Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen sks perusteella. b) C C D Ei ole olemassa sellaista kolmioiden yhtenevyyslausetta, jossa olisi pelkkiä kulmia. Kolmiot ovat samanmuotoiset, mutta eivät välttämättä samankokoiset, eivätkä siis yhtenevät. F D E E c) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näistä sivuista toisten vastaiset kulmat ovat yhtä suuret. Tämä viittaa lauseeseen ssk. Kuitenkaan ei ole sanottu, ovatko toisten yhtä pitkien sivujen vastaiset kulmat teräviä vai tylppiä. Kuvassa on esitetty tapaus, jossa toinen näistä kulmista on terävä ja toinen tylppä. Kolmiot eivät siis ole yhteneviä. d) C C F D D F Kolmiossa C kaksi yhtä suurta kulmaa kuin kolmiossa DEF ja näiden kulmien väliset sivut ovat yhtä pitkät, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen ksk perusteella. E
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 50 a) C b) C Koska D C C (Tasakylkinen kolmio C) D D (CD on mediaani) CD yhteinen sivu, niin DC DC (sss). Tällöin vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten. Koska C C (Tasakylkinen kolmio C) CD DC (CD kulman C puolittaja) CD yhteinen sivu, niin D DC DC (sks) Tällöin vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 c) C 503 Väite: Todistus: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. D Koska C C (Tasakylkinen kolmio C) CD yhteinen sivu < DC < DC (Korkeusjana kohtisuorassa kantaa vastaan) Koska lisäksi yhteisen sivun CD vastaiset kulmat CD ja CD ovat molemmat teräviä niin DC DC (ssk) Tällöin vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten. Piirretään suunnikkaalle CD lävistäjä C. Kolmiossa C ja CD on C CD samankohtaiset kulmat, sillä CD C CD samankohtaiset kulmat, sillä C D Sivu C on yhteinen Tällöin C CD (ksk). Yhtenevien kolmioiden vastinosina CD ja CD, joten suunnikkaiden vastakkaiset sivut ovat keskenään yhtä pitkät.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 87 50 505 Väite: Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Väite: Kulmanpuolittajan jokainen piste on yhtä etäällä kulman kyljistä. Todistus: Todistus: Merkitään lävistäjien leikkauspistettä kirjaimella E. E CE CDE DE C CD D E ED ja E EC (sss) neljäkäs suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa E on vastinkulma yhtenevissä kolmioissa. Merkitään E α. α 360 α 90 joten E 90 kaikissa kolmioissa. Siis C D, joten neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Valitaan kulman P puolittajalta mielivaltainen piste R ja piirretään pisteen R kautta kulman P kyljille normaalit. Normaalit leikkaavat kulman kyljet pisteissä S ja T. Kolmioissa PSR ja PTR PTR PSR normaalit TPR SPR kulman puolitus Sivu PR on yhteinen Tällöin PSR PTR (kks). Yhtenevien kolmioiden vastinosina RT RS. Koska R on mielivaltainen kulmanpuolittajalla sijaitseva piste, on kulmanpuolittajan jokainen piste yhtä etäällä kulman kyljistä.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 88 506 Mediaanit eli keskijanat puolittavat kolmion sivut. Koska tasasivuisen kolmion keskijanat ovat yhtä pitkät, merkitään osia kirjaimella x. 507 a) Väite: Todistus: Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa tangenttikulman. Mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanit :1 kärjestä lukien. Koska tasasivuisen kolmion mediaanit ovat keskenään yhtä pitkät (symmetrisyys), merkitään mediaanin osia y ja y. Pienet kuusi kolmiota ovat keskenään yhteneviä sss-yhtenevyyslauseen mukaan. Piirretään tangenttikulman kärjen P ja ympyrän keskipisteen K yhdysjana PK. Kolmioissa PKR ja PKS on KR KS säde sivu KP on yhteinen R S ( 90 ) ja sivuja KR ja KS vastapäätä olevat kulmat ovat teräviä. Tällöin PKR PKS (ssk). Yhtenevien kolmioiden vastinosina SPK RPK, joten yhdysjana KP puolittaa tangenttikulman SPR.