Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 68 00,5 l,5 dm 6,5 cm,65 dm Apoja π r π r r π,5dm,08... dm r ( ± ) π π, 65 dm 00 l dm 000 cm Ap 000 0 000 00 :00 000 0 ( cm) 00 asaus 0 cm d r,057... dm cm asaus cm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 69 00 Kuuion ilavuus a kuuio Karion ilavuus kario Ap π r a π a π a kario kuuio π a 00 % a 00 % π a 00 % a 00 π % 5 π % 6 % 00 Merkiään kirjaimella jäävuoren korkeua ja kirjaimella a pinnan yläpuolelle jäävän osan korkeua. Koska jäävuori on ydenmuooinen pinnan yläpuolelle jäävän osan kanssa, saadaan yälö osa koko 0, koko 0 koko 000 0, a osa 0, a 0( m) 0, 000 0,8706... ( m) 000 0, 000 0, asaus Jäävuoren korkeus on m. koko asaus 5 π % 6%
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 70 005 Tilavuus Apoja π r π 5 00π Sivujana saadaan Pyagoraan lauseella. s + 5 s ± + 5 69 aipan ala A π rs π 5 65π asaus ilavuus on 00π ja vaipan ala 65π 006 Kannen säde 6,0 cm r,0 cm Tuuin ilavuus, dl 0, l 0, dm 0 cm Tuuin korkeus saadaan yälösä Apoja π r πr : πr π r 0,7... ( cm) π,0 asaus Tuuin korkeus on cm.
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 7 007 Pieni kario ja iso kario ova ydenmuooise, joen saadaan yälö 8,5 6,5,5 asaus,5,5 ( cm) π 8 π (,5) 8,5... cm cm 008 r 6 cm 5 cm Sivujana s saadaan Pyagoraan lauseella. s + r s ( ± ) 5 + 6 6 9 6,5... cm a) A vaippa π rs π 6 9 8π 9 0,5... 05 cm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 7 b) Ympyräsekorin kaari pojaympyrän keä α π s πr :π 60 α s r 60 60 α s r 60 : s r 60 α s 6 60 α 9 α,7... b) Tapa α Avaippa π s 60 60 A 60 α πs : πs vaippa α A vaippa π s 60 8π 9 60 α π ( 9) 60 α 9 α,7... A vaippa s 9 ( cm) 8π 9 cm 009 a) A p π π 7,7 b) Hypoenuusan piuus c c + 5 c ± c 5 5 π a+ π ( 5 a) 5 π a+ π π a 5 π asaus a) 05 cm b)
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 7 Rakaisaan ensin. 5 5 5 Tilavuus on b) Tapa ADX 5 5 π π 5 5 5 8π 9 π 0, 5 5 Pyagoraan lauseen mukaan saadaan yälörymä () a + r b + r + ( a+ b) ACB ( kk ) ( a+ b) 5 a+ b ± 5 a+ b 5 ( ) a 5 b sijoieaan yälöön ( ) ( 5 b) + r 9 b + r 6 ( 5 b) + r 9 + b r 6 ( 5 b) b 7 5 0 + 7 b b b 0b b, Sijoieaan yälöön ( ). a 5 b 5,,8 ( ) a + r 9 a,8,8 + r 9 r 5,76 r ± r, 5,76
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 7 + πra+ πrb r, π r ( a+ b) a,8 b, π 9,6π, 5 6 9 π 0 8π 9 π 0, 5 5 00 a), an 60 r r r an 60, : an 60, r an60 an 60, r r,87... ( m) Kodan ilavuus asaus a) π 7,7 b) 8 π 9 π 0, 5 5 r,87... m π r, ( m),... ( ) m
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 75 b), r,87... ( m ) ABC DBE ( kk), r,8 r,( r ),8r,r,,8r, r,8r,, r,,r, r,,,,, 0,808... ( m) Alueen ala, jossa 80 cm pikä enkilö voi seisä suorassa on, A π π,05..., m 0 ABC ADE ( kk) a 0 a + 5 5 5a 0( a+ 5) 5a 0a+ 50 5a 50 a 70 ( cm) b b b + 0 a + 0 70 70 0 b ± 70 0 b 800 69,8... ( cm) + 5 05 0800 ± 0800 AED π 5 π 0 b 7,09... cm asaus a) m b), m asaus 7 liraa
