MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. helmikuuta 16 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 1 ym., / 75osa 1 Implisiittifunktiot Ääriarvot Taylorin polynomi 3 Pienimmän neliösumman menetelmä 4 Lagrangen kertoimet 5 Tasointegraali 6 Muuttujien vaihto tasointegraaleissa G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 ym., / 75osa

Implisiittifunktiolause: f(x, y = Jos f(x, y on jatkuvasti derivoituva, f(x, y =, f y (x, y on kääntyvä matriisi,? y = g(x niin on olemassa jatkuvasti derivoituva funktio g(x siten, että g(x = y ja f(x, g(x = kun x x on riittävän pieni. Derivoimalla saamme f x (x, g(x + f y (x, g(xg (x = ja kun sijoitamme x = x ja ratkaisemme g (x yhtälöstä saamme g (x = f y (x, y 1 f x (x, y. Tässä f : R m R n R n eli jotta f y (x, y voisi olla kääntyvä, sen täytyy olla neliömatriisi, eli meillä pitää olla yhtä monta yhtälöä systeemissä f(x, y = kuin mitä meillä on tuntemattomia vektorissa y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 3 ym., / 75osa Implisiittifunktiolause ja approksimaatiot Jos f(x, y =, f(x, y on jatkuvasti derivoituva ja f(x + x, y + y = niin pätee f x (x, y x + f y (x, y y ja jos f x (x, y on kääntyvä matriisi niin ( w x y =? x f x (x, y 1 f y (x, y y. Jos f (x, y, z, w = ja g(x, y, z, w = niin voimme (ehkä? esimerkiksi? ratkaista joko w ja z muuttujien x ja y funktioina (eli w = w(x, y, z = z(x, y tai w ja y muuttujien x ja z funktioina (eli w = w(x, z, y = y(x, z ja silloin ei ole selvää mitä w x tarkoittaa. Tällaisessa tapauksessa merkintä ( w ( x w funktio, eli = x y y w(x, y. x tarkoittaa, että w on muuttujien x ja y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 4 ym., / 75osa

: Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi Funktio z = z(x, y määräytyy yhtälöstä xz + y z + (x + yz 3 = 4 siten, että z( 1, 1 = 1. Jos nyt y + 1.3 niin meidän pitää määrittää (implisiittistä derivointia käyttäen approksimatiivinen yläraja lausekkeelle x + 1 siten, että lineaarisella approksimoinnilla saamme tulokseksi z(x, y + 1.3. Merkitään f (x, y, z = xz + y z + (x + yz 3 4. Nyt f ( 1, 1, 1 = 1 + 1 + ( ( 1 4 = ja jos z = z(x, y niin määritelmän mukaan f (x, y, z = joten lineaarinen approksimaatio antaa eli = f (x, y, z f ( 1, 1, 1 f x ( 1, 1, 1(x ( 1 + f y ( 1, 1, 1(y ( 1 + f z ( 1, 1, 1(z ( 1, f z ( 1, 1, 1(z + 1 f x ( 1, 1, 1(x + 1 f y ( 1, 1, 1(y + 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 5 ym., / 75osa Nyt : Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. f x (x, y, z = z + z 3, f x ( 1, 1, 1 =, f y (x, y, z = yz + z 3 f y ( 1, 1, 1 = 3, f z (x, y, z = x + y z + 3(x + yz f z ( 1, 1, 1 = 9. Tästä seuraa, että 9 z(x, y + 1 x + 1 + 3 y + 1 eli z(x, y + 1 9 x + 1 + 1 3 y + 1 Jos nyt haluamme, että z(x, y + 1.3 niin on meidän pitää, koska y + 1.3, vaatia, että josta seuraa, että 9 x + 1 + 1 3.3.3, x + 1 9 (.3 1 3.3 =.9. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 6 ym., / 75osa

Eulerin ketjusääntö Oleta, että funktio F on sellainen, että yhtälöstä F (x, y, z = voimme ratkaista x muuttujien y ja z funktiona, eli x = x(y, z mutta myös y muuttujien x ja z funktiona, eli y = y(x, z sekä z muuttujien x ja y funktiona, eli z = z(x, y. Jos x = x(y, z niin saamme kun derivoimme yhtälön F (x(y, z, y, z = molemmat puolet muutujan y suhteen x(y, z F x (x(y, z, y, z y + F y (x(y, z, y, z =. Tästä seuraa, että kun kirjoitamme x(y, z:n sijasta x niin x(y, z y = F y (x, y, z F x (x, y, z. Samanlaisilla laskuilla saamme y(x, z z = F z(x, y, z F y (x, y, z, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 7 ym., / 75osa ja Eulerin ketjusääntö, jatk. Tästä seuraa nyt, että z(x, y x = F x(x, y, z F z (x, y, z. x(y, z y y(x, z z z(x, y x = ( 1 3 F y (x, y, z F z (x, y, z F x (x, y, z F x (x, y, z F y (x, y, z F z (x, y, z = 1. Toisella tavalla esitettynä tämä kaava on ( x y ( y z ( z x z x y = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 8 ym., / 75osa

Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi Karttapaperi on venynyt niin, että origosta pisteestä (x, y kulkevan janan pituus on kasvanut % ja ja tämän janan ja x-akselin välinen kulma, joka alunperin oli 45, on pienentynyt 1 %. Nyt meidän pitää laskea paljonko paperi on venynyt x-akselin suunnassa ja paljonko y-akselin suunnassa. Jos janan pituus on L ja kulma on ϕ niin pätee tietenkin L = x + y, ( y ϕ = arctan. x Jos merkitsemme x = muodossa [ ] x y f(x, u = ja u = [ ] L, niin voimme kirjoitta nämä yhtälöt ϕ ] [ x + y L arctan( y x ϕ = = [ ]. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto 9. helmikuuta ja esimerkkejä 16 9 ym., / 75osa Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Kun karttapaperi muuttuu niin x ja y muuttuvat pisteiksi x + x ja y + y ja etäisyydeksi sekä kulmaksi tulee L + L ja ϕ + ϕ jolloin yhtälöksi tulee f(x + x, u + u =. Lineaarisella approksimoinnilla saamme nyt = f(x + x, u + u f(x, u f x (x, u x + f u (x, u u. Yksinkertaisella laskulla toteamme, että ] f x (x, u = [ x x +y y x +y y x +y x x +y ja f u (x, u = [ ] 1, 1 jolloin yhtälösysteemiksi tulee [ x x +y y x +y y x +y x x +y ] [ x ] y [ ] L. ϕ G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 1 ym., / 75osa

Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Koska f x (x, u 1 = [ x x +y y x +y niin [ ] x = x y + y y x +y x x +y x y x +y x +y y x x +y x +y ] 1 = x + y [ ] L = ϕ Oletuksen mukaan L =.L =. x + y ja ϕ =.1ϕ =.1 arctan( y x jolloin x x y y y. +.1 x ϕ, x..1 y ϕ. x y x +y x +y y x x +y x +y x x +y y x +y. L y ϕ L + x ϕ G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 11 ym., / 75osa Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Koska oletimme, että ϕ = π 4 niin y x = 1 ja saamme x x 1 + π 4.8, y y 1 π 4.1 Paperi on siis venynyt noin.8% x-akselin suunnassa ja kutistunut 1.% y-akselin suunnassa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 1 ym., / 75osa

