Mikrotalousteoria 2, 2008, osa II

Sisältö Mikrotalousteoria 2, 2008, osa II 1 Kuluttajan valintateorian aksioomat 1 2 Kuluttajan kulutusmahdollisuuksien joukko 3 3 Hyötyfunktion olemassaolo ja määrittely 3 4 Marginaalinen vaihtosuhde kahden hyödykkeen välillä 5 5 Marshallilaiset kysyntäfunktiot kun n 2 6 6 Komparatiivista statiikkaa optimipisteen ympäristössä 7 7 Hicksiläiset kysyntäfunktiot kun n 2 8 8 Epäsuoran hyötyfunktion johtaminen 10 9 Komparatiivista statiikkaa epäsuoralla hyötyfunktiolla 12 10 Kuluttajan menofunktion johtaminen 12 11 Slutskyn yhtälön johtaminen 14 12 Paljastettujen preferenssien teoria 15 13 Komparatiivista statiikkaa paljastettujen preferenssien aksioomalla 15 14 Hintaindekseistä 17 1 Kuluttajan valintateorian aksioomat Kuluttajaksi kutsutaan joko yksittäistä henkilöä joka kuluttaa hyödykkeitä tarkasteltavassa taloudessa tai jotakin ihmisyhteisöä (esim. kotitaloutta), joka tekee yhdessä kulutuspäätöksensä. Kuluttajan valinta-avaruus on n- ulotteinen vektoriavaruus ja kuluttajan kuukausittainen valinta on yksi n- ulotteinen vektori X Ω, jonka komponentit ovat kuluttajan eri hyödykkeiden kulutusnopeudet (jotkin komponentit voivat olla myös nollia). 1

Kuluttajan valinta-avaruuden topologiaa koskevat aksioomat: 1) Jatkuvuusaksiooma. Kaikkien kulutettavana olevien kulutusnopeuskombinaatioiden muodostama joukko eli kuluttajan valinta-avaruus Ω on suljettu joukko, eli se sisältää kasautumis- ja reunapisteensä. Olkoon { Xk }, Xk Ω sallittujen kulutusnopeusvektorien jono siten, että X k X 0. Tällöin X 0 Ω eli X 0 on sallittu kulutusnopeusvektori. 2) Alhaalta rajoitettuus -aksiooma. Sallittujen kulutusnopeusvektorien joukko on alhaalta rajoitettu, koska negatiivisia kulutusnopeuksia ei ole. 3) Valinta-avaruuden yhtenäisyys ja konveksisuus -aksiooma. Kuluttajan valinta-avaruus on yhtenäinen konveksi joukko. Yhtenäisyys tarkoittaa, että avaruutta ei voida ilmaista pistevieraiden suljettujen joukkojen yhdisteenä. Joukon konveksisuus taas tarkoittaa, että X, Y Ω a X + (1 a) Y Ω, 0 a 1. Yhdessä nämä merkitsevät sitä, että kuluttajan valinta-avaruudessa ei ole reikiä ja kaikki hyödykkeet ovat täysin jaettavissa siten, että kuluttaja voi kuluttaa niitä mielivaltaisina osuuksina tietyistä kokonaisuuksista. Kuluttajan preferenssirelaatiota koskevat aksioomat: 4) Järjestysaksiooma. Kuluttajalla on täydellinen järjestysrelaatio (refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen) yli sallittujen kulutusnopeusvektorien. Ts. X, Y Ω joko X Y tai Y X tai molemmat ehdot toteutuvat, jolloin X Y. Jokainen sallittu kulutusnopeusvektori X virittää kuluttajan preferenssirelaation määrittämän itsensä kanssa samanarvoisten kulutusnopeusvektorien muodostaman joukon (indifferenssiluokan), Y X, Y Ω. Jokainen kulutusnopeusvektori voi kuulua vain yhteen indifferenssiluokkaan. Indifferenssiluokat osittavat kuluttajan valinta-avaruuden toisistaan eroaviin (pistevieraisiin) luokkiin (tasokäyriin), jotka muodostavat preferenssirelaation mukaiset ekvivalenssiluokat. Jokainen sallittu kulutusnopeusvektori X0 Ω osittaa valinta-avaruuden kolmeen osajoukkoon: { X Ω X X0 }, { X Ω X X 0 } ja { X Ω X X0 }. 5) Tyydyttymättömyysaksiooma. Jos X on muilta komponenteiltaan identtinen Y :n kanssa ja x i > y i, eli ainoastaan vektorien i:nnet komponentit eroavat toisistaan, kulutajalle pätee X Y. Rationaalinen tulojensa puitteissa kuluttava kuluttaja ei saavuta koskaan saturaatiotasoa minkään hyödykkeen kulutuksessa, eli enemmän on aina parempi. 2

