Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division
Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43
Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (x,y) R 2 joukkona, jolle on määritelty Yhtäsuuruus: (x,y) = (u,v) x = u jay = v. Yhteenlasku: (x,y) +(u,v) = (x + u,y + v). Kertolasku: (x,y) (u,v) = (x,y)(u,v) = (xu yv,xv + yu). Kompleksilukua (0,1) merkitään symbolilla i, jota käytetään nimitystä imaginaariyksikkö. Jokainen kompleksiluku z merk. = (x, y) voidaan kirjoittaa muodossa z = x + iy. 3 / 43
Kompleksilujen laskutoimitukset Huomautus 1 Kun laskutoimitukset on määritelty kuten edellä, voidaan osoittaa, että reaalilukujen tutut laskusäännöt pätevät myös kompleksiluvuille. Esimerkiksi (z 1 + z 2 )+z 3 = z 1 +(z 2 + z 3 ) ja (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) kaikille kompleksiluvuille z 1,z 2 ja z 3 (summan ja tulon liitännäisyys) z + w = w + z ja zw = wz kaikille kompleksiluvuille z ja w (vaihdannaisuus). Huomautus 2 Nyrkkisääntönä voidaan todeta, että kompleksiluvuilla lasketaan kuten reaaliluvuilla, kunhan huomioidaan, että i 2 = 1. 4 / 43
Terminologiaa Kompleksiluvun z = x + iy konjugaatti (liittoluku): z = x iy reaaliosa: Re z = x imaginaariosa: Im z = y itseisarvo (pituus): z = + x 2 + y 2, missä +-merkki ilmoittaa, että kyseessä on positiivinen neliöjuuri (kompleksiluvun juuri määritellään myöhemmin). käänteisluku: Kompleksiluvun z 0 käänteisluku z 1 = 1 z on yhtälön zw = 1 ratkaisu w. 5 / 43
Kompleksikonjugaatti geometrisesti 2 z = 2+i 1 0 1 2 1 z = 2 i 2 Kompleksiluvun konjugaatti saadaan peilaamalla luku reaaliakselin suhteen, jolloin reaaliosa säilyy samana ja imaginaariosa muuttuu vastaluvukseen. 6 / 43
Kompleksikonjugaatti geometrisesti Kuten edellä olevasta kuvasta näkyy, vastaa kompleksikonjugaatin ottaminen kompleksiluvun z = x + iy (tai yhtälailla sitä vastaavan paikkavektorin (x, y)) peilaamista reaaliakselin (x-akselin) suhteen. 7 / 43
Konjugaatin ominaisuuksia Lause 1 Kompleksikonjugaatilla on seuraavat ominaisuudet z = z; z = z z R; z + z = 2Re(z); z z = 2iIm(z); zz = Re(z) 2 + Im(z) 2 ; z + w = z + w; zw = z w. 8 / 43
Itseisarvon ominaisuuksia Lause 2 Kompleksiluvun z itseisarvolle pätee z 0 (joten pituus-sana on järkevä), z = z (pituus säilyy konjugoinnissa), zw = z w (tulon pituus on pituuksien tulo), Rez z, Imz z, zz = z 2, z w z + w z + w (kolmioepäyhtälö). 9 / 43
Kompleksilukujen erotus ja osamäärä Esim. 1 Osoita, että kompleksiluvun z = x + iy 0 käänteisluku on z 1 x = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2. Nyt voidaan määritellä puuttuvat kaksi peruslaskutoimitusta, jotka ovat z,w C Vähennyslasku: z w := z +( w). Lukua z w sanotaan lukujen z ja w erotukseksi. Jakolasku: z w := zw 1, kun w 0. Lukua z w sanotaan lukujen z ja w osamääräksi. 10 / 43
Yksikköympyrä Havainnollistamisessa ja muutenkin kompleksiluvuilla laskemisessa on avuksi peruskurssilta tuttu yksikköympyrä. Tarkastellaan kompleksilukua z = x + iy, jolle x 2 + y 2 = 1, eli kyseessä on yksikköympyrällä oleva R 2 :n piste (vektori) (x,y). Siirtymällä napakoordinaatteihin voidaan x- ja y-koordinaatit kirjoittaa muodossa x = cos α ja y = sin α, missä α on pisteen (vektorin) (x,y) ja positiivisen x-akselin välinen vaihekulma. 11 / 43
