Elektrodynamiikka 2010 Luennot 11.2.2010 Elina Keihänen Staattinen sähkökenttä - Eristepalkki levykondensaattorissa - Eristekappaleen energia - Maxwellin jännitystensori Staattinen magneettikenttä - Stationaariset virrat
Sähköstaattinen energia: kertaus Määritellään varaussysteemin sähköstaattinen energia työnä, joka tarvitaan systeemin kokoamiseksi. Lähtökohta (nollaenergia) on tilanne jossa ulkoiset varaukset ovat äärettömyydessä ja eristekappaleet polarisoitumattomia. Jatkuvile jakaumille U = 1 2 ϕ(r)ρ(r)dv Sähköstaattinen energia voidaan kirjoittaa myös kenttien avulla (sähköstaattinen energiatiheys) u = 1 2 D E Jos systeemissä on pistevarauksia, niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti. Esimerkki: tasaisesti varattu pallonkuori
Systeemissä vaikuttavia voimia voi määrittää tarkastelemalla energian muutoksia voiman suuntaisessa siirroksessa. Eristetyssä systeemissä voiman tekemä työ tapahtuu sähköstaattisen energian kustannuksella, joten F = du dr Jos toisaalta kaikki varaukset ovat johteilla, jotka pidetään vakiopotentiaalissa ulkoisen energialähteen (paristo) avulla, saadaan F = du dr Jos systeemi on mahdollista ajatella kummanlaiseksi tahansa (esim. kondensaattori jonka levyt ovat kiinteät) antavat molemmat laskutavat saman voiman, sillä systeemi ei alkutilanteessa tiedä onko se eristetty vai ei. Q V
Esimerkki. Eristepalkki levykondensaattorissa Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki, jonka permittiivisyys on ǫ. Kondensaattorin levyjen etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin jännitteen vakiona ϕ, jolloin myös sähkökenttä on vakio, E = V/d. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää palkkia kondensaattoriin. d E F + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + L x L x Kondensaattorin sisällä kenttä on tasainen. Palkkiin vaikuttavasta voimasta on kuitenkin vastuussa kondensaattorin reuna, jossa sähkökenttä ei ole tasainen. Reunakenttä on monimutkainen laskea.
d E F + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + L x L x Tarkastellaan muutosta systeemin energiassa kun palkkia siirretään. Energiatiheys on u = ǫe 2 /2 Systeemin energia kuvan tilanteessa on U(x) = ǫ 2 E 2 wxd + ǫ 0 2 E 2 w(l x)d +reuna Jos palkki on pitkä, reunakenttä ei muutu. Voima F x = U x == ǫ r 1 ǫ 0 E 2 wd 2 osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä.
Eristekappaleen energia Lasketaan miten systeemin sähköstaattiseen energiaan vaikuttaa se että systeemiin tuodaan eristekappale. Oletetaan että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakauman ρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0. Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta muodostuva eristekappale V 1 (permittiivisyys ǫ 1 ) siten, että alkuperäisen kentän E 0 aiheuttava varausjakauma ei muutu. Ennen eristekappaleen tuontia sähköstaattinen energia on U 0 = 1 E 0 D 0 dv 2 missä D 0 = ǫ 0 E 0. Kappaleen tuonnin jälkeen energia on U 1 = 1 E D dv 2 Energioiden erotus U = U 1 U 0 voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (E D 0 D E 0 ) dv + 1 (E + E 0 ) (D D 0 ) dv 2 2
Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = ϕ. Integrandiksi tulee osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ (D D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos on siis U = 1 (E D 0 D E 0 ) dv 2 Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan V 1 (eristekappale), sillä sen ulkopuolella D = ǫ 0 E. Sähkövuon tiheyden määritelmän (D = ǫ 0 E + P) perusteella integrandiksi tulee siis 1 2 P E 0 Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen energiatiheys on siten u = 1 2 P E 0 Tuloksen avulla voidaan päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan. Esim. Pieni eristekappale pistevarauksen kentässä.
Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Tutustutaan tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorin avulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakauma ρ. Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan F = ρ(r)edv = f(r)dv missä V V f = ρe = ǫ 0 ( E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti. Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi.