2 Kuluttajan kulutusmahdollisuuksien joukko Kuluttajan sallittujen kuukausittaisten kulutusnopeusvektorien X Ω R n valintaa rajoittavat seuraavat ehdot: 1) Negatiivisia kulutusnopeuksia ei sallita, eli x i 0, i 1,..., n, ja 2) Käytettävissä olevat kuukausittaiset varat M ovat kiinteät, p X p i x i M, missä p (p 1,..., p n ) on kulutettavana olevien hyödykkeiden yksikköhintavektori ja :lla merkitään pistetuloa. Jos kaikki varat kulutetaan, yo. epäyhtälö toteutuu yhtälönä. Tarkastellaan kahden hyödykkeen tapausta koordinaatistossa (x 1, x 2 ). Tällöin budjettiyhtälö (-suora) on muotoa M p 1 x 1 + p 2 x 2 x 2 M p 2 p 1x 1 p 2, x 2 x 1 p 1 p 2, ja sen kulmakerroin on johdettu yllä. Erisuuret käytettävissä olevat kuukausittaiset varat muodostavat koordinaatistoon yhdensuuntaisten suorien parven siten, että mitä kauempana origosta suora sijaitsee, sitä suurempia käytettävissä olevia varoja se vastaa. Kuluttajan valintaolosuhteet Kuluttajan oletetaan tekevän kuukausittaisen kulutuspäätöksensä yhdellä kertaa siten, että kuluttaja tuntee käytettävissä olevat varansa, hyödykkeiden yksikköhinnat sekä oman preferenssirelaationsa. Kuluttaja tekee valintansa siten, että hän saavuttaa mahdollisimman korkean hyötytason yllä esitettyjen rajoitteiden puitteissa. 3 Hyötyfunktion olemassaolo ja määrittely Kysymys: Voidaanko määritellä skalaariarvoinen kuvaus u : R n R, joka järjestää indifferenssiluokat preferenssirelaation mukaiseen suuruusjärjestykseen. Ts. onko olemassa funktio u jolle pätee u( X) u( Y ) kun X Y. Jos voidaan, tätä relaatiota kutsutaan kuluttajan hyötyfunktioksi. Yleisesti ottaen yllä kuvattua hyötyfunktiota ei voida määritellä, sillä jos esimerkiksi kuluttajan preferenssit ovat lexicografiset, niitä ei voida kuvata skalaariarvoisella hyötyfunktiolla. 3

Esim. Tarkastellaan valinta-avaruutta Ω R 2, X, Y Ω, X (x1, x 2 ) Y (y 1, y 2 ). Jos kuluttajalle pätee a) y 1 > x 1 Y X b) y 1 x 1 ja y 2 > x 2 Y X Tällöin kuluttajan preferenssejä kutsutaan lexicografisiksi. Tällainen kuluttaja pitää aina parempana tilannetta, että saa enemmän hyödykettä 1. Jos kuitenkin kahdessa tapauksessa molemmissa hyödykettä 1 saadaan yhtä paljon, x 1 y 1, tällöin kuluttaja pitää parempana tilannetta, jossa hyödykettä 2 saadaan enemmän. Lexicografisten preferenssien mukainen indifferenssiluokka redusoituu yhdeksi pisteeksi eikä jatkuvaksi relaatioksi (käyräksi). Tällainen kuluttaja käyttää aina kaikki rahansa hyödykkeeseen 1, eikä tällöin voida puhua kuluttajan valinnasta hyödykkeiden välillä. Näillä perusteluilla sivuutamme jatkossa lexicografisten preferenssien tapauksen. Koska epäjatkuvalla hyötyfunktiolla ei ole juuri käyttöä kuluttajan käyttäytymisen mallintamisessa, tarkastelemme seuraavaksi, millä oletuksilla kuluttajalle voidaan määritellä edellä kuvattu jatkuva hyötyfunktio. 6) Preferenssien jatkuvuusaksiooma. Joukot { X Ω X X0 } ja { X Ω X X0 } ovat suljettuja Ω:ssa X0 Ω. Ts. jos { X k } on sallittujen kulutusnopeusvektorien X k Ω jono siten, että X k X 0 k ja jono suppenee kohti X p :tä, X k X p, niin tällöin X p X 0. Tämä aksiooma lisättynä edellisiin on riittävä ehto sille, että kuluttajalle voidaan määritellä jatkuva hyötyfunktio. Em. väitteen yksityiskohtainen todistus löytyy Debreun kirjasta Theory of Value (1959) ss. 52-61. Todistus perustuu kuluttajan valinta-avaruuden tiheyteen ja konveksisuuteen sekä preferenssien jatkuvuuteen ja tyydyttymättömyyteen. Voidaan nimittäin osoittaa, että jos X Y niin Z Ω siten, että X Z Y. Tämän väitteen todistus perustuu joukkojen { Xi Ω X i X } ja { Xi Ω X i Y } epätyhjyyteen ja pistevierauteen, sillä vastaväite johtaa ristiriitaan Ω:n yhtenäisyyden kanssa. Hyötyfunktion jatkuvuustodistuksen vaiheet: Valitaan skalaarit a < b siten, että kun tarkastelemme joukkoa Λ Ω joka sisältää preferenssirelaation mukaisen Λ:n alimman indifferenssiluokan, jonka yksi edustaja on X 0, tällöin valitaan u( X 0 ) a. Vastaavasti valitaan u( X n ) b, missä X n on Λ:n korkeimman indifferenssiluokan edustaja. Lisäksi asetetaan u( X i ) u( X j ) kun Xi X j. Tarkastellaan sitten suljettuja joukkoja D x { X Λ X X1 } ja D x { X Λ X X1 }, X1 Λ. Määritellään sup D x ja inf D x ja osoite- 4