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 89 b) Väite: Todistus: Tangenttikulman kyljet ovat yhtä pitkät. 508 Kolmioissa C ja CD on Piirretään tangenttikulman kärjen P ja ympyrän keskipisteen K yhdysjana PK. Kolmioissa SKP ja RKP on KR KS säde sivu KP on yhteinen R S ( 90 ) ja sivuja KR ja KS vastapäätä olevat kulmat ovat teräviä. Tällöin SKP RKP (ssk). Siis 1) C yhteinen ) C DC 90 3) C DC oletus C CD (ksk), joten CD. Näin ollen pylväät ovat yhtä korkeat. Yhtenevien kolmioiden vastinosina PRPS, joten tangenttikulman kyljet ovat yhtä pitkät.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 90 509 510 Pölypunkki ja siitä mikroskoopilla otettu kuva ovat keskenään yhdenmuotoiset. Merkitään punkin kokoa kirjaimella x. Koska mittakaava on vastinosien pituuksien suhde, saadaan verranto Tapaus 1. Piste P ei ole janalla. Olkoon piste C janan keskipiste. Osoitetaan, että α 90, jolloin suora PC on janan keskinormaali. Koska PP (Piste P on yhtä kaukana janan päätepisteistä) CC (C on janan keskipiste) PC yhteinen niin CP CP (sss). Tällöin vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten CP CP α. Saadaan CP + CP 180 α + α 180 α 180 α 90 Tapaus. Piste P on janalla. Väite on triviaali, koska piste P on tällöin janan keskipiste. x 1 9 300 300x 9 x 0,03 ( cm) Pölypunkin koko on 0,3 mm.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 91 511 a) Mittakaava on 1,5 cm 1,5 cm 1 k 5 83 km 83 10 cm 00 000 b) Olkoon x Kitisen pituus. Saadaan verranto 139 cm 1 x 00000 x 00 000 139 cm x 7 800 000 cm x 78 km a) 1:00 000 b)78 km 51 Tapa 1 Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinjanojen suhde on vakio, joten h a h' a' a 3,8 cm ah' a' h,3cm h h' 3,6cm 3,8 3,6 a' 5,7 (cm),3 Tapa Kuvioiden mittakaava k on h, k h' 3,6 3 Siis vastinjanojen suhde on a a' 3 a' a 3,8 5,7 (cm) 3 3 Tontin kanta on 5,7 cm. Merkitään tunnettuja osia kirjaimilla a, h ja h sekä kysyttyä kantaa kirjaimella a.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 513 Kolmioiden vastinosien suhde on 8:3. Saadaan verranto 51 a) Vastaavasti 8 8 1 3 3x 1 8 x 3 y 8 9 3 3y 9 8 y Suurennetun kolmion kateetit ovat ja 3. Hypotenuusa on + 3 0 Kolmion sivut ovat, 3 ja 0. Ei voida, sillä ei ole olemassa yhdenmuotoisuuslausetta ss. Kuvassa on esimerkki, joka täyttää annetut ehdot, mutta kolmiot eivät ole yhdenmuotoiset. b) C C E F Kyllä, kolmiossa C on kaksi yhtä suurta kulmaa kuin kolmiossa DEF, joten kolmiot ovat yhdenmuotoiset lauseen kk perusteella. F D D E
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 93 c) D 515 Koska C DE (kk, yhteinen kulma ja suora kulma), saadaan yhtälö C E F x 1,8 6+ 8 6 6x 1 1,8 1 1,8 x, (m) 6 Kolmioissa C ja DEF kaksi sivua ovat verrannolliset ja näistä sivuista toisten vastaiset kulmat ovat yhtä suuret. Tällöin kolmiot ovat yhdenmuotoiset, jos toisten verrannollisten sivujen C ja EF vastaiset kulmat ovat samaa tyyppiä eli joko teräviä, suoria tai tylppiä. Pylvään korkeus on, m. Kulmat C ja DEF ovat tylppiä. Jos kolmiossa on tylppä kulma, on kaikkien muiden kulmien oltava teräviä, koska kolmion kulmien summa on 180º. Tällöin myös kulmat C ja FDE ovat molemmat teräviä, eli ne ovat teräviä. Kolmiot ovat siis yhdenmuotoiset lauseen ssk perusteella.