Kenen kuvaa katselet? Mies vastasi: Minulla ei ole sisaria eikä veljiä, mutta kuvassa olevan miehen isä on isäni poika. Kenen kuvaa mies siis katseli? Ongelman ratkaisu piilee semantiikassa, ei niinkään logiikassa.

Johdantoa matemaattiseen logiikkaan Tarkastellaan seuraavia ongelmia: (1) Nainen kysyi mieheltä: Kenen kuvaa katselet? Mies vastasi: Minulla ei ole sisaria eikä veljiä, mutta kuvassa olevan miehen isä on isäni poika. Kenen kuvaa mies siis katseli? Ongelman ratkaisu piilee semantiikassa, ei niinkään logiikassa. (2) Herra Virtanen ajoi poikansa Matin kanssa kolarin, jossa herra Virtanen kuoli heti, mutta poikansa Matti jäi henkiin vaikkakin loukkaantui pahasti ja vietiin sairaalaan. Leikkauspöydän ääreen tullut lääkäri totesi kuitenkin: Potilashan on poikani Matti, en kykene leikkaamaan häntä! Miten tämä oli mahdollista?

Johdantoa matemaattiseen logiikkaan Tarkastellaan seuraavia ongelmia: (1) Nainen kysyi mieheltä: Kenen kuvaa katselet? Mies vastasi: Minulla ei ole sisaria eikä veljiä, mutta kuvassa olevan miehen isä on isäni poika. Kenen kuvaa mies siis katseli? Ongelman ratkaisu piilee semantiikassa, ei niinkään logiikassa. (2) Herra Virtanen ajoi poikansa Matin kanssa kolarin, jossa herra Virtanen kuoli heti, mutta poikansa Matti jäi henkiin vaikkakin loukkaantui pahasti ja vietiin sairaalaan. Leikkauspöydän ääreen tullut lääkäri totesi kuitenkin: Potilashan on poikani Matti, en kykene leikkaamaan häntä! Miten tämä oli mahdollista? Ongelman ratkaisu vaatii oivalluksen, joka ei oikeastaan ole logiikkaa.

(3) Eräällä saarella asui vain kahden sortin asukkaita: niitä, jotka aina valehtelivat ja niitä, jotka aina puhuivat totta. Kerran eräs saaren asukas, Aapo nimeltään, esitti naapuristaan Pertistä väitteen: Jos minä olen totuudenpuhuja, niin Perttikin on totuudenpuhuja. Mitä Aapo ja Pertti olivat, valehtelijoita vai totuudenpuhujia?

(3) Eräällä saarella asui vain kahden sortin asukkaita: niitä, jotka aina valehtelivat ja niitä, jotka aina puhuivat totta. Kerran eräs saaren asukas, Aapo nimeltään, esitti naapuristaan Pertistä väitteen: Jos minä olen totuudenpuhuja, niin Perttikin on totuudenpuhuja. Mitä Aapo ja Pertti olivat, valehtelijoita vai totuudenpuhujia? Ongelma voidaan ratkaista formalisoimalla se ja käyttämällä matemaattista logiikkaa - soveltaen implikaation totuustaulua ja hiukan alkeisjoukko-oppia. (Harjoitustehtävänä).

(3) Eräällä saarella asui vain kahden sortin asukkaita: niitä, jotka aina valehtelivat ja niitä, jotka aina puhuivat totta. Kerran eräs saaren asukas, Aapo nimeltään, esitti naapuristaan Pertistä väitteen: Jos minä olen totuudenpuhuja, niin Perttikin on totuudenpuhuja. Mitä Aapo ja Pertti olivat, valehtelijoita vai totuudenpuhujia? Ongelma voidaan ratkaista formalisoimalla se ja käyttämällä matemaattista logiikkaa - soveltaen implikaation totuustaulua ja hiukan alkeisjoukko-oppia. (Harjoitustehtävänä). Useimmat reaalimaailman ongelmat eivät ole luonteeltaan loogisia (mutta matemaattiset ongelmat ovat usein!)

Matemaattinen logiikka on matematiikan logiikkaa. Matemaattinen formaali kieli eroaa tavallisesta kielestä niin, että siinä on ensinnäkin täsmällisesti määritelty syntaksi eli kielioppi, joka kertoo yksityiskohtaisesti, miten kielen lauseita muodostetaan. Tavallisen kielen kieliopista tämä eroaa täsmällisyytensä puolesta. Formaalissa kielessä on myös täsmällisesti määritelty semantiikka eli merkitysoppi eli totuuden käsitteen määrittely. Tavallisessa kielessä esimerkiksi lause Ah, auvoista oloa! on semantiikaltaan häilyvä; formaalissa kielessä tällaista häilyvyyttä ei ole, vaan asiat (eli kaavat) joko ovat tosia (eli valideja) tai sitten eivät ole - ellei sitten puhuta sumeasta logiikasta tai moniarvologiikasta. Oleellista siis on, että totuuskin on täsmällisesti määritelty jokaiselle kaavalle. - Formaali kieli, jota tietokonekin ymmärtää, on toisaalta ilmaisuvoimaltaan luonnnollista kieltä paljon köyhempää.

Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan:

Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan: (1) Määritellään kielen syntaksi. Ensin määritellään kielen aakkoset (esimerkiksi a, b, c,, ö tai 1, 2, +, =), jotka voivat olla mitä tahansa symboleja.

Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan: (1) Määritellään kielen syntaksi. Ensin määritellään kielen aakkoset (esimerkiksi a, b, c,, ö tai 1, 2, +, =), jotka voivat olla mitä tahansa symboleja. Sitten kerrotaan, mitkä peräkkäisten aakkosten muodostamat jonot eli sanat ovat kieliopillisesti oikeita kaavoja. Tätä terminologiaa käyttäen suomenkielisiä sanoja ovat sekä kassi että pönkki (koska ne ovat suomenkielen aakkosten muodostamia jonoja); kieliopillisesti oikea (eli kaava) näistä on vain sana kassi. Suomenkieli on tässä(kin) suhteessa vähän epämääräistä; ei ole esimerkiksi täysin selvää, onko sana kasi suomenkielen kieliopillisesti oikea sana.

Formaalin kielen opiskelu jakautuu kolmeen osaan: (1) Määritellään kielen syntaksi. Ensin määritellään kielen aakkoset (esimerkiksi a, b, c,, ö tai 1, 2, +, =), jotka voivat olla mitä tahansa symboleja. Sitten kerrotaan, mitkä peräkkäisten aakkosten muodostamat jonot eli sanat ovat kieliopillisesti oikeita kaavoja. Tätä terminologiaa käyttäen suomenkielisiä sanoja ovat sekä kassi että pönkki (koska ne ovat suomenkielen aakkosten muodostamia jonoja); kieliopillisesti oikea (eli kaava) näistä on vain sana kassi. Suomenkieli on tässä(kin) suhteessa vähän epämääräistä; ei ole esimerkiksi täysin selvää, onko sana kasi suomenkielen kieliopillisesti oikea sana. Kielen syntaksiin luetaan kuuluvaksi myös päättely. Päättelyn pohjana ovat aksioomat, jotka ovat joitakin sovittuja kaavoja. Näistä aksioomista lähtien voidaan sovituin päättelysäännöin päätellä uusia kaavoja.

Yleensä mielivaltainen kaava ei ole pääteltävissä aksioomista lähtien, mutta niitä kaavoja, jotka ovat pääteltävissä, kutsutaan kielen teoreemoiksi. Suomenkielessä päättelyn käsite on epämääräinen, eikä mitään selvää vertailukohtaa formaaliin kieleen ole.

Yleensä mielivaltainen kaava ei ole pääteltävissä aksioomista lähtien, mutta niitä kaavoja, jotka ovat pääteltävissä, kutsutaan kielen teoreemoiksi. Suomenkielessä päättelyn käsite on epämääräinen, eikä mitään selvää vertailukohtaa formaaliin kieleen ole. Syntaksin sisällä ei ole mitään totuuskäsitettä, vaan kysymys siitä, onko annettu kaava teoreema vai ei, on kysymys siitä, onko se pääteltävissä vai ei. Tässä ei siis oteta mitään kantaa siihen onko kyseinen kaava tosi vai ei. Toisaalta formaalilla kielellä pyritään kuvaamaan reaalimaailman ilmiöitä ja sovittamaan aksioomat ja päättelysäännöt siten, että teoreemoja ovat ne ja vain ne kaavat, jotka kuvaavat ilmiöitä, jotka ovat reaalimaailmassa tosia. Kuinka hyvin kyseinen formaali kieli tähän pystyy, on mittari sille, kuinka kehittynyt tämä kieli on.

(2) Määritellään kielen semantiikka, eli tulkitaan kielen täysin abstraktit kaavat (eli merkkijonot) imitoimaan jotain reaalimaailman tilannetta, jolloin voidaan tarkastella sitä, onko tämä kyseinen tilanne tosi vai ei. Tämä tapahtuu antamalla jokaiselle kielen kaavalle tulkinta. Esimerkiksi kielen kaavat voivat imitoida luonnollisten lukujen yhteenlaskua ja jokainen kaava tulkitaan muotoa n + m = k olevaksi yhtälöksi. Formaalissa kielessä näitä tulkintoja on yleensä useampia. Semantiikan määrittelyn yhteydessä sovitaan siitä, mitkä ovat hyväksyttäviä tulkintoja. Lisäksi sovitaan siitä, milloin tulkittu kaava on tosi. Nimenomaan tässä pyritään imitoimaan todellisuutta, ts. kyseinen sopimus pyritään saamaan sellaiseksi, että se vastaa intuitiivista käsitystä totuudesta. Esimerkiksi yhtälöksi m + n = k tulkittu kaava on tosi, mikäli kyseinen yhtälö toteutuu; esim. yhtälöksi 3 + 2 = 5 tulkittu kaava on tosi, mutta yhtälöksi 2 + 0 = 3 tulkittu kaava ei.