taan skalaarit u(supd x ) ja u(infd x ) yhtäsuuriksi. Tällöin olemme osoittaneet, että X 1 :n määrittämän indifferenssiluokan ja sen suhteen preferoitujen ja ei-prefereroitujen kulutusnopeuvektorien muodostamien joukkojen väliin ei mahdu valinta-avaruuden alkioita. Tämän jälkeen todistus laajennetaan koskemaan koko valinta-avaruutta Ω. Todistus takaa sen, että yksittäinen indifferenssirelaatio voi olla maksimissaan yhden pisteen levyinen. 4 Marginaalinen vaihtosuhde kahden hyödykkeen välillä Tarkastellaan hyötyä vakiotasolla u 0, u(x 1,..., x n ) u 0, ja kokonaisdifferentioidaan ko. lauseke: dx 1 + + dx n du 0 0. x 1 x n Oletetaan nyt, että kaikkien muiden hyödykkeiden kulutusnopeudet pidetään vakioina, ja tarkastellaan hyötytason vakiona pitävää marginaalista vaihtosuhdetta hyödykkeiden k ja l välillä; dx i 0, i 1,..., n, i k, l. dx k + dx l 0 dx k x k x l dx l / x l / x k < 0. Tämä vastaa indifferenssikäyrän kulmakerrointa koordinaatistossa (x l, x k ). Differentioidaan indifferenssikäyrän kulmakerroin uudestaan x l :n suhteen indifferenssikäyrän muodon tutkimiseksi: x l ( ) dxk dx l ( ) x k x l x l ( 2 u x k x 2 l + ( x l ) 2 x k ) 2 u dx k x k x l dx l ( ( ) x l x k ( 2 u x l x 2 k ) dx k dx l + 2 u x l x k ) 2 x k ( ) ( ) 2 u x k x 2 l 2 u / x l x k x l / x k 2 u x l x l x k 2 u / x l x 2 k / x k 1 ( ) 3 x k x k x l [ ( x k ( ) 2 x k ) 2 2 u x l 2 x k x l 2 u ] ( 1 x l x k 5 ) 3 x k ( ) 2 2 u 2 u + x k x l x l x 2 k ( uk 2 u ll + u l 2 u kk 2u k u l u kl ),

missä u k / x k, u kl 2 u/ x k x l jne. Nyt viimeisimmän muodon sulkeissa oleva osa voidaan esittää neliömuotona ( ) ( ) u 2 k u ll + u 2 ull u l u kk 2u k u l u kl (u k, u l ) kl uk. u kl Tämä neliömuoto on negatiivisesti määritelty, jos u ll < 0 ja u ll u kk u kl 2 > 0; nämä ehdot toteutuvat hyötyfunktiosta tekemiemme oletusten perusteella. Koska sulkulausekkeiden edessä oleva kerroin on negatiivinen, voimme päätellä, että yo. osittaisderivaatta on positiivisesti määritelty eli indifferenssikäyrä em. koordinaatistossa on konveksi. 5 Marshallilaiset kysyntäfunktiot kun n 2 Hyödyn maksimointiongelma budjettirajoitteella kahden hyödykkeen tapauksessa on muotoa: u kk max x 1,x 2 u u(x 1, x 2 ) rajoitteella p 1 x 1 + p 2 x 2 M. Hyötyfunktiosta oletetaan: > 0 ja 2 u 2 < 0, i 1, 2. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteisena, sillä positiiviset rajahyödyt takaavat sen, että optimipiste löytyy määrittelyalueen reunalta. max L u(x 1, x 2 ) + λ[m p 1 x 1 p 2 x 2 ]. x 1,x 2,λ Optimin välttämättömät ehdot ovat L 0 λp i 0, i 1, 2, L λ 0 M p 1x 1 p 2 x 2 0. (1) Johdetaan riittävät ehdot maksimipisteelle derivoimalla välttämättömät ehdot endogeenisten muuttujien suhteen: 2 L x u 2 L 2 11, u 21, 1 x 2 x 1 2 L 2 L u 12, x 1 x 2 x u 2 22, 2 2 L x 1 λ p 1, 2 L x 2 λ p 2, 2 L p 1, λ x 1 2 L p 2, λ x 2 2 L λ 0, u 2 ij 2 u, i, j 1, 2. x j 6 u l