Yksikköympyrä 1 1 2 1 1 2 1 2 1 y α cosα sinα 1 x Esimerkissä kulma α on 30 (π/6 radiaania). Kulman α sini, joka on punaisen viivan pituus, on sinα = 1/2. Pythagoraan lauseen mukaan cos 2 α+sin 2 α = 1. Näin ollen sinisen viivan pituus, joka on kulman α kosini, on cosα = 1 1/4 = 1 2 3. 12 / 43
Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys ja argumentti Siirtymällä napakoordinaatteihin x = r cosθ ja y = r sinθ saadaan kompleksiluvulle z = x + iy 0 napakoordinaattiesitys z = r(cosθ+isinθ), missä r = z ja vaihekulma θ on yhtälöparin { cosθ = x r, sinθ = y r, (1) ratkaisu. Yhtälöparista (1) saatavaa lukua θ sanotaan kompleksiluvun z argumentiksi ja merkitään θ = arg z. 13 / 43
Kompleksilukujen tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitys Esim. 2 Määrää kompleksilukujen z ja w tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset. Käytä hyväksi sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ, cos(α±β) = cosαcosβ sinαsinβ. 14 / 43
Argumentin ominaisuuksia Argumentti arg z on määritelty vain luvuille z 0. Koska sini ja kosini ovat 2π-jaksollisia funktioita, on kompleksiluvun argumentilla äärettömän monta arvoa. Välille ] π, π] kiinnitettyä vaihekulmaa Θ sanotaan argumentin pääarvoksi ja merkitään Θ = Arg z. Argumentin arg z ja argumentin pääarvon Arg z välillä on yhteys jollekin k Z. Esim. 3 arg z = Arg z + 2kπ Määrää kompleksiluvun tulon ja osamäärän argumentin pääarvo. Huomautus 3 Argumentin pääarvon määräämisessä kannattaa hyödyntää yksikköympyrää. 15 / 43
Laskutoimitukset geometrisesti Kompleksilukujen peruslaskutoimituksia kannattaa havainnollistaa geometrisesti. Geometrisessa havainnollistamisessa on suureksi hyödyksi napakoordinaattiesitys. 16 / 43
Kompleksilukujen summa geometrisesti 3 2 z + w = 3+2i w = 1+i 1 z = 2+i 0 1 2 3 Kompleksilukujen summa saadaan laskemalla reaaliosat yhteen ja imaginaariosat yhteen. Tässä esimerkissä z + w = (2+i)+(1+i) = (2+1)+(1+1)i = 3+2i. 17 / 43
Kompleksilukujen summa geometrisesti Kuten kuvasta näkyy, vastaa kompleksilukujen z = x + iy ja w = u + iv (tai yhtälailla niitä edustavien paikkavektoreiden (x, y) ja (u, v)) summa z + w geometrisesti lukujen z ja w määräämän suunnikkaan lävistäjän määräämistä. 18 / 43
Kompleksilukujen tulo geometrisesti zw = 1+3i 3 2 w = 1+i z = 2+i 1 γ β α 0 1 2 3 Kompleksilukujen z = 2+i ja w = 1+i tulo on zw = (2+i)(1+i) = 2 1+2 i+i 1+i 2 = 1+3i. Tulon argumentti on argumenttien summa (2π:n monikertaa vaille) arg zw = γ = α+β = argz + argw ja pituus zw on pituuksien z ja w tulo zw = z w. 19 / 43
Kompleksilukujen tulo geometrisesti Kuten kuvastakin nähdään, vastaa kompleksiluvun z kertominen luvulla w pituuden venyttämistä, jos w > 1, ja kutistamista, jos w < 1, kompleksiluvun z kiertämistä vastapäivään kulman argw verran. 20 / 43
Kompleksilukujen osamäärä geometrisesti 3 z = 1+3i 2 z w = 1+i w = 2+i 1 α β γ 0 1 2 3 Kompleksilukujen z = 1 + 3i ja w = 1 + i osamäärä on z w = zw ww = 1 2 (2+i)(1 i) = 2+i. Osamäärän argumentti on argumenttien erotus (2π:n monikertaa vaille) arg z w = γ = α β = argz argw ja pituus z w on pituuksien z ja w osamäärä z w = z w. 21 / 43
Osamäärä geometrisesti Kompleksiluvun z jakaminen luvulla w vastaa geometrisesti pituuden z venyttämistä, jos w < 1, ja kutistamista, jos w > 1, kiertoa myötäpäivään kulman argw verran. 22 / 43
Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi Määritellään kompleksiluvun kokonaislukupotenssi induktiivisesti asettamalla Määr. 1 z 0 = 1 kaikilla kompleksiluvuilla z 0, z 1 = z kaikilla z C, z n = z n 1 z kaikilla n Z + ja z C, z n = 1/z n kaikilla z 0 ja n Z + (negatiivinen potenssi on positiivisen potenssin käänteisluku). 23 / 43
Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi Määritelmästä 1 saadaan induktiolla tutut potenssien laskusäännöt. Lause 3 Kaikilla m,n Z ja 0 z,w C pätee z m z n = z m+n, (z m ) n = z mn, z m /z n = z m n, (zw) n = z n w n, (z/w) n = z n /w n. Huomautus 4 Laskutoimituksissa kannattaa hyödyntää napakoordinaattiesitystä. 24 / 43
Potenssin napakoordinaattiesitys Induktiolla Esimerkistä 2 saadaan potenssin napakoordinaattiesitys z n = r n (cos nθ + isin nθ), (2) missä r = z ja θ = arg(z). Valitsemalla r = 1 saadaan kaavasta (2) De Moivre n kaava (cosθ + isinθ) n = cos nθ + isin nθ. Kaavasta (2) saattaa näyttää siltä, että arg z n = narg z, mutta yleisesti arg z n = n arg z + 2kπ, k Z kuten Esimerkissä 3 nähtiin tapauksessa n = 2. 25 / 43
Kompleksiluvun juuri Määr. 2 Olkoot n > 1 kokonaisluku ja w C. Jos on olemassa sellainen z C, että z n = w, niin lukua z sanotaan luvun w n:s juureksi ja merkitään z = w 1/n tai z = n w. Jos w = 0, niin z = 0 on ainoa (kertalukua n oleva) juuri. Jos taas w 0, niin siirtymällä napakoordinaatteihin nähdään, että luvulla w on n erisuurta juurta z k = r 1/n (cos(θ/n+ k2π/n)+ isin(θ/n+k2π/n)), missä k = 0,1,...,n 1, r = w ja θ = arg w. 26 / 43
Komleksiluvun juuri Valitsemalla edellä erityisesti k = 0, saadaan z 0 = r 1/n (cos(θ/n)+isin(θ/n)), jota sanotaan n:s juuren pääarvoksi. Esim. 4 Määrää ykkösen kuutiojuuret eli yhtälön z 3 = 1 (kaikki) ratkaisut. Kirjoita ratkaisut muodossa z = x + iy. 27 / 43
Kompleksiluvun murtopotenssi Esitetään seuraavaksi määritelmä kompleksiluvun potenssille, kun eksponentti on murtoluku m/n. Määr. 3 Olkoot m Z ja n > 1 kokonaisluku. Kompleksiluvun z 0 potenssi z m/n määritellään asettamalla z m/n = (z 1/n ) m = ( n z) m, missä oikea puoli tarkoittaa joukon n z alkioiden m:s potensseja. Määritelmästä 2 seuraa, että yleisesti potenssi z m/n saa n erisuurta arvoa z k, jolle z k = r m/n ja arg z k = m n θ + 2km n π, missä k = 0,1,...,n 1, r = z ja θ = arg z. 28 / 43
Kompleksiluvun murtopotenssi Koska murtopotenssi voi saada useita arvoja, kannattaa murtopotenssin kanssa olla tarkkana. Yleisesti z m/n = z m /n, missä m /n on m/n supistetussa muodossa. ( n z) m n z m, n z n w n zw, n z + n z 2 n z, missä molemmat puolet tulkitaan joukkoina. Esim. 5 Osoita, että 1 1 = ( 1) 2 ja 1+ 1 2 1. Päteekö yhtäsuuruus pääarvoille? 29 / 43
Kompleksinen eksponentti Määritellään kompleksinen eksponentti, kun kantalukuna on Neperin luku e. Määr. 4 Jokaisella kompleksiluvulla z = x + iy asetetaan e z = e x+iy = e x (cos y + isin y). Erityisesti, kun y = 0, antaa Määritelmä 4 reaalisen eksponentin e x. Jos taas valitaan x = 0, saadaan Eulerin kaava e iy = cos y + isin y. 30 / 43
Kompleksisen eksponentin ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että Määritelmän 4 mukainen e z toteuttaa kaikki reaalisen eksponentin laskusäännöt. Lause 4 Kompleksiselle eksponentille pätee e 2kπi = 1, k Z. Erityisesti e 0 = 1. e z e w = e z+w. e z = 1/e z. e z /e w = e z w. e z = e x, arg e z = y + 2kπ, k Z. e z 0 kaikilla z C. e z+2kπi = e z kaikilla k Z. (e z ) n = e nz, n Z. 31 / 43