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 516 517 a) Koska niin FD FE (ristikulmat) DF FE (samankohtaiset kulmat ja D C) FD EF (kk) Tällöin vastinsivut ovat suoraan verrannolliset, joten F D C FD F E x FD C 3x F FD E D E C 1 3 F: FD 1: 3 Todistus: Kolmioissa C ja DEC on C DC sivun keskipiste C yhteinen CEC sivun keskipiste joten C DEC (sks). Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten C CDE C CED Samankohtaiset kulmat ovat keskenään yhtä suuret, joten DE. ja DE CD CE 1 1, joten DE. C C Siis kolmion sivujen keskipisteiden yhdysjana on kolmannen suuntainen ja pituudeltaan puolet siitä.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 95 b) 518 a) Piirretään mallikuva ja siihen janat ja ED x 13 E D 5 7 3 x C a)-kohdan tuloksen perusteella kysytyn yhdysjanan pituus on puolet kolmion toisen kateetin pituudesta. Merkitään kolmion toista kateettia kirjaimella x. Pythagoraan lauseen avulla saadaan yhtälö x + 5 13 x x 13 5 169 5 x 1 x ± 1 x> 0 x 1 Siis kysytyn yhdysjana pituus on 1 6. a) Pikkukolmion ala on 16 % alkuperäisen kolmion alasta. b) Yhdysjanan pituus on 6. Kolmioissa C ja EDC C ECD ristikulmat C DEC samaa kaarta vastaavat kehäkulmat Tällöin kolmiot C ja EDC ovat yhdenmuotoiset (kk) Kolmioiden vastinosista saadaan yhtälö x 7 3 3x 8 8 1 x 9 3 3
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 96 b) 519 a) Mittakaava 7,5 cm 3 k 5cm Koska E samaa kaarta vastaavat kehäkulmat C on yhteinen niin CD EC (kk) Saadaan verranto x + 3 7 3 3( x + 3) 1 3x + 9 1 3x 5 5 x 3 b) ' k ' k 9 ' Kuinka monta prosenttia on suurempi kuin? 5 5 ' 100 % 100% 15% a) 3: b) 15 % a) 1 9 b) 1 3 3
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 97 50 Merkitään alkuperäisen suorakulmion sivuja kuvan mukaisesti kirjaimilla x ja y. 36 a) Suorakulmion sivuja pienennettiin 36% eli suhteessa 6:100 eli 16:5. Vastinosien suhde on siis 16 : 5. Saadaan yhtälö Vastaavasti 8 36 16 x 5 16x 900 900 5 x 56,5 56 (mm) 16 8 16 x 5 16x 100 100 300 x 75 (mm) 16 x y b) Suorakulmion alaa pienennettiin 36% eli suhteessa 6:100 eli 16:5. Koska pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö, saadaan yhtälö 16 k 5 k ± k > 0 5 k 5 Vastinosien suhde on siis : 55. Saadaan yhtälö 36 x 5 x 180 180 x 5 (mm) Vastaavasti 8 x 5 x 0 x 60 (mm) a)75 mm ja 56 mm b)60 mm ja 5 mm
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 98 51 Mittakaava on 70 cm 7 0 cm Tilavuuksien suhde on V V jalkapallo tennispallo 3 7,875 3 Jalkapallon tilavuus on 3-kertainen. 5 Vastinosien pituuksien suhde on mittakaava 8cm 8 k 11 cm 11 Pinta-alojen suhde on 98 cm ' k 8 k 11 ' k 8 ' 98cm 11 ' 157,619... cm ' 158cm Tilavuuksien suhde on V,8 dl V ' 3 k 8 V k 11 3 V' k V 8 V ',8dl 11 V ' 1,86... dl V ' 1,8dl 3 Pienemmän rasian ala on 158 cm ja tilavuus 1,8 dl.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 99 53 5 l 75 cm k 1: 0 000 R 600 km r 15 cm Mittakaava r 15 cm 15 7 5 10 k R 600 10 cm 6 ' k ' 15 10 7 337 000 6 5 1 ' 337 000 10 096 1 ' 18 511,96... 10 km ' 18 511,96... 10 cm ' 1,851196... 10 cm 1,9 cm 1,9 cm 1 Olkoon pyöräilylenkin pituus luonnossa x. Saadaan yhtälö l k x 1 75cm 0 000 x x 0 000 75 cm x 1 500 000 cm Pekka polki siis 15 km. Koska pyöräily kesti puolitoista tuntia, keskivauhti oli v matka 15 km 10 km/h aika 1,5 h Matka oli 15 km ja keskinopeus 10 km/h.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 100 55 Olkoon uuden lakanan pituus 100 x. Tällöin pestyn lakanan pituus on 9 x. Lakanoiden mittakaava on lojen suhde on 9x 7 k 100x 50 56 Neliön ala neliö 9. Olkoon neliön sivu x. x 9 x ± 3 ( ) 88 % ' 7 100% 100% 50 88,36% 88% C DEC (kk), sillä 1) C on yhteinen ) E, samankohtaiset kulmat ja DE h DE h 3 5 h 3 h 3 5( h 3) 3h 5h 15 3h h 15 15 h Kolmion ala kolmio 15 5 75