Muodostetaan yo. osittaisderivaatoista reunustettu (bordered) Hessin matriisi (huomaa muunnettu rivi- ja sarakejärjestys): 0 p 1 p 2 H p 1 u 11 u 21. p 2 u 12 u 22 Riittävä ehto maksimille on, että yo. reunustettu Hessin matriisi on positiivisesti määritelty (Chiang, Third Edition s. 402), eli H 1 0, H 2 p 2 1 < 0, H 3 ( p 1 )[ p 1 u 22 + p 2 u 21 ] p 2 [p 2 u 11 p 1 u 12 ] p 2 1u 22 + 2p 1 p 2 u 12 p 2 2u 11 > 0, missä merkintä X tarkoittaa X:n determinanttia ja alaindeksit viittaavat pääminoreihin. Nyt H 3 voidaan esittää neliömuotona seuraavasti: ( ) ( ) H 3 p 2 1u 22 + 2p 1 p 2 u 12 p 2 u22 u 2u 11 (p 1, p 2 ) 12 p1. u 21 u 11 p 2 Tämä neliömuoto on positiivisesti määritelty kun u 22 > 0 ja u 11 u 22 u 2 12 > 0. Eo. oletukset hyötyfunktiosta toteuttavat ensimmäisen ehdon, joten jälkimmäinen ehto on riittävä maksimipisteelle; oletus, että u 12 on itseisarvoltaan pienempi kuin u 11 ja u 22 riittää. 6 Komparatiivista statiikkaa optimipisteen ympäristössä Yhtälöryhmä (1) sisältää 3 yhtälöä ja 3 tuntematonta (endogeenista) muuttujaa x 1, x 2, λ sekä 3 tunnettua (eksogeenista) muuttujaa p 1, p 2, M. Differentioidaan ko. yhtälöryhmä ja kirjoitetaan matriisimuodossa. u 11 u 21 p 1 dx 1 u 12 u 22 p 2 dx 2 p 1 p 2 0 dλ λ 0 0 0 λ 0 x 1 x 2 1 dp 1 dp 2. dm Tarkastellaan endogeenisten muuttujien differentiaalien muodostaman vektorin (dx 1, dx 2, dλ) kerroinmatriisia (Jacobin matriisi). Jos Jacobin matriisista laskettu determinantti eroaa nollasta, yhtälöryhmä määrittelee implisiittifunktiolauseen mukaisesti yhtälöryhmän ratkaisupisteen ympäristössä seuraavat implisiittifunktiot x 1 f 1 (p 1, p 2, M), x 2 f 2 (p 1, p 2, M), λ f 3 (p 1, p 2, M), 7

missä * viittaa optimaaliseen arvoon. Koska Jacobin matriisi yhtyy reunustettuun Hessin matriisiin ja H 3 > 0, implisiittifunktiolauseen ehdot toteutuvat. Johdetaan seuraavaksi Cramerin säännöllä seuraavat komparatiivisen statiikan tulokset. x 1 1 λ u 21 p 1 p 1 H 3 0 u 22 p 2 x 1 p 2 0 1 H 3 [p 1x 1 u 22 λp 2 2 p 2 x 1 u 21 ] < 0, x 1 1 0 u 21 p 1 p 2 H 3 λ u 22 p 2 x 2 p 2 0 1 H 3 [ p 2x 2 u 21 + λp 1 p 2 + p 1 x 2 u 22 ], x 1 M 1 0 u 21 p 1 H 3 0 u 22 p 2 1 p 2 0 1 H 3 [p 2u 21 p 1 u 22 ] > 0, λ 1 u 11 u 21 λ p 1 H 3 u 12 u 22 0 p 1 p 2 x 1 1 H 3 [λ(p 1u 22 p 2 u 12 ) + x 1 (u 11 u 22 u 2 12 )], λ M 1 u 11 u 21 0 H 3 u 12 u 22 0 p 1 p 2 1 1 H 3 [u 11u 22 u 2 12 ] < 0. 7 Hicksiläiset kysyntäfunktiot kun n 2 Menojen minimointiongelma hyötyrajoitteella kahden hyödykkeen tapauksessa; hyötyfunktio sama kuin edellä ja u 0 jokin kiinteä hyötytaso: min W p 1x 1 + p 2 x 2 + µ[u 0 u(x 1, x 2 )]. x 1,x 2,µ Välttämättömät ehdot ovat: W 0 p i µ 0, i 1, 2, W µ 0 u 0 u(x 1, x 2 ) 0. (2) Johdetaan seuraavaksi riittävät ehdot minimille. 2 W x µu 2 W 2 11, µu 21, 1 x 2 x 1 2 W 2 W µu 12, x 1 x 2 x µu 2 22, 2 2 W x 1 µ u 2 W 1, x 2 µ u 2, 8 2 W u 1, µ x 1 2 W u 2, µ x 2 2 W µ 2 0.