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 76 Tapa a + + 5 5 5 5 ± 5 5 00 ( cm) a 0 ABC ADE a+ 5 a 0 00 5 5a 0( a+ 00) 5a 0a+ 0 00 5a 0 00 a 00 ( cm) ( kk) iso pieni roskis kario kario Siis a 00 π 5 ( a+ ) π 0 a 00 7,09... 7 000 cm roskis 7 000 cm 7 dm 7 l asaus 7 liraa
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 77 0 Olkoon puoliympyrän ala A. Karion vaipan ala on Pyagoraan lauseen mukaan + r s + 87 9 87 ( ± ) 0,7... cm 9 8π A A πs π Toisaala karion vaipan ala on A π rs πr πr Saadaan yälö 8π π r : π r asaus cm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 78 0 Ympyräkario ova ydenmuooisia, joen ' ' π π 0 5 0 7 5 7 5 5 7 5 5 0,508... ( cm) 0 Kysyy korkeus on cm. Tilavuuksien sueesa saadaan 8 7 7 8 7 8 8 5 8 8 5 8 5 Toisaala ydenmuooisen karioiden ilavuuksien sude on yä suuri kuin karioiden korkeuksien sueen kuuio. Siis 0 0 asaus 5 mm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 79 Saadaan yälö 05 0 8 0 5 0 8 0 5 0 0 5 50 ( ) 0 00 5 80 5 0 ( cm) a,0,85 6,5 ( cm) asaus cm 6,5 cosα,85 α 65,5... β 60 α 8,9... β b π,85 59,... ( cm) 60
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 80 Saadaan yälö π b b 9,... ( cm) π Pyagoraan lauseen mukaan +,85,85 ±,85,60... ( cm) Karion ilavuus on Ap π 070,... cm Siis 070,... cm,070... dm, l 06 Sivujanan keskipiseesä kauimpana oleva pojaympyrän pise on vasakkaisella puolella karioa. a) Kolmio OBK ja ABC ova ydenmuooise (kk). 5 Koska BC BK, on AB OB ja joen kolmiosa DAC saadaan DC DA + AC 9 8+ 6 + + + 97,9...,9 AC OK, asaus, liraa b) Karion pojan piiri on p π r π 6π Tällöin kaaren p 6π b π BED ' piuus on
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 8 Toisaala 0 b α πr α π 5 πα πα 60 60 60 6 Siis πα π 6 α 08 Kosinilauseen mukaan ) ) 5 5 + 5 5 cos08 5 + 5 5cos08 5 + 00 00cos08 5 00cos08 ± 5 5 cos08 5 5 cos08 6, 07 Tako ova yeneviä asasivuisia kolmioia. Kolmion korkeus saadaan Pyagoraan lauseella. +,5 5,0 5,0,5 ± 5,5 8,75,0... ( cm) Teepussien pina-ala on 5 8,75 A,0... asaus cm cm asaus a) 97,9 b) 5 5 cos08 6,
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 8 08 09 a) Suora pyramidi Poja ABCD: Kolmio ABC on asasivuinen, joen a. Korkeus saadaan Pyagoraan lauseella. + a 0 + 0 0 asaus 6 ± 0 56 6 Siis + 0 ± 5 5 0 AE Kolmio AEF: 5 cm 7 5 9 5 ± ( cm) Tilavuus 6 Ap 7,688... 8 cm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 8 b) ino pyramidi A 8 ( cm ) A 7 ( cm) 56 8 7 8,66... 9 cm 0 asaus a) 8 cm b) 9 cm 00 Ydenmuooisen kappaleiden ilavuuksien sude on yä suuri kuin miakaavan kuuio. Siis ' k 8 k 7 8 k 7 k Ydenmuooisen kappaleiden pina-alojen sude on yä suuri kuin miakaavan neliö. Siis A' k A A' A 9 Tasoleikkaus: asaus :9