Suljetut, avoimet ja rajoitetut joukot Joukko Ω R d on suljettu jos sen reuna Ω Ω ja se on avoin jos Ω Ω = eli jos R d \ Ω on suljettu. Joukon Ω reuna Ω sisältää täsmälleen kaikki R d :n pisteet x, joille pätee että jokaisella δ > on olemassa v δ Ω ja u δ R d \ Ω siten, että v δ x < δ ja u δ x < δ. (Huomaa, että on aina mahdollista valita x toiseksi näistä pisteistä v δ ja u δ ja että Ω = (R d \ Ω. Joukko Ω R d on rajoitettu jos on olemassa luku C < siten, että x C kun x Ω. Suurin ja pienin arvo Jos f : Ω R on jatkuva ja Ω R d on suljettu ja rajoitettu niin on olemassa x 1 ja x Ω siten, että f (x 1 f (x f (x kaikilla x Ω, eli funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa Ω. Jos Ω ei ole suljettu tai ei ole rajoitettu niin näin ei välttämättä ole asian laita. Jos f : R d R on jatkuva ja lim x f (x = niin pienin arvo saavutetaan, eli on olemassa x 1 siten, että f (x 1 f (x kaikilla x R d. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 13 ym., / 75osa Optimoinnin peruslause Jos f on dervoituva pisteessä x ja f (x f (x kun x x < δ missä δ >, eli x on paikallinen minimipiste, niin pätee Df (x = f (x = f (x =. Milloin derivaatan nollakohta on maksimi- tai minimipiste? Olkoon f kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, f (x = ja f x1 x 1 (x... f x1 x n (x f (x =...... f xn x 1 (x... f xn x n (x Jos kaikki f (x :n ominaisarvot ovat > niin x on paikallinen minimipiste. Jos kaikki f (x :n ominaisarvot ovat < niin x on paikallinen maksimipiste. Jos f (x :lla on ainakin yksi positiivinen ja ainakin yksi negatiivinen ominaisarvo niin x ei ole maksimi- eikä minimipiste vaan ns. satulapiste. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 14 ym., / 75osa

Symmetrisen ja reaalisen -matriisin ominaisarvot? Olkoon A symmetrinen ja reaalinen matriisi. A:n ominaisarvot ovat > A(1, 1 > ja det(a >. A:n ominaisarvot ovat < A(1, 1 < ja det(a >. A:n ominaisarvoilla on eri merkki det(a <. Mistä löytyy funktion suurin (tai pienin arvo? Jos f : Ω R on jatkuva ja Ω on suljettu (Ω:n reuna on Ω Ω ja rajoitettu niin pätee f (x f (x, x Ω (eli funktio saavuttaa suurimman arvonsa pisteessä x missä x Ω (Ω:n reuna, tai x Ω \ Ω ja f (x =, tai x Ω \ Ω eikä f ole derivoituva pisteessä x. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 15 ym., / 75osa Esimerkki: Ääriarvo Jos meidän pitää määrittää funktion f (x, y = x 4 e 4y + 4x e y paikalliset ääriarvot niin laskemme ensin funktion derivaatan joka on f (x, y = [ 8x 3 + 8xe y, 4e 4y + 4x e y ]. Tämä derivaatta eli gradientti on nollavektori kun 8x 3 + 8xe y =, 4e 4y + 4x e y =. Jos x = niin 4e 4y + 4x e y = 4e 4y < joten x ja ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että e y = x jolloin jälkimmäisestä seuraa, että x 8 = x 4 eli x = ±1 koska x on reaalinen ja. Silloin e y = 1 eli y = ja kriittiset piseet ovat (±1,. Näiden kriittisten pisteiden luonteen selvittämiseksi meidän pitää laskea funktion toinen derivaatta ja se on [ f ( 4x (x, y = + 8e y 8xe y ] 8xe y ( 16e 4y + 4x e y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 16 ym., / 75osa

Esimerkki, jatk. [ ] 16 ±8 Näin ollen f (±1, =. Näiden matriisien determinantti on ±8 1 ( 16 ( 1 64 = 18 > joten ominaisarvot ovat samanmerkkiset ja koska lävistäjäalkiot ovat negatiiviset niin ominaisarvotkin ovat negatiiviset ja (1, ja ( 1, ovat kaksi paikallista maksimipistettä.yhden muuttujan derivoituvalla funktiolla ei voi olla täsmälleen kaksi kriittistä pistettä, jotka molemmat ovat maksimipisteitä. Funktio f (x, y = x 4 e 4y + 4x e y ei saavuta pienintä arvoa joukossa R koska lim x f (x, lim x ( x 4 1 + 4x =. Suurin arvo 1 saavutetaan pisteissä (±1, ja tämän osoittamiseksi riittää osoittaa (mikä tässä nyt jää tekemättä, että f (x, y < 1 3 kun (x, y / Ω = { (x, y : x < 3, y < ln(3 }. Tämä seuraa siitä, että funktio saavuttaa suurimman arvonsa suljetussa joukossa Ω Ω mutta jos pystymme osoittamaan että suurin arvo joukon Ω ulkopuolella (mukaanlukien reuna on korkeintaan 1 3 niin suurin arvo joukossa Ω ja samoin joukossa R saavutetaan jossain kriittisessä pisteessä, eli pisteissä (±1, missä funktion arvo on 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 17 ym., / 75osa Esimerkki: Suurin ja pienin arvo Jos meidän pitää määrittää funktion f (x, y = x + y 4x y + 7 suurin ja pienin arvo joukossa Ω = { (x, y : x, y, x + y 5 } niin laskemme ensin gradientin f = (x 4i + (y j nollakohdat, ja näemme, että ainoa nollakohta on pisteessä (, 1, joka kuuluu kyseiseen joukkoon. Seuraavaksi tutkimme ko. alueen reunaa joka koostuu kolmesta osasta: A 1 = { (x, : x 5 }, A = { (, y : y 5 }, A 3 = { (x, y : x + y = 5, x 5 }. Joukossa A 1 funktio on g(x = f (x, = x 4x + 7 ja koska g ( = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (,, (, ja (5,. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 18 ym., / 75osa

Esimerkki: Suurin ja pienin arvo, jatk. Koska Joukossa A funktio on h(y = f (, y = y y + 7 ja koska h (1 = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (,, (, 1 ja (, 5. Joukossa A 3 funktio on k(x = f (x, 5 x = x +(5 x 4x (5 x+7 = x 1x + ja koska k (3 = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (5,, (3, ja (, 5. f (, 1 =, f (, = 7 f (, = 3 f (5, = 1, f (, 1 = 6, f (, 5 = f (3, = 4, niin päättelemme, että pienin arvo on f (, 1 = ja suurin f (, 5 =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 19 ym., / 75osa Taylorin polynomi Lineaarisessa approksimointikaavassa esiintyvä polynomi f (x, y + f x (x, y (x x + f y (x, y (y y, on funktion f (x, y 1. asteen Taylorin polynomi pisteessä (x, y. Funktion f (x, y. asteen Taylorin polynomi pisteessä (x, y on f (x, y + f x (x, y (x x + f y (x, y (y y + 1 f xx(x, y (x x +f xy (x, y (x x (y y + 1 f yy(x, y (y y. Jos f (x, y on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva niin pätee f (x, y = p(x, y + η(x, y, missä p(x, y on korkeintaan astetta kaksi oleva polynomi ja η(x,y lim (x,y (x,y (x x +(y y = jos ja vain jos p(x, y on funktion f (x, y. asteen Taylorin polynomi pisteessä (x, y. Yleisemmin: Jos f : R d R niin. asteen Taylorin polynomi on f (x + f (x (x x + 1 (x x T f (x (x x. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä ym., / 75osa