Muodostetaan reunustettu Hessin matriisi; huom. rivi- ja sarakejärjestys: 0 u 1 u 2 H u 1 µu 11 µu 21. u 2 µu 12 µu 22 Riittävä ehto minimille on, että yo. reunustettu Hessin matriisi on negatiivisesti määritelty, eli: H 1 0, H 2 u 2 1 < 0, H 3 u 1 [µu 1 u 22 + µu 2 u 21 ] u 2 [µu 1 u 12 µu 2 u 11 ] µ[u 2 1u 22 2u 1 u 2 u 12 + u 2 2u 11 ] < 0. Myöhemmin osoitamme, että optimitilanteessa pätee µ 1/λ, joten sekä µ että λ ovat positiivisia. Unohtamalla positiivinen kerroin µ, yo. hakasulkulauseke voidaan esittää seuraavana neliömuotona: ( ) ( ) u 2 1u 22 2u 1 u 2 u 12 + u 2 u22 u 2u 11 (u 1, u 2 ) 12 u1. u 21 u 11 u 2 Tämä neliömuoto on negatiivisesti määritelty, kun u 22 < 0 ja u 11 u 22 u 2 12 > 0. Eo. oletukset hyötyfunktiosta toteuttavat ensimmäisen ehdon, joten jälkimmäinen ehto on riittävä minimipisteelle; oletus, että u 12 on itseisarvoltaan pienempi kuin u 11 ja u 22 riittää. Yhtälöryhmä (2) sisältää 3 yhtälöä, 3 tuntematonta x 1, x 2, µ sekä 3 tunnettua muuttujaa p 1, p 2, u 0. Differentioidaan ko. ryhmä ja esitetään matriisimuodossa: µu 11 µu 21 u 1 dx 1 µu 12 µu 22 u 2 dx 2 u 1 u 2 0 dµ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 dp 1 dp 2. du 0 Tarkastellaan endogeenisten muuttujien muodostaman vektorin (dx 1, dx 2, dµ) kerroinmatriisia (Jacobin matriisi). Jos Jacobin matriisista laskettu determinantti eroaa nollasta, yhtälöryhmä määrittelee yhtälöryhmän ratkaisupisteen ympäristössä seuraavat implisiittifunktiot x 1 g 1 (p 1, p 2, u 0 ), x 2 g 2 (p 1, p 2, u 0 ), µ g 3 (p 1, p 2, u 0 ), missä * viittaa optimaaliseen arvoon. Koska Jacobin matriisi yhtyy reunustettuun Hessin matriisiin ja H 3 < 0, implisiittifunktiolauseen ehdot toteutuvat. Johdetaan seuraavaksi Cramerin säännöllä seuraavat komparatiivisen 9

statiikan tulokset. x 1 1 1 µu 21 u 1 p 1 H 3 0 µu 22 u 2 0 u 2 0 u 2 2 < 0, (3) H 3 x 1 1 0 µu 21 u 1 p 2 H 3 1 µu 22 u 2 0 u 2 0 u 1u 2 > 0, (4) H 3 x 1 1 0 µu 21 u 1 0 H 3 0 µu 22 u 2 1 u 2 0 µ H 3 [u 2u 21 u 1 u 22 ] > 0, (5) µ 1 µu 11 µu 21 1 p 1 H 3 µu 12 µu 22 0 u 1 u 2 0 µ H 3 [u 1u 22 u 2 u 12 ] > 0, (6) µ 1 µu 11 µu 21 0 0 H 3 µu 12 µu 22 0 u 1 u 2 1 µ2 H 3 [u 11u 22 u 2 12 ] > 0. 8 Epäsuoran hyötyfunktion johtaminen Hyödyn maksimointiongelma (7) max X u u( X) rajoitteella p X M, p (p 1,..., p n ), X (x1,..., x n ), missä :llä merkitään vektorien pistetuloa, p X n p ix i. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteisena, sillä positiiviset rajahyödyt kaikilla hyödykkeillä takaavat sen, että optimipiste löytyy määrittelyalueen reunalta. Välttämättömät ehdot ovat: max L u( X) + λ[m X,λ p i x i ]. L 0 λp i, i 1,..., n, L λ 0 M p i x i. 10

Yo. yhtälöryhmä sisältää n+1 yhtälöä, n+1 tuntematonta x 1,..., x n, λ sekä n+1 eksogeenista muuttujaa p 1,..., p n, M. Tiettyjen oletusten ollessa voimassa yhtälöryhmällä on olemassa seuraava yksikäsitteinen ratkaisu x i D i (p 1,..., p n, M) D i ( p, M), i 1,..., n, λ λ(p 1,..., p n, M) λ( p, M), (8) missä D i, i 1,..., n merkitään Marshallilaisia kysyntäfunktioita erotuksena Hicksiläisiin. Määritellään kuluttajan epäsuora hyötyfunktio seuraavasti: u u(x 1,..., x n) u ( D 1 ( p, M),..., D n ( p, M) ). Epäsuoran hyötyfunktion derivaatta M:n suhteen on M D i M. Sijoitetaan edelliseen ensimmäisen kertaluvun ehdot optimitilanteessa: M λ D i p i M. (9) Kun budjettiyhtälöön sijoitetaan Marshallilaiset kysyntäfunktiot saadaan: M p i x i p i D i ( p, M). (10) Derivoimalla edellinen M:n suhteen saadaan: 1 Sijoitetaan tämä (9):een, jolloin saadaan p i D i M. M λ; kuluttajan optimitilanteessa λ:n arvo siis vastaa tulon rajahyötyä M. 11