Kirjoitetaan auki voiman x-komponentti. f x = ǫ 0 [E x x E x + E x y E y + E x z E z ] = ǫ 0 [ 1 2 x(e 2 x ) + y (E y E x ) + z (E z E x ) E y y E x E z z E x ] Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli E = 0, niin x E y y E z z E x = y E x = z E y = x E z Saadaan f x = ǫ 0 [ x (E 2 x 1 2 E2 ) + y (E y E x ) + z (E z E x )] ja vastaava tulos muille komponenteille.
[ Vektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos ] ψ dv = n ψ ds V Tavanomainen divergenssiteoreema riittänee: rakennetaan vektori [ u = ǫ 0 (Ex 2 1 ] 2 E2 )e x + (E y E x )e y + (E z E x )e z V jolloin f x = ǫ 0 [ x (Ex 2 1 ] 2 E2 ) + y (E y E x ) + z (E z E x ) = u on u:n divergenssi. Käytetään jälleen kerran Gaussin lausetta, ja muunnetaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi. Kokonaisvoiman x-komponentiksi saadaan F x = f x (r)dv V = u dv = n u ds V S
ja edelleen F x = ǫ 0 [n x (Ex 2 1 S 2 E2 ) + n y E y E x + n z E z E x ] ds = ǫ 0 [(E x n x + E y n y + E z n z )E x 1 S 2 E2 n x ] ds = ǫ 0 [(n E)E x 1 2 E2 n x ] ds S Koko vektoriksi saadaan F = (ǫ 0 (n E)E 1 2 ǫ 0nE 2 ) ds S
Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S, jonka pintatiheyden f S komponentti i on f S i = 3 T ij n j j=1 missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T ij = ǫ 0 (E i E j 1 2 δ ije 2 ) Voimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä: f i = 3 j T ij j=1
Maxwellin jännitystensori auki kirjoitettuna: T ij = ǫ 0 Pintavoima oli 1 2 (E 2 x E 2 y E 2 z ) E x E y E x E z E y E x 1 2 (E 2 y E 2 x E 2 z ) E ye z E z E x E z E y 1 2 (E 2 z E 2 x E 2 y ) f S i = 3 T ij n j Elementti T ij kertoo j-suuntaiseen pintaelementtiin kohdistuvan i-suuntaisen voiman. j=1 T 11 on paine T 12 ja T 13 edustavat jännityksiä (stress) Voimatiheys puolestaan on f i = Divergenssi tensorista on vektori. 3 j T ij j=1
Voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä, että N = V r f dv on sama kuin NS = S r fs ds. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttään.
Esimerkki: johdekappale Kappaleeseen kohdistuva voima voitiin siis lausua pintavoimana F = (ǫ 0 (n E)E 1 2 ǫ 0nE 2 ) ds S Sovelletaan tätä pintaan, joka juuri ja juuri sulkee sisäänsä johdekappaleen. Silloin E = En, jolloin 1 F = 2 ǫ 0nE 2 ds ja kun vielä muistetaan että johteille σ = ǫ 0 E n, saadaan F = 1 σ s EdS 2 S S
Staattinen magneettikenttä
Maxwellin yhtälöt: E = ρ/ǫ 0 (1) B = 0 (2) E = B t (3) B = µ 0 J + 1 E c 2 t (4) Stationaarisessa tilanteessa ei esiinny ajasta riippuvia kenttiä. Maxwellin yhtälöt yksinkertaistuvat muotoon E = ρ/ǫ 0 B = 0 E = 0 B = µ 0 J Kenttien lähteinä toimivat ajasta muuttumattomat varaustiheys ρ ja virrantiheys J. Stationaarinen virtaus synnyttää staattisen magneettikentän.
Sähkövirta Sähkövirta on varausten liikettä. Tarkastellaan joukkoa varauksellisia hiukkasia, joiden varaus on q, lukumäärätiheys n ja nopeus v. Sähkövirta I määritellään annetun pinnan läpi aikayksikössä kulkevan varauksen määränä I = dq/dt Olkoon ds jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta on di = missä J on virrantiheys. nqvdt n ds dt = ρv n ds = J ds Virrantiheys on samankaltainen vuosuure kuin esim. sähkövuon tiheys D. Fysikaalinen vuo (=virta) pinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli.
Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C/s. Virrantiheys on virta pinta-alan läpi, joten sen yksikkö on A/m 2. SI-yksiköissä sähkövirran yksikkö otetaan perussuureeksi ja kaikki muut sähköiset yksiköt voidaan ilmaista ampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla.
Tarkastellaan pinnan S läpi kulkevaa virtaa I = dq/dt. Virta määräytyy yksinomaan pinnan läpi aikayksikössä kulkevasta nettovarauksesta J = ρv = nqv Sama virta voi rakentua eri tavoin, esim: - Hitaasti liikkuvia suuria varauksia - Nopeasti liikkuvia pieniä varauksia - Negatiiviseen suuntaan liikkuvia negatiivisia varauksia Virta voi esiintyä ilman nettovaraustiheyttä. Huom. Lausekkeessa ρv esiintyvä ρ sisältää vain liikkeeseen osallistuvat varaukset. Virta ei myöskään edellytä johtimen olemassaoloa. Esim. pyörivä varauslevy.
Jatkuvuusyhtälö Virrantiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Suljetun pinnan S läpi alueeseen V tuleva virta on (n osoittaa ulospäin) I = J n ds = J dv S Koska kokonaisvaraus säilyy, tämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma varaus I = dq/dt = d ρ(r, t)dv dt Oletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalin sisään. Koska ρ on sekä ajan että paikan funktio, kokonaisderivaatta muuttuu osittaisderivaataksi: ρ(r, t) I = dv t joten V V ( ρ/ t + J) dv = 0 V V
Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saadaan virralle jatkuvuusyhtälö ρ/ t + J = 0 Jatkuvuusyhtälö seuraa suoraan varauksen säilymislaista. Mikäli varaustiheys on ajasta riippumaton eli J = 0, sähkövirralla ei ole lähteitä tai nieluja ja siten kaikki virtaviivat sulkeutuvat tai jatkuvat äärettömyyksiin. Tällaista virtausta kutsutaan stationaariseksi.
Sähkövirta johteessa Tarkastellaan johdetta, johon ulkoinen energialähde (paristo) syöttää jatkuvasti varausta niin että johteen läpi kulkee (stationaarinen) virta. Sähköstatiikassa opittiin että - johteessa ei ole sähkökenttää - johteessa ei ole nettovarausta - sähkökenttä johteen pinnalla on kohtisuorassa pintaa vastaan Nämä kaikki perustuivat staattisuusoletukseen. Mikään näistä ei enää päde jos ulkoinen lähde pitää yllä virtaa kappaleessa! Paristo pitää yllä jännitettä (potentiaalieroa) johteen eri osien välillä johteessa on sähkökenttä!
Ohmin laki On kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirta riippuu lineaarisesti sähkökentästä: J = σe Tämä on Ohmin laki ja sen verrannollisuuskerroin σ on johtavuus (älä sekoita pintavaraukseen!). Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttä ole kovin suuri. Se ei kuitenkaan ole sellainen fysiikan peruslaki kuin esim. Maxwellin yhtälöt tai varaustiheyden jatkuvuusyhtälö. Johtavuuden käänteislukua kutsutaan ominaisvastukseksi eli resistiivisyydeksi. Johtavuuden SI-yksikkö on [σ] = (A/m 2 )/(V/m) = A/(Vm), joten ominaisvastuksen yksiköksi tulee Vm/A. Toisaalta V/A on tuttu vastuksen yksikkö ohmi (Ω), joten ominaisvastuksen yksikkö on Ωm ja johtavuuden Ω 1 m 1 = S/m, (S=siemens).