Jos Esimerkki: Taylorin polynomi f (x, y = ex+y 1 x + y ln(1 + x y, missä e 1 = 1 ja oletamme, että 1 + x y > niin voimme määrittää funktion f. asteen Taylorin polynomin pisteessä (, käyttäen hyväksi Taylorin polynomin yksikäsitteisyyttä ja kehitelmiä e t 1 t = 1 + 1 t + 1 6 t + 1 4 t3 +... ja ln(1 + t = t 1 t + 1 3 t3 +... seuraavalla tavalla: Sijoitamme näihin kehitelmiin lausekkeet x + y sekä x y ja otamme mukaan vain ne termit joista tulee korkeintaan astetta olevia termiä. Näin saamme ( f (x, y = 1 + 1 (x + y + 1 ( 6 (x + y +... (x y 1 (x y +... = x y 1 (x y + 1 (x + y(x y +... = x y + xy y +... Näin ollen Taylorin polynomiksi tulee x y + xy y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 1 ym., / 75osa Taylorin. asteen polynomi ja ääriarvot Oletamme, että f : R d R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ainakin pisteen x läheisyydessä. Merkitsemme h = x x ja määrittelemme g(t = f (x + t h. Silloin 1 / 1 g(1 = g(+ g (t dt = g( (1 tg (t dt+ = g( + g ( + 1 (1 tg ( + = g( + g ( + 1 g ( + 1 1 1 (1 tg (t dt (1 t(g (t g ( dt (1 t(g (t g ( dt. Ketjusäännön nojalla g (t = f (x + t hh = h T f (x + t h T josta seuraa, että g (t = h T f (x + t hh joten missä f (x = f (x + f (x(x x + 1 (x x T f (x (x x + η(x, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä ym., / 75osa

Taylorin. asteen polynomi ja ääriarvot, jatk. η(x = 1 (1 t(x x T( f (x + t (x x f (x (x x dt. Nyt max t [,1] f (x + t (x x f (x kun x x koska oletamme, että f η(x on jatkuva ja siitä seuraa, että lim x x x x =. Jos A on mikä tahansa d d-matriisi, joka on symmetrinen ja reaalinen (kuten f (x niin λ min h h T Ah λ max h. Jos siis f (x = ja kaikki f (x :n ominaisarvot ovat positiiviset, niin silloin pienin niistä λ min on myös positiivinen ja ( 1 f (x f (x + λ min + η(x x x x x f (x, kun x x on niin pieni, että η(x x x > 1 λ min. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 3 ym., / 75osa Pienimmän neliösumman menetelmä Jos oletetaan, että yhteys muuttujien y ja x välillä voidaan kuvata yhtälöllä y c 1 f 1 (x + c f (x +... + c m f m (x, ja halutaan määrittää kertoimet c j kun pisteet (x j, y j, j = 1,..., n ovat tiedossa niin eräs mahdollisuus on minimoida funktio n (. q(c 1,..., c m = c1 f 1 (x j +... + c m f m (x j y j Minimiarvo saavutetaan kun j=1 c 1. c m = (A T A 1 A T Y, missä A(j, k = f k (x j ja Y (k, 1 = y k koska minimoitavaa funktiota q voidaan esittää muodossa n ( m j=1 k=1 A(j, kc(k, 1 Y (j, 1 = AC Y missä C(k, 1 = c k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 4 ym., / 75osa

Lineaarinen regressio Jos oletamme, että yhteys muuttujien x ja y välillä on y a + bx ja haluamme minimoida n j=1 (a + bx j y j voimme määritellä [ ] a A(j, 1 = 1,A(j, = x j jolloin ratkaisu on = (A b T A 1 A T Y. Mutta voi olla edullista ensin laskea x = 1 n n j=1 x j ja y = 1 n n j=1 y j ja sitten minimoida n f (ã, b = (ã + b(x j x (y j y. j=1 Ehdosta fã(ã, b = seuraa ã = koska n j=1 (x j x = n j=1 (y j y = ja ehdosta = f b (, b = n j=1( b(xj x (y j y (x j x saamme n j=1 b = (x j x(y j y n j=1 (x j x. Kerroin a lausekkeessa y = a + bx tulee olemaan a = y bx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 5 ym., / 75osa Miksi C = (A T A 1 A T Y on neliösumman C AC Y minimipiste? Voimme kirjoittaa minimoitavan funktion muodossa F (C = (AC Y T (AC Y = C T A T AC C T A T Y Y T AC + Y T Y jolloin derivaatta on = C T A T AC Y T AC + Y T Y, F (C = C T (A T A + (A T A T Y T A. Koska (A T A T = A T A niin voimme kirjoittaa yhtälön F (C = muodossa C T A T A = Y T A A T AC = A T Y C = (A T A 1 A T Y. Toisella tavalla: Jos määrittelemme P = A(A T A 1 A T niin P = P eli P on projektio ja P T A = PA = A josta seuraa, että jos kirjoitamme C = C + (A T A 1 A T Y niin AC = A C + PY ja F (C = A C (Y PY = A C (Y PY T A C + PY Y = A C Y T (A P T A C+ PY Y = A C + PY Y PY Y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 6 ym., / 75osa

Esimerkki: Linaarinen regressio Meillä on seuraavat havainnot muuttujista x ja y: x 96 11 13 17 6 54 43 36 11 y 76 74 76 87 66 59 63 6 55 5 46 Jos haluamme määrittää luvut a ja b siten, että y a + bx minimoimolla neliösummaa 11 j=1 (a + bx j y j niin määrittelemme 11 matriisin A siten, että A(j, 1 = 1, A(j, = x j ja 11 1 pystyvektorin Y siten, että Y (j, 1 = y j. Silloin vektori (A T A 1 A T Y sisältää optimaaliset kertoimet a ja b. Matlab/Octavessa lasku menee seuraavalla tavalla: A=[1, 96; 1, 11; 1, 13; 1, 17; 1, 6; 1, 54; 1,43; 1,36; 1,; 1, 11; 1,] Y=[76; 74; 76; 87; 66; 59; 63; 6; 55; 5; 46] C=inv(A *A*A *Y jolloin saamme tulokseksi a = C(1 = 47.14 ja b = C( =.8863. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 7 ym., / 75osa Esimerkki: Linaarinen regressio, jatk. Voimme myös laskea x = 1 n n j=1 x j ja y = 1 n n j=1 y j jolloin n j=1 b = (x j x(y j y n j=1 (x j x ja a = y bx. Nämä laskut voimme suorittaa komennoilla x=[96, 11, 13, 17, 6, 54, 43, 36,, 11, ]; y=[76, 74, 76, 87, 66, 59, 63, 6, 55, 5, 46]; b=cov(x,y/var(x, a=mean(y-b*mean(x G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 8 ym., / 75osa