9 Komparatiivista statiikkaa epäsuoralla hyötyfunktiolla D i. Sijoittamalla tähän edellä johdetut ensimmäisen kertaluvun ehdot saadaan: λ Budjettiyhtälöstä (10) saadaan puolittain derivoimalla dm dp j 0 x j + Sijoittamalla tämä (11):een saadaan: p i D i. (11) p i D i x j λx j, p i D i mitä kutsutaan Roy n identiteetiksi. Koska optimitilanteessa λ / M, Roy n identiteetti voidaan myös esittää muodossa: ( ) ( ) x j /. M Koska x j 0 ja / M 0 niin / 0. Siis x j on sitä suurempi mitä suurempi absoluuttiselta arvoltaan on /, ja mitä pienempi on / M. 10 Kuluttajan menofunktion johtaminen Kuluttajan menojen minimointiongelma min X p i x i rajoitteella u(x 1,..., x n ) u 0, x i 0, i 1,..., n. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteella: min L X,µ p i x i + µ[u 0 u( X)]. 12

Optimoinnin välttämättömät ehdot ovat: L 0 p i µ, i 1,..., n, L µ 0 u 0 u(x 1,..., x n ). Yo. yhtälöryhmässä on n+1 kpl tuntemattomia x 1,..., x n, µ ja n+1 kpl yhtälöitä sekä n+1 kpl eksogeenisia parametreja, p 1,..., p n, u 0. Hicksiläiset kysyntäfunktiot ja Lagrangen kerroin µ saadaan tietyin oletuksin ratkaistua ensimmäisen kertaluvun ehdoista muotoon: x i h i (p 1,..., p n, u 0 ) h i ( p, u 0 ), i 1,..., n, µ µ(p 1,..., p n, u 0 ) µ( p, u 0 ). Määritellään kuluttajan menofunktio seuraavasti: M ( p, u 0 ) p i h i ( p, u 0 ) p 1 h 1 ( p, u 0 ) + + p n h n ( p, u 0 ). Komparatiivista statiikkaa kuluttajan menofunktiolla Menofunktion derivaatta hinnan p j suhteen on M h j ( p, u 0 ) + p i x i. Sijoittamalla n ensimmäistä ensimmäisen kertaluvun ehtoa edelliseen, saadaan: M h j ( p, u 0 ) + µ x i h j ( p, u 0 ) + µ Ehdosta u 0 u(x 1,..., x n ) saadaan puolestaan: 0 0 Sijoittamalla tämä (12), saadaan: x i, i 1,..., n. M h j ( p, u 0 ) x j, mikä oltaisiin saatu myös suoraan Envelope -teoreeman avulla. 13 x i. (12)

11 Slutskyn yhtälön johtaminen Kuluttajan optimitilanteessa jokaisen hyödykkeen Marshallilaisen ja Hicksiläisen kysyntäfunktion arvot ovat samat (optimoinnin duaaliteoria), eli h i ( p, u ( p, M) ) D i ( p, M), i 1,..., n, (13) missä u 0 :n paikalle on asetettu epäsuora hyötyfunktio u 0 u ( p, M). Yhtälö ilmaisee hyödykkeiden kulutusnopeudet kiinteiden tulojen M funktiona kahdella tavalla. Derivoidaan hyödykettä i koskeva yhtälö hinnan p j :n suhteen: h i + h i 0 D i. (14) Yhtälön oikea puoli mittaa hyödykkeen i Marshallilaisen kysyntäfunktion arvon muutosta hinnan p j marginaalisen muutoksen seurauksena. Vasen puoli taas osoittaa sen, miten tämä muutos voidaan jakaa Hicksiläisen kysyntärelaation avulla kahteen osamuutokseen. Suure h i mittaa hinnan p j muutoksen aiheuttaman hyödykkeiden hintasuhteen muutoksen aikaansaamaa hyödykkeen i optimaalisen kulutusnopeuden muutosta kiinteällä hyötytasolla (osittaisderivaatan määritelmä). Suure h i 0 puolestaan mittaa hinnan p j muutoksen aiheuttamaa hyödykkeen i optimaalisen kulutusnopeuden muutosta hyötytason muutoksen kautta hintasuhteen ollessa kiinteä. Edellä johdimme tulokset λx j ja M Yhtälöstä (13) saadaan derivoimalla M:n suhteen h i 0 M D i M. Käytetään nyt näitä tuloksia hyväksi suureen h i 0 muuntamisessa. Niiden avulla se voidaan kirjoittaa muodossa h i 0 Sijoittamalla tämä (14):een, saadaan: D i M x j. h i D i M x j D i, mitä nimitetään Slutskyn yhtälöksi. 14 λ. (15)