Esimerkki: Homogeenisen johdelevyn resistanssi Homogeenisen äärettömän johdelevyn (paksuus D) johtavuus on σ. Mikä on levyn resistanssi pinta-alayksikköä kohden? Ajatellaan levy kytketyksi jännitteeeen V. Sähkökenttä levyssä on silloin E = V D e x ja siinä kulkee tasainen virrantiheys Virta pinta-alaa A kohden on J = σe = σv D e x I = AJ = AσV D Levyn resistanssi pinta-alaa A kohden on silloin R = V/I = D σa
Taulukossa luetellaan joidenkin hyvien johteiden resistiivisyyksiä. Taulukko: Aineiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden käänteisluku. aine resistiivisyys aine resistiivisyys 10 8 Ωm 10 8 Ωm alumiini 2,65 kupari 1,67 grafiitti 1375 nikkeli 6,84 hopea 1,59 rauta 9,71 konstantaani 50 sinkki 5,92 kulta 2,35 volframi 5,68
Sähkövirta johtimessa Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä yhteyttä ohuessa pitkässä homogeenisessa suorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä on jännite ϕ ja jonka johtavuus on σ. Valitaan z-akseli johdon suuntaiseksi. Tarkastellaan stationaarista tilannetta: J = 0 Koska systeemi on homogeeninen, pätee Ohmin lain perusteella J = E = 0 ja Johtimessa sähkökentällä ei ole komponenttia kohtisuorassa johtoa vastaan, koska tämä aiheuttaisi jatkuvan sähkövirran joko johtoon tai siitä pois. Näillä ehdoilla E ja J ovat z-suuntaisia vakiokenttiä johdon sisällä.
Johdossa kulkee tasainen virta, joka mielivaltaisen poikkileikkauspinta-alan A läpi on I = J n ds = JA = σa ϕ L Verrannollisuuskerroin on vastus (resistanssi) jonka SI-yksikkö on siis ohmi. A R = L/(σA) Tästä voidaan johtaa koulufysiikasta tuttuja yhteyksiä, kuten työn, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron U yli: W = QU ja vastaavan tehon P = UI = RI 2 = U 2 /R Tämän tehon sanotaan häviävän materiaalin Joulen lämmityksenä.
Virtapiirejä tarkasteltaessa päästään pitkälle Kirchoffin säännöillä I. Tulevien virtojen summa on sama kuin lähtevien virtojen summa missä tahansa kohdassa virtapiiriä. II. Potentiaalierojen summa virtapiirin ympäri on nolla.
Johtavuuden klassinen selitys Tarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varauksellista hiukkasta (varaus q, massa m) klassisen mekaniikan mukaisesti. Sähkökentässä E hiukkanen kiihtyy voiman qe vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen johde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Hiukkaseen täytyy vaikuttaa toisenkin voiman, joka kumoaa sähkökentän aiheuttaman kiihtyvyyden. Jos jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltainen eli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, niin liikeyhtälö on m dv dt = qe Gv missä G > 0 on vakio. Alkuehdolla v(0) = 0 saadaan ratkaisuksi v(t) = q G E(1 e Gt/m )
Tämän mukaan hiukkasen nopeus lähestyy kulkeutumisnopeutta v d = qe/g eksponentiaalisesti aikavakion τ ollessa τ = m/g Aikavakion avulla lausuttuna kulkeutumisnopeus on Edelleen virrantiheydelle saadaan joten johtavuus on v d = qτe m J = nqv d = nq2 τ m E σ = nq2 τ m missä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virrankuljettajia on useampaa laatua, niin σ = n i qi 2τ i m i i
Aikavakio τ voidaan tulkita johtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonka johtavuuselektroni kulkee keskimäärin tärmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksi vapaaksi matkaksi l mfp = v T τ, missä v T on elektronien terminen nopeus. Sen on oltava paljon suurempi kuin v d. Useimmilla metalleilla v T 10 6 m/s ja v d yleensä alle 10 2 m/s. Metalleilla l mfp 10 8 m huoneenlämmässä, joten τ 10 14 s. Sähkövirta reagoi käytännössä välittämästi sähkökentän muutokseen. Sähkökentän tekemä työ muuttuu törmäyksissä väliaineen hiukkasten kineettiseksi energiaksi eli lämpöeneriaksi. Tämä on Joulen lämmitys.