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 101 Prosentteina 57 neliö kolmio 100% 8 % 9 100% 75 9 100% 75 8% h h 1 h h 3 7 10 eli h h 10 7 1 10 10 eli h h 7 7 3 Siis 10 10 h3 h1 h1 19 mm 7 7 h 3 100 19 mm 9 38,77... mm 39 mm 39 mm
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 10 58 a) Kartan mittakaava on 1cm 1cm 1cm k 1:10 000 000 100 km 100 000m 10 000 000 cm Matka luonnossa on,1 100 10 (km). : a) Mittakaava on 1:10 000 000 b) Tapaaminen Mäntässä, jonne on linnuntietä Turusta noin 10 km. b) Piirretään kolmio, jonka kärkinä ovat Turku, Lappeenranta ja Nivala. Kärjistä on yhtä pitkä matka paikkaan, jossa kolmion keskinormaalit leikkaavat. Piirretään kolmiolle keskinormaalit. Keskinormaalit leikkaavat paikassa, josta on matkaa kärkiin noin,1 cm.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 103 59 a) Kun pienennetään 3-paperi kokoon, pinta-ala pienenee puoleen eli pinta-alojen suhde on 1:. Koska pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö, saadaan yhtälö 1 k 1 k ± k > 0 1 k ( 0,707... ) Tällöin pienennetyn pohjapiirroksen mittakaava on 1 1 1 1:50 1:71 50 50 b) Olohuoneen todelliset mitat ovat 65 mm 70,7 600 mm,6 m ja 5 mm 70,7 3700 mm 3,7 m : a) noin 1:71 b),6 m ja 3,7 m 530 Kolmioissa R ja RDC on R CRD CD D joten R RDC (kk). ristikulmat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat Koska yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivut ovat suoraan verrannolliset, saadaan yhtälö RD RC R R a b b a a b b 00 a 00 : 00 a 00 a 00 a 00 (m) Polun pituus on 5a 5 00m 1000 m 1 km Toisen polun pituus on 1 km.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 10 531 53 C DEC Mittakaava on k. 5 Pinta-alojen suhde on pikku iso 100% 16% 5 k 5 5 Pikkukolmion ala on 16 % alkuperäisen kolmion alasta. Koska D (samankohtaiset kulmat ja DE ) ja kulma C on yhteinen, niin DEC C (kk). Tällöin 1 h 1 ' ' a' k eli iso h a 1 1 iso 1 1 iso 1 3 1 iso 1 1 1 3 3 3 iso iso 1 iso iso iso 1:3
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 533 a C D 5 Kolmiot C ja CD ovat yhdenmuotoiset lauseen kk perusteella, koska molemmissa on suora kulma ja lisäksi kulma on yhteinen. Vastinsivujen suhteesta saadaan yhtälö C C D 9 a a a 36 a± 6 a> 0 a 6 b Koska kolmio C on suorakulmainen, saadaan Pythagoraan lauseen avulla yhtälö a + b 9 36 + b 81 b 5 b ± 5 b> 0 b 9 5 b 3 5 : Kateetit ovat 6 ja 3 5.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 106 53 Olkoon ympyrän säde r. C h-r Pythagoraan lauseen avulla saadaan ensin ratkaistua h: h h h + 3 5 + 9 5 16 h ± b> 0 h E F Tällöin Kolmiot EOC ja DC ovat yhdenmuotoiset (kk), sillä kummassakin on suora kulma ja kulma C on yhteinen. Verrannollisista vastinosista saadaan yhtälö 3 r r O 3 r r 3 5 5r 3 ( r) 5r 1 3r 8r 1 1 r 1 r OC 3 C OC h r C 5 Ympyrän säde on 1 1. r h r 3 5
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 107 535 Ympyrän halkaisija: Jakosuhde on 15 a: 1 a 15:1 8 8 ( ) a ) a d ( ± ) a a 16a a 15a a d 15 Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora, joten CD 90. C DC (kk), C on yhteinen ja 90π D Vastinjanojen avulla saadaan verranto Suhteessa 15:1 huipusta lukien. C C CD x CD C d a x d ax d a d 15 15 x a a a 8 15 1 8 8 8) D a a a