12 Paljastettujen preferenssien teoria Oletukset: 1) Tarkastellaan kuluttajan kuukausittaista kulutusvalintaa, jonka ajatellaan tapahtuvan yhdellä kertaa. Kuluttajan käytettävissä olevat varat M (eur/kk) ja hyödykkeiden yksikköhinnat p (p 1,... p n ) ovat kiinteät ja kaikki varat kulutetaan. 1) Yksi tietty kulutusnopeusvektori X (x1,..., x n ) valitaan jokaisella hintavektorilla p ja varoilla M. Ts. jokaisella kulutusnopeusvektorilla X 1 (x 11,... x 1n ) on olemassa tietty yksikäsitteinen hintavektori p 1 (p 11,..., p 1n ) sekä käytettävissä olevat varat M 1, joilla se valitaan. 3) Ajatellaan, että jokainen realisoitunut (havaittu) kuluttajan valitsema kulutusnopeusvektori X on kuluttajan hyödyn maksimoiva valinta vallitsevilla hinnoilla ja kuluttajan käytettävissä olevilla varoilla. 4) Kuluttajan valinnat ovat konsistentteja, ts. jos X 0 on valittu ja myös X 1 oltaisiin voitu valita vallitsevilla hinnoilla p 0 ja varoilla M 0, niin silloin kun X 1 valitaan, X0 :aa ei voida valita (varat eivät riitä). Ts. kuluttajalle pätee X 0 X 1. Sama formaalisti. Olkoon hintavektori p 0 ja varat M 0 ne joilla X 0 valitaan. Jos myös X 1 oltaisiin voitu valita hinnoilla p 0 ja varoilla M 0, niin tällöin p 01 x 11 + +p 0n x 1n p 0 X 1 M 0 p 0 X 0 p 01 x 01 + +p 0n x 0n p 0i x 0i Olkoon p 1 se hintavektori jolla X 1 valitaan varoilla M 1. Tällöin X 0 :aa ei olisi voitu valita, eli Ehtoa p 11 x 01 + + p 1n x 0n p 1 X 0 > p 1 X 1 p 11 x 11 + + p 1n x 1n. p 0 X 1 p 0 X 0 p 1 X 0 > p 1 X 1 kutsutaan paljastettujen preferenssien heikoksi aksioomaksi. Se tarkoittaa sitä, että jos X 0 valitaan kun X 1 :kin olisi voitu valita, niin silloin kun X 1 valitaan, X 0 :aa ei voida valita (varat ei riitä). 13 Komparatiivista statiikkaa paljastettujen preferenssien aksioomalla Olkoon p 0 lähtötilanteen hintavektori ja X 0 kuluttajan sitä vastaava valinta, ja olkoon X 1 hintavektoria p 1 vastaava valinta. Merkitään M 2 :lla niitä varoja, 15

joilla kuluttaja voi juuri kuluttaa X 0 :n hinnoilla p 1, p 1 X 0 M 2. Olkoon X 2 kuluttajan optimaalinen valinta varoilla M 2 ja hinnoilla p 1. Nyt p 1 X 0 M 2 p 1 X 2. (16) Koska X 2 valitaan vaikka X 0 :kin olisi voitu valita hinnoilla p 1 ja varoilla M 2, niin kuluttajalle pätee X 2 X 0. Koska kuluttaja valitsee X 0 :n hinnoilla p 0, niin tällöin hän ei voi valita X 2 :sta (paljastetut preferenssit), eli p 0 X 0 < p 0 X 2. (17) Nyt (16) p 1 ( X 0 X 2 ) 0 ja (17) p 0 ( X 0 X 2 ) < 0. Vähennetään nämä toisistaan p 1 ( X 0 X 2 ) p 0 ( X 0 X 2 ) ( p 1 p 0 ) ( X 0 X 2 ) > 0. Kerrotaan edellinen 1:llä, ( p 1 p 0 ) ( X 2 X 0 ) < 0 (p 1i p 0i )(x 2i x 0i ) < 0. (18) Oletetaan nyt, että hintavektorit p 1, p 0 eroavat toisistaan vain p j osalta, p 0i p 1i i, i j, eli että vain j:nnen hyödykkeen yksikköhinta muuttuu. Tällöin (18) tulee muotoon (p 1j p 0j )(x 2j x 0j ) < 0 p j x j < 0, sillä muut summalausekkeen termit ovat nollia. Hyödykkeen j kulutusnopeus muuttuu siis eri suuntaan kuin sen yksikköhinta. Nyt p 1 X 0 M 2 ja p 0 X 0 M 0. Kuluttajan varojen muutos, joka pitää X 0 :n juuri saavutettavissa olevana, on nyt M M 2 M 0 p 1 X 0 p 0 X 0 ( p 1 p 0 ) X 0. Jos nyt vain j:nnen hyödykkeen yksikköhinta muuttuu, M p j x 0j. (19) Nyt p j :n vaikutus kuluttajan optimaaliseen hyödykkeen j kulutusnopeuteen voidaan dekomponoida kahteen osamuutokseen, joista edellinen on seuraus varojen muutoksesta (tulovaikutus) ja jälkimmäinen hyödykkeiden hintasuhteiden muutoksesta (substituutiovaikutus), x 1j x 0j (x 1j x 2j ) + (x 2j x 0j ); 16