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 8 0 Pyramidin korkeus EF AC a + a AC a AC ± a AC a AC a FC EF a a a EF a a EF a EF Sivuakon korkeus EG a EG a a EG a a EG a EG aipan ala on a Avaippa A a a BCE Pojan ala on A A a a a poja ABCD Kokonaispina-ala on A A vaippa + Apoja a + a a +,7a Tilavuus on ) a a a Apoja a 0,a 6 asaus Kokonaispina-ala on Tilavuus on a +,7a a a 0,a 6
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 85 0 60 α 7 5 α β 6 6 an β 6 an6 an6 6 Tilavuus: 6 an6 aipan ala: y y + 6 + an6 y ± y 6,5... ( cm) Avaippa 5A ABK A vaippa y 5 6,997... 87,66... 90 cm 90 cm,9 dm Apoja 5 6 0 an6 80 56,6... 00 cm an6 00 cm, dm asaus Tilavuus, dm, vaipan ala,9 dm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 86 0 0 a 7 m? m Tilavuuksien sude on miakaavan kuuio. Siis Toisaala ilavuus ja rakenamisaika ova suoraan verrannollise, joen a, vakio a 0 Siis a a asaavasi 0 a 7 m? 66 m 0 66,75... ( a) 7 asaus Rakennusaja oliva 8 a ja a. Saadaan yälö 0 8,00... 8 ( a) 7
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 87 05 a) Kaikki ako ova yeneviä asasivuisia kolmioia. Mediaani jakava oisensa : kärjesä lukien. Olkoon mediaanien piuus. Pojaakon keskipise on mediaanien leikkauspise. cosα cosα α 70,58... α 70,5 b) Olkoon sivusärmän piuus s ja mediaanin piuus. Olkoon M mediaanien leikkauspise. Pojaako (asasivuinen kolmio): ( ) s + s 9 s + s s 9 s s 9 9 s 9 s s ( ± ) s s cos β s s s β 5,75... β 5,7
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 88 b) Tapa Pyagoraan lauseen mukaan + s ( s) s s 06 Tilavuus,0 dl 0, l 0, dm 00 cm Säännöllisen eraedrin kaikki ako ova yeneviä asasivuisia kolmioia. Olkoon eraedrin särmä ja korkeus. Käyeään piuusyksikkönä senimeriä. Kosinilauseen mukaan + ( s) s cosβ scosβ s s cos β s s cos β s cos β β 5,75... β 5,7 asaus a) 70,5 b) 5,7 Säännöllisen eraedrin korkeusjana ydisää eraedrin kärjen ja vasakkaisen akon keskipiseen (mediaanien leikkauspiseen). Pyagoraan lauseen mukaan KD + KD + KD KD ( cm )
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 89 AD KD ( cm ) ED AD ( cm ) 6 + ED KD + 6 ) ( cm ) Pyramidin ilavuus on 8 Saadaan yälö 00 00 00 00,97... ( cm) asaus cm Ap AABC ABCK BC KD 6 cm
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 90 07 Leikaaan pyramidi uipun C kaua koisuorasi pojaa vasaan. Saadaan asoleikkaus. FGC ABC Miakaava on FGC ABC kk k, joen 8 k 8 5 Sude on ylin alin ABC 5 7 8 : 7 5 8 5 7 8 ABC 8 asaus Sude on :8 Siis ylin FGC 5 ABC DEC ABC kk Miakaava on k, joen 8 DEC ABC 8 Siis DEC 7 ABC ja alin 8 8 ABC DEC ABC