On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. (Kaavalla 3 + 2 = 5 vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siis validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla,

On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. (Kaavalla 3 + 2 = 5 vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siis validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla, entä k m = m k?)

On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. (Kaavalla 3 + 2 = 5 vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siis validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla, entä k m = m k?) (3) Tutkitaan kielen syntaksin ja semantiikan suhdetta. Tässä on kaksi pääkysymystä: (a) onko jokainen validi kaava teoreema? (b) onko jokainen teoreema validi kaava?

On huomattava, että lähtökohtana pidetään luonnollisten lukujen yhteenlaskun tuntemista. Tämä yhteenlasku on siis todellisuutta, johon kielen kaavoja heijastetaan sovitun tulkinnan kautta. Kun kaavojen hyväksyttävät tulkinnat on määritelty, sanotaan, että kaava on validi, mikäli se on tosi kaikilla hyväksyttävillä tulkinnoilla. (Kaavalla 3 + 2 = 5 vain yksi hyväksytty tulkinta ja kaava on siis validi, mikäli se on tosi tällä nimenomaisella yhtälötulkinnalla, entä k m = m k?) (3) Tutkitaan kielen syntaksin ja semantiikan suhdetta. Tässä on kaksi pääkysymystä: (a) onko jokainen validi kaava teoreema? (b) onko jokainen teoreema validi kaava? Muistetaan, että validisuus tarkoittaa sitä, että kaava on intuitiivisesti tosi (siis edellyttäen, että esitetty validisuuden määritelmä imitoi todellisuutta riittävän hyvin). Toisaalta teoreema on pääteltävissä.

Päättelysäännöt ovat kehittyneemmissä kielissä pohjimmiltaan aina samat (erot ovat näennäisiä), ne ovat hyvin yksinkertaisia ja vastaavat matemaattisen päättelyn sääntöjä. Näin päättely antaa matemaattisen todistuksen kyseiselle kaavalle.

Päättelysäännöt ovat kehittyneemmissä kielissä pohjimmiltaan aina samat (erot ovat näennäisiä), ne ovat hyvin yksinkertaisia ja vastaavat matemaattisen päättelyn sääntöjä. Näin päättely antaa matemaattisen todistuksen kyseiselle kaavalle. Teoreemalla on siis aina matemaattinen todistus annetuista aksioomista lähtien. Siten kysymykset (3a) ja (3b) voidaan esittää muodossa (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? (b) onko jokainen todistuva kaava tosi? Jotta kielen rakenteissa olisi mieltä, on vastauksen kysymykseen (b) oltava myönteinen: ei olisi järkevää, jos epätosia tuloksia voitaisiin todistaa.

Kysymys (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? on mielenkiintoisempi.

Kysymys (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? on mielenkiintoisempi. Thekkiläis-itävaltalainen loogikko Kurt Gödel todisti vuonna 1931 kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, joka sanoo että jos formaali kieli on niin kehittynyt, että sillä voidaan imitoida luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskua sekä niiden perusominaisuuksia, kielessä on tosi eli validi kaava, jota ei voi todistaa.

Kysymys (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? on mielenkiintoisempi. Thekkiläis-itävaltalainen loogikko Kurt Gödel todisti vuonna 1931 kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, joka sanoo että jos formaali kieli on niin kehittynyt, että sillä voidaan imitoida luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskua sekä niiden perusominaisuuksia, kielessä on tosi eli validi kaava, jota ei voi todistaa. Tämä on hämmästyttävä tulos: tiedetään siis, että luonnollisten lukujen aritmetiikassa on jokin seikka, joka pitää paikkansa, mutta jolle ei mitenkään voi esittää todistusta. Gödelin epätäydellisyyslauseeseen tutustutaan tarkemmin logiikan jatkokursseilla.

Kysymys (a) jos kaava on tosi, onko sillä todistus? on mielenkiintoisempi. Thekkiläis-itävaltalainen loogikko Kurt Gödel todisti vuonna 1931 kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, joka sanoo että jos formaali kieli on niin kehittynyt, että sillä voidaan imitoida luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskua sekä niiden perusominaisuuksia, kielessä on tosi eli validi kaava, jota ei voi todistaa. Tämä on hämmästyttävä tulos: tiedetään siis, että luonnollisten lukujen aritmetiikassa on jokin seikka, joka pitää paikkansa, mutta jolle ei mitenkään voi esittää todistusta. Gödelin epätäydellisyyslauseeseen tutustutaan tarkemmin logiikan jatkokursseilla. Tällä kurssilla tutustumme pintapuolisesti lauselogiikkaan ja predikaattilogiikkaan. Molemmat ovat täydellisiä. TTY:n matematiikan (perus-)kurssit eivät ole puhtaan aksiomaattisia, vaan niiden esitystapa muistuttaa lukion matematiikan kursseja.