Esimerkki: Linaarinen regressio, jatk. Jos nyt haluaisimme arvioida miten luotettavia numeroarvot a = 47.14 ja b =.8863 ovat niin voimme joko käyttää perustilastotieteen standardioletuksia riippumattomuudesta ja normaalijakautuneisuudesta tai sitten menetellä seuraavalla tavalla: Valitsemme satunnaisesti (takaisinpanolla 11 pistettä (x, y joukosta { (x j, y j : 1 j 11 } ja laskemme näillä arvoilla lineaariset regressiokertoimet a ja b ja tämän toistamme kunnes olemme saaneet riittävän monta arvoa. Laskut voimme tehdä näillä komennoilla (missä A on edellä määritelty matriisi: for k=1:1, jj=floor(11*rand(11,1+1; C(:,k=(A(jj,: *A(jj,:\A(jj,: *Y(jj;end Silloin esimerkiksi b:n jakauma on seuraavanlainen:..5.3.35 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 9 ym., / 75osa Esimerkki: Pienimmän neliösumman menetelmä Meillä on pisteet (x j, y j, j = 1,..., n, x=[.4.4.63.83 1.8 1.74.1.7.89 3.14] y=[.4.41.59.74.96.99.85.43.5 ] oletamme, että y c 1 + c x + c 3 x ja haluamme määrittää kertoimet c 1, c ja c 3 annettujen pisteiden perusteella. Yhtä ainoata oikeata vastausta ei (tietenkään ole olemassa joten on tärkeätä, että teemme selväksi miten määritämme kertoimet. Yksinkertaisinta on valita c j, j = 1,, 3 siten, että neliösumma n ( c1 + c x j + c 3 xj y j j=1 on mahdollisimman pieni. (Tässä tapauksessa saisimme melkein saman tuloksen jos neliön paikalla olisi itseisarvo. Voimme derivoida lausekkeen muuttujien c 1, c ja c 3 suhteen, ja hakea piste missä derivaatat ovat. Tehokkas tapa laskujen suorittamiseksi on kirjoittaa yhtälösysteemi c 1 + c x j + c 3 xj y j muodossa AC Y missä A(j, k = x k 1 j, C(k, 1 = c k ja Y (j, 1 = y j. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 3 ym., / 75osa

Esimerkki: Pienimmän neliösumman menetelmä, jatk. Funktion C AC Y = C T A T AC Y T AC + Y T Y derivaatta on C T A T A Y T A ja tämä on kun C = (A T A 1 A T Y. Matlab/Octavessa voimme kirjoittaa tämän seuraavalla tavalla A=[(1+*x, x, x.ˆ]; Y=y ; ja sitten laskemme C= (A *A\A *Y.6453 Tästä saamme C = 1.31468. Pisteet ja käyrä näyttävät.415687 seurvaavanlaisilta: G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 31 ym., / 75osa max minf (x, y, z =? kun g(x, y, z = ja Lagrangen kertoimet Lagrangen kertoimien idea on seuraava: Muodosta uusi funktio L(x, y, z, λ = f (x, y, z + λg(x, y, z, ja ratkaise yhtälösysteemi L (x, y, z, λ = eli f x (x, y, z + λg x (x, y, z = f y (x, y, z + λg y (x, y, z = f z (x, y, z + λg z (x, y, z = g(x, y, z = Jos funktio f (x, y, z saavuttaa suurimman tai pienimmän arvonsa kun g(x, y, z = jossain pisteessä (x, y, z niin jokin seuraavista ehdoista on voimassa: L (x, y, z, λ = jollain luvulla λ, g (x, y, z =, f tai g ei ole jatkuvasti derivoituva (x, y, z pisteen läheisyydessä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 3 ym., / 75osa

Monta ehtoa ja monta Lagrangen kerrointa Jos pitää määrittää max min f (x =? kun g(x = ja h(x = niin muodostetaan funktio L(x, λ, µ = f (x + λg(x + µh(x ja ratkaistaan yhtälösysteemi L (x, λ, µ =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 33 ym., / 75osa Esimerkki: Lagrangen kerroin Jos haluamme määrittää lyhimmän etäisyyden jostain paraabelin y = x pisteestä pisteeseen (3, niin voimme käyttää Lagrangen kerrointa seuraavalla tavalla: Minimoimme etäisyyden neliötä eli funktiota f (x, y = (x 3 + y kun g(x, y = x y = ja muodostamme Lagrangen funktion F (x, y, λ = (x 3 + y + λ(x y. Ehto, että F :n gradientti on antaa yhtälösysteemin F x (x, y, λ = (x 3 + λx =, F y (x, y, λ = y λ =, F λ (x, y, λ = x y =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 34 ym., / 75osa

Esimerkki: Lagrangen kerroin Kolmannen yhtälön (eli rajoitusehdon nojalla y = x ja kun sijoitamme tämän toiseen yhtälöön saamme λ = x jolloin ensimmäisen yhtälön nojalla näemme, että x + x 3 = 3. Nyt huomaamme, että x = 1 on tämän yhtälön ratkaisu ja muita ei ole koska funktio x x + x 3 on aidosti kasvava. Silloin y = 1 ja f (1, 1 = 5. Funkio f on jatkuva ja lim x +y f (x, y = joten funktion f minimiarvo saavutetaan jossain pisteessä. Koska funktiot f ja g ovat jatkuvasti derivoituvia ja g:n derivaatta x i j niin minimipiste saavutetaan pistessä (joka yhdessä λ:n kanssa on Lagrangen funktion kriittinen piste. Näin ollen voimme olla varmoja siitä, että (1, 1 todella on minimipiste ja etäisyys on 5. Huom! Edellisessä esimerkissä Lagrangen kertoimen käyttö ei oikeastaan tarjonnut mitään suurta etua verrattuna muihin mahdollisuuksiin mutta Lagrangen menetelmän vahvuudet tulevat esille kun ratkaistava ongelma on vaikeampi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 35 ym., / 75osa Mitä Lagrangen kerroin kertoo? Oleta, että funktion f (x suurin (tai pienin arvo kun g(x + c = saavutetaan pisteessä x(c ja että tämä piste (yhdessä λ(c:n kanssa on Lagrangen funktion L(x, λ = f (x + λ(g(x + c derivaatan nollakohta eli f (x(c + λ(cg (x(c =, g(x(c + c =. Jos nyt h(c = f (x(c on maksimiarvo (tai minimiarvo niin ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että h (c = f (x(cx (c = λ(cg (x(cx (c. Koska g(x(c = c niin pätee g (x(cx (c = 1 ja silloin myös h (c = λ(c. Lagrangen kerroin siis kertoo miten maksimi- tai minimiarvo riippuu muutoksista rajoitusehdossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 36 ym., / 75osa

