Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja HK-5 ja HK- (loppuhuomautusta. 6..7 HK-8, korjaus ja täydennys. 6.5.8 Ratkaisuun HK-5 lisätty puuttunut kahteen kohtaan...8 Ratkaisuun - pieni korjaus...8 Korjaus ratkaisun - kulkukaavioon (maksimikohta minimikohta...9 Korjattu ratkaisu -7. 6.5. Korjaus ratkaisun -9 c kuvaan..5. Korjattu ratkaisua -.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 99 Päivitetty..9 HK- a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 c d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos cos ( ( ln ln e d e d u( s s' ln / e e e ( e e 9 ( ln
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a ( sin d cos + C b cosd cos d sin + C u( s U( s s HK- F ( 7 8 d 7 8 + C 7 + C c sin tan d d ( sin d cos cos u( s s π π < <, joten ln cos + C U( s cos > ln( cos + C Saadaan yhtälö F Siis 7 + C C F 7. lncos + C
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty.5. HK- Ala on Käyrien y ja y leikkauskohdat: y y A da y y d y y, kun Piirretään mallikuva. tai d d 8 6 8 7 5 6 6 6 / Vastaus Ala on 6.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 Paraabelin y 6 ja suoran y leikkauskohdat: 6 ( tai tai Pyörähdyskappaleen tilavuus on V dv πr d π 6 d π 6 6 + 9 d r y ( 6 r y 6 6 9 π/ + 5 5 9 π 8 9 6 5 8π 5 9 π, 5 Vastaus 9 π 5
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-6 Funktio f on jatkuva, joten sillä on integraalifunktio. Funktiota f ei voida integroida suoraan, joten esitetään se paloittain määritellyssä muodossa., kun f (,kun < +, kun, kun > Funktion f integraalifunktiot ovat muotoa F + + C + >, D, Integraalifunktio F on jatkuva kohdassa, joten lim F lim F. + Koska lim F lim + + C + C niin saadaan yhtälö + C + D D 9 + C Funktion f integraalifunktiot ovat F + + C + + C >, 9, Koska F, niin saadaan yhtälö C + + C Siis F, + + > 5, lim F lim + D + D + +
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-7 a Käyrien y, ja y, y eli käyrien y, ja y,, leikkauskohdat: y juuren määritelmä ( tai Tilavuus on ( ( π π V dv y y d π d π d y y
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 π/ 5 5 5 π 5 Tilavuus on ( π π V dv dy y y 5 π 5 π (,9 b Määritetään käyrien y, ja y, y eli käyrien y, y ja y, y, leikkauspisteiden y-koordinaatit a-kohdan perusteella. y ja y π y y dy π y y dy π/ y y 5 π 5 5 π (,9 Vastaus a π b π
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-8 ln Selvitetään funktion f kuvaajan sijainti -akselin suhteen. ln ( ln Funktio f on aidosti vähenevä välillä 6 e e, koska ln ln ln ln f 6 6 Kun e e, niin ln ( ln >, ln lne lne > ja ln <. <, kun e e Lisäksi (lne 9 f (e > e e 6 6 (lne 6 f (e > 6 6 e e joten funktion f kuvaaja on -akselin yläpuolella välillä 6 e,e. Pinta-alkion ala on da 6 6 6 e e e ln A da yd d e e e e 6 ( ln e u( s s 6 ( ln / e ( e U s yd, joten pinta-ala on d s ln ja u s ja U
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 ( 6 ( lne lne loga a 6 89 ( 6 7 6 Vastaus Ala on 6. Saadaan 9 9 π 9π d d puoliympyrän ala r on A π HK-9 a Käyrä y 9 on -säteisen origokeskisen ympyrän alapuolisko, sillä y y + y 9, b Funktio [ ] f :,, f 9 on pariton, sillä f ( 9( ( (9 (9 f Koska integroimisväli [, ] niin (9 f d on symmetrinen origon suhteen,
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty..9 HK- e d g f taulukkokirjasta: f gd fg g f d e e d f g e + g e + e + C e e + C 9 e d f
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK- a ( + 5 6 b d + 5 6+ C 5 + 6 + C + 5 6 d 6 + 5 d + 5 6 d + 5 6ln + C > + 5 6ln+ C HK- a b c e e 5 5 d e + C 5 d 5 5 e 5 e 5 d + C 5 u( s s U( s 5 5 5 5 5 5 5 d + C 5 ln5 U( s u s s 5 d 5 + C 5ln5 s 5 ja u e s 5 ja U e s 5 ja u 5 5 s 5 ja U ln5 5 Vastaus voidaan antaa myös tässä muodossa. 5 5 + C ln5 Vastaus voidaan antaa myös tässä muodossa.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a d d ln + C < ln ( + C c 6 d d 6 6 6 7 7 d d 6 6 7 ln + C > 6 7 ln + C 6 b + + d d ( + ( d u s s s ja u s ja U ln d ln + C >, joten > U( s ln( + C Tapa d d d d d d d 6 ln ln ln + C > ln ln 6ln ln ln 6ln + C + C 6 6 6 6 7ln 7 + C ln + C 6 6