x 1j ja x 0j ovat j:nnen hyödykkeen optimaaliset kulutusnopeudet hintavektoreilla p 1 ja p 0. Jaetaan yo. yhtälö p j :llä, x 1j x 0j p j x 1j x 2j p j + x 2j x 0j p j. Nyt (19):sta voidaan ratkaista p j M/x 0j. Sijoitetaan tämä edelliseen, x 1j x 0j p j x 1j x 2j x 0j M +x 2j x 0j p j x j x j x 0j + x j M. p j M p vakio p j vakio Yllä diskreetisti johdettu komparatiivisen statiikan tulos vastaa Slutskyn yhtälöä, ja se johdettiin ilman mitään oletusta hyötyfunktiosta. Slutskyn yhtälön substituutiovaikutus (osamuutos hyödyn pysyessä vakiona) korvautuu yllä osavaikutuksena varojen (tai kulutusmenojen) säilyessä vakiona, ja tulovaikutus on molemmissa sama hintamuutoksesta johtuva reaalitulojen muutos. Hyötyfunktion avulla johdettu kuluttajan hyödyn maksimointiteoria ja paljastettujen preferenssien teoria voidaan osoittaa sillä tavalla ekvivalenteiksi, että vastaavat komparatiivisen statiikan tulokset voidaan johtaa kummankin teorian avulla. 14 Hintaindekseistä Jatketaan paljastettujen preferenssien teorian tarkastelua. Olkoot X 0 ja X 1 ne kulutusnopeusvektorit, jotka kuluttaja valitsee varoilla M 0 ja M 1 sekä yksikköhinnoilla p 0 ja p 1. Siis M 0 p 0 X 0 ja M 1 p 1 X 1. Viitatkoon nyt alaindeksit 0, 1 eri ajanhetkiin. Kysymys: Millä ehdoilla kuluttajan hyvinvointi hetkellä 1 on lisääntynyt hetkeen 0 verrattuna, kun sekä käytettävissä olevat varat että yksikköhinnat ovat muuttuneet? Oletetaan, että p 1 X 1 p 1 X 0, (20) eli että kuluttaja voisi hetkellä 1 valita myös X 0 :n (vaikka valitsee X 1 :n). Tällöin siis kuluttajalle pätee X 1 X 0. Jaetaan (20) puolittain M 0 p 0 X 0 > 0:lla, M 1 p 1 X 1 M 0 p 0 X p 1 X 0 0 p 0 X LP, (21) 0 missä LP :llä merkitään Laspeyresin hintaindeksiä. LP -indeksissä yksikköhintojen muutoksen p 0 p 1 painoina käytetään lähtötilanteen kulutusnopeuksia X 0. Jos siis kuluttajan käytettävissä olevien varojen (tulojen) 17

suhdeluku (muutos) on vähintään menojen suhdeluku (muutos) siten, että menot lasketaan painottamalla yksikköhintoja lähtötilanteen kulutusvalinnalla (LP -indeksi), kuluttajan hyvinmvoinnin voidaan sanoa lisääntyneen. Jos kaavassa (20) epäyhtälön merkki on päinvastainen, kuluttajan hyvinvoinnin muutoksen suuntaa ei voida päätellä LP -indeksin avulla. Oletetaan seuraavaksi, että p 0 X 0 p 0 X 1, (22) jolloin kuluttajalle pätee X 0 X 1 (kuluttaja voisi hetkellä 0 valita myös X 1 :n). Kaava (22) voidaan myös esittää muodossa, Kerrotaan (23) puolittain M 1 p 1 X 1 > 0:llä, 1 p 0 X 0 1 p 0 X 1. (23) M 1 M 0 p 1 X 1 p 0 X 0 p 1 X 1 p 0 X 1 P P, (24) missä P P :llä merkitään Paaschen hintaindeksiä. Siinä yksikköhintojen muutosta p 0 p 1 painotetaan kuluttajan hetken 1 kulutusvalinnalla, ja näin laskettujen menojen muutosta verrataan varojen (tulojen) muutokseen. Jos yllä oleva epäyhtälö toteutuu, kuluttajan hyvinvointi on heikentynyt lähtötilanteeseen verrattuna. Jos epäyhtälön merkki kaavassa (24) on päinvastainen, kuluttajan hyvinvoinnin muutoksen suuntaa ei voida päätellä P P - indeksin avulla. Yo. hintaindeksien avulla ei siis aina voida päätellä, mihin suuntaan kuluttajan hyvinvointi muuttuu yksikköhintojen ja tulojen muuttuessa, sillä kuluttajan preferenssit vaikuttavat asiaan. Yksittäistä kuluttajaa tarkastelemalla ei myöskään voida päätellä koko väestön hyvinvoinnin muutoksen suuntaa, sillä hintamuutokset kohtelevat ihmisiä eri tavoilla riippuen heidän preferensseistään. Käyttämällä esimerkiksi kuluttajahintaindeksin mukaisia eri hyödykkeiden meno-osuuksia yksikköhintojen painoina, saadaan muodostettua keskimääräisen kuluttajan menojen muutosta kuvaava suhdeluku. Koko väestön hyvinvoinnin muutoksen suuntaa voidaan tämän jälkeen arvioida vertaamalla tätä suhdelukua kuluttajien keskimääräiseen käyt. ol. varojen (tulojen) suhdelukuun. 18