Propositio- eli lauselogiikkaa Propositiokielen tarkoituksena on ilmaista yksinkertaisia asiantiloja kuten esimerkiksi Sokrates on ihminen, tänään sataa, 1 + 2 = 3 yms, joista voidaan intuitiivisessa mielessä sanoa, että ne ovat joko tosia tai epätosia. Propositiokielen kyky ilmaista asioita riittää esimerkiksi syllogismin Jos Sokrates on ihminen, Sokrates on kuolevainen. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen (tarkkaan ottaen propositiokielen syntaksissa voidaan kirjoittaa kaava, joka on semanttisesti tulkittavissa kyseiseksi syllogismiksi!) Toisaalta propositiokieli ei riitä syllogismin Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen. ilmaisemiseen. Tähän päästään predikaattikielissä, joka sisältää predikaatin kaikki.

Propositiologiikan atomilauseita p, q, r, on rajoittamaton määrä. Prositiologiikan loogiset konnektiivit ovat ei, ja, tai sekä jos... niin. Ne eivät täysin vastaa samalta näyttäviä luonnollisen kielen sanoja.

Propositiologiikan atomilauseita p, q, r, on rajoittamaton määrä. Prositiologiikan loogiset konnektiivit ovat ei, ja, tai sekä jos... niin. Ne eivät täysin vastaa samalta näyttäviä luonnollisen kielen sanoja. Atomilauseet ovat propositiologiikan lauseita, ja jos α, β ovat lauseita, myös α, α β, α β sekä α β ovat propositiologiikan lauseita.

Propositiologiikan atomilauseita p, q, r, on rajoittamaton määrä. Prositiologiikan loogiset konnektiivit ovat ei, ja, tai sekä jos... niin. Ne eivät täysin vastaa samalta näyttäviä luonnollisen kielen sanoja. Atomilauseet ovat propositiologiikan lauseita, ja jos α, β ovat lauseita, myös α, α β, α β sekä α β ovat propositiologiikan lauseita. Atomilauseet voivat saada totuusarvot 1 (tosi) tai 0 (epätosi). Muiden lauseiden totuusarvo määritellään seuraavasti α β α α β α β α β 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Lause, joka voi saada vain totuusarvon tosi on tautologia eli validi.

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α)

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α) 2 [α (β γ)] [(α β) (α γ)]

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α) 2 [α (β γ)] [(α β) (α γ)] 3 α α

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α) 2 [α (β γ)] [(α β) (α γ)] 3 α α Todistus Riittää tarkastella vastaavia totuustauluja. Esimerkiksi lauseskeemalle (1) on voimassa totuustaulu α β β α α (β α) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1

Teoreema Seuraavat lauseskeemat ovat tautologioita 1 α (β α) 2 [α (β γ)] [(α β) (α γ)] 3 α α Todistus Riittää tarkastella vastaavia totuustauluja. Esimerkiksi lauseskeemalle (1) on voimassa totuustaulu α β β α α (β α) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Lauseskeemat (2) ja (3) todistetaan vastaavalla tavalla (harjoitustehtävänä).

Lauselogiikan aksioomina ovat kaikki muotoa (1) - (3) olevat lauseskeemat. Ainoana päättelysääntönä on Modus Ponens: lauseista α ja α β voidaan päätellä lause β.

Lauselogiikan aksioomina ovat kaikki muotoa (1) - (3) olevat lauseskeemat. Ainoana päättelysääntönä on Modus Ponens: lauseista α ja α β voidaan päätellä lause β. Modus Ponens-säännöllä on se jokaiselle päättelysäännölle välttämätön ominaisuus, että se säilyttää totuuden: totuustaulutarkastelujan avulla nähdään, että jos sekä lause α että lause α β saavat totuusarvon 1, myös lause β saa totuusarvon 1.

Lauselogiikan aksioomina ovat kaikki muotoa (1) - (3) olevat lauseskeemat. Ainoana päättelysääntönä on Modus Ponens: lauseista α ja α β voidaan päätellä lause β. Modus Ponens-säännöllä on se jokaiselle päättelysäännölle välttämätön ominaisuus, että se säilyttää totuuden: totuustaulutarkastelujan avulla nähdään, että jos sekä lause α että lause α β saavat totuusarvon 1, myös lause β saa totuusarvon 1. Lauselogiikka on täydellinen: kaikki tautologiat ja vain ne voidaan todistaa käyttämällä pelkästään aksioomaskeemona (1) - (3) ja Modus Ponens päättelysääntöä.