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- Vastausta voidaan haluttaessa sieventää: F sin( + π d s + π ja u sin s ja U cos sin( π [ cos ( π ] + d + + C u( s s U( s cos ( + π + C Koska F ( π, niin saadaan yhtälö suplementtikulmien F cos( + π kosinit: cosα cos( π α cos( π ( + π vastakulmien kosinit: cos ( cos( α cosα cos cos π+ π + C cosπ + C + C C Siis F cos( + π.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 Määritetään funktion f + + tangentin yhtälö kohdassa : Käyriä y + + ja y + vastaavat funktiot ovat jatkuvia, joten käyrät voivat vaihtaa järjestystä vain leikkauskohdissa. Selvitetään käyrien järjestys välillä testipisteen avulla. Derivaatta on f +. 8 y + + y + kommentti y y, kun Tangentin kulmakerroin kohdassa on k t f. Koska f, tangentti kulkee pisteen (, kautta. Piirretään mallikuva. Tangentin yhtälö on y y y k y + o Käyrien y + + ja y + leikkauskohdat: + + + y y ( tai
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Ala on A da y y d y y, kun ( + + + d + d / + + + + HK-6 Käyrien y ja y + leikkauskohdat: y + + Piirretään mallikuva. y Vastaus Ala on.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Ala on A da y y d y y, kun ( + d HK-7 Helminauhan yksi helmi syntyy, kun käyrä y sin, π pyörähtää -akselin ympäri. / ( + ( + + + + d Vastaus Ala on. Yhden helmen tilavuus on V π π y d π π(sin d taulukkokirjasta: sin cos
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 π π cos d π π π cos d d π π π / cos d π π π / sin π π π π ( sinπ sin π Vastaus HK-8 a Helmen tilavuus on d π. u s ( ( d u( s s' U s' b ( / (( ( 6 (( 6 ( 7 6 d u( s s' d ( / U( s ( (
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-9 a Määritetään funktion ± f nollakohdat: Tilavuus on V dv f on parillinen. dv πy d ( π ( π + d 5 π/ + 5 π + 5 6 π,5 5 d
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 b Funktion f nollakohdat ovat ±. Kuvaajaparaabelin huipun y-koordinaatti on f. V dv π dy ( y π + dy y y + π / y + y π + π (,57 c Alue pyörähtää paraabelin huipun kautta kulkevan suoran y ympäri. Syntyvän kappaleen tilavuus saadaan, kun suoran ympyrälieriön (korkeus, pohjan säde tilavuudesta vähennetään ontto sisäosa pois.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty 6.5. π r d r y ( + π ( d π d / π 5 5 Sisään jäävän onton osan tilavuus on V dv symmetria dv 5 π 5 π 5 Pyörähdyskappaleen tilavuus on 8 V Vlieriö V π V π π π 5, 5 5 Vastaus a 6 π 5 b π c 8 π 5
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK- t + Merkitään f( t 5t. Funktio f on selvästi derivoituva, kun t + t >, joten voidaan merkitä myös Ft (, 5 dt t>. 5t 5 Nyt saadaan + f ( tdt F( + F(, joten d d + d f( t dt F( + F( d d d F( + F( d d ( + + 6 + 5 + d F'( + ( + F ( t f( t d t + f( + f( t 5t 5( + + 7 5 +
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a ( + ( + u( s s 5 ( + + C 5 U( s 5 ( + + C d d s + ja u s ja U 5 5 b 6 d ( 6 d ( 6 d u( s s ( 6 + C U( s ( 6 ( 6 + C s 6 ja u s ja U ( 6 6 + C
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- Funktio F( sin + cos + 8 on funktion 5 f ( cos sin integraalifunktio, jos F f 5 kaikilla. HK- Paraabeli y aukeaa oikealle ja paraabeli vasemmalle. Määritetään käyrien y + aukeaa y ja y + y-koordinaatit. Väite: F f kaikilla Todistus: F D sin + cos + 8 5 Dsin + Dcos + 5 cos + sin 5 5 cos sin 5 f kaikilla y y + y y y + y ± Piirretään mallikuva. Sijoitetaan yhtälöön (.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Pinta-alkion ala on A ( ( ( y / y + y da dy da dy, joten ala on y + y dy + dy + + + + HK- a d + + u( s d + s u( s ln C + > + + ( ln + + C s + ja u d s ja U ln >, joten Vastaus Ala on. Huomautus Alan olisi voinut laskea myös peilaamalla käyrät ensin suoran y suhteen, sillä peilauksessa käyrien rajaama pinta-ala säilyy muuttumattomana. Tällöin pinta-alkion ala on da ( y y d ja käyrät ovat ja y +. y