Miksi Lagrangen menetelmä toimii? Oleta, että f ja g : R 3 R ovat jatkuvasti derivoituvia, g(x, y, z = ja f (x, y, z f (x, y, z kaikilla (x, y, z R 3 joilla g(x, y, z = ja että g (x, y, z. Voimmeko tästä päätellä, että on olemassa luku λ siten, että (x, y, z, λ on funktion L(x, y, z, λ = f (x, y, z + λg(x, y, z kriittinen piste eli derivaatan nollakohta? Koska g (x, y, z niin ainakin yksi komponentti ei ole ja oletamme, että esimerkiksi g z (x, y, z. Implisiittifunktiolauseen nojalla tiedämme, että on olemassa funktio h(x, y siten, että h(x, y = z ja g(x, y, h(x, y = kun (x, y (x, y on riittävän pieni. Mutta silloin f (x, y, h(x, y f (x, y, h(x, y ja funktion (x, y f (x, y, h(x, y derivaatta pisteessä (x, y on, eli f x (x, y, h(x, y + f z (x, y, h(x, y h x (x, y =, f y (x, y, h(x, y + f z (x, y, h(x, y h y (x, y =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 37 ym., / 75osa Miksi Lagrangen menetelmä toimii? jatk. Derivoimalla yhtälön g(x, y, h(x, y = molemmat puolet saamme g x (x, y, h(x, y + g z (x, y, h(x, y h x (x, y =, g y (x, y, h(x, y + g z (x, y, h(x, y h y (x, y =. josta seuraa, että kun ratkaisemme h x (x, y ja h y (x, y näistä yhtälöistä ja muistamme, että z = h(x, y niin saamme f x (x, y, z f z(x, y, z g z (x, y, z g x(x, y, z =, f y (x, y, z f z(x, y, z g z (x, y, z g y (x, y, z =. Jos nyt valitsemme λ = f z (x,y,z g z (x,y,z niin pätee L (x, y, z, λ =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 38 ym., / 75osa

Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin Meillä on pisteet (x j, y j, j = 1,..., n ja haluamme määrittää suoran ax + by + c = siten, että etäisyyksien neliöiden summa pisteista (x j, y j suoraan ax + by + c = on mahdollisimman pieni. Näin ollen meidän pitää minimoida lauseketta F (a, b, c = n j=1 (ax j + by j + c a + b. Derivoimalla tätä funktiota muuttujan c suhteen saamme F c (a, b, c = a +b n j=1 (ax j + by j + c ja ehdosta F c = seuraa ax + by + c = eli suora kulkee pisteen (x, y = ( 1 n n j=1 x j, 1 n n j=1 y j kautta. Näin ollen voimme, kun korvaamme pisteet (x j, y j pisteillä (x j x, y y olettaa, että x = y = jolloin c = ja suoran yhtälö on ax + by =. Koska meidän täytyy vaatia, että (a, b (, voimme yhtä hyvin vaatia, että a + b = 1 jolloin meidän täytyy löytää funktion (a, b n j=1 (ax j + by j pienin arvo kun a + b = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 39 ym., / 75osa Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin, jatk. [ ] [ ] x x1 x Jos määrittelemme X = ja M =... x n niin y y 1 y... y n n (ax j + by j = M T X = (M T X T (M T X = X T MM T X, j=1 ja rajoitusehto on X T X = 1. Tästä syystä muodostamme Lagrangen funktion L(X, λ = X T MM T X + λ(x T X 1. Haemme tämän funktion derivaatan nollakohdat ja se on seuraavan yhtälösysteemin ratkaisu: L X = X T (MM T + (MM T T + λx T =, L λ = X T X 1 =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 4 ym., / 75osa

Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin, jatk. Koska (MM T T = MM T niin saamme transponoimalla MM T X = λx, eli λ on matriisin MM T ominaisarvo ja X on vastaava ominaisvektori. Minimoitavan funktion arvo on X T MM T X = λx T X = λ, joten meidän pitää valita vektoriksi X matriisin MM T pienempään ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Jos laskemme matriisin M singulaarihajotelman M = USV T niin matriisin U toinen sarake U(:, on hakemamme ratkaisu [ a b ] ja suoran suuntavektori on ensimmäinen sarake U(:, 1. Jos meillä on vaakavektorit x ja y niin voimme suorittaa nämä laskut Matlab/Octavessa komennoilla: M = [x-mean(x;y-mean(y]; [u,s,v] = svd(m; jolloin a=u(1,, b=u(, ja c = -a*mean(x-b*mean(y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 41 ym., / 75osa Esimerkki: Boltzmannin jakauma Kaasussa on N molekyyliä ja jokainen niistä voi olla tilassa j jolloin sen energia on E j missä j = 1,..., M, (1 M. Jos molekyyleistä N j ovat tilassa j niin M j=1 N j = N ja jos niiden yhteenlaskettu energia on E, niin pätee M j=1 N je j = E. On olemassa N! N 1! N!... N M!, erilaista tapaa millä N molekyyliä voivat sijoittua eri energialuokkiin siten, että luokassa j on N j molekyyliä. Nyt meidän pitää määrittää osuudet N j N siten, että tämä luku, tai yhtäpitävästi sen logaritmi, on suurimmillaan kun M j=1 N j = N ja M j=1 N je j = E. Niin sanotun Stirlingin kaavan mukaan ln(k! (k + 1 ln(k k + 1 ln(π joten me haemme lausekkeen (N + 1 ln(n N M j=1 (N j + 1 ln(n j + M j=1 N j suurinta arvoa emmekä välitä vaatimuksesta, että lukujen N j pitäisi olla kokonaislukuja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 4 ym., / 75osa

Esimerkki: Boltzmannin jakauma, jatk. Lagrangen funktioksi tulee M L(N 1,..., N M, λ, µ = (N + 1 ln(n (N j + 1 ln(n j j=1 j=1 M M + λ N j N + µ N j E j E. Derivaatan nollakohdat toteuttavat yhtälösysteemin j=1 L = ln(n j 1 1 + λ + µe j =, j = 1,..., M, N j N j L M λ = j=1 L M µ = j=1 N j N =, N j E j E =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 43 ym., / 75osa Esimerkki: Boltzmannin jakauma, jatk. Ensimmäisistä yhtälöistä saamme ratkaisuiksi ja laskemalla yhteen saamme Näin ollen ja µ määräytyy ehdosta N j = e 1 1 N j +λ e µe j N e λ 1 M j=1 N j N e λ 1 e µe j e µe j, j = 1,..., M. e µej M, j=1 eµe j E N Tavallisesti kirjoitetaan µ = 1 kt M j=1 E je µe j. M j=1 eµe j missä k on Boltzmannin vakio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 44 ym., / 75osa

Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä Gradientti-menetelmä funktion f minimin löytämiseksi toimii seuraavalla tavalla: Aloitetaan jostain pisteestä x ja kun algoritmi on tullut pisteeseen x n niin valitaan suunta s n = f (x T (kun oletetaan, että f (x n on rivivektori jolloin s n on pystyvektori kuten x n ja seuraavaksi pisteeksi valitaan x n+1 = x n + t n s n missä t n määräytyy ehdosta f (x n + t n s n = min t R f (x n + ts n (tai ainakin niin että löydetään paikallinen minimipiste. Konjugaatti-gradientti-menetelmä toimii periaatteessa samalla tavalla mutta ainostaan kun n = valitaan s = f (x T ja muuten kun on löydetty piste x n+1 niin valitaan uudeksi suunnaksi s n+1 = f (x n+1 T + f (x n+1 f (x n s n. Seuraavaksi tutkimme miten nämä menetelmät toimivat kun f (x, y = x + 1.96xy + y [ =. x + ]. y + [.98(x ] + y eli 1.98 x f (X = X T BX missä B = ja X =..98 1 y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 45 ym., / 75osa Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä, jatk. Funktion t f (X + ts derivaatta on S T BX + ts T BS joten tämä funktio saavuttaa pienimmän arvonsa pisteessä X S T BX S T BS S. Käyttämällä tätä tulosta hyväksi saamme gradienttimenetelmällä esimerkiksi seuraavat pisteet: [ ] [ ] [ ].98.98.94119 X =, X 1. 1 =, X.964 =,.964 [ ] [ ] [ ].94119.939.939 X 3 =, X.937 4 =, X.937 5 =.88584 Syy siihen, ettei gradienttimenetelmä toimi tätä paremmin, on että matriisin B ominaisarvot λ 1 =. ja λ = 1.98 ovat niin erisuuret ja tässä esimerkissä alkuarvo X oli valittu erityisen epäedullisella tavalla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 46 ym., / 75osa

Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä, jatk. Konjugaatti-gradientti-menetelmällä [ ] saamme [ samalla] alkuarvolla.98.98 X = ensin saman pisteen X 1 1 = kuin.964 gradienttimenetelmällä mutta uusi suunta on (koska f (X T = BX S 1 = BX 1 + X 1 TBBX [ ] 1.77616 X TBBX ( BX =,.7664 jolloin saamme X = X 1 S 1 TBX [ ] 1.e + S1 TBS S 1 =, 1 4.774e 15 ja tarkka lasku olisi antanut vastaukseksi origon. Voidaan osoittaa, että jos f (X = X T BX + CX missä B on d d-matriisi joka on reaalinen, symmetrinen ja jonka ominaisarvot ovat positiiviset ja C on 1 d-rivivektori niin konjugaatti-gradientti-menetelmä tarvitsee (korkeintaan, jos lasketaan tarkasti d askelta minimipisteen löytämiseksi. Käytännössä minimoitavat funktiot eivät tietenkään ole tätä muotoa mutta minimipisteen läheisyydessä ne voivat olla melkein tällaisia. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 47 ym., / 75osa Esimerkki: Lineaarinen optimointi Jos meidän pitää ratkaista seuraava lineaarinen optimointiprobleema max 5x 1 + 3x + x 3 x 1, x, x 3 4x 1 + 5x + x 3 3x 1 + 4x x 3 3 niin voimme menetellä seuraavalla tavalla: Ensin lisäämme ylijäämämuuttujat s 1 ja s rajoitusehtoihin eli kirjoitamme 4x 1 + 5x + x 3 + s 1 = ja 3x 1 + 4x x 3 + s = 3 jolloin epäyhtälöt muuttuvat ehdoiksi s 1 ja s. Maksimoitavan funktion kirjoitamme yhtälönä muodossa q 5x 1 3x x 3 =. Nyt voimme kirjoittaa nämä yhtälöt seuraavana taulukkona q x 1 x x 3 s 1 s = 4 5 1 3 4-1 1 3 1-5 -3 - G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 48 ym., / 75osa

Esimerkki: Lineaarinen optimointi Yhtälösysteemin ratkaisuksi otamme nyt s 1 =, s = 4 ja q = ja silloin x 1 = x = x 3 = koska niiden sarakkeissa ei ole tukialkoita 1. Kantamuuttujat ovat siis nyt {s 1, s } (jos q:ta ei lasketa sellaiseksi. Seuraavassa vaiheessa valitsemme uudeksi kantamuuttujaksi x 1 :n koska sen kerroin viimeisellä rivillä on negatiivisistä kertoimista itseisarvoltaan suurin. Kantamuuttujien joukosta poistamme muuttujan s 1 jonka tukialkio on rivillä 1 koska 4 < 3 3. (Jos poistaisimme muuttujan s niin s 1 saisi negatiivisen arvon. Gaussin eliminaatiomenetelmän rivioperaatioiden avulla saamme nyt yhtälösysteemiksi q x 1 x x 3 s 1 s = 1 1.5.5.5 5.5 -.5 -.75 1 15 1 3.5.5 1.5 5 Nyt kantamuuttujat ovat {x 1, s } ja optimaalinen ratkaisu on x 1 = 5, x = x 3 = koska kolmannella rivillä ei ole yhtään negatiivista lukua jolloin emme pysty kasvattamaan q:n arvoa vaihtamalla kantamuuttjia. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 49 ym., / 75osa Tasointegraali, määritelmä I Jos f (x, y niin f (x, y da on kappaleen { (x, y, z : (x, y D, z f (x, y } tilavuus. D G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 5 ym., / 75osa

Tilavuus, askelfunktiot ja integraalit Suorakulmaisen särmiön tilavuus on särmien pituuksien tulo. Funktio f (x, y : R R on askelfunktio jos on olemassa luvut x < x 1... < x m, y < y 1 <... < y n ja c j,k, 1 j m, 1 k n siten, että { c j,k, jos x j 1 x < x j ja y k 1 y < y k, f (x, y =, muuten. Askelfunktion f (x, y tasointegraali on R f (x, y da = m j=1 k=1 n c j,k (x j x j 1 (y k y k 1, eli xy-tason, funktion f (x, y ja tasojen x = x j sekä y = y k rajoittamien suorakulmaisten särmiöden tilavuuksien summa missä xy tason alapuolella olevien särmiöiden tilavuudet on otettu negatiivisina. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 51 ym., / 75osa Tasointegraali, määritelmä Jos funktio f : D R R on sellainen että löytyy jono askelfunktioita f n : R R, n 1 siten 1 D (x, yf (x, y = lim n f n (x, y melkein kaikilla (x, y R (missä 1 D (x, yf (x, y = f (x, y jos (x, y D ja muuten. n=1 R f n (x, y f n+1 (x, y da <, niin f on integroituva joukossa D ja f (x, y da = lim f n (x, y da. D n R Huom! Jotta yllä olevasta määritelmästä tulisi kunnon määritelmä on osoitettava, että D f (x, y da ei riipu siitä miten askelfunktiot f n on valittu, eikä tämä ole aivan yksinkertainen asia todistaa. Tätä määritelmää käytettäessä ei tarvitse puhua epäoleellisista integraaleista mutta f on integroituva jos f on integroituva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 5 ym., / 75osa

Jatkuvat funktiot ovat integroituvia Jos D = [a, b] [c, d] ja f : D R on jatkuva niin f on integroituva joukossa D ja D f (x, y da = lim max{(x j x j 1,(y k y k 1 } Ääretön integraali m j=1 k=1 n f (x j, y j (x j x j 1 (y k y k 1. Jos f : R R on ei-negatiivinen ja funktiot f n (x, y = 1 Cn (x, y min(n, f (x, y, missä C n = { (x, y : x + y n } ovat integroituvia joukossa D ja lim n D f n(x, y da = niin sanomme, että D f (x, y da =. Samoin, jos f (x, y = f + (x, y f (x, y missä f + (x, y ja f (x, y, D f +(x, y da = ja f on integroituva joukossa D, jolloin D f (x, y da < niin D f (x, y da =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 53 ym., / 75osa Iteroidut integraalit ja integroimisjärjestyksen vaihto eli Fubinin lause Jos a < b, c < d ja (a,b (c,d f (x, y da < tai tai b a d c ( d c ( b a f (x, y dy f (x, y dx dx < dy < (ja f on askelfunktioiden (tai jatkuvien funktioiden raja-arvo melkein kaikissa pisteissä niin kaikki integraalit ovat olemassa ja (a,b (c,d f (x, y da = b a ( d c f (x, y dy dx = d c ( b a f (x, y dx dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 54 ym., / 75osa