Lisää konnektiiveja ja päättelysääntöjä (Lähes) kaiken matemaattisen päättelyn (eräänä) perustana on lauselogiikka. Tärkein looginen konnektiivi on looginen implikaatio, jos... niin, joka usein arkikielessä samastuu (väärin!) loogiseen ekvivalenssiin, jos ja vain jos (joss).

Lisää konnektiiveja ja päättelysääntöjä (Lähes) kaiken matemaattisen päättelyn (eräänä) perustana on lauselogiikka. Tärkein looginen konnektiivi on looginen implikaatio, jos... niin, joka usein arkikielessä samastuu (väärin!) loogiseen ekvivalenssiin, jos ja vain jos (joss). Matematiikassa määritellään α β = (α β) (β α), jolloin vastaava totuustaulu on seuraava α β α β β α α β 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Lisää konnektiiveja ja päättelysääntöjä (Lähes) kaiken matemaattisen päättelyn (eräänä) perustana on lauselogiikka. Tärkein looginen konnektiivi on looginen implikaatio, jos... niin, joka usein arkikielessä samastuu (väärin!) loogiseen ekvivalenssiin, jos ja vain jos (joss). Matematiikassa määritellään α β = (α β) (β α), jolloin vastaava totuustaulu on seuraava α β α β β α α β 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Tehtävä. Onko päättely jos A:sta seuraa B, niin ei A:sta seuraa ei B pätevä?

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Päättely ei siis ole pätevä.

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Päättely ei siis ole pätevä. Tehtävä. Osoita, että päättely jos A:sta seuraa B, niin ei B:stä seuraa ei A on pätevä.

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Päättely ei siis ole pätevä. Tehtävä. Osoita, että päättely jos A:sta seuraa B, niin ei B:stä seuraa ei A on pätevä. Looginen konnektiivi tai α β sallii molemmat vaihtoehdot. Voidaan määritellä myös poissulkeva tai asettamalla α β = (α β) ( α β);

Ratkaisu Formalisoidaan päättely lauselogiikan kaavaksi [(α β)] [( α β)]. Vastaava totuustaulu on α β α β α β) (α β) ( α β) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Päättely ei siis ole pätevä. Tehtävä. Osoita, että päättely jos A:sta seuraa B, niin ei B:stä seuraa ei A on pätevä. Looginen konnektiivi tai α β sallii molemmat vaihtoehdot. Voidaan määritellä myös poissulkeva tai asettamalla α β = (α β) ( α β); se saa totuusarvon 1 täsmälleen silloin kuin vain toinen vaihtoehdoista saa totuusarvon 1.

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ Modus Tollendo Ponens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ Modus Tollendo Ponens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Disjunktiivinen Syllogismi: ehdoista α β, α γ ja β δ voidaan päätellä γ δ.

Ammoisista ajoista lähtien on tunnettu seuraavat pätevät päättelysäännöt Modus Tollendo Tollens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Hypoteettinen Syllogismi: ehdoista α β ja β γ voidaan päätellä α γ Modus Tollendo Ponens: ehdoista β ja α β voidaan päätellä α Disjunktiivinen Syllogismi: ehdoista α β, α γ ja β δ voidaan päätellä γ δ. Harjoitustehtävänä on totuustaulutarkastelun avulla osoittaa, että kaikki nämä päättelysäännöt säilyttävät totuuden. Kysymys pohdittavaksi: Jos nämä säännöt lisätään Modus Ponens säännön ohella lauselogiikkaan, niin kasvaako todistuvien lauseiden joukko?

Predikaattilogiikkaa Laajennetaan lauselogiikkaa niin, että sen ilmaisuvoima paranee. Esimerkiksi syllogismi Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen voidaan formalisoida predikaattilogiikassa, joka sisältää sanat kaikki, ja on olemassa (ainakin yksi), jollaisia ilmaisuja lauselogiikka ei tunne.

Predikaattilogiikkaa Laajennetaan lauselogiikkaa niin, että sen ilmaisuvoima paranee. Esimerkiksi syllogismi Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Siis Sokrates on kuolevainen voidaan formalisoida predikaattilogiikassa, joka sisältää sanat kaikki, ja on olemassa (ainakin yksi), jollaisia ilmaisuja lauselogiikka ei tunne. Tämä lisäys saattaa ensin ajatellen vaikuttaa mitättömältä, mutta huonosti kääntyisi propositiokielelle esimerkiksi lause None of the paintings is valuable, except the battle pieces. All the battle pieces are painted in oils. Some of the paintings are not painted in oils. Some paintings are not framed. Therefore, none of the paintings not painted in oils is valuable. Lauselogiikassa tätä päättelyä ei voi formalisoida, mutta predikaattilogiikassa voi. Samalla voidaan tarkistaa, onko ylläoleva päättely pätevä.

Predikaattikielen atomilauseet ovat muotoa P(c 1,, c n ), missä P on n paikainen predikaatti ja c 1,, c n ovat vapaita tai vakio muuttujasymboleita.