Eksponenttiesitys Eulerin kaavasta ja kompleksiluvun napakoordinaattiesityksestä saadaan kompleksiluvun eksponenttiesitys z = re iθ missä r = z ja θ = arg z. Eksponenttiesitys on erityisen kätevä laskutoimitusten havainnollistamisessa ja ominaisuuksien perustelemisessa. Kannattaa käydä esimerkiksi aiemmin esitettyjen tulon ja osamäärän geometrinen vaikutus sekä (murto)potenssi ja juuri läpi eksponenttiesityksen avulla. 32 / 43
Vaihtovirtapiirit Tarkastellaan kompleksianalyysin sovelluksena yksinkertaisten vaihtovirtapiirien analysointia. Palautetaan mieliin rinnan ja sarjaan kytkettyjen sähkövastusten yhteisen reistanssin laskukaavat tasavirtapiirissä. 33 / 43
Resistanssin laskukaavat Rinnankytkentä Sarjaankytkentä R 1 R 1 R 2 R 2 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 R = R 1 + R 2 Kaavat saadaan Ohmin laista U = RI ja Kirchhoffin virtalaista. 34 / 43
Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille Ohmin lain mukaan U = RI, missä R on vastus, U jännite ja I on virta. Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L, niin U = L di dt. Kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on C, on U = 1 C t I(s)ds + U(0). 0 35 / 43
Jännitehäviöt vaihtovirtapiirissä Oletetaan nyt, että ao. piirissä on sinimuotoinen virta, I(t) = I 0 cosωt(= I 0 sin(ωt + π 2 )). Kuva 1 : RLC-piiri Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille ovat U R = RI 0 cosωt U L = ωli 0 sinωt U C = 1 ωc I 0 sinωt + U C (0). (3) 36 / 43
Kompleksinen esitys Virran I(t) = I 0 cosωt sijasta kirjoitetaan Ĩ(t) = I 0e iωt jolloin fysikaalinen virranvoimakkuus on Re(Ĩ(t)). Kaavat (3) saavat muodon Ũ R = RĨ Ũ L = iωlĩ (4) Ũ C = 1 iωc Ĩ + vakio, josta reaaliosille saadaan ReŨR = RI 0 cosωt = U R, ReŨL = ωli 0 sinωt = U L, ReŨC = 1 ωc I 0 sinωt + U C (0) = U C, kuten pitääkin 37 / 43
Kompleksinen impedanssi Jos (4):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa Ũ = ZĨ, (5) 1 missä Z on R tai iωl tai iωc = i 1 ωc. Lukua Z sanotaan (kompleksiseksi) impedanssiksi. Impedanssi on suure, joka virtapiirin vaihtovirralle aiheuttamaa vastusta. Yleisesti impedanssi Z on (kulma)taajuuden funktio Z = Z(ω). Taajuutta ω, jolla impedanssin imaginaariosa häviää eli ImZ = 0, sanotaan resonanssitaajuudeksi. 38 / 43
Kompleksinen impedanssi, esimerkki Kuvan 1 piirin jännitteeksi saadaan Ũ = ŨR + ŨL + ŨC = [R + i(ωl 1 ωc )]Ĩ, joten piirin (kompleksinen) impedanssi on Z = R + i(ωl 1 ωc ). Piirin resonanssitaajuudeksi saadaan ωl 1 ωc = 0 ω = 1 LC. 39 / 43
Impedanssin laskusäännöt Rinnankytkentä Sarjaankytkentä Z 1 Z 1 Z 2 Z 2 1 Z = 1 Z 1 + 1 Z 2 Z = Z 1 + Z 2 Impedanssille pätee täsmälleen samat laskukaavat kuin tasavirtapiirin resistanssille. 40 / 43
Kokonaisimpedanssin laskeminen Jos piirissä esiintyy sekä sarjan- että rinnankytkentää, saadaan kokonaisimpedanssi osakytkentöjen impedanssien avulla. Tarkastellaan esimerkkiä. 41 / 43
Kokonaisimpedanssin laskeminen, esimerkki Z 1 Z 3 Z 2 1 Z = 1 Z 1 + 1 Z 2 Piirin punaisessa osassa on rinnankytkentä, jonka impedanssiksi saadaan Z = Z 1Z 2 Z 1 +Z 2. Punainen osa muodostaa yhdessä mustan osan kanssa sarjaankytkennän, joten piirin kokonaisimpedanssiksi Z T saadaan Z T = Z + Z 3 = Z 1Z 2 + Z 3. Z 1 + Z 2 42 / 43
Esimerkki Esim. 6 Laske alla olevan piirin jännite ja resonanssitaajuus. Vihje: Käytä kompleksista virtaa Ĩ(t) = eiωt, kaavaa (5) ja impedanssin laskusääntöjä. Fysikaalinen jännite on U(t) = ReŨ(t). 43 / 43