Esimerkki: Integroimisjärjestystä ei voi aina vaihtaa Funktio (x, y x y on origoa lukuunottamatta jatkuva kaikissa (x +y pisteissä (ja integraalien kannalta on yhdentekevää miten se määritellään origossa. Erityisesti pätee silloin, että integraali 1 x y (x +y dx on kaikin puolin hyvin määritelty kun y >. Tämän integraalin laskemiseksi toteamme, että funktio t t saa arvon origossa ja sen derivaatta on t y t t t +y x y (x +y dx. Mutta myös funktio (t +y saa arvon kun t = ja sen derivaatta on (t + y t t (t + y = t y (t + y. Näin ollen t x y (x +y dx = t t +y kaikilla t ja erityisesti 1 x y (x + y dx = 1 1 + y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 55 ym., / 75osa Esimerkki: Integroimisjärjestystä ei voi aina vaihtaa, jatk. Funktio y 1 1+y on jatkuva ja koska d dy arctan(y = 1 1+y niin 1 ( 1 x y (x + y dx dy = 1 / 1 1 1 + y dy = arctan(y = π 4. Koska x y (x +y = y x (y +x niin sama päättely kuin edellä osoittaa, että 1 ( 1 x y (x + y dy dx = π 1 ( 1 4 π 4 = x y (x + y dx Fubinin lauseen nojalla voimme silloin myös vetää johtopäätöksen, että [,1] [,1] x y 1 ( 1 (x + y da = x y (x + y dx dy 1 ( 1 = x y (x + y dy dx =. dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 56 ym., / 75osa

Huom! Tasointegraalit lasketaan tavallisesti siten, että ne kirjoitetaan edellisen tuloksen (ns. Fubinin lauseen nojalla iteroituna integraalina ja silloin, kuten erityisesti myös integroimisjärjestystä vaihdettaessa, ongelmaksi voi muodostua kysymys siitä mitä integroimisarajat ovat: ( b h(x (??(y f (x, y dy dx = f (x, y dx dy, a g(x??(y Joskus on myös syytä kirjoittaa oikean puolen lauseke useamman integraalin summana. Huom! Vaikka tasointegraalit on tässä määritelty tilavuuksina niin käytännön sovelluksissa tasointegraali on tilavuus ainoastaan jos molempien muuttujien ja integroitavan funktion yksikkönä on pituusyksikkö ja näin ei tietenkään useimmiten ole asian laita. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 57 ym., / 75osa Tasointegraalin ominaisuuksia D 1 da on joukon D pinta-ala. f (x, y da = jos joukon D pinta-ala on. D Jos f (x, y joukossa D niin V = D f (x, y da on joukon { (x, y, z : (x, y D, z f (x, y } tilavuus. ( D αf (x, y + βg(x, y da = α D f (x, y da + β D g(x, y da. Jos f (x, y g(x, y, (x, y D niin D f (x, y da D g(x, y da. D f (x, y da D f (x, y da. D f (x, y da = k j=1 D j f (x, y da mikäli D = k j=1 D j ja joukon D i D j pinta-ala on kun i j. b d a c f (xg(y dy dx = b a f (x dx d c g(y dy. Jos funktiot f n, n 1 ja g ovat integroituvia joukossa D R, (siis eritysesti D g(x, y da <, lim n f n (x, y = f (x, y ja f n (x, y g(x, y melkein kaikilla (x, y D niin lim n D f n(x, y da = D f (x, y da. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 58 ym., / 75osa

Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto Jos haluamme vaihtaa integroimisjärjestyksen integraaleissa (a 4 y y dx dy, (b 4 4 y y dx dy, niin voimme menetellä seuraavalla tavalla: (a Integroimisalue näyttää seuraavanlaiselta: 4 3 1 1 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 59 ym., / 75osa Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto, jatk. Koska x = y kun y = x ja x niin voimme kuvion perusteella päätellä, että x ja y x. Tästä seuraa, että att 4 ( 4 ( x y dx dy = y dx dy = y dy dx y y = ( /x 1 y dx = (b Integroimisalue näyttää seuraavanlaiselta: 4 3 1 1 x 4 dx = / 1 1 x 5 = 16 5. 1 3 4 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 6 ym., / 75osa

Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto, jatk. Tässä tapauksessa x 4, y x ja y 4 joten kun x niin pätee y x ja kun x 4 niin pätee y 4. Näin ollen saamme (a-kohdan nojalla 4 4 y y dx dy = = 16 5 + ( 4 /4 1 y ( x y dy dx + 4 ( 4 dx = 16 4 5 + 8 dx = 16 5 y dy dx + 8(4 = 96 5. Matlab/Octavessa voimme numeerisesti laskea tällaiset integraalit määrittelemällä integroitavaa funktiota komennolla f=@(x,y y.*(y< x.ˆ jolloin siis f (x, y = kun y x ja sitten (a-tapauksessa laskea dblquad(f,,,,4 ja (b-tapauksessa dblquad(f,,4,,4. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 61 ym., / 75osa Integroimisjärjestyksen vaihto Jos haluamme vaihtaa integroimisjärjestystä integraalissa 1 1 y yx dx dy niin meidän pitää ensin todeta, että 1 + x integroimisalueessa pätee < y < 1 ja < x < 1 jolloin < x < ja y y < 1 1 x josta seuraa, että < y < min( x, 1. Tästä seuraa, että < y < 1 kun < x < 1 ja < y < 1 x kun 1 x <. Näin ollen saamme 1 1 y xy 1 1 dx dy = 1 + x xy x 1 dy dx + 1 + x 1 Integroimisalue näyttää suunnilleen seuraavanlaiselta: xy dy dx. 1 + x G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 6 ym., / 75osa

Integroimisjärjestyksen vaihto Jos lisäksi haluamme laskea integraalin, niin saamme 1 1 = xy dy dx + 1 + x 1 / 1 1 1 xy 1 + x dx + 1 x 1 / 1 xy dy dx 1 + x / 1 x 1 xy 1 + x dx = / 1 1 x 1 + x dx 1 1 + 1 1 + x dx = 1 4 ln(1 + x 1 + 1 arctan(x = 1 4 (ln( ln(1 + 1 ( lim arctan(x arctan(1 x = 1 4 ln( + 1 ( π π = 1 4 4 ln( + π 8,565985877. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 63 ym., / 75osa Jos Majoranttiperiaate f (x, y g(x, y kun (x, y D (ja f on askelfunktioiden raja-arvo, g on integroituva joukossa D, eli g(x, y da <, niin f on integroituva joukossa D, eli f (x, y da <. Avaruusintegraalit D D Integraalia W f (x, y, z dv määritellään ja lasketaan samalla tavalla kuin tasointegraali! tilavuus(w = 1 dx dy dz. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 64 ym., / 75osa W