Predikaattikielen atomilauseet ovat muotoa P(c 1,, c n ), missä P on n paikainen predikaatti ja c 1,, c n ovat vapaita tai vakio muuttujasymboleita. Esimerkiksi muuttujasymbolit voivat olla luonnollisia lukuja ja kolmipaikkainen predikaatti P(x, y, z) voi tarkoittaa lukujen x ja y neliöiden summa on luvun z neliön summa (Pythagoraan lause!) - silloin P(3, 4, 5) on tosi mutta P(1, 2, 3) on epätosi.

Predikaattikielen atomilauseet ovat muotoa P(c 1,, c n ), missä P on n paikainen predikaatti ja c 1,, c n ovat vapaita tai vakio muuttujasymboleita. Esimerkiksi muuttujasymbolit voivat olla luonnollisia lukuja ja kolmipaikkainen predikaatti P(x, y, z) voi tarkoittaa lukujen x ja y neliöiden summa on luvun z neliön summa (Pythagoraan lause!) - silloin P(3, 4, 5) on tosi mutta P(1, 2, 3) on epätosi. Predikaattilogiikan lauseet määritellään samalla tavalla kuin lauselogiikan lauseet sillä lisäyksellä, että jos α on lause, myös xα on lause (lue: kaikilla muuttujilla x α pätee) ja xα on lause (lue: on olemassa muuttuja x jolla α pätee).

Predikaattikielen atomilauseet ovat muotoa P(c 1,, c n ), missä P on n paikainen predikaatti ja c 1,, c n ovat vapaita tai vakio muuttujasymboleita. Esimerkiksi muuttujasymbolit voivat olla luonnollisia lukuja ja kolmipaikkainen predikaatti P(x, y, z) voi tarkoittaa lukujen x ja y neliöiden summa on luvun z neliön summa (Pythagoraan lause!) - silloin P(3, 4, 5) on tosi mutta P(1, 2, 3) on epätosi. Predikaattilogiikan lauseet määritellään samalla tavalla kuin lauselogiikan lauseet sillä lisäyksellä, että jos α on lause, myös xα on lause (lue: kaikilla muuttujilla x α pätee) ja xα on lause (lue: on olemassa muuttuja x jolla α pätee). Mielenkiintoisia ovat suljetut lauseet, jotka eivät sisällä vapaita muuttujia, esimerkiksi lause x y[p(x) Q(y)] on suljettu, mutta lause x[p(x) Q(y)] ei ole.

Valitettavasti predikaattilogiikan lauseiden totuutta ei voi tarkistaa totuustaulujen avulla, eikä totuuden yksityskohtaiseen määrittelyyn tällä kurssilla mennä, todetaan epämääräisesti vain, että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi kaikilla mahdollisilla muuttujan x arvoilla ja että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi jollakin muuttujan x arvolla.

Valitettavasti predikaattilogiikan lauseiden totuutta ei voi tarkistaa totuustaulujen avulla, eikä totuuden yksityskohtaiseen määrittelyyn tällä kurssilla mennä, todetaan epämääräisesti vain, että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi kaikilla mahdollisilla muuttujan x arvoilla ja että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi jollakin muuttujan x arvolla. Voidaan osoittaa, että lauseilla x α ja xα on aina täsmälleen sama totuusarvo. Usein käytetään myös kvanttoria! on olemassa yksikäsitteinen

Valitettavasti predikaattilogiikan lauseiden totuutta ei voi tarkistaa totuustaulujen avulla, eikä totuuden yksityskohtaiseen määrittelyyn tällä kurssilla mennä, todetaan epämääräisesti vain, että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi kaikilla mahdollisilla muuttujan x arvoilla ja että lause xp on tosi jos ja vain jos P on tosi jollakin muuttujan x arvolla. Voidaan osoittaa, että lauseilla x α ja xα on aina täsmälleen sama totuusarvo. Usein käytetään myös kvanttoria! on olemassa yksikäsitteinen Predikaattilogiikan aksiomat ovat samat kuin lauselogiikan, lisäksi on (oleellisesti) muotoa xα(x) α(a) oleva aksiooma, missä x on vapaa ja a vakio muuttujasymboli ja α(a) tarkoittaa, että x:n paikalle on sijoitettu a kaavassa α(x). Predikaattilogiikka on täydellinen: todistuvat lauseet ovat täsmälleen samat kuin validit lauseet.

Ensimmäisinä opiskeluvuosina riittää, kun osaa kvanttoreiden ja oikean käytön. Esimerkiksi kvanttoreiden järjestystä ei saa vaihtaa x yp(y, x) ei ole sama kuin y xp(y, x)

Ensimmäisinä opiskeluvuosina riittää, kun osaa kvanttoreiden ja oikean käytön. Esimerkiksi kvanttoreiden järjestystä ei saa vaihtaa x yp(y, x) ei ole sama kuin y xp(y, x) (tämä pätee luonnollisessa kielessäkin: jos x tarkoittaa poikaa ja y tyttöä sekä P(y,x) tarkoittaa y on x:n tyttöystävä, on lauseiden merkitys eri, samoin on laita myös lauseiden totuusarvon.)

