MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5 1 ovat yhdensuuntaiset. Oikein. Kulmakertoimet samat 2.2 Suorat 10 +2 +2=0 ja =5 +3 ovat yhdensuuntaiset Oikein. Jakamalla ensimmäinen yhtälö luvulla 2 nähdään kulmakertoimeksi tulevan y=5x 2.3 Suoran = 3 2 normaalin kulmakerroin on Oikein. Kulmakertoimien tulo on -1 2.4 Suorien = 3 2 ja =3 +2 välinen kulma on 90 astetta. Väärin. Kulmakertoimien tulo -9 on eri suuri kuin -1 2.5 Suora = kulkee aina origon kautta. Oikein. Piste (0,0) toteuttaa yhtälön = 2.6 Pisteiden 10, 13 ja 5,7 kautta kulkeva suora kulkee origon kautta. Väärin. Origon ja pisteen (-10, -13) kautta kulkee vain suora = Origon ja pisteen (5, 7) kautta kulkee vain suora = Ei ole yhtä sellaista suoraa, joka kulkisi samaan aikaan origon ja annettujen pisteiden kautta. TAPA2: Lasketaan toteuttaako (0,0) pisteiden (-10,-13) ja (5,7) kautta kulkevan suoran yhtälön: 0 10, josta saadaan 13=40/3, EPÄTOSI 0 13=

3. Valitse oikea vastausvaihtoehto. 3.1 Onko y-akseli ympyrän 3 + 4 =9 tangentti? Kyllä. Säde on 3 ja keskipisteen x-koordinaatti on 3, joten ympyrä sivuaa y-akselia. 3.2 Onko suoralla = 1 2 +2 ja ympyrällä 3 + 4 =9 yhteisiä pisteitä? Kyllä, kaksi yhteistä pistettä. 3 + 1 2 +2 4 =9 3 + 1 2 2 =9 6 +9+ 1 2 2 1 2 +4=9 6 + 1 2 2+2 2 +2 2 +4=0 2 2+4 + 2 2 8 +4=0 2+2 + 2 4 +2=0 : 2 4 8 2+2 =2 8 2+16+8 2 16=2>0, 3.3 Onko suora = 1 2 +2 ympyrän 3 + 4 =9 tangentti? Ei. Suora ei sivua, vaan leikkaa ympyrän, koska niillä on kaksi yhteistä pistettä. 3.4 Kuinka kaukana ympyrän 3 + 4 =9 keskipiste on origosta? Ympyrän keskipisteen etäisyys origosta on 5. Keskipiste on (3,4) 3 +4 =5 3.5 Sivuaako ympyrä + =4 ympyrää 3 + 4 =9? Kyllä. Keskipisteiden (0,0) ja (3,4) välinen etäisyys 5 on yhtä suuri kuin säteiden summa 2+3=5.

4. Tutki kuvia ja valitse oikeat vastaukset 4.1 Kuvassa A olevan ympyrän säde on Säde on 1x1 -kokoisen ruudun lävistäjä. 4.2 Kuvassa A olevan ympyrän yhtälö on + =. Ympyrän keskipiste on (3,2) ja säteen neliö on 2. 4.3 Minkä yhtälöparin ratkaisuna saadaan kuvassa B olevan pisteen O koordinaatit? Kuvan suorien leikkauspiste O saadaan yhtälöparista = = + 4.4 Kummassa kuvassa piste O toteuttaa yhtälön = 1? Molemmissa kuvissa. (kuvan A piste (3,2) toteuttaa yhtälön 2=3-1)

5. 5.1 Kuinka pitkälle hyppääjä liitelee alastulorinnettä pitkin metrin tarkkuudella mitattuna, jos nopeus v = 20 metriä sekunnissa, alastulorinnettä kuvaa suora y = 0,5 x ja mittauksen aloituspisteenä on origo? 70-79 m Ratkaistaan suoran = 0,5 ja paraabelin = 9,81 +1 leikkauspisteen etäisyys origosta (alastulopiste on leikkauspisteistä se, jolle x>0) Hypyn pituus on 69,84 m, joka pyöristettynä metrin tarkkuuteen on 70 m. 5.2 Kuinka suuri lähtönopeus tarvitaan 100 metrin hyppyyn? Hypyn pituus mitataan edelleen rinnettä pitkin lähtien origosta. 24,8 m/s Ratkaistaan nopeus v annetuilla ehdoilla: 100 metrin hyppyyn vaaditaan 24,8 m/s nopeutta

6. Tarkastellaan suoraa + =. 6.1 Suora leikkaa y-akselin kohdassa y = a. y-akselin leikkauspisteessä x=0, = = 6.2 Suora leikkaa x-akselin kohdassa x = b. x-akselin leikkauspisteessä y=0, = = 7. Mitkä ehdot kuuluvat millekin kuvan suoralle? a > 0 ja b > 0 Suora A a < 0 ja b > 0 Suora D a > 0 ja b < 0 Suora C a < 0 ja b < 0 Suora B 8. Määritä pisteen, lyhin etäisyys ympyrän + + + = kehästä. 8.1 Pisteen lyhin etäisyys ympyrän kehästä on pienempi kuin yksi. 8.2 Onko annettu piste (1,-1) ympyrän sisä- vai ulkopuolella? Piste on ympyrän ulkopuolella. Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö: +2 + +1 = 5 Keskipiste on (-2,-1) ja säde noin 2,23 Pisteen (1,-1) etäisyys keskipisteestä: 1 2 + 1 1 =3 (yli säteen päässä) Pisteen (1,-1) etäisyys ympyrän kehästä: 3 5 =0,76 (pienempi kuin yksi)

9. Kuinka kaukana piste, on ympyrän + + + = keskipisteestä? 9.1 Pisteen (5,7) etäisyys ympyrän keskipisteestä on tasan 25 Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö: +10 + +13 = 20 keskipiste (-10,-13) Pisteiden (5, 7) ja (-10, -13) välinen etäisyys: 5 10 + 7 13 =25 9.2 Piste (5,7) on ympyrän ulkopuolella Piste on yli säteen päässä keskipisteestä. 10. Määritä parametri a siten, että ympyrä + = sivuaa ympyrää + =. (videoaineisto) 10.1 Liikkuvan ympyrän keskipiste on (a/2, 0) 10.2 Liikkuvan ympyrän halkaisija on a 10.3 Monellako eri tavalla tehtävässä määritellyt ympyrät voivat sivuta toisiaan? kahdella tavalla 10.4 Esittääkö tämä lauseke pisteiden (a/2, 0) ja (5, 5) välisen janan pituutta? kyllä 10.5 Sillä hetkellä kun tehtävässä annetut ympyrät sivuavat, sivuamispiste on keskipisteiden kautta kulkevalla suoralla. kyllä 10.6 Jos ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden säteiden summa, niin ympyrät sivuavat toisiaan. kyllä 10.7 Jos ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin luku, joka saadaan vähentämällä suuremmasta säteestä pienempi, niin ympyrät sivuavat toisiaan. kyllä 10.8 Tehtävän vastaus: Annetut ympyrät sivuavat toisiaan, kun a = 46/7 ja a = 46/3