Muuttujien vaihto tasointegraaleissa Jos muuttujien x ja y sijasta integraalissa D käyttöön muuttujat s ja t siten, että f (x, y dx dy otetaan x = x(s, t, y = y(s, t, ja siten, että (x, y D jos ja vain jos (s, t D (ja kuvaus on bijektio, mahdollisesti lukuunottamatta joukkoa jonka pinta-ala on niin f (x, y dx dy = f (x(s, t, y(s, t (x, y D D (s, t ds dt, ([ (x, y x x ] missä (s, t = det s t y Huomaa myös, että y s (x, y (s, t = 1. (s, t (x, y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 65 ym., / 75osa t. Muuttujien vaihto Oletamme, että D on suunnikas, jonka kulmapisteet ovat (,, (a, b, (c, d ja (a + c, b + d. Jos x = as + ct ja y = bs + dt niin [ ] [ x a c x i+y j = s(a i+b j+t(c i+d j eli = y b d (c, d ] [ ] s = s t (a, b [ ] a +t b [ ] c, d [ ] [ ] a c ja tämä on suunnikkaan sivujen a i + b j = ja c i + d j = b d lineaarikombinaatio. Tällä tavalla saamme kaikki sunnikkaan pisteet kun s ja t [, 1] eli (x, y D missä x = as + ct ja y = bs + dt jos ja vain jos (s, t D = [, 1] [, 1]. Suunnikkaan pinta-ala on ([ ] (a i + b j (c i + d j = a c det = ad bc ja neliön D b d pinta-ala on tietenkin 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 66 ym., / 75osa

Muuttujien vaihto, jatk. Jos nyt määrittelemme (x, y (s, t = det ([ x s y s x t y t niin näemme, että jos f on vakio niin f dx dy = D ] ([ ] a b = det = ad bc, c d D f (x, y (s, t ds dt. Jos teemme (mielivaltaisen muuttujien vaihdon x = x(s, t, y = y(s, t niin saamme lineaarisella approksimoinnilla x x(s, t + x s (t, s (s s + x t (s, t (t t, y y(s, t + y s (t, s (s s + y t (s, t (t t, josta seuraa, että kun (s, t [s, s + s] [t, t + t] niin saamme alueen, joka on melkein suunnikas. Sitten meidän pitää yleisessä tapauksessa laskea yhteen integraalit suunnikkaiden yli ja tarkistaa, että virheiden summa pysyy mielivaltaisen pienenä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 67 ym., / 75osa Napakoordinaatit { x = r cos(θ { r y = r sin(θ θ [, π] dxdy = rdr dθ. Pallokoordinaatit x = ρ sin(ϕ cos(θ y = ρ sin(ϕ sin(θ z = ρ cos(ϕ ρ θ [, π] ϕ [, π] dxdy dz = ρ sin(ϕdρ dθ dϕ G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 68 ym., / 75osa

Esimerkki: Muuttujien vaihto ja e x dx Olkoon E = e x dx. Silloin ( E = ( e x dx = ( e x dx = e x e y dx dy = ( e x dx e y dy e (x +y dx dy. Nyt teemme muuttujien vaihdon x = r cos(θ ja y = r sin(θ ja toteamme, että (x, y (, (, jos ja vain jos r > ja θ (, 1 π. Lisäksi pätee dx dy = r dr dθ ja x + y = r joten E = 1 π e r r dr dθ = ( 1 π 1 dθ / ( 1 e r = 1 π 1 ( ( 1 = 1 4 π, josta seuraa, että E = e x dx = 1 π. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 69 ym., / 75osa Muuttujien vaihto avaruusintegraalissa dx dy dz = (x, y, z (u, v, w du dv dw x x x (x, y, z (u, v, w = det u v w y y y u v w z u z v z w G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 7 ym., / 75osa

Esimerkki: Muuttujien vaihto Jos haluamme määrittää sekä pallon x + y + z = a että sylinterin x + y = a sisäpuolelle jäävän kappaleen tilavuus, eli joukon { (x, y, z : x + y + z a, x + y a } tilavuus niin yksinkertaisinta on käyttää sylinterikoordinaatit [r, θ, z] missä x = r cos(θ, y = r sin(θ jolloin dx dy dz = rdr dθ dz. Näillä koordinaateilla joukoksi tulee { [r, θ, z] : r a, θ < π, z a r } ja tilavuus on π a a r = a r π a = π a r dz dr dθ r( a r ( a r dr dθ r a r dr dθ = = 3 π π / a ( (a 3 + (a 3 ( (a r 3 dθ 3 dθ = 4πa3 3 ( 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 71 ym., / 75osa Esimerkki: Muuttujien vaihto, jatk. Jos sylinterikoordinaatien sijasta käytämme pallokoordinaatteja, eli x = ρ sin(ϕ cos(θ, y = ρ sin(ϕ sin(θ och z = ρ cos(ϕ niin dx dy dz = ρ sin(ϕ dρ dθ dϕ ja integroimisrajoiksi tulee θ < π, ϕ π och ρ min{ a a, sin(ϕ }. Nyt a a sin(ϕ kun ϕ π 4 ja 3π 4 ϕ π joten voimme jakaa integraalin kahteen osaan ja rajoittaa muuttujaa ϕ välille [, π ] mutta kertoa tulosta kahdella jolloin tilavuus on π π 4 a = ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ+ ( π + π dθ ( π 4 sin(ϕ ( π ( π dθ π 4 π π 4 a sin(ϕ ( a ρ dρ ( / a sin(ϕ ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ ρ 3 3 sin(ϕ dϕ = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 7 ym., / 75osa

Esimerkki: Muuttujien vaihto, jatk. ( / π ( /a 4 = 4π ( cos(ϕ = 8 πa 3 3 ρ 3 + 4π 3 ( 1 1 + 4πa3 3 = 8 πa 3 3 π π 4 / π π 4 ( 1 1 + 4πa3 3 a 3 3 sin(ϕ dϕ ( cos(ϕ sin(ϕ = 4πa3 3 ( 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 73 ym., / 75osa Pyörähdyskappaleet I Kun käyrä y = f (x, a x b tai { (t, f (t : t [a, b] } pyörähtää x-akselin ympäri syntyy pyörähdyskappale joka sisältää kaikki pisteet (x, y, z, joille pätee että niiden etäisyys x-akselista eli y + z on korkeintaan f (x ja a x b. Voimme laskea tämän kappaleen tilavuuden sylinterikoordinaattien avulla seuraavalla tavalla: x = x, y = r cos(θ, z = r sin(θ. Silloin dx dy dz = r dxdr dθ ja integroimisrajat ovat a x b, r f (x, θ π. Näin ollen tilavuus on ( b ( π f (x rdr dθ dx = a ( π b dθ a ( / f (x 1 r dx = π 1 b a f (x dx = π b a f (x dx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 74 ym., / 75osa

Pyörähdyskappaleet Kun x-akselin, suorien x = a ja x = b sekä funktion y = f (x kuvaajan rajoittama alue, missä a x b ja f (x, pyörähtää y-akselin ympyrä niin syntyy pyörähdyskappale Ω = { (x, y, z : y f ( x + z, a x + z b }. Tämän kappaleen tilavuuden voimme laskea seuraavanlaisten sylinterikoordinaattien avulla: x = r cos(θ, y = y, z = r sin(θ, jolloin dx dy dz = rdr dθ dy ja integroimisrajat ovat a r b, y f (r, θ π. Tilavuus tulee siten oleman ( π ( b f (r ( π b V (Ω = r dy dr dθ = dθ rf (r dr a = π a b a xf (x dx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem 9. Yhteenveto helmikuuta ja 16 esimerkkejä 75 ym., / 75osa