Ensimmäisinä opiskeluvuosina riittää, kun osaa kvanttoreiden ja oikean käytön. Esimerkiksi kvanttoreiden järjestystä ei saa vaihtaa x yp(y, x) ei ole sama kuin y xp(y, x) (tämä pätee luonnollisessa kielessäkin: jos x tarkoittaa poikaa ja y tyttöä sekä P(y,x) tarkoittaa y on x:n tyttöystävä, on lauseiden merkitys eri, samoin on laita myös lauseiden totuusarvon.) Lukiosta tuttu on funktion f jatkuvuuden määritelmä: f on jatkuva pisteessä x 0, jos ja vain jos ɛ > 0 : δ > 0: x 0 x < δ f (x) f (x 0 ) < ɛ(x x 0 ). Tässäkään ei kvanttoreiden ja paikkaa saa vaihtaa.

Todistustekniikoista Lause- ja predikaattilogiikan todistusmenetelmät ovat suoraan sovellettavissa mihin tahansa matematiikan alaan. Tarkastellaan vielä seuraavia matemaattisen todistamisen muotoja: suora todistus, epäsuora todistus ja induktiotodistus.

Todistustekniikoista Lause- ja predikaattilogiikan todistusmenetelmät ovat suoraan sovellettavissa mihin tahansa matematiikan alaan. Tarkastellaan vielä seuraavia matemaattisen todistamisen muotoja: suora todistus, epäsuora todistus ja induktiotodistus. Suora todistus Suorassa todistuksessa oletuksista edetään väitteeseen käyttäen hyväksi oletuksena annettuja tunnettuja tosiasioita ja suoran päättelyn sääntöä (eli implikaatiota ). Huomaa, että väitettä EI saa käyttää todistuksessa!

Todistustekniikoista Lause- ja predikaattilogiikan todistusmenetelmät ovat suoraan sovellettavissa mihin tahansa matematiikan alaan. Tarkastellaan vielä seuraavia matemaattisen todistamisen muotoja: suora todistus, epäsuora todistus ja induktiotodistus. Suora todistus Suorassa todistuksessa oletuksista edetään väitteeseen käyttäen hyväksi oletuksena annettuja tunnettuja tosiasioita ja suoran päättelyn sääntöä (eli implikaatiota ). Huomaa, että väitettä EI saa käyttää todistuksessa! Esimerkki. Oletus Olkoon n pariton kokonaisluku. Väite n 2 on pariton.

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 =

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 =

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k(k + 1) ) + 1. }{{} =p

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k(k + 1) ) + 1. }{{} =p Löydettiin siis kokonaisluku p siten, että n 2 = 2p + 1. Siis myös n 2 on pariton.

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k(k + 1) ) + 1. }{{} =p Löydettiin siis kokonaisluku p siten, että n 2 = 2p + 1. Siis myös n 2 on pariton. Epäsuora todistus

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k(k + 1) ) + 1. }{{} =p Löydettiin siis kokonaisluku p siten, että n 2 = 2p + 1. Siis myös n 2 on pariton. Epäsuora todistus Muodostetaan ensiksi oletus ja väite. Epäsuorassa todistuksessa tehdään vastaväite eli antiteesi, väitteen negaatio. Todistuksessa osoitetaan, että antiteesistä ja tehtävän alkuperäisestä oletuksesta seuraa ristiriita. Tällöin antiteesi on väärä ja väite on oikea.

Todistus Koska n on pariton, on se muotoa n = 2k + 1 (missä k on kokonaisluku). Siten n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k(k + 1) ) + 1. }{{} =p Löydettiin siis kokonaisluku p siten, että n 2 = 2p + 1. Siis myös n 2 on pariton. Epäsuora todistus Muodostetaan ensiksi oletus ja väite. Epäsuorassa todistuksessa tehdään vastaväite eli antiteesi, väitteen negaatio. Todistuksessa osoitetaan, että antiteesistä ja tehtävän alkuperäisestä oletuksesta seuraa ristiriita. Tällöin antiteesi on väärä ja väite on oikea. Loogisesti epäsuora todistus vastaa päättelyä: ehdoista α, α α voidaan päätellä α.

Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen.

Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen. Todistus Antiteesi kuuluu: n on pariton ts. n = 2k + 1. Silloin (edellisen esimerkin mukaan) olisi n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 eli n 2 olisikin pariton, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis väite on oikea..

Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen. Todistus Antiteesi kuuluu: n on pariton ts. n = 2k + 1. Silloin (edellisen esimerkin mukaan) olisi n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 eli n 2 olisikin pariton, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis väite on oikea.. Väitteen vääräksi osoittaminen Yleensä matematiikan teoreemat koskevat kaikkia jonkin joukon alkioita. Väitteen todistamiseksi epätodeksi riittää löytää yksi erikoistapaus, jossa väite ei päde.

Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen. Todistus Antiteesi kuuluu: n on pariton ts. n = 2k + 1. Silloin (edellisen esimerkin mukaan) olisi n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 eli n 2 olisikin pariton, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis väite on oikea.. Väitteen vääräksi osoittaminen Yleensä matematiikan teoreemat koskevat kaikkia jonkin joukon alkioita. Väitteen todistamiseksi epätodeksi riittää löytää yksi erikoistapaus, jossa väite ei päde. Esimerkki Väite Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x 2 4x + 4 > 0. Todistus vääräksi: Tarkastellaan tapausta x = 2. Silloin olisi 2 2 8 + 4 > 0.

Esimerkki Oletus n 2 on parillinen kokonaisluku. Väite n on parillinen. Todistus Antiteesi kuuluu: n on pariton ts. n = 2k + 1. Silloin (edellisen esimerkin mukaan) olisi n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 eli n 2 olisikin pariton, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis väite on oikea.. Väitteen vääräksi osoittaminen Yleensä matematiikan teoreemat koskevat kaikkia jonkin joukon alkioita. Väitteen todistamiseksi epätodeksi riittää löytää yksi erikoistapaus, jossa väite ei päde. Esimerkki Väite Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x 2 4x + 4 > 0. Todistus vääräksi: Tarkastellaan tapausta x = 2. Silloin olisi 2 2 8 + 4 > 0. Tällöin 0 > 0, mikä on epätosi. Vastaesimerkki x = 2 kumoaa siis väitteen.

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A),

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate.

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate. Induktiotodistuksen perusmalli Matemaattisen induktion periaate tarkoittaa induktioaksiooman käyttöä seuraavaan tapaan. On todistettava jokin kaikkia luonnollisia lukuja koskeva väite P. (1) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun n = 1.

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate. Induktiotodistuksen perusmalli Matemaattisen induktion periaate tarkoittaa induktioaksiooman käyttöä seuraavaan tapaan. On todistettava jokin kaikkia luonnollisia lukuja koskeva väite P. (1) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun n = 1. (2) Induktioaskel: Induktio-oletus Väite on voimassa, kun n = k. Induktioväite Väite on voimassa, kun n = k + 1.

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate. Induktiotodistuksen perusmalli Matemaattisen induktion periaate tarkoittaa induktioaksiooman käyttöä seuraavaan tapaan. On todistettava jokin kaikkia luonnollisia lukuja koskeva väite P. (1) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun n = 1. (2) Induktioaskel: Induktio-oletus Väite on voimassa, kun n = k. Induktioväite Väite on voimassa, kun n = k + 1. (3) Osoitetaan, että tehtävän oletuksista seuraa, että väite on totta myös kun n = k + 1.

Matematiikan induktioaksiooman perusmuoto kuuluu: Olkoon A joukko luonnollisia lukuja. Jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (1) 1 A, (2) A sisältää jokaisen lukunsa n ( A) seuraajan n + 1 ( A), niin on A = N (luonnollisten lukujen joukko). Induktioaksiooma on induktiotodistuksen toimintaperiaate. Induktiotodistuksen perusmalli Matemaattisen induktion periaate tarkoittaa induktioaksiooman käyttöä seuraavaan tapaan. On todistettava jokin kaikkia luonnollisia lukuja koskeva väite P. (1) Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun n = 1. (2) Induktioaskel: Induktio-oletus Väite on voimassa, kun n = k. Induktioväite Väite on voimassa, kun n = k + 1. (3) Osoitetaan, että tehtävän oletuksista seuraa, että väite on totta myös kun n = k + 1. - Induktioaksiooma takaa, että P on voimassa.

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1.

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1):

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK.

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta.

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k + 2 on totta.

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k + 2 on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle): (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k + 2 on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle): (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 > (k + 1) + 2k + 1 }{{} ind.ol

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k + 2 on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle): (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 > (k + 1) + 2k + 1 = 3k + 2 > k + 2 }{{} ind.ol

Yleisemmin induktiolla voidaan osoittaa, että jokin väite pätee luonnollisille luvuille k jostakin pienimmästä luvusta lähtien. Esimerkki Osoita, että n 2 > n + 1, kun n on positiivinen kokonaisluku ja n > 1. (1) Alkuaskel: Kokeillaan pitääkö väite paikkaansa, kun n = 2 (2 on ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1): 2 2 = 4 > 3 = 2 + 1 OK. (2) Induktio-oletus: k 2 > k + 1 on totta. Induktioväite: (k + 1) 2 > (k + 1) + 1 = k + 2 on totta. (3) Todistus (induktioväitteelle): (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 > = (k + 1) + 1. }{{} ind.ol (k + 1) + 2k + 1 = 3k + 2 > k + 2