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 b + d d + d + + + + c d d d + ( + + ( + ( + d + + + + d d + + + + d + d + + d + u( s s + ja u s ja U ln d + u( s s d s + ja u s ja U ln + d + u s s ln + + C <, joten + < ln( + C + ln + + C >, joten + > + ln( + + C
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 a Pyörähdys -akselin ympäri. Esitetään annettu käyrä ilman itseisarvomerkkejä paloittain määritellyssä muodossa: y > +, kun,kun > +, kun,kun < > +, kun tai,kun Nollakohdat: y ± Tilavuus on V πr d symmetria π y d y π d
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 ( π ( π 8 + 6 d d 5 8 π/ + 6 5 5 8 π + 6 5 5 π ( 7 5 b Pyörähdys y-akselin ympäri, integroimisrajat ovat y ja y y Tilavuus on V dv y, π dy y + π y dy π/ y y π 8π 5, y Vastaus a 5 π ( 7 5 8π 5, b
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-6 Paraabeli y a a aukeaa ylöspäin, sillä a >. Paraabelin kuvaaja on -akselin alapuolella nollakohtien välillä. Paraabelin nollakohdat: a a a a : a ( > a ± a a a ± a> a ± a Piirretään mallikuva. Pinta-alkion ala on da Vastaus a a a a a yd, joten pinta-ala on A da y d a a ( a + a d + a a a a a + a + a a a a a a a + a a + + Ala on. / Huomautus Tehtävässä voidaan soveltaa myös funktion parillisuutta ja integroimisvälin symmetrisyyttä origon suhteen. a a ( ( A a + a d a + a d.... a
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 HK-7,89t cm Insuliinin luovutusnopeus on vt,5e. Tällöin vrk luovutetun insuliinin määrä on It ( vtdt ( Vastaus:,5e,89t,5,89t e (,89,89 dt,5,89 u( s s' / dt,89t e U( s,5 e e,89,5 6,7 ( e,89,58 ( cm,58 cm,89,89 HK-8 Jaetaan väli [, ] neljään yhtä pitkään osaväliin. Kunkin osavälin pituus on. Funktio f on aidosti kasvava välillä [, ], joten se saa kullakin osavälillä suurimman arvon osavälin oikeassa päätepisteessä ja pienimmän arvon osavälin vasemmassa päätepisteessä. Funktio on aidosti vähenevä välillä [, ], joten se saa kullakin osavälillä suurimman arvon osavälin vasemmassa päätepisteessä ja pienimmän arvon osavälin oikeassa päätepisteessä. Arvioidaan pinta-alaa ala ja yläsummilla s ja S.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty..9 Pinta-alkion ala on da A da yd ( d yd, joten pinta-alan tarkka arvo on Alasumma on s f + f + f + f + + + 6 ja yläsumma on S f + f + f + f + + + joten 6 < A < / Lasketaan kumpi arvoista on tarkempi. A s 6 ja A S joten yläsumma on tarkempi kuin alasumma. Vastaus s 6 ja S. Yläsumma on tarkempi, koska ala on.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK-9 π h ( d π h h / π d π h h π Leikkauskohta on s : Paraboloidin tilavuus on V s dv s π V h dv h π y d y
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Saadaan yhtälö s h π π s h h s > s ± h > h s Osien korkeudet ovat h h s ja h s h h HK- f a F a d a + C a + C Koska F, niin saadaan yhtälö a + C 8a + C C 8a Vastaus h ja h Siis F a + 8a. Funktion F pienin arvo on. Laaditaan funktion F kulkukaavio. F a
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Derivaatan nollakohdat: a ( a tai a a ± a ± a ± a Jos a, niin derivaatalla vain yksi nollakohta, joka on. Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa. Saadaan yhtälö F a 8 a + Siis a kelpaa. 8a a a Jos a >, niin funktion F derivaatan nollakohdat ovat ja ± a. + + + F + F globaali minimikohta + + a + + F F + + a a a a
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa a tai kohdassa a. Koska F( a ( a a ( a + 8a a 8a + 8a a + 8a F a ( a a ( a + 8a a + 8a a tai a + a tai a a tai a± a> a Jos a <, niin funktion F derivaatan nollakohdat ovat ja ± a. + + a + + F + + F a a niin funktio F saa pienimmän arvonsa kohdissa ± a. Pienin arvo on nolla, joten saadaan yhtälö F ( a ( a ± a + 8a a + a a Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa a tai kohdassa a. Koska F( a a + 8a F( a a + 8a niin funktio F saa pienimmän arvonsa kohdissa ± a.
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Pienin arvo on nolla, joten saadaan yhtälö F ( a ± Katso kohta. a tai a± a< a Siis kohtien, ja mukaan a tai a ±. Vastaus a tai a ±