9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti vektoriavaruudet ovat joukkoja V joille on määritelt Yhteenlasku: + V, jos ja V 2 Skalaarilla kertominen: a V, jos V ja a R Vektoriavaruus sisältää ksikäsitteisen nollavektorin: V siten, että + Lisäksi jokaisella alkiolla V on vastavektori V : + ( Erilaiset vektoriavaruudet ovat matematiikassa ja fsiikassa hvin leisiä R n :n lisäksi usein puhutaan funktionaalisista avaruuksista, esim asteluvun n polnomit muodostavat n + -ulotteisen vektoriavaruuden: p( n i a i i (polnomeja voidaan laskea hteen ja kertoa skalaarilla, ja tuloksena on edellen polnomi Vektoriavaruuden V aliavaruus S on sellainen V :n alijoukko S, että: jos, S ja a R, niin + S ja a S Esim R 3 :n aliavaruuksia ovat esim kaikki origon kautta kulkevat suorat ja tasot Mös {} ja R 3 ovat R 3 :n aliavaruuksia Sen sijaan esim R 3 :n ksikkövektorien joukko ( ei ole aliavaruus Vektoriavaruuksissa R n on määritelt muitakin laskusääntöjä, esim vektorien pistetulo Oletetaan jatkossa että pistetulo on määritelt Lineaarinen riippumattomuus Muistetaan, että vektorit v v k ovat lineaarisesti riippumattomia (eli vapaita, jos k a i v i i vain jos kaikki a a 2 a k Muussa tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ja ainakin ksi vektori voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa n-ulotteisessa vektoriavaruudessa voidaan valita enintään n:n keskenään lineaarisesti riippumattoman vektorin joukko Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintään 3 vektorin joukko keskenään lineaarisesti riippumaton Jos vektorit e, e 2 e n ovat lineaarisesti riippumattomia n-ulotteisen vektoriavaruuden V alkioita, sanotaan että ne virittävät V :n: mikä tahansa v V voidaan esittää niiden lineaarikombinaatioina: v a i v i a i v i i Huom: lläolevan kaltainen lineaarikombinaatio vektoreista on niin leinen, että siitä usein kätetään oikeanpuoleista merkintätapaa: toistuvan indeksin li summataan automaattisesti (implisiittisesti Einsteinin summaussääntö Sanotaan että vektorit e i muodostavat V :n kannan, ja a i :t ovat v:n komponentit tässä kannassa Kanta ei ole ksikäsitteinen Yksinkertaisin kanta on ortonormaali kanta: e i e j δ ij {, jos i j, jos i j Tässä δ ij on nimeltään Kroneckerin delta Siis ortonormaalit vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niiden pituus e i Ortonormaalissa kannassa kahden vektorin a, b pistetulo on a b a i e i b j e j a i b j i j i Tai lhemmin: a b a i b i Tutuin esimerkki ortonormaalista kannasta on R 3 :n kanta i, j, k Palaamme möhemmin siihen miten ei-ortonormaalista kannasta voidaan tehdä ortonormaali Huom: ortonormitetussa kannassa eli e j a i a i e j e i i a i a e i a i δ ij a j Kertoimet a i siis ilmaisevat vektorin a projektion e i suuntaan 92 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nt A( + A( + A(, A(α αa( kaikilla, V ja α R, niin A on lineaarikuvaus Esim Kuvaus A : R R, A( c, c vakio, on lineaarikuvaus: A( + c( + c + c A( + A( A(α cα αa( Esim Kuvaus B : R R, B( c + d, d, ei ole lineaarinen (HT Lineaarikuvaukset ovat hvin rajoitettu funktiojoukko, ja pelkästään R:n kuvauksina ne ole kovinkaan mielenkiintoisia (tavallisin sovellus: leisen funktion f( approksimaatio lineaarisesti Useampiulotteisissa avaruuksissa sen sijaan niillä on paljon kättöä! 72
92 Tason kuvaus itselleen Tarkastellaan tason vektorien lineaarikuvausta A, joka muuttaa tason vektorin v (, toiseksi tason vektoriksi v (, : A(v v, tai { a + a 2 a 2 + a 22 Tässä a ij ovat lukuja, jotka määrittelevät A:n Kseessä on todellakin lineaarikuvaus (HT: A(v + A(v + A( A(αv αa(v On kätevää ottaa kättöön pstvektorit ja matriisit: Merkitään nt v v ja a a A 2 a 2 a 22 Tässä notaatiossa merkitään a a 2 a 2 a 22 Siis esimerkiksi ( a a 2 ( ( a + a 2 a 2 + a 22 a + a 2 Siis: tulosvektorin rivi k lasketaan siten, että kerrotaan matriisin rivin k alkiot elementti elementiltä alkuperäisen vektorin elementeillä, ja lasketaan hteen Vielä sstemaattisemmin: merkitään v v v v Nt ( v a a 2 a 2 a 22 tai lhesti ja timekkäästi v i j ( v a ij v j a ij v j Yleinen lineaarikuvaus R n R m Kuvaus A : R n R m voidaan mös esittää matriisimuodossa: jos R m ja R n, niin A i a ij j, j m eli eksplisiittisesti 2 m j a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn 2 Tässä siis A:n on oltava m vaakariviä ja n pstriviä, jotta lasku llä voidaan tehdä! A on siis m n -matriisi Jos m n, on A neliömatriisi Erikoisasemassa ovat ksikkömatriisi (neliömatriisi I eli I ij δ ij Se kuvaa vektorin itselleen: I nollamatriisi: mikä kuvaa kaikki vektorit nollavektoreiksi: Rotaatio tasossa Tärkeä tason lineaarikuvaus on rotaatio: vektorien kierto kulman θ verran origon suhteen positiiviseen suuntaan Matriiseina ( ( cos θ sin θ sin θ cos θ ( ( cos θ sin θ sin θ + cos θ eli R(θ Rotaatio kääntää vektoria muuttamatta sen pituutta:, kuten helposti nähdään Vektorien väliset kulmat säilvät rotaatioissa (pituuden lisäksi: jos ja ovat kaksi vektoria, niin (R(θ (R(θ kuten suoraviivaisesti nähdään laskemalla Standardikannan kuvautuminen R n :n standardikanta e e n on sellainen jossa e k k:s rivi eli (e k i δ ki (vektorin e k elementti i Se kuvautuu lineaarikuvauksessa A seuraavasti: eli (Ae k i j a ij (e k j j Ae k a k a 2k a nk a ij δ kj a ik 73
Tuloksena on siis A:n pstrivin k alkioista muodostuva vektori Kääntäen, jos tunnemme kuinka standardikanta kuvautuu lineaarikuvauksessa A, saamme A:n matriisiesitksen Siis jos tiedämme, että Ae k f k, tät olla (f (f 2 (f n (f 2 (f 2 2 (f n 2 A (f, f 2,, f n (f n (f 2 n (f n n 93 Kuvausten hdistäminen: matriisien kertolasku Kuten hdistetissä funktioissa leensä, matriiseilla voidaan mös tehdä hdistett kuvaus: olkoon lineaarikuvaukset A : R s R m ja B : R n R s Nt hdistett kuvaus AB : R n R m on lineaarikuvaus Kuvauksen AB matriisi on A:n m s -matriisin ja B:n s n-matriisin matriisitulo Sen saamme (AB ij s A ik B kj A ik B kj k Huom: B:ssä on oltava sama määrä vaakarivejä kuin A:ssa on pstrivejä (s, muuten matriisituloa ei ole määritelt! Siis (AB ij A i A i2 A is B j B 2j B sj Eli: tulomatriisin elementti ij, (AB ij, saadaan kertomalla A:n i:s vaakarivi ja B:n j:s pstrivi alkio alkiolta keskenään ja laskemalla hteen Tämä on helppo nättää tutkimalla mielivaltaisen vektorin v R n kuvausta: (ABv i (A(Bv i A ij (Bv j A ij B jk v k ja toisaalta (ABv i (AB ik v k Huom: matriiseille ei leensä päde AB BA! Sanotaan että matriisitulo ei kommutoi Huom: Jos B on m -matriisi, matriisitulo AB palautuu matriisin ja vektorin tuloksi Siis vektori matriisi, jossa on vain ksi pstrivi missä viimeinen merkintätapa tarkoittaa että kseessä on Esim Olkoon lineaarikuvaukset A : R 3 R 2 ja vektoreista f i koottu matriisi B : R 2 R 3, ja niiden matriisiesitkset Esim Etsi R 3 :n lineaarikuvauksen matriisi, joka vie standardikannan i, j, k vektoreiksi A, B 2 Ai f, Aj f 2, Ak f 3 Nt Edellisen mukaan siis on oltava AB 2 A (f, f 2, f 3 + + + 2 + + + + 2 + 2 2 on kuvaus R 2 R 2 ja BA 2 2 on kuvaus R 3 R 3 Sen sijaan tulot AA tai BB eivät ole määriteltjä, johtuen siitä että A ja B eivät ole neliömatriiseja Esim Rotaatioiden hdistäminen Rotaatiomatriisi tasossa oli cos θ sin θ R(θ sin θ cos θ Jos teemme peräkkäin kaksi rotaatiota, niin matriisituloa ja sinin ja kosinin laskusääntöjä kättäen saamme (HT R(θ 2 R(θ R(θ + θ 2 94 Matriisilaskentoa Matriiseille (ja niiden määrittämille lineaarikuvauksille on määritelt Yhteenlasku: (A + B ij A ij + B ij Tässä A:n ja B:n tät olla samankokoisia (m n matriiseja 74
Skalaarilla kertominen: (λa ij λa ij Matriisien kertolasku: (AB ij A ik B kj, missä A on n r ja B on r m matriisi Jos m n, tule BA ei ole määritelt Diagonaalimatriisi: neliömatriisia A sanotaan diagonaaliseksi, jos se on muotoa A A A 22 A nn Jos kaikki A A 22 λ, voidaan A kirjoittaa muotoon A λi missä I on ksikkömatriisi I ij δ ij Jos A on neliömatriisi, niin AI IA A Transpoosi A T Kaikille matriiseille A voidaan määritellä transpoosi A T Sen elementit ovat (A T ij A ji (joskus merkitään A T Ã Siis vaakarivit käännetään pstriveiksi ja päinvastoin Esim 4 2 3 A A T 2 5 4 5 6 3 6 Jos A on n m-matriisi, on A T m n -matriisi Transpoosille on voimassa seuraava tärkeä tulos: (AB T B T A T Todistus: nt [(AB T ] ij (AB ji A jk B ki Toisaalta (B T A T ij (B T ik (A T kj B ki A jk A jk B ki Huom: viimeisessä vaiheessa järjests voidaan vaihtaa, sillä A jk, B ki ovat pelkkiä lukuja (matriisin elementtejä, eivät matriiseja! Yleensä matriisien järjeststä ei voida vaihtaa Olkoon A neliömatriisi Silloin A on smmetrinen, jos A T A eli A ij A ji (samat elementit smmetrisesti diagonaalin molemmin puolin! antismmetrinen, jos A T A eli A ij A ji Antismmetristen matriisien diagonaalielementit häviävät, ts A ii A ii Useimmat matriisit eivät ole smmetrisiä eivätkä antismmetrisiä Ilmeisesti pätee: (A T T A, (A + B T A T + B T vektorit: Otetaan nt kättöön merkintätapa R n :n pstvektoreille 2 (ilman lihavointia, kompaktiuden vuoksi Tämä on siis n -matriisi Transponoimalla saamme vaakavektorin T ( 2 ( n -matriisi! Jos nt ja ovat R n :n (pstvektoreita, niin T ( n i i T antaa siis vektoreiden pistetulon Jos taas kerrotaan pstvektorilla vaakavektori, saadaan matriisi: T ( n n n tai ( T ij i j Esim Tason rotaatioille pätee R T R I, mikä nähdään suoraan laskemalla Sen saa mös siitä että rotaatiot säilttävät pistetulon: T (R T (R T R T R R T R I Tässä tapauksessa sanotaan että R T on R:n käänteismatriisi Konjugaatti A Yleistetään lineaarikuvaukset kompleksisiin avaruuksiin, ts olkoon A : C n C m Nt A:ta voidaan kuvata matriisilla jonka elementit ovat kompleksilukuja Tälle matriisille ovat voimassa kaikki samat tulokset kuin llä reaaliselle matriisillekin Matriisin A konjugaatti A on matriisi jonka kaikki elementit ovat A:n elementtien kompleksikonjugaatteja: (A ij A ij Jos pätee A A, matriisi on reaalimatriisi Hermiittinen konjugaatti A Hermiittinen konjugointi on transpoosin ja konjugoinnin hdistelmä: A (A T (A T, (A ij (A ji 75
A on hermiittinen, jos A A, ja antihermiittinen, jos A A Ominaisuuksia: (A A, (A + B A + B, (AB B A Esim σ Paulin spinmatriisit ( i, σ 2 i (, σ 3 σ ja σ 3 ovat smmetrisiä: σ T σ, σ T 3 σ 3 σ 2 on antismmetrinen: σ T 2 σ 2 σ ja σ 3 ovat reaalimatriiseja: σ σ Kaikki σ i ovat hermiittisiä, esim σ 2 σ 2 Jos, C n eli ovat n-komponenttisia kompleksivektoreita, niin niiden sisätulo (eli pistetulo voidaan esittää muodossa i i, i i ( Käänteismatriisi A Olkoot A ja B n n -neliömatriiseja Jos pätee AB BA I matriisia B kutsutaan A:n käänteismatriisiksi ja merkitään A Siis A A AA I Huom Kaikille neliömatriiseille ei löd käänteismatriisia Jos A on olemassa, sanotaan että A on säännöllinen eli kääntvä Jos A ei ole olemassa, A on singulaarinen tai ei-säännöllinen Käänteismatriisi on ksikäsitteinen: jos sekä B että C ovat A:n käänteismatriiseja, niin välttämättä B C Todistus: B(AC (BAC